直线与圆的位置关系-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）（解析版).pdf

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1、第07讲直线与圆的位置关系凶【学 习 目 标】1 .理解并掌握直线与圆的各种位置关系：2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；【基础知识】一.直线与圆的位置关系(1)直线和圆的三种位置关系：相离：一条直线和圆没有公共点.相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点.相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.(2)判断直线和圆的位置关系：设。的半径为 圆心。到直线/的距离为d.直线/和。0相交直线/和O。相切Q =r 直 线/和

2、相 离二.切线的性质(1)切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直.(3)切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：见切点，连半径，见垂直.三.切线的判定(1)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)在应用判定定理时注意：切线必须满足两个条件：。、经过半径的外端；尻 垂直于这条半径，否则就

3、不是圆的切线.切线的判定定理实际上是从“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的.在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”.四.切线的判定与性质(1)切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(2)切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线

4、是圆的切线.(3)常见的辅助线的：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常 常“遇到切点连圆心得半径”.五.弦切角定理(1)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如右图所示，直 线PT切 圆0于 点C,B C、A C为 圆0的弦，则有(Z PC A为弦切T六.切线长定理(1)圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.（

5、3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.（4）切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到.七.切割线定理（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.几何语言：.PT切。于点T,P B A是。0 的割线.PT的平方（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何语言：P BA,PDC是 的 割 线:.P D P C=P A P B（切割线定理

6、推论）（割线定理）由上可知：P li=P A P B=P C P D.八.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形.（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角./二三;、【考点剖析】一.直线与圆的位置关系（共 3 小题）1.（2022邛江区校级开学）已 知 的 直 径 是 8,圆心O 到直线。的距离是3,则直线

7、“和 的 位 置 关系 是（）A.相交 B.相离 C.相切 D.外切【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可.【解答】解：的直径是8,：.Q 0的半径是4,圆心O到直线a的距离是3,二直线。和。相交.故选：A.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，即 设 的 半 径 为 r,圆心。到直线/的距离为d,当 d 4,故选：D.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系.同时注意圆心到直线的距离应是非负数是解题的关键.3.（2021秋信都区期末）半径为5 的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线/的距【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可.【解

8、答】解：.OOl、。2、O Q、。4是四个半径为5 的等圆，圆心到直线/的距离为4 是。3,故选：C.【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆.二.切 线 的 性 质（共 2 小题）4.（2022春朝阳区校级月考）如图，PA,是。的切线，A,B 是切点，点 C 为。上一点，若/尸【分析】连接OA、O B,利用四边形内角和可求出N A O 8,根据圆周角定理即可得出答案.【解答】解：连 接 0 4、0B,：.ZAOB=3600-APAO-ZPH0-ZP=360-90-90-40=140,二 NAC8=；乙4。8=70,故选：A.【点评】本题考查切线的性质，熟练掌握切线

9、的性质及圆周角定理是解题关键.5.（2022春南岸区月考）如图，A 8是。0 的直径，点 C 在 A 8延长线上，C。与。相切于点 ,连接A.20 B.25 C.35 D.45【分析】连接。，构造直角三角形，利 用 OA=O O,可求得NOD4=35,从而得出NCAD的度数.【解答】解：如图，连接0D,：CO与。相切于点。，.,.ZOC=90,/CO+乙4 8=9 0 ,V ZACD=20,/.ZC O D=90-20=70,：OA=OD,：.ZODA=ZCAD,：ZCOD=ZODA+ZCAD,/.ZCAD=ZCOD=35故选：C.【点评】本题考查了切线的性质，熟记切线的性质及三角形的外角与内

10、角的关系是解题的关键.三.切 线 的 判 定（共 2 小题）6.（2022东明县一模）已知，在 RtZXABC中，ZBAC=90,以A 8为直径的。与 BC相交于点E,在4 c 上取一点。，使得。E=4O,（1）求证：QE是。0 的切线.（2）当 BC=10,A=4时，求。的半径.【分析】（I）连 接。E、D E,证明AOOg/XE。，得到NOEO=N84C=90,证明结论;(2)根据全等三角形的性质得到NAOD=NEO,根据三角形的外角的性质得到/BEO=N E O),得到O D/B C,求 出 0 D,根据勾股定理计算即可.【解答】(1)证明：连 接。E、0D,在AO力和 力中，0A =0

