突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题41 导数中不等式的证明问题(含详解).pdf

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1、专题4 1导数中不等式的证明问题【高考真题】1.(2022北京)已知函数/(x)=e*ln(l+x).(1)求曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程；(2)设 g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意的 s,t e(0,+o o),有s+f)f(,s)+f(t).1.解析 因为/(x)=en(l+x),所以/(。)=0,即切点坐标为(0,0),又r(x)=e*(ln(l+x)+J-),；.切线斜率A=/(0)=1,.切线方程为：丫=.+x因为 g(x)=f(x)=ev(ln(l+x)+J),所以 gM =e(ln(l+x)+-1),令 h(x)=ln

2、(l+x)+-7,则 hx)=-.+r-=-+Y 0,1 +x(1+x)2 1 +x(1+x)2(l+x)3(1+x)3.,.力(x)在 0,+8)上单调递增，/./I(x)/i(0)=l 0,g(x)0在 0,+8)上恒成立，.g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)原不等式等价于/(s+f)-/(s)/(/)-/(0),令 m(x)=f(x+0-f(x),(x,r 0),即证 m(x)w(0),*.*mx)=于(x+0-/(x)=ex+t ln(l 4-x+r)-ev ln(l+x),exmx)=ex+/ln(l+x+/)+-ex ln(l+x)-=g(x+，)-g(x)，1+x+Z 1+

3、x由知 g(x)=/(x)=e*(ln(l+x)+一)在 0,+g(x),1 +x.；0)0:2(X)在(0,+8)上单调递增，又因为X,，0,/.皿幻 皿 0),所以命题得证.2.(2022浙江)设函数 x)=+lnx(x0).2x(1)求/(X)的单调区间：(2)己知曲线y=/(x)上不同的三点(和巧)，(巧，/8)，(巧，/(.)处的切线都经过点3).证明:(i)#e,则(ii)若0ae,X 巧 占，则,+5 9 ,+-2-.(注：e=2.71828是自然对数的底数)e 6e-尤 尤 3 a 6e-2.解 析 尸(冷=_ 嗅+二 生”，2x x 2 x当 0 喈,r(x)0:当 x,/(

4、x)o,故/(X)的减区间为(o,!),/(X)的增区间为6，+0 0).(2)(i)因为过()有三条不同的切线，设切点为(如七)，i =L 2,3,故/(七)-匕=/()(七一”)，故方程/(x)-b=/(x)(x-a)有 3个不同的根,-e)(x-),当 0 c x a 时，g (x)0,故g(x)在(O,e),(a,+8)上为减函数，在(e,a)上为增函数,因为g(x)有 3个不同的零点,故g(e)0,故+b 0 ,整理得到：b y-+i n =/(),此 b-f(a-f 1|+l-f +l n a|-+=-I n a,v 2(e )2 e (2 a J 2 e 2 2 2 a设(a)=

5、|-：-l n a,则/(a)=W。，2 2 a 2 故(a)为(e,+8)上的减函数，故(a)_|q T n e =0 ,故(i i )当0 a 0 且2 eea-a-l n a+b 0 ,)2a整理得到：+b +na,2 e 2 e因为为 为 2 =司设A 4=殳，3=一,则 “，4,J 为一（阳 +1）/+?/2+lnz+b=0 有三个不同的根,X22a i 1,m=,ah2司要证:-+e 6e-再 巧e2 e a _ e a 2e e a-，即证 2+-+%-a 6e-6e a 6e m即证:13-771 2，即证:3-m一-“+，30,即证:7-/n+12F 0 I 72记 =(+1

6、即 上 k l,贝独21nH 0,设=%一：一 21nzi?22则 )=1+记-%-厂。即”的 0,故。的 在（1，+8）上为增函数，故0 *（机）,(k+l)lnk(w-13)(m2-m +12)(人 +1)1nzM(m-13)(w2-m+12)k-l-+72 -+T2-(m-l)(fn-3(/n2-in+1215 a)(nt)=ln/n+-卜)72(w+l),0 /n 1 ,则 （利）=(加 一 1)2 卜 加3 _20m 2 _ 49m+72)(6 1)2(3/n3+3)72加(相+1)72相(机+1/所以3（m）在（0,1）为增函数,故G（m）3=0,故Inm+(m l)(m 13)m

