高数课后题答案及详解 高数课后习题答案解析.pdf

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1、高数课后题答案及详解一、求下列极限1、limsin2(x-l)X 2-1 解一:h 3 2sin(x-l)c o s(x-l)八原式二 lim 二 0X-1解二:一 sin(x-1)sin(x-1)原式:lim_ lim_ =0 x 1 X -x-1 X +/.、lim1x 0 1/U T X2sin2 3x原式=lim.2x himXT)6sin3xcos3x 9 x.)解二：3x 1 1i -lim=sin3x x_)cos3x 9原 式=lim2xsin 3x 3x1 0 6sm 3xcos 3xlimx-09xcos 3xzxx19xtan2x,limJ、xfo sin2 3x店 ta

2、n2x2uin3 x 3x.2x2 2解：原式-h mz、=-0缶如9A lim:4、_0In(I+xJ解一:原 式=limx f 01 r-1 +Xlim(1+x)=1x-0解二:原 式 二limx-01I n(1+1 二 1tnelim5、X o o解一:x-iY7、(2、-冥-2)原 式=lim l-_ 2X-00 X)二e-2解二:原 式=lim e-x 2xln_x,In(x-2)-In xlim_x 00 x 1lim1 _1x-2 工-x-2x ooI.2xe =e-26 lim(3-2工X f 1解 一原式令W i lim(1-2)；Q)=e-2t 0解二：原 式=liml+(

3、2-2 x)E J-2)=x-l.1liml+(2-2X)227-2=e-2X7、8、x-sin xlimx f 0h#1-cosx sinx 1碗.J京式=hm _ =hm _ =%o 3x2 x-o _6x 6(1 1)lim-_InxJ解:1 1 1 1目7 lnx-x+1 V r 1-x原 式=h m =lim=lim7 (x-l)lnx-l n x+X 1 7 xlnx+x-1x1.-1 1=lim=-7 I n x+1+1 29、limJt-XX)1+2+n n2+n1 (+l)2-2 +-解:原式=lim8n2+n-2n-n2=lim(、2Z+n)n7)lim00.n4+212J

4、 x3 sin tidt10、lim ox-0”9解H_U r 3x2 sin X6原式二hm?X8-1311.sin X 6=limJ *arctan Hlim 0X f+00+X2解：原式二limX 4-00 12arctan x+X2 J2,2.x=lim arctan x /_ +1x-+co V%2=lim arctan x-limX-+ooXf+00二、求下列导数或微分1、设y=X4x ta n x+l,求 学解一：dy=ydx-tan x-x sec2 x)dx解一.dy=4xdx-(tanxdx+xdtanx)=4x3-ta n xdx-x se c 2 xdx=Oto-ta

5、nx-xse c 2 x)dx2、设 求一,2x ln2-(l+cosx)-2x(-sinx)角 Q V=_(,t _U+cosxT22x(sinx+cosx-In2+ln2)二(TTcosx-3、设ign=求，解Isin-In 5.cosdx In 51cosX rX2 sinX4、设y=m（x+严 方），求角 翠：y=(i+X+J 1 +X2 I1(1+X22)4.2x)1X+J1+X2X +J1+X2=G +X2二-1 G+X2)，2X=-XG+X 22dy5、设*=+1 口了，求 我解：i =V+i.y y=y E6、设*、+曲1(取)=0,求鲁角 单 3+a+cosGy)(y+W)=

6、0y Q +cos(孙)7、设”二 尸，求？y=arctant dr l，=i8、设卜=W+g ,求 学j=/-arctan/t*X 29、设=(*)皿(*0),求，角 翠：lny=ta n x I n x1 ，,1y=se c 2 x-lnx+ta nx-y丁yf=y se c 2x-lnx+ta nx-_l五Jetanxinjc Q se c 2 x I n x+ta n XX10、设”历邨-孙，求，(I+j角 呈 lny=1 ln(x+2)+41n(3-x)-51n(1+x)71，_ 1 _ 4 _ 5y 2(x+2)(3-x)1 +x(1 4 5 y=12(；+2)(2x+4 3 x

7、1 +x 11、设”sin x etdtX3，求/角 星 j；=Jsinx et2 dt-J et2 dto o/.yf=e sin2 X cos x-3x2/6、f X3s.m1_ xwOA、12、设，（x）=元 ,求/（%）0 x=O角 星xwO,3x2 sin+1 3X X=3”x2 s.in1_-xcos1_X%x=O,y（o）=ii m h =Ax 0（1 A=lim AY2 sin=0Ax-0 V SX Jfo.1 1 八,3x2 sin-xcos,xw0X Xl 0J,x=0XAA xs si-n 1lim BAx-0三、求下列积分1、e x dx解:原式=-fe-xd(-x)=