11、ED A =D E,0D =0D丝EO。C SSS),：.ZOE D=ZB A C=90 ,.DE是。的切线；(2)解：V A O D E O D,二 Z A O D NE OD,：OB=OE,：.Z B=Z O E B,：Z A O E Z B+Z O E B,：.N B E O=NE OD,：.OD/B C,又 A O=B O,：.O D=：B C=5,由勾股定理得，A O=yj0D2-AD2=3,则。的半径为3.【点评】本题考查的是切线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理的应用，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.7.(2021秋玉林期末)A 8是

12、。的弦，。为半 径。4 的中点，过。作 COLOA交弦AB于点E,交。0于点F,且 CE=CB.(1)求证：8 c 是。0 的切线；（2）连接AF,B F,求/A B F的度数.【分析】（1）连 接0 8,有圆的半径相等和已知条件证明NO8C=90即可证明8 c是。的切线；（2）连 接OF,AF,B F,首先证明OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出N48厂的度数；【解答】（1）证明：连接：OB=OA,CE=CB,：.ZA=ZOBA,ZCEB=ZABC又：COJ_OAN4+NAEC=/A+NCEB=90/08A+NA8c=90J.OBYBC.,.8C是

13、O O的切线.(2)解：连接。尸，AF,BF,：DA=DO,CD LOA,：.AF=OF,：OA=OF,OAF是等边三角形，ZAOF=60：.ZABF=iZAOF=30【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键.四.切线的判定与性质（共2小题）8.（2021秋源汇区校级月考）如图，A B为。的切线，BO是/A B C的平分线，以点。为圆心，D A 为半径的。力与4 C相交于点E.求证：BC是。的切线.【解答】证明：过点。作于点凡为。的切线，V Z BAD=90 ,又.B。平分 NA8C,：.AD=DF,是。的半径，DFLBC,8C是O

14、。的切线.【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的关键.9.（2021秋台江区校级月考）已知：如图，AB为半圆的直径，。为圆心，A。平分NBAC交弦8C于F,D EL A C,垂足为E.（1）求证：OE与。O相切;(2)若 QF=2,A F=6,求0 0 的半径.【分析】（1）连 接。Q,推出0A E,推 出 根 据 切 线 判 定 推 出 即 可;根据相似三角形的性质得 到O而H=而OF 一1 根据三角形的中位线的性质得到必如1，根据相似68三角形的性质得到”CF=竺AFDE AD3设 CF=3k,D E=4k,得至l j CH=4k,BC=8k,BF=5k,根据相4

15、交弦定理得到k=挛，求 得OE=CH=誓，根据勾股定理得至U AE=、AD2-D2=卑,即可得到结5 5 5论.【解答】（I）证明：连接0。，04=00,：.ZODA=ZOAD.FO 平分 N8AC,：.ZCAD=ZOAD,：.ZCAD=ZODA,：.OD/AC,VAE1DE,J ODLDE,:。为半径，J O E 是O O 切线；（2）VOD/AC,，ACFsDHF,DH DF 1AC AF 3,：ZCAD=ZBAD,加 =曲：.CH=BH,:AO=OB,：.0H=AC,VCFA,DELAE,：.CF/DE,：.A C FS/AED,tCF AF 6 3,DE AD 8 4设C尸=3匕DE=

16、4k,:,CH=4k,：.BC=8k,：.BF=5k,AFDF=CFBF,1 2=1 5 0 DE=CH=婆.5y/AD2-D2=军：DH=C,：.DH=%=%：.CE=DH=fi,5：.AC=：.0H=：.0 D=0H+D H=28二。的半径为2次.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相交弦定理，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.五.弦 切 角 定 理（共 1小题）10.如图，ABC中，4B=A C,以AB为直径的。交 BC于 E,过 8 作。0 的切线，交 4 c 的延长线于力.求【分析】连 接 A E,利用等腰三角形的性质易证/B A E=N C

17、 A E=；/C A B,由弦切角定理可得/C B O=N BAE,所以NCBD=3/CAB.【解答】证明：连接AE,是圆的直径，：.AEBC,：AB=AC,平分 NBAC,/.NBAE=ZCAE=ZCAB,：8。是。的切线，：.ZCBD=ZBAE,：.ZCBD=ZCAB.【点评】本题考查 弦切角定理的运用、圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是正确的添加辅助线，利用等腰三角形的性质解题.六.切 线 长 定 理（共3小题）11.（2021秋中山市期末）如图，。内切于四边形ABC。，AB=10,BC=1,C D=8,则4。的长度为（）DHA.8 B.9 C.10 D.11【分析】根据圆外切