7、2 m+272(m+1)0时,求。的取值范围；I1 1,、设“wN*,证明：p,-+-r =+-+-r =l n(M+l).3.解 析(1)当 a=l 时，/(x)=(x-l)ev,则(x)=xe 1当x o时,r(x)o时，r(x)o,故/(X)的减区间为(-0 0,0),增区间为(0,+0 0).(2)设(力=疣5-/+1,则力(0)=0,又/(x)=(l +ar)e 5 _ e，设 g(x)=(l +ar)ettv-e,v,则,(x)=(2 a+a2xj ea v-ev,若*,贝4(0)=2 a-l 0,因为g (x)为连续不间断函数，故存 在%0,+8),使得V x O,X o),总有

8、g (x)0,故 g(x)在(0,X。)为增函数，故 g(x)g(o)=。，故A(x)在(0,与)为增函数，故(力 刈0)=-1,与题设矛盾.若 0 0,总有l n(l +x)x成立，证明：设 S(x)=l n(l+x)x,故 S (x)=-1 =-0 ,1 +x 1 +x故S(x)在(0,+8)上为减函数，故S(x)S(0)=0即l n(l +x)x成立.由上述不等式有 eu+l n(l+a t)-e-y+依-eA=e2a j-eA 0.故(x)W 0总成立，即力在(，+8)上为减函数,所以(x)/z(O)=-l.当 a 4 0 时，有(x)=e -e、+a r e 1-1+。=0,所以M

9、x)在(0,+8)上为减函数，所以刈力 0，总有 x e$_ e*+1,产=/，x=21n f,I-C故a in tv 产一1即2ntt一 对 任 意 的 恒 成 立.所以对任意的 e N*,有2 In J十1 J1-J J,整理得到：ln(+l)-ln In 2-In 1 +In 3-In 2 H +ln(n+l)-lnn=ln(”+l),故不等式成立.【方法总结】构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式r)g(x)(/(x)0(A x)-g(x)0),进而构造

10、辅助函数h(x)=J(x)-g(x);(2)适当放缩构造法：X一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如 In x r+1,In xx0),R p ln(x+1)力(x 1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构 构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数/U)和 g(x),利用其最值求解.【题型突破】1.已知函数y(x)=axodnx1(G R,存0).(1)讨论函数火x)的单调性；(2

11、)当 x l 时，求证：1.x 1 ex 12.已知函数 r)=lg(x)=xInx.(1)证明：g(x)Nl;(2)证明：3.(2021全国乙)设函数危)=ln(一 幻，已知冗=0 是函数)，=求幻的极值点.求 a；x f(x)1(2)设函数g(x)=-m 彳，证明：g(x)L 4.已知#)=(%1把戈+产？.(1)当 a=e 时,求 的 极 值；(2)对V x l,求证：J(x)ax1+x+1 +ln(x1).5.已知函数 0,不 等 式 恒 成 立.6 .设函数人x)=x+a r f n x(a GR).(1)讨论函数,/(x)的单调性；(2)若函数兀r)的极大值点为x=l,证明：大刈-

12、，+/.7.已知y(x)=x l n x,g(x)x2+ax3.(1)若对一切x 6(0,+o o),动(x)%(x)恒成立，求实数a的取值范围.1 2(2)证明：对一切x W(0,+8),I n x /一嬴恒成立.8.已知函数 r)=l n x+?g(x)=e-+A x,a,bR,e为自然对数的底数.(1)若函数y=g(x)在 R上存在零点，求实数人的取值范围；(2)若函数y=x)在 x=：处的切线方程为e x+y 2+6=0.求证：对任意的x C(0,+8),总有/(x)g(x).9 .已知y(x)=x l r t v.(1)求函数负X)在 f,f+2(r 0)上的最小值：1 2(2)证明

13、：对一切x 6(0,+o o),都有l a x/一 彘成立.10.(2018全国 I 改编)已知函数/(x)=a e*I n x 1.(1)设 x=2 是五x)的极值点，求 a的值并求大x)的单调区间；(2)求证：当 a=F 时，/巨 0.11.己知函数1 x)=x-l a l n x.若於巨0，求 a的值;(2)设机为整数，且对于任意正整数，+/)(1+/)?，求机的最小值.12.己知函数_/(x)=l n(l+x).X(1)求证：当x (0,+8)时，不存勺式；(2)己知e 为自然对数的底数，求证：V W N*,#l 时，在(1)的条件下，x1+a x-ax l n x+h AL.14.(