8、-e-x+cex2、J 一dx2 X(P X -9-解：原 式=1 dx=/、+cE 1(e Inex=2X l-ln2)+C11 J dxJ、cscx解：原 式=sin xe/x=-c o s x +c4、J xex2 dx解：原 式=J ex2 dx2(lnx)3.cj ax3、X角翠:原式=(lnx)d lnxA(、fr _dx_C-X+0 X角轧原式J e d x=JC 2x+1X4,入 心解：原式8+2 5公JX2+1f 7 f%2+1 -1=J X2 dx-J_ d:X2+1X3=-x+a rc ta nx+c丁：2=e%2+。2二1(lnx +c4dex(=a rc ta n e

9、+ci+Q JX 2(l+X 2)_ X2 团X2+1 X2+1X3 f X2+1 f 1 .r=-J _ _ d x +j ax于 X 2+1 X2+18、J xsinxhc角 单：令(x)=x,M(x)=sinx,(x)=l,v(x)=-cosx原 式 二 (x)u(x)-f ux)v(x)dx=-x cos x-f-c o s xdx=-x cos x+sinx+C解 二:利用=uv-1 vdu原式=-x cos x+f cos xdx=-x cos x+sin x+c9、J 3 X 5C 0 S xdx-3角 星：因(一x)5 c os(-x)=-X 5 co s x原 式 二010、

10、In xdx解：原 式=-J In xdx+ieIn xdx1一 x In x +fe-(In 1 -LIne e1 xd In x+.x In xe-J1 i ie+1ee xd xix-J_(r+e ln -ln l-Jxiex-Ldxxe-+xl-xe=F L ie1c eJ i-ql e)-(e-1)=2-3e11、J 9 4 dx4p-l名 刀 E r 今77=/f 3 t f 3 22 2,t +2,t解：原式二 J3-2 tdt=J3 dt2=2f 32?(?-1),f 3 2 t j f 3 ,2+2=J3 ,力+J3 dt=J3 2 tdt+3 dt2 -t 1-2%1 2

11、2%1=t2 3 +1 2，2 山+2f 3 Q(，一 1)2 2 t 1 2(1=9-4+2/f +2ln|/-l|32 2=5+6-4+21n 2-21nl=7+21n 212，1 J 1*2 dx1Z、F2解:原 式 令,ec s/兀 sin 21T=ITGSC2 t-T CZ兀，兀=一+1+T T14 9 dxJ L J、v5f兀 c os tdt=J y c ot 2 tdtn4l)dt=-c ot兀T=1/4解:/c 、7 c C 0S 2 t 7J c os，(一3c se t cot t)dt=J -3 atS 1H 2 t=-3 J c ot 2 tdt=-3 J(c sc

12、214、-3c ot，+3/+c/.原式二 Jx2-9 +3a rc sin _+c1X2(l-x)7dx解:原 式/I。7)2，7 .(-1)力=1(2 -2,+1)%7力1 0.V r tio 2t9 小 丁 1 2 1 1 J v 9 2t8 )dt=_ _ +=+0 in X/TU 9 X 360015、sin 3 xsin x+cosxdx解:兀sm 3 x2 _o sin x+c o s xd x =兀5oC O S 3 Xsin x+c o s x 人 冗a x 齐 x=一I 27原式1TI,2L sin 3 x0sin x+c o s x,f 2L C O S 3 XIX+J

13、2 _d xo sin x+c o s x J1Tf 2L sin 3 x+C O S 3 X ,J 2._ _dx o sin x+co s x12J 2(1-sin x cos x)dx0=J T _ _ d x =_+_ =_+_ +_=o(2 4)2 8 (4 8 J 8 40注：上题答案有误，应为(兀1)/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点：(1)y=2x3-9x2+12x-3 解：/=6x2-18X+1 2,/=12x-18、3由了=0 n x=1,或 x=2.由y=0 n x=2X(-00,1)132(1,2)2（2,+8）y1+0_ 3 20

14、+yn一60+6+产/G)厂极大A拐点1极小Jy=2x3-9x；+-3 在区 间（_吗 Q,+；）上递增；在区间口,2上递减。在（-80上是凸的；在G+o o）上是凹的。点（3是函数的拐点，函数在y1处取得极大值2,在X =2处取得极小值(2)y=xW：y=1x-1,/=-2x-13 9没有了=0/=0的点，存在不可导点x=oX(-C O,0)0e+My+yr r+y=fQ)J拐点（0,0）y=在区间（-8,+00）上递增；在（0,+00）上是凸的；在（-00,0）上是凹的。点（。,。）是函数的拐点(3)y=(xT)浮物,5 2 2 _1解：y=工 一 133 31 _i=X3(5X-2),1