18、四边形的性质对边和相等进而得出AD的长.【解答】解：；。0内切于四边形48CO，：.A D+B C=A B+C D,；AB=10,B C=7,CDS,.+7=10+8,解得：A D=.故选：D.【点评】此题主要考查了圆外切四边形的性质，得出对边和直接关系是解题关键.12.（2021秋上思县期末）如图，P为。外一点，PA,PB分 别 切 于A、B,CD切。于 点E,分别交 心、P B于点、C、D,若%=5,则PC。的周长为（）【分析】由切线长定理可得见=PB,C A =C E,DE=DB,由 于 的 周 长=PC+CE+EQ+P。，所以PCD J =P C+C A+B D+P D=P A+P B

19、=2 R ,故可求得三角形的周长.【解答】解：.出、PB为圆的两条相交切线，：.PA =PB,同理可得：C A =C E,D E=D B.：/PC D 的周长=PC+CE+PO,PC D 的周长=PC+C A+B D+PD=PA+PB 2PA,.PCC 的周长=10,故选：D.【点评】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用.13.（2021秋无为市校级月考）如图，和2 8是。的两条切线，A,3是切点.C是弧AB上任意一点,过点C画。的切线，分 别 交 办 和P 8于 ,E两点，已知附=P B=5cm,求 的 周 长.AD【分析】根据切线长定理得到以=P8,D A D C,E B=E C,根据

20、三角形的周长公式计算，得到答案.【解答】解：和 P 8 是。的两条切线，：.PA=PB,同理可得：D A D C,E B=E C,.POE 的周长=PA+E+PE=PD+OC+EC+PE=PO+a4+EB+PE=%+P8=10（cm）.【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.七.切 割 线 定 理（共 2 小题）14.（2021秋襄都区校级期末）如图，点 P 是。直径A 8的延长线上一点，PC 切O O 于点C,已知08=3,P B=2.则 PC 等 于（）A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根据题意可得出再由。8=3,P B=2,则 幺=8,代入可求出P

21、C.【解答】解：PC、PB分别为。的切线和割线，PC2=PB PA,：0B=3,PB=2,.巩=8,.。2=尸 炉 用=2乂8=16,；.尸。=4.故选：C.【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式PC2=PB心.15.（2020秋崇川区月考）如图，尸是圆。外的一点，点&Z）在圆上，PB、P。分别交圆。于点A、C,如果 AP=4,A B=2,P C=CD,那么 P D=4、配.oR【分析】根据 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等”得到：MPB=PC*PD,即 孙 尸 8=5 鹤2【解答】解：如图，尸=4,48=2,PC=CD,：.PB=AP+AB

22、=6,PC=PD.yL：PA-PBPC-PD,.,.4X6=PZ2,则 PD=4回故答案是：473.【点评】本题考查了切割线定理.（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.A.三角形的内切圆与内心（共 4 小题）16.（2021秋大余县期末）如图，。是ABC的内切圆，若NA=70,则N B O C=（）【分析】利用三角形内心性质得到/O 8C=ZABC,NOCB=义/ACB,则根据三角形内角和得到/08C+Z O C B=i(180-Z A),然后利用三角

23、形内角和得到N8OC=90 再把N A=7 0 代入计算即可.【解答】解：；。是A 8C的内切圆，；.。8 平分NABC,0 c 平分NAC8,NOBC=ZABC,NOCB=ZACH,.ZO BC+ZOCB=(/A B C+乙4c8)=|(180-Z A),/.ZBOC=180-(ZOBC+ZOCB)=180-k 1800-N A)=90+上4=180+：x70=125.故选：A.【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质.17.(2021秋信都区期末)已知4BC中，/A C 8=90,CD、

24、CE分别是ABC中线和高线，则()A.。点是A 8C的内心 B.。点是ABC的外心C.E点是aA B C的内心 D.E点是A8C的外心【分析】根据直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点即可解决问题.【解答】解：在A8C中，ZACB=90,；CO是ABC中线，.D点是AABC的外心.故选：B.【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点.18.(2021秋凉山州期末)如图，AB是。O的直径，点M是ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F 交。于点E,连接0E与 4c相交于点D（1）求证：OD=?C；【分析】（1）由三角形内心