14、20 17 全国H I)已知函数,x)=l n x+加+(24+l)x.(1)讨论7 U)的单调性；3(2)当。心0,求证：I n,一 l n 2。一 鹿）mn|x16.已知函数人工)=1+111尤在(1,+s)上是增函数，且 0.(1)求。的取值范围；(2)若比0,试证明/与坨然纥*17 .设函数yU)=;dn(a r)3 0).(1)设产(比)=11)/+/(工)，讨论函数F(R)的单调性；(2)过两点A 3，/(X i),8 a 2,/3)(元 14 2)的直线的斜率为左，求证：；左 ；.18 .已 知 函 数 =l nx+x2-a r(a e R).(1)求函数/(x)的单调区间；设函

15、数/(x)存在两个极值点，x,x2,且王 工 2，若 0 玉；,求 证：/(x1)-/(x2)-l n2.19 .已知函数/(x)=-g x2+ax-nxa G R).(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若函数/(%)有两个极值点再,x2(x,x2),求证：4/(x1)-2/(x2)l +3 1n2.20 .已知函数“r)=(l nx4 一1)%(ZR).(1)若曲线y=/U)在(1,以1)处的切线与直线x2 y=0 平行，求女的值；2 2(2)若对于任意冗1，忿右。3,且乃42,都 有 段|)+合 5 2)+白亘成立，求实数的取值范围.42 X1专题4 1导数中不等式的证明问题【高考真题】

16、1.(2022北京)已知函数/(x)=e*ln(l+x).(1)求曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程；(2)设 g(x)=/(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意的 s,t e(0,+o o),有s+f)f(,s)+f(t).1.解析 因为/(x)=en(l+x),所以/(。)=0,即切点坐标为(0,0),又r(x)=e*(ln(l+x)+J-),；.切线斜率A=/(0)=1,.切线方程为：丫=.+x因为 g(x)=f(x)=ev(ln(l+x)+J),所以 gM =e(ln(l+x)+-1),令 h(x)=ln(l+x)+-7,则 hx)=-.+r-=-

17、+Y 0,1 +x(1+x)2 1 +x(1+x)2(l+x)3(1+x)3.,.力(x)在 0,+8)上单调递增，/./I(x)/i(0)=l 0,g(x)0在 0,+8)上恒成立，.g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)原不等式等价于/(s+f)-/(s)/(/)-/(0),令 m(x)=f(x+0-f(x),(x,r 0),即证 m(x)w(0),*.*mx)=于(x+0-/(x)=ex+t ln(l 4-x+r)-ev ln(l+x),exmx)=ex+/ln(l+x+/)+-ex ln(l+x)-=g(x+，)-g(x)，1+x+Z 1+x由知 g(x)=/(x)=e*(ln(l+

18、x)+一)在 0,+g(x),1 +x.；0)0:2(X)在(0,+8)上单调递增，又因为X,，0,/.皿幻 皿 0),所以命题得证.2.(2022浙江)设函数 x)=+lnx(x0).2x(1)求/(X)的单调区间：(2)己知曲线y=/(x)上不同的三点(和巧)，(巧，/8)，(巧，/(.)处的切线都经过点3).证明:(i)#e,则(ii)若0ae,X 巧 占，则,+5 9 ,+-2-.(注：e=2.71828是自然对数的底数)e 6e 尤 尤 3 a 6e-2.解 析 尸(冷=_ 嗅+二 生”，2x x 2x当 0 喈,r(x)0:当 x,/(x)o,故/(X)的减区间为(o,!),/(X

19、)的增区间为6，+0 0).(2)(i)因为过()有三条不同的切线，设切点为(如七)，i =L 2,3,故/(七)-匕=/()(七一”)，故方程/(x)-b =/(x)(x-a)有 3个不同的根,-e)(x-),当 0 c x a 时，g (x)0,故g(x)在(O,e),(a,+8)上为减函数，在(e,a)上为增函数,因为g(x)有 3个不同的零点,故g(e)0,故+b 0 ,整理得到：b y-+i n =/(),此 b-f(a-f 1|+l-f +l na|-+=-I na ,v 2(e)2e(2a J 2e 2 2 2a设(a)=|-：-l n a,则/(a)=W 。，2 2a 2故(a