15、 0 1 2 4 2 4/=x-I+JT 1=x 7(5x+l).9 9 92 1由j/=0=x=才 由y =0=x=一5当x=0时，7,7不存在X卜7_ 1一 T(r)0KJ25化+oo15)y+*+不存在一0+y+01 1 u.不存在g+邛3V2+y=/Q)J拐点(n，1-35=65FI极小同J(0,0)”(x-l)浮 在 区 间(2)咚 上 递 增，在(。,上递减；在区间1 8,T，6 )上是凹的；在中)上是凸的。点 讨,6 T，(o,。)是函数的2拐点，函数在0处取得极大值0,在 =5处取得极小值=-(，2、求函数F(x)=J xQ+f)-2)血的极值。0解一：Ff(x)=(1 +x)

16、(x-2),Ff f(x)=2 x-l令尸 C v)=0,得：x=1,2V F -1)=-3 0.F=厂(-1)=JT(1+/)(%2)d，max oJ(一一2机二匕二-2不:F 二尸(2)=卜(1 +。(/-2)dtmin o解 二：厂(x)=J x(l+/)(%一 2)以=J,(2 -2)d%F(%)二卜3 一，2 一 2%=工2 一 x-2=(x+l)(x-2),1-3-T)/G)=(x2-x-2)=2x-l由k(x)=0,得x=1,2厂(-1)=-30尸(2)=30：Fmax3、在 区 间 上 给 定 函 数”，任取y 0,19问，取何值时，曲线y=X 2、外，2、-1及,轴所围平面图

17、形面积最大？解：力=1,（，2-）dx+f 1（x 2 -2）x0/yX 3t2X-_Xi_-t2X3t 3 t 2 +_4=4,2 -2 tt二 2，（2 1）,由 H=0,得：，=0,=X 23+43o12I4。）二心二，:.J =4（1）=；所以当，=1时所围面积ma x J最大。4、求 曲 线 与 所 围 成 平 面 图 形 的 面积，将此平面图形绕,轴旋转一周求所得立体的体积。解：所 围 面 积.,2 3 V3 14 n s-产四二仆姓一口二了。旋脑所得体积为V=fT Uo1 /、2/兀 产I 兀 户1 3兀兀（产）方=-J-J 1=工）7 0 o H To5、求曲线股X3与X =2

18、以及X轴所围成平面图形的面积，将此平面图形绕 轴旋转一周X求所得立体的体积。解：所围面积4 =产%3-0 d x =2=4。0 4 u旋 转 所 得 体 积 为？/、2 7 兀X 7 128 71V =I 71(X 3)d x =:12=O0 7。五、空间解析几何1、已知向量A=2f+3 j-左，b=i-3j+k9 C =i-2 j9求：(1)(2a)x(3b)；(2)(dxb)c；(3)(a+b)-(b+c)i(4).b)c-(a-c)b 解：-2=-2(2,3,-1)=(-4,-6,2),3 f=3(1,-3,1)b=(3,-9,3),所以：一24 31=一4-6 2=18；+54ob 3

19、 -9 3 i j r(2)x 7=2 3 _1=_我_3=(0,-3,-9),所1 -3 1以：(a x A)-c=(0,-3,-9)-(l,-2,0)=0+6+0=6 o(3)(a +f t)=(2,3,-1)+(1,-3,1)=(3,0,0),+磔=(1,-3,1)+(1,-2,0尸(2,-5,1),所以:(a+i)(i+c)=(3,0,0)(2,-5,1)=6+0+0=6(4)a b=(2,3,-1)-(l,-3,l)=-8,(a b)c=-8(1,-2,0)=(-8,16,0)(5 3)=(2,3,-1).(1,-2,0)=-4,(a c)5=-4(l,-3,l)=(-4,12,-4

20、),所以：(a b)c-(a c)b=(-8,16,0)-(-4,12,-4)=(-4,4,4).2、已知点 4(2,1,4),5-2),(0,2,3),求：(1)丁 在y轴上的投影，在z轴上的分向量；(2)求 BC的面积；(3)设在机1,6,若 立 万,入取何值？(4)求过点4、B、C的平面方程；(5)求过点N 且与5 c 平行的直线方程。解：(1)次=(-3,4,-6),所以方在y 轴上的投影为4,在Z 轴上的分向量为：6八(2)$=1/2 I 1 11 h sinff=l/2AB XABC1hl,因为:2B=(-3,4,-6),=(-2,3,-1),所以：,I 卜；-2 3-1 =+9-