25、的性质得出NABE=/C8E,由圆周角定理得 出 在=屈，证 出 C D=D 4,由三角形中位线定理可得出结论；（2）连接AM,证出/EMA=/EAM.由等腰三角形的判定可得出结论.【解答】（I）证明：.点仞是 A B C 的内心，ZABE=ZCBE,-CE=AE；.CD=DA,又：。?，：.OD=BC；例 是 4 8 C 的内心，/R 4 M=ZCAM,NABE=NCBE,:NEMA=NABE+NBAM,ZEAM=ZCAE+ZCAM,ZCBE=ZCAE,：.Z E M A Z E A M.:.E M=E A.【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，垂径定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，

26、熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键.19.(2022春定远县校级月考)已知：如图，。0 是 RtABC的内切圆，ZC=90.若 AC=12cm,B C9 c m,求。0 的半径，；若 AC=6,B C=a,A B c,求。O 的半径 r.【分析】首先设AC、A B.8 c 与。的切点分别为 、E、F；易证得四边形。尸 C O 是正方形；那么根据切线长定理可得：C D=C F=(A C+B C-AB),由此可求出/的长.【解答】解：如图；在 Rt/XABC,ZC=90,A C=l2cm,B C=9 c m；根据勾股定理A B=yjA C2+B C2=15cm；四边形 OFCD 中，O D=O

27、F,N O O C=/O FC=N C=90；则四边形OFC。是正方形；由切线长定理，得：A D=A E,C D=C F,B E=B F；则 C D=C F=|C A C+B C -A B)；即：(12+9-15)=3.当 AC=6,B C=a,A B=c,由以上可得：C D=C F=i (A C+B C -A B)；即：r=2(a+b-c).则。的半径/为：-Ca+b-c）.2【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法.利用切线长定理得出四边形OFCC是正方形是解题关键.修【过关检测】选 择 题（共 5 小题）1.（2022春岳麓区月考）已知。0 的直径A 8与弦AC的夹角为25

28、,过点C 作。的切线交A 8的延长线于点。，则N O 等 于（）A.25 B.30 C.35 D.40【分析】连 接。C,根据切线性质求出NOCO=90,根据等腰三角形性质求出/O C A=N A=25,根据三角形外角性质求出NC。，在OCC中，根据三角形的内角和定理求出即可.【解答】解：连 接。C,：OA=OC,NCA8=25,：.ZCAB=ZOCA=25,4coD=/C4B+NOCA=50,：CD 切。于 C,NOCO=90,A ZADC=180-90-50=40,故选：D.【点评】本题考查了等腰三角形性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、切线的性质等知识点,主要考查学生综合运用性质

29、进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.2.(2 0 2 1 秋大余县期末)如图，。是 A B C 的内切圆，若/A=7 0 ,贝 i J/B O C=()【分析】利用三角形内心性质得到N 0 8 C=NOC B=去N A C B,则根据三角形内角和得到N 0 8 C+NOC8=；(1 8 0 -Z A),然后利用三角形内角和得到N 8 O C=9 0 +ZA,再把N A=7 0 代入计算即可.【解答】解：；O。是 A B C 的内切圆，.08 平分/4 8 C,O C 平分 N A C 8,：.Z O B C=Z A B C,NOC B=：N ACB,：.Z O B

30、C+Z O C B=i (N A 8 C+N 4 C B)=1 (18 0-NA),8 0 c=18 0-(Z O B C+Z O C B)=18 0 -18 0 -NA)=9 0+；/A=18 0+1x7 0=125 .故选：A.【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质.3.(2021秋建邺区期末)如图，若OO的半径为6,圆 心 O到一条直线的距离为3,则这条直线可能是()A./i B.f a C.b D.IA【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论.【解答】解：的半径是6,圆心。到直

31、线/的距离是3,6 3,.直线/与。相交.故选：B.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设O。的半径为r,圆心。到直线/的距离为d,当 d r.5.（2021秋兰山区期末）等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A.3：2：1 B.1：2：3 C.2：3：1 D.3：1：2【分析】如图，。为Z X A B C 的内切圆，设。的半径为r,作于”，利用等边三角形的性质得 A 平分NH4C,则可判断点。在 A”上，所以0 H=r,连接0 B,再证明。4 =O 8=2 r,则A，=3r,所以 0”：O A：A”=l：2：3.【解答】解：如图，OO为a A B C的内切圆，设。的半径为r