20、)为(e,+8)上的减函数，故(a)_|q T n e =0 ,故(i i )当0 a 0 且2eea-a-l na +b 0 ,)2a整理得到：+b +na,2e 2e因为为 为 2=司设A4=殳，3=一,则 “，4,J 为一（阳 +1）/+?/2+lnz+b=0 有三个不同的根,X22a i 1,m=,ah2司要证:-+e 6e-再 巧e2 e a _ e a 2e e a-，即证 2+-+%-a 6e-6e a 6e m即证:13-771 2，即证:3-m一-“+，30,即证:7-/n+12F 0 I 72记 =(+1即 上 k l,贝独21nH0,设=%一：一 21nzi?22则 )=

21、1+记-%-厂。即”的 0,故。的 在（1，+8）上为增函数，故0 *（机）,(k+l)lnk(w-13)(m2-m +12)(人 +1)1nzM(m-13)(w2-m+12)k-l-+72 -+T2-(m-l)(fn-3(/n2-in+1215 a)(nt)=ln/n+-卜)72(w+l),0 /n 1 ,则（利）=(加 一 1)2 卜 加3 _20m2 _ 49m+72)(6 1)2(3/n3+3)72加(相+1)72相(机+1/所以3（m）在（0,1）为增函数,故G（m）3=0,故Inm+(m l)(m 13)m2 m+272(m+1)0时,求。的取值范围；I1 1,、设“wN*,证明：

22、p,-+-r=+-+-r=ln(M +l).3.解 析(1)当 a =l 时，/(x)=(x-l)ev,则(x)=x e1当xo时,r(x)o时，r(x)o,故/(X)的减区间为(-0 0,0),增区间为(0,+0 0).(2)设(力=疣5-/+1,则力(0)=0,又/(x)=(l+a r)e5_ e，设 g(x)=(l+a r)et t v-e,v,则,(x)=(2 a +a2x jea v-ev,若*,贝4(0)=2 a-l0,因为g(x)为连续不间断函数，故存 在%0,+8),使得V x O,X o),总有g(x)0,故 g(x)在(0,X。)为增函数，故 g(x)g(o)=。，故A(x

23、)在(0,与)为增函数，故(力刈0)=-1,与题设矛盾.若 0 0,总有ln(l+x)x成立，证明：设 S(x)=ln(l+x)x ,故 S(x)=-1 =-0 ,1 +x 1 +x故S(x)在(0,+8)上为减函数，故S(x)S(0)=0即ln(l+x)x成立.由上述不等式有 e u+ln(l+a t)-e-y+依-eA=e2 a j-eA 0.故(x)W 0总成立，即力在(，+8)上为减函数,所以(x)/z(O)=-l.当 a 4 0 时，有(x)=e-e、+a re 1-1 +。=0,所以M x)在(0,+8)上为减函数，所以刈力 0，总有 x e$_ e*+1,产=/，x=2 1 n

24、f,I-C故a in tv产一1即2 n t t一 对 任 意 的 恒 成 立.所以对任意的 e N*,有2 In J十1 J1-J J,整理得到：ln(+l)-ln In 2-In 1 +In 3-In 2 H +ln(n+l)-ln n=ln(”+l),故不等式成立.【方法总结】构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式r)g(x)(/(x)0(A x)-g(x)0),进而构造辅助函数h(x)=J(x)-g(x);(2)适当放缩构造法：X一是根据已知条件适当放缩

25、，二是利用常见的放缩结论，如In x r+1,In xx0),R p ln(x+1)力(x 1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数/U)和g(x),利用其最值求解.【题型突破】1.已知函数y(x)=axodnx1(G R,存0).(1)讨论函数火x)的单调性；(2)当 x l 时，求证：1.x 1 eI.解析(iy(.r)=rza(ln x+I)=tzl

26、n x,若 a 0,则当 xG(0,1)时，*x)0,当 xW(l,+8)时，/(x)0,所以7U)在(o,D上单调递增，在(i,+9)上单调递减；若 0,所以凡在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增.1 1 Y X-1要证7 讶一1,即证一彳/，即 证 丁1时，xxlnx1X 1 0,即:一 l时，lnx ,则尸(x)=e，一：单调递增，所以尸(x)fl)=e -10,所以F(x)在(1,+oo)上单调递增，所以尸(x)F(l),而尸(l)=e,所以e、-lnx e0,X 1所以e ln x,所以eAl n丫，所以原不等式得证.x-12.已知函数 人 龙)=1 一二-,g(x)=