21、1=；J 1 4 2 +9 2 +(-1)2 =J 2 /X .(3 )因为善=(-3,4,-6),=2,i/,由了，方可知方.焉=0,即：(-3,4,-6)-(2,1,为=0,所以：入一；3(4)由(2)知：A BXTT=1 4 7+9 1-1=(14,9,-1).由 平 面 的 点 法 式 得：14(X-2)+9()H-1)-(Z-4)=05B P :14AH-SZ-15=0.(5)贸=(1,-1,5),所以由直线的点向式得：x-2=-(y+l)=.3、求过点(3,1,一 2)且 通 过 直 线=里=；的平面方程。解：设所求平面方程的法向量为了，平面上两点 A(3,1,-2),B(4,-3

22、,0),丁 =(2,1,3),因为所求平面方程通过二则点B 和向量厂在所求平面上*i j k且力=x z，即：为=1 -4 2=-14z+j+9k-2 1 3(-14,1,9)，由平面方程的点法式得所求平面方程为：14(x-3)Sl)-9(z+2)=0,即：l4x-y-9z-59=0.4、设3=25+9 N=须+石，其中|=1,可=2且a l b,试问:(1)九为何值时，C i d；(2)九为何值时，；与；为邻边的平行四边形的面积为6o(1)cJ_d=c d=O =(2a+b)-(ka+b)解.一 一 一 一 二 2九 万5+九6万+23/+%，=02入|a|2 +(2 +九)a。b+|2 =

23、0 2%+(2 +X)6 Z,Z?+4 0,又因为，入 故7B =0.2九+0+4=0 n九二2O(2)；与1为邻边的平行四边形的面积为：S=cxd=(22+B)x(九 万 +B)二|2X5xa+kb x a +la x b +bxb=九Bx 5+2QXB|二|(九一2)BXQ|二|(九 一 2)|BXQ I 一 八 一=|(九一 2)|6 1|a|sin(a,b),因为,.S=2|九2 ,又因为 S 6,故.入=5 或一lo七、综合题1.设X1,证明 2。3-三证明：设/G)=2-(3-),则X/、1 1 X X-1(、)=-=7转 X2 9/(%)在 1,+0 0)上连续，且当工1时，/(

24、x)0,所以/(x)在 1,+0 0)上单调增加。由于/(1)=2 J T (3 1)=0,所以当 x1时，/(%)/(I)=0,即2 严-(3-J0故得所要证明得不等式 2 3 -12.设x 0,证 明/1 +x证明：设/(x)=-(1 +x),则/=/(%)在M+o o)上连续，且当0时，/(X)0,所以/(x)在 0,+8)上单调增加由于/W)=e()-(1 +0)=0,所以当x0时，f(x)f(0)=0,即ex-(1 +x)0故得所要证明得不等式 ex 1 +x.、arctan x3.设x0,证明+J +X曲 R(j +y)-(X 0)*X0 映 M x)击鬼m Y f 史 2(x)2

25、(0)=oJ +X-M(x)=I +W(I +x)0 (x 0)如:第 2(x)=(j +y.)JU(J+x)s g s u x )丽 2(0)=04.设/(x)在 向 上 连 续，在(0,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,证明：在开区间(Q内至少存在一点使得，)+g/0)=0；证明：由结论可知，只需证 M(x)二0设 F(x)=xf(x)则F(x)在 a 上满足(1)在 即久上连续，(2)在()上可导，(3)F(a)=F(b)=0由罗尔定理，存在一点&(%6),使得尸住)=0即 /)+=)=05.设/(x)在 0,九 上连续，在(0户)内可导，证明：在开区间(0,九)内至少存在一点自，使

26、得，)cos&+r)s加4=0。证明：由结论可知，只需证/(x)sinxl=0 x=q设 F(x)=/(x)sinx则/(%)在 0,兀 上满足(1)在 0,兀 上 连 续，(2)在(0,兀)上可导，(3)F(ff)F(TI)=0由罗尔定理，存在一点自(0,兀),使得尸(x)=0即/)cos&+，sin 4=06.设函数”X)连续,且/=0,F(x)=,-|/(x),求尸(x)解：:丝=x-a X U x f X Ulin(/(x)xax-allintVW)xa又因为函数小)连续，且/=0,所以产(Q)=，即5。-j (a)=0 xaX 2 X 7.设函数求服b的值，使I CLJi 7 1/(

27、X)在x=1可导。解：显 然 函 数 在x=l连 续，所以U m /(x)=H m f(x)=/(l)即 q+1 =1 =1X-1+X fl-又函数在X =1 可导，所以C(l)=2(l),即2 =,所以人二一1所以当=2/=-1时，/(x)在 x =1可导。8、设/(%)在 0,1 上连续，1/(X 岫=0,求证:0存在&e (0,1)，使得/(I g)=-/(&).证明：i/(x)&士/(1 )山o 1 )=J1/(I -t)dt J /(I -x)dx=00 0.，lf(x)+f(l-x)dx=00所以由积分中值定理知：存在自(0,1)使得:/+)(1-!)卜(1-0)=0 即:/(/(1)