32、,作于H,:A B C为等边三角形，.A”平分 N B A C,即 N 5 4，=30,.,.点。在A H上，：.OH=r,连接08,；。为 A 8 C的内切圆，.N A 8 0=N C 8 0=30,：.0A=0B,在 R t A O B H 中，OB=2OH=2r,.H=2r+r=3r,：.0H：O A：A H=：2：3.即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.故选：B.【点评】本题考查/三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质.二.填 空 题（共 6 小题）6.（2021秋海淀区校级期

33、末）在平面直角坐标系中，。0的圆心在坐标原点，半径为2,点A的坐标为（0,4）,直线A B为。的切线，B为切点，则B点的坐标为（-四1）或（、月，1）.【分析】设。交y轴于点C,连接。8、BC,可证明 08 C为等边三角形，过8作轴于点。，利用直角三角形的性质可求得8 0、0 D,可求得8点坐标.【解答】解：设。0交y轴于点C，连接08、BC,过8作B O L x轴于点。，；半径为 2,A（0,4）,，0C=2,，C为 0 4中点，.A 8 切。0 于点8,：.0BAB,：.BC=0C=2,.8 0C 为等边三角形,./8 O C=6 0,A Z 800=30,在 R l Z B O D 中，

34、B D=O B=1,OB=*OB=翼,.两切点B的坐标为（一百，1）或（0，1）,故答案为：（一 8，1）或（百，1）.【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键.7.（2022春浦东新区校级期中）已知正三角形的内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则 r：R=1：2.【分析】作出辅助线0。、0 E,证明 A 0。为直角三角形且/。4 为 30 ,即可求出0。、0 A的比.【解答】解：如图，连接0。、0 E：因为4 8、AC切圆。与 E、D,所以。E J _ A 8,0DAC,在 R t A A E O 和 R t A A D O 中，(AO=4。IFO=DO：./A

35、 E O/A D O(H L),故/D 4 O=/E 4 O；又ABC为等边三角形,N8AC=60,./O 4C=60。x=30,：.OD：A O=：2.等边三角形的内切圆半径与外接圆半径的比是1：2.故答案为：1：2.【点评】此题主要考查了等边三角形内心与外心的知识，找到直角三角形，将三角形内切圆和三角形外接圆联系起来是解题的关键.8.（2022越秀区校级一模）如图，AB是 的 直 径，BC是。的切线，AC与。交于点。，若 BC=3,A【分析】利用切割线定理、切线的性质、勾股定理即可得出.【解答】解：是。的切线，C.B C C D-C A,即 32=CZ（.C D+D A）,即 32=CZ(

36、CO+岑)，(C D 0),9-5C=5,是O O的切线，：.ABBC,由勾股定理可得：AB=y/AC2-B C2=452-3 2 =4,故答案为:4.【点评】本题考查了切割线定理、切线的性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握切割线定理、切线的性质、勾股定理.9.（2022朝阳区校级一模）如图，已知NAOB=30,M为OB边上任意一点，以仞为圆心，2c机为半径作O M,当4 c m时，与0 A相切.【分析】作MHL OA于点H,如图，根据切线的判定方法得到当M H=2 c m时，Q M与OA相切，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到。例=4的，【解答】解：作于点”，如图，当M H=2 m时，

37、与OA相切，因 为/。=30,所以此时O M=2 M H=4 c m,即0 M=4 an时，0 M与OA相切.【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.10.（2022越秀区校级模拟）如图，P A,P 8分别切O O于点A,B,NP=70,则NA8O=35【分析】由切线的性质得到。4J_%,P A P B,由等腰三角形的性质求得/A 8 P,即可求出/ABO.【解答】解：:R I,P 3 分别切O O 于点A,B,Z.OA im,%=P B,，NPB O=90 ,VZP=70,，N A B P=N B A P=180；乙 尸1800-70 A Z A B O