27、i ln x.(1)证明：g(x)l;(2)证明：(尤 一ln x 次x)l一/.x 12.解 析 由 题意得g，(x)=%-(x 0).当O r l时，g (x)l时，g，(x)0,即g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数.所以 g(x)*(l)=Lx 1 x-2(2)由./(x)=l h，得/(x)=丁，所以当 0 r 2 时，/。)2 时，/乂)，即式力在(0,2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数,所以_ A x)3(2)=l氐当且仅当x=2时，等号成立).又由(1)知x ln x 2 1(当且仅当x=l 时，等号成立)，且等号不能同时取到，所以(x-In x 成外

28、 1-3.(2 0 2 1 全国乙)设函数式x)=ln(a x),已知x=0 是函数y=x)的极值点.求。；(2)设函数g(x)=京，证明：g(x)L3 .解 析(1)由题意得 y=#(x)=x ln(a x),则 y，=ln(a x)+x ln(a-x)l因为x=0是函数y=(x)的极值点，所以y%=o=ln。=0,所以“=1.(2)由(1)可知，火 x)=ln(lx),其定义域为 小 1 ,当 0 x l 时，ln(l-x)0,此时状x)0,当 x 0,此时欢x)0.易知g(x)的定义域为 x|x xjx),即证 x+ln(I X)x ln(l x)0.令 l r=f,则 f 0 且作1,

29、则只需证 lf+ln/(lf)ln/0,即证 1 f+fln 0.令/i(r)=1 r+r ln t,则(/)=-1+ln /+l=ln t,所以。在(0,1)上单调递减，在(1,+o o)上单调递增，所以力 力(1)=0,即 g(x)V 1 成立.4.已知fix)=(x 1 )e“+/加.(1)当 a=e 时,求/)的极值;(2)对V x l,求证：/U)与 加+工+1+ln(x 1).4.解 析(1)当 =e 时，/(x)=Me +e).当一(8,0)时，y(x)o,/U)为增函数，/(元)极 小 值=逃0)=-1,无极大值.(2)令 g(x)=f0,./?(x)为(1,+s)上的增函数，

30、/z(2)=e2 l0,x 1 =e-2,x=1 +e*2,/z(l+e 2)=el+e e20,存在唯一的均(1,2)使(xo)=O,即1。=一 匕，A。1 当工(1,即)时，ft(x)0,g(x)0,g(x)0,g(x)为增函数,g a)min=g(xo)=(xo-1 )e*ln(xo-1)-xo-1 =(xol)x,72 Ine A 1 =1 +3 Xo-1 =0,X。I.对Vxl,g(x)*(xo)=O,即/(x)4a+x+l+ln(x I).5.已知函数yC O u ln r+a a f+x+l.(1)当。=-2时,求段)的极值点;当a=0时，证明：对任意的x 0,不等式肥“决0恒成

31、立.5.解析 当。=2 时，/(x)=lnxf+x+1 .f(x)=-2 x+2x2+x+1 (2x+1)(x 1)xX因为/(x)的定义域为(0，+8),所以，X=.当尢(0,1)时，了。)0,#此为增函数；当工(1,+8)时，/a)v o,yu)为减函数.所以，yu)的极值点为x=i.(2)当。=0时，要证对任意的心 0,不等式xe、加)恒成立，即证x0时，x e?n x+x+l恒成立，即证Me 1)Inr1K)恒成立，1 (x+-1)令 g a)=Me*1)In r-1,g 0,./(x)为(0,+8)上的增函数，又 人(0)=1 o,存在唯一的出(0,1)使(&)=0,即-1 =0,.

32、当克(0,xo)时，/i(x)09 g 0,g(x)为增函数,U)min=Uo)=Ao(e -1)-In x0-1 =-In x0-x0-1,由 尤0已_ =0,得 lnj0=x().g(X)min=g(XO)=1 一 必1 +xo=O二 对Vx0,g(x)么(xo)=O,xe 2nx+x+l恒成立，即对任意的x 0,不 等 式 恒 成 立.6.设函数/(x)=R+a d nx(a R).(1)讨论函数#幻的单调性；(2)若函数7U)的极大值点为x=l,证明：人工)十二+/.6.解 析(1J/U)的定义域为(0,+oo),/(x)=l+dn x+af当=0时，氏r)=x,则函数人的在区间(0,

33、+oo)上单调递增；a+a+当 ”0 时，由 f(x)0 得 x e ,由 f(x)0 得 0 x e .所以式x)在区间(0,e )上单调递减，在区间(屋等，+8)上单调递增；a+l6 7+1当 a 0 得 0 xe a,由/(x)e ,所以函数兀v)在区间(0,e?)上单调递增，在区间(屋 个，+J 上单调递减.综上所述，当。=0 时，函数人x)在区间(0,+oo)上单调递增；当必)时，函数/)在区间(0,屋詈)上单调递减，在区间(e 胃，+双)上单调递增；当。0),则Ml F(x)=1-+,-e-xpx-e-x+,1 =(-x-+-l-)(龙x-e-)令 g(x)=xe 得函数 g(x)

34、在区间(0,+oo)上单调递增.而 g(D=l0,g(0)=10.e 故旧(笛在(0,刀 0)上单调递减，在(xo,+oo)上单调递增.F a)m in =F(%o)=lnxo 4-+xo 1.人 ()_e-x又 e =xo#*/r(x)min=ln 沏+-+xo 1 =xo+1 +xo 1 =0.F(x)F(xo)=O 成立，-M)即加)%*+f成立.7.已知y(x)=xln%,g(x)=-f+办3.(1)若对一切x(0,+oo),4 沟恒成立，求实数。的取值范围.1 2(2)证明：对一切工(0,+8),In x/一 添恒成立.7.解 析(1)由题意知 Zrln.rNf+ax 3 对一切 x

35、(0,+s)恒成立，贝 U a S 21nx+x+(,设%a)=21nx+x+：a 0),贝 I 力(幻=宜上 当x(0,1)时，代*0,人(外 单调递减；当又(1,+8)时,力 3 0,(x)单调递增.所以(x)min=(l)=4,对一切工(0,+oo),2火幻沟(幻恒成立，所以X(x)min=4,即实数4 的取值范围是(-8,4.(2)问题等价于证明 xln，0),又危)=xln x(x0),/(x)=ln x+1,当 x (0,时，/(x)0,/(X)单调递增，所以/W m in=/()=T.“x 2 ,1x设，w(x)=-(x 0),则 W(x)=-p i当.(0,1)时，fn(x)0

36、9加(x)单调递增，当工(1,+8)时，/W(x)V0,加(x)单调递减,1x 2所以?(X)m a x=?(l)=J从而对一切工(0,+oc),段)心)恒成立，即MnX京一 恒成立.i 2即对一切无C(0,+a),lnxG 嬴恒成立.A-0=xln(,vl8.已知函数於)=ln x+f,g(x)=ex+bx,a,b GR,e为自然对数的底数.(1)若函数y=g(x)在 R 上存在零点，求实数b的取值范围；(2)若函数y=y(x)在 处 的 切 线 方 程 为 e x+y2+6=0.求证：对任意的x6(0,+s),总有/(x)g(x).8.解析 易得9(*)=一广*+6=6一 喜.若%=0,则

37、 g(x)=pe(0,+o o),不合题意；若“0,则 g(0)=l0,g(一3=/一1 0,令 g(x)=-er+/?=0,得 x=-ln 4.g(x)在(一8,一In份上单调递减；在(一In/?,+8)上单调递增，则 g(x)min=g(In b)=n hbn b=bbn 后0,A/?e.综上所述，实数。的取值范围是(一8,0)Ue,+oo).(2)易得了(幻=：一手,则由题意，得了(=e e 2=e,解得。=孑.：.J(x)=n x+从而段)=1，即切点为Q，1).将切点坐标代入ex+y2+h=0中，解得b=0./.g(x)=e_ 2 2要证./U)g(x),即证 lnx+嬴,e *(0

38、,+O O),只需证 xln x+g xe，(1(0,+oo).令 (x)=xln x+,v(x)=xe v,x(0,+o o).则由 M(x)=ln x+1 =0,得，(%)在(。，上单调递减，在 色+，)上单调递增，(X)m in =O=1.又由(幻=一 粕-*=-(1-x)=0,得x=l,R(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+上单调递减，V(X)m a x=v(l)=.M(X)W(X)min V(X)max V(A),显然，上式的等号不能同时取到.故对任意的x(o,+s),总有yu)g a).u(x)=xln(x)十 一v(x)=-求函数式X)在f,9.已知/(x)=xlrLr.f+