38、=Z P B O -Z A B P=9 0-55=35,故答案为：35.【点评】本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.11.（2022玉环市一模）如图，己知。O 内切于RtzABC,ZC=90,8 c 边上切点为点。.作。0 的直径 DE,连结AE并延长AE交 BC于点尸，若/4FC=45,FD=2,则AB的长为 5.【分析】记。与边AB、A C的切点为H、G,连 接。、O G,易得出C D、C G、AC、AG长，由切线长定理可得AH=AG,BD=BH,设 B F=x,根据勾股定理列方程即可求出x,进而得到AB长.【解答】解：记。与边4 8、A

39、C的切点为H、G,连接OH、OG,：.Z A C B=Z O GC=ZOD C=90 ,B H=B D,A H=A G,四边形ODCG是矩形，在 RtZsEO尸中，/A FC=45,则；.O D=O G=1,矩形OOCG是正方形，C D=C G=,ACF=2+1=3,在 RtZACF 中，ZAFC=45 ,A C=C F=3f：.AG=3-l=2=AH,设 8尸=x,则 8O=8=2+x,A8=2+x+2=4+x,8C=3+x,在 Rt/XABC 中，32+（3+x）2=（4+x）2,*x=11：.AB=5.故答案为：5.【点评】本题主要考查了切线的性质和切线长定理以及勾股定理等，解题关键是熟

40、练使用切线长定理.三.解 答 题（共 10小题）12.（2022富平县一模）如图，已知直线 出 交。0 于 4、B两点,AE是。的直径，点 C 为。上一点,且 AC平分（1）过 点 C 作。的切线交BP于点O,求证：CDYP A-,【分析】（I）连 接。C,证明OC与 AP平行即可.（2）过点。作。/_LAB交 BP于点尸，易证四边形。COF为矩形，进而可求出8。的长.【解答】（1）证明：如图，连接OC,0BA D P：.OAOC,./0C 4=N 0A C,平分 NE4E,：.ZDAC=ZCAO,：.ZDAC=ZOCA,：.PA/OC,；0 C 为。的半径，CD为。的切线，：.OCLCD,：

41、.CDLPA.(2)如图，过 点。作 0尸，4 8 交 8尸于点R：.AFBF=B,ZOFD=90,由(1)可知NOCD=NCD4=90,.四边形。COF为矩形，：.DF=OC=OA,DF=CD,：.BD=DF+BF=OA+AB=5+1 x 6=8.【点评】本题考查切线的性质与圆的性质，熟练掌握垂径定理的应用及切线的性质是解题关键.13.(2020秋佳木斯期末)已知AB是。0 的直径，点 C 在 AB的延长线上，AB=4,BC=2,P 是。上半部分的一个动点，连接。P,CP.(1)如图，OPC的最大面积是 4；(2)如图，延 长 PO交。于点。，连接。B,当 CP=OB时，求证：CP是O O

42、的切线.图 图【分析】（1）在OPC中，底 边 0 C 长度固定，因此只要0 C 边上高最大，则OPC的面积最大；观察图形，当 OPLOC时满足要求；（2）连接AP,BP通过AP3也CP。可求得P_LPC,从而求得PC是。的切线.【解答】解：4）=4,二08=2,OC=O8+BC=4.在0PC中，设 0C 边上的高为/?,：SOPC=pCh=2h,当/?最大时，SAOPC取得最大值.观察图形，当 OPLOC时，人最大，如答图1所示:此时/?=半径=2,5AO/C=2X 2=4.OPC的最大面积为4,故答案为：4.（2）证明：如答图，连接AP,BP.D图，NA=N=N A P D=ZA B D,

43、.例=厢，/IP=B D：.A PB D,;C P=D B,：.A P=C P,：.ZA=ZC,在APB与CPO中，A P=C P=ZC-A B =C O:.A PB W/C PO(SAS),:.N A P B=N O P C,是直径，r./A PB=90,；.NOPC=90 ,：.D P1PC,DP经过圆心，.PC是。的切线.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.14.(2022泗阳县一模)如图，4 8是。的直径，射线BC交。于点 ,E是劣弧AO上一点，且 在=庞,过点E作E F 1 B C于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.(