39、2(0)上的最小值;1 2(2)证明：对一切工(0,+8),都有hu/一最成立.9.解 析(1)由/(x)=x l n x,x0,得/(x)=l n x+l,令/(x)=0,得 x=.当x w(o,J 时，/(%)o,_/u)单调递增.当 0 V f r+2,即 0 r ：时，Xx)m in=/(1)=-1;当 寸 (x E(O,+oo).由(1)可知/U)=x l n x a e(O,+8)的最小值是一展，当 且 仅 当 时 取 到.X 2 1 x设?()=6-1*丘(0,+oo),则 W(x)=-,由M(x)l时，m(x)为减函数,由 x)0 得 0 x -j两个等号不同时取到，M=x-l

40、n(xlm(x)=-1 7即证对一切%(0,+8)都有In x 6 一嬴成立.1 0.(2 0 1 8 全国I 改编)已知函数段)=e X-l n x-l.(1)设 =2是式x)的极值点，求a的值并求式x)的单调区间；(2)求证：当时，r巨0.1 0.解 析(1 加幻的定义域为(0,+oo),/(x)=a-evp由题设知，八2)=。/；=0,所以。=击,从而,/U)=!e -l a r-1,/(.r)=2 e -1(x 0).因为一;在(0,+8)上是增函数，且/(2)=0,所以当082时，/(x)2 时，/(外 0.所以火x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.当时，加)=一

41、l or1,所以只要证明，In x-1 K)即可.设 g(x)=e -e x(x 0),则 g (x)=ev-e(x 0),可知 g(x)在(0,1 上是减函数,在 1,+s)上是增函数，所以 g(x)会(1)=0,即 ev e x=x.又由 er e x(x 0)=x l +l ii(x 0),所以 Iru：1 力:一l ur1 K),所以 Tn x 1 2 0 得证，所 以 当 时，fix)0.1 1 .已知函数兀。=%1 anx.(1)若於)K),求a的值；(2)设小为整数，且对于任意正整数，(1+0(1+多(1+/)机，求 机的最小值.1 1 .解 析(l)-x)的定义域为(0,+8)

42、.若，E 0,因 为 娘=一；+H n 2 0,由/。)=1 一：=1 知，当 x G(0,a)时，/(x)V0,当 +oo)时，/(x)0,所以(x)在(0,a)上单调递减，在Q,+8)上单调递增，故x=a是火幻在 x(0,+8)上的唯-个最小值点.因为/U)=。，所以当且仅当a=l时，故 a=L(2)由(1)知当 x W(l,+s)时，X1 l n 0.令1=1+,得 从而l n(l +g)+l n(l +&+l n(l +)+旨+=I 一1,故(1 +3)0 +县(1 +&2,所以m的最小值为3.1 2 .己知函数_/(x)=l n(l+x).(1)求证：当无(0,+8)时，y /(x)

43、0),则 8 。)=不育一八十 I )?=(r+1 、(心 用)，Y所以g(x)在(0,+8)上是增函数，所以当x e(0,+8)时，g(x)g(0)=0,即Hx)才 Y成立.1Y令 h(x)=/U)x=l n(l +x)x(x 0),则 h(x)=.+1 一 1=一二 产0(工 0),所以(x)在(0,+oo)上是减函数，所以当x(0,+oo)时，/?(x)#y 对 x W(0,+oo)都成立,k_所以 ln(l+=伏=1,2,)，1+-vr2所以 ln (l+J(l+3.(l+3 =ln(l+5)+ln(l+3 +ln(l+)1 2/1 J?l+2+,.+1n2+1 /72+2 i+rrt

44、+n n2+n ir+n n+n T所以ln(l+演1 +为(l+制当所以0+)(1(1+)*,所以 水(1+。(1 +(1+)l时，在(1)的条件下，g x2+a rjd a r+g 成立.13.解析 f(x)=ln xx+a+lCr0).(1)原题即为存在x(0,+oo),使得Inxx+a+G O,所以 色一lnx+x1,1 x-1令 g(x)=lnx+x1,则(x)=f+l=-J.令/(幻=0,解得 X=l.因为当 0 Vx V I 时，g l时，g 0,所以g(x)为增函数，所以g(x)min=g(l)=o，所以 沟(1)=0.所以的取值范围为0,+8).(2)证明：原不等式可化为52