44、1)证明：GF是。的切线；(2)若 AG=6,G E=6y/2,求AGOE 的面积.E.D【分析】（1）连接O E,由 您=庞 知N l =/2,由/2=/3可证O E B F,根据G F得O E L G F,得证；（2）设O A=O E=r,在R t G O E中由勾股定理求得r=3,即。E=3,再根据三角形的面积公式得解.【解答】解：（1）如图，连接OE,您=庞，*-N1 =N 2,V Z 2=Z 3,Z 1 =Z 3,:.OE/BF,:BFGF,：.OE.LGF,；.G F是OO的切线;(2)设 O A=O E=r,在 R l Z G O E 中，；A G=6,G E=66,.由 OG2

45、=GE2+OF可 得(6+r)2=(6迎)2+凡解得：r=3,即 0 E=3,则 SAGOE=g，OEGE=g x 3 x 6 在=9 迎.【点评】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直.1 5.(2 0 2 2 兰溪市模拟)如图，为。的直径，延 长 至 点 O,C。切。0于点C,点 3是。1 的中点,弦CF交AB于点、E,连结OR B C,过 B点作B G _ L C D 于点G.(1)若乙B C D=2 8 ,求/尸的度数；(2)若CF=4OE,。的半径为巡，求 8G的长.【分析】(1)连接OC,根据切线的性

46、质得到OCLCO,进而求出NOC8,根据直角三角形的两锐角互余计算即可；(2)根据勾股定理分别求出OE、E C,根据相似三角形的性质求出O D,证明OBGS Q O C,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：(1)连接O C,切。O 丁点 C,OC1CD,VZ B C D=2 8 ,.,.Z O C B=9 0 -2 8 =6 2 ,：OB=OC,：.ZOBC=ZOCB=62Q,.N B O C=1 8 0 -6 2 X 2=5 6 ,:点 8是次的中点，-BC=BF-：.ZBOFZBOC=56,OBLCF,：.ZF=90-56=34；(2)J0B1.CF,；.CE=EF=CF

47、,；CF=40E,：.EC=20E,设。E=m,则 EC=2，由勾股定理得：0C=0E2+EC2=回,0C=V5.*/H 1 9：ZOEC=ZOCD=90,/EOC=/COD,竺 竺 即i VsOC OD y/s OD解得：.BD=5-y5,:BGLCD,0C1CD,：.BG/OC,:.DBGSDOC,【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.16.（2022和平区二模）如图，AB为。O 的直径，ZVlC。是0 0 的内接三角形，尸 8 切于点B.（I）如图，延长月。交 PB于点P,若NC=40,求/P 和NBAP的度数；（I

48、I）如图，连接AP交。于点E,若N D=N P,CE=AC求/P 和N B 4P的度数.图 图【分析】（I）连接BZ）,根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论;（II）连接8 C,根据圆周角定理和切线的性质即可得到结论.【解答】解：（I）连接8。，V ZC=40,:.NABD=NC=40,为。0 的直径，/.ZADB=90a,./8A P=90-ZABD=90-40=50,切。于点B,：.ZABP=90Q,ZP=90-ZBAP=90-50=40；（II）连接 BC,则 NA8C=NQ,：4 D=4 P,.AB为。的直径，PB切。于点B,.NAC5=NABP=90,：.ZC A B ZB A P

49、,-，CE=AC=60,ABC=30,*：ZBAC=9(),：.AB=|/?C=15,：.AD=妙=5何过A作A _L80于H,A ZAHB=ZAHO=90,；NBAH=60,：.BH=AB=y,5A OH=OB-BH=5 0=JAH2+OH2=5 0,:OD/AB,：.AEBS/OED,.AB AE -,OD OE.1 5 5y/7-OE1 0 -OE【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键.1 9.(2 0 2 2春鼓楼区校级期中)如图，A B C内接于。0,过 点C作B C的垂线交。于。，点E在8 c的延长线上，且N O E C=N

50、 B A C.(1)求证：Q E是。的切线；(2)AC/D E,当 A 8=6,C E=2 时，求。0 直径的长.【分析】(1)先判断出BD是圆。的宜径，再判断出BD LD E,即可得出结论；(2)先判断出A C _L B O,进而求出B C=A B=6,进而判断出 B D C s/X B E D,求出8 3,即可得出结论.【解答】(1)证明：连接B D,交4 c于F,VDCBE,:/BCD=NDCE=90。,8。是。的直径，AZDEC+ZCDE=90,:/DEC=NBAC,ZA=ZBDC,：.ZBDC+ZCDE=90,即 NB)E=90，：.BD1,DE,QE是。O 切线；(2)解：VAC/