45、+如一xlnx-a 0(x 1,0).令 G(x)=%+a rxlnxa 则 G(1)=O.由(1)可知入 一 In x1 0,则 G(x)=x+a-ln%l:一 ln x-l 0,所以 G(x)在(1,+oo)上单调递增.所以当 x l 时，G(x)G(l)=O.所以当 x l 时，*+ax-x ln x-a-3 0 成立,即当x l时，会2十一a xlnx+成立.14.（2017全国III）已知函数於）=皿*+加+（20+1）工（1）讨论贝笛的单调性；3（2）当0时，证明於）0一元一2.1 4.解 析（iy（x）的定义域为（0,+oo）,/（幻=（+2奴+20+1=鱼 匕 与 土”.若的0

46、,则当XG（O,+8）时，/（x）0,故./W在（0,+上单调递增.若。0,则当 x d（）,一彘）时，x）0；当 x e（一，+a c）时，/。）0.故ZU）在（o,一 上单调递增，在（一支，+8）上单调递减.综上，当a NO,/（X）在（0,+8）上单调递增；当a 0时，y（x）在（0,一土）上单调递增，在（一/，+00）上单调递减.（2）证 明 由（1）知，当。0 时，y（x）在X=/处取得最大值，最大值为/（一 口=1|1（一/）一1 一意，所以於区_ 1 2 等价于I n(-)-l-0),则 g (x)=(1.当 x (0,1)时，gx)0；当 x (l,+8)时，g (x)0 时，

47、(x)0.从而当 n 0,求证：nmnn2。一 )m+n21 ”(x+1)-(x-1)(x+l)2-2 o r f+(2 2 a)x+l,乂、卬1 5.解 析(l(x)=i 行了一=M+)2=不正 因为ZU)在(0,+8)上单调递增，所以/(x)K)在(0,+s)上恒成立，即f+(2 2 a)x+1 K)在(0,+8)上恒成立，所以2 一 23+；在(0,+o o)上恒成立.因为+卜 2,当且仅当x=l 时，等号成立，所以2 a2 W 2,解得好2.m(2)要证In m-In 心?；告 丁,只需证I n 一+1n2即证m0.2(x 1)设=ln x (+，由(1)可知力(x)在(0,+8)上单

48、调递增,因为表1,所以力(汕 =0,即 喏 一2 0,所以原不等式成立.1-Y1 6.已知函数兀r)=-+ln x 在(L+8)上是增函数，且 40.(1)求。的取值范围；(2)若 b0,试证明1 1 QX 1 11 6.解 析(1 )f(x)=+-=,因为在(1,+o o)/(x)0,且 0,所以 o x 1 K),即迂不a人 人 c，人 u所以*1,即 q N1,故 a 的取值范围为 1,+o o)./7 b 1-y(2)因为 0,al,所以一厂 1,又火x)=-j+ln x 在(1,+刃)上是增函数，所以娼即一+m 陪 0,化简 得 治b皿 丁a+b点 a等田价于 I,n 丁a-一h g

49、a=l,n (.1.+ci0 一方八0,X令 g(x)=ln(l+x)x(x (O,+o c),则 g (x)=y q G1=m ，所以函数 g(x)在(。，+s)上为减函数,所以心O尸 岫，乙十 力G 一a尸.也 a+丁b 一a尸 小、口八 ，即Mrl I.n 万a+by ap 综.上,，币1 0).设 F(x)=/(1)?+/(%),讨论函数f(x)的单调性；(2)过两点A(X 1，/(X 1),B(X 2,/。2)(由2)的直线的斜率为A，求证：9 0,函数尸(x)在(0,+s)上是增函数;当 In avO,即 0“0,得(In 分 +1 0,解得;令 F(x)0,得(In a)x2所以

50、函数F(x)在 0,+1 0,要证一%一,即证-lr r-l,则只要证l-%ln y-l 即可,设g(r)=r 1 In r,则 g )=l 1 0(r l),故 g 在(1,+s)上是增函数.所以当 Al 时,g(f)=f1 In r g(l)=o,即 flln f 成立.要证 1 1 l n t,由于 fl,即证 flO(r l),故函数在(1,+s)上是增函数，所以当01时，h(t)=tn/(zl)/i(l)=O,即 r lctln r 成立.故由知:成立，得证.12 汨1 8.已知函数x)=In x +x2-ax(a e R).求函数”的单调区间；(2)设函数/(x)存在两个极值点，x