高考数学专项练习讲义--常用逻辑用语.pdf

《高考数学专项练习讲义--常用逻辑用语.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学专项练习讲义--常用逻辑用语.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1.2 常用逻辑用语【考试要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.落实主干知识【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若 p=q,则。是的充分条件,“是。的必要条件p 是 q的充分不必要条件p今q且q令pp 是 q的必要不充分条件p分q且 户 p 是 q的充要条件p 0 qp 是 q的既不充分也不必要条件p4q 且 q#p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短 语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“必”表示.存在量词：短 语

2、“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“旦/表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记V x e M,汉x)mxWM,p(x)否定(天)VxG M,(x)【常用结论】1.充分、必要条件与对应集合之间的关系设 4=x|p(x),B=xq(x).若p是q的充分条件，则4=8；若p是4的充分不必要条件，则A B；若P是 7的必要不充分条件，则B A；若p是q的充要条件，则A=B2 .含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.3 .命题p与p的否定的真假性相反.【思考辨析】判断下列

3、结论是否正确（请在括号中打“J ”或“X ”）（l）p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.（J ）（2）“三角形的内角和为1 80。”是全称量词命题.（V ）（3）已知集合4,B,A U B=A C B的充要条件是A =R（V ）（4）命 题 G x W R,s i吟+c o s/=；”是真命题.（X ）【教材改编题】1.是“农2 庆2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案B解析 当4 匕时，若 2 =0,则。/二从2,所以 a Z#i z c2/?c2,当 a c2 历2 时,（?#0,则所以 ac1 hc2：=a b,即“a b

4、”是“b e2”的必要不充分条件.2.使一2 a 2成立的一个充分条件是（）A.x2 B.0 x 0答 案B3.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是.答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形 探究核心题型题 型 一 充 分、必要条件的判定例 1 （1）已知 P：01，7：l o g u 0,所以p 对应的x 的范围为(0,+8),由 logjr0 知 0 x 0,乙：S.是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答 案 B解析 当ai l时，斯=4U一|0,若*0,则/0(G N*),即

5、q0；若“WO,则/0,q：+1 -1）=lo g 2（a 1）（/l）0=lo g 2 1,所以3 1）。-1）1,B P a+b 0,因为 所以”1,b,贝 i j a 步 0,力一1 0,所 以 鸿 1,所以p是 4的充分条件；因 为 鸿 0,则 a+bab,若 ab ab,所以。是 4的非必要条件，所以P 是 q的充分不必要条件.思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法（1）定义法：根据q 今p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.（2）集合法：根 据 p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.跟踪训练 1 （1）“a 2,b 2是“a+6 4,ab

6、 4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案 A解析 若 a 2,b 2,贝（J a+b 4,ab 4.当 a=l,6=5 时，满足 a+/?4,ab 4,但不满足 a 2,b 2,所以 a+i 4,ab 4a 2,b 2,故ua 2,b 2n是 故+b 4,ab 4的充分不必要条件.（2）（2 0 2 2 太原模拟）若 a,b为 非 零 向 量,则 是 3+力）2=屏+尻”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案 C解析 因为a _ L b,所以。力=0,则(a+6)2=/+2/r/+b 2=/+b 2

7、,所 以“U b”是“(a+b)2=/+”的充分条件；反之，由(a+b)2=a 2+&2 得“力=0,所以非零向量a,垂直，“也”是“3+m 2=标+”的必要条件.故uabn是“(a+b)2=a 2+b 2”的充要条件.题 型 二 充 分、必要条件的应用例 2 已知集合 A =x|%2-8 x 2 0 W 0 ,非空集合 B=x|l机WxWl+机.若是 x G B的必要条件，求，的取值范围.解由 /8 x 2 0 W 0,得一2 W x 1 0,.*.A=R-2 W x W 1 0.由x C A是 的 必 要 条 件，知B U A.1 ntl +/,则“1 2,.,.0 W/W 3.1 +m

8、W 1 0,当。机W 3时，是x E B的必要条件，即所求，的 取值范围是 0,3 .延伸探究 本例中，若 把“X G 4是X C 8的必要条件”改 为“X G A是X C B的充分不必要条件”，求，的取值范围.解,.,x W A是 的 充 分 不 必 要 条 件，.A B,1-z W 2,1 m 1 0 1+2 2 1 0,解得m2 9,故机的取值范围是 9,+8).【教师备选】(2 0 2 2 泰安模拟)已知p：xa,q：|%+2。|3,且 p是 q的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()A.(0 ,T B.(8,-1)C.1,+8)D.(1,+8)答 案 A解 析 因为q：k+2 a|

9、3,所以 q：1a-3 x 2 a+3,记 A=x|2a3 x 2 a+3,p：记为 8=x|x a.因为p是7的必要不充分条件，所以A B,所以 aW2a3,解得 aWI.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.跟踪训练2 (1)(2 0 2 2.衡水中学模拟)若不等式。一 )2 1 成立的充分不必要条件是l x 2,则实数a的 取 值 范 围 是.答 案 1 1,2 解析 由(x a)2 l 得 a l x a+l,因为1 a 2是不等式(x-a)2 2

10、a W 2,即、解 得 lW a W 2.心 1,2 2(2)已知p：实数相满足3 a /n 0),q：方程/、+黄 7=1表示焦点在y 轴上的椭圆，若是夕的充分条件，则。的取值范围是.2u 案r惨i 83_人 3解析 由 1 0,得 IV m V 1,3即 夕：3 a 2 1,因为是夕的充分条件，所以|4*，1 3解得J O题型三全称量词与存在量词命题点1 含量词命题的否定例 3 (1)已知命题p：S n S N,/22n+5,则为()A.V n G N,2 2 2+5B.2 W 2 +5C.V n G N,n22n+5D.H n GN,n2=2n+5答 案 C解析 由存在量词命题的否定可知

11、，为2 2+5.所以C正确，A,B,D错误.(2)命题：“奇数的立方是奇数”的否定是.答 案 存 在一个奇数，它的立方不是奇数命题点2 含量词命题的真假判定例 4 (多选)下列命题是真命 题 的 是()A.B a G R,使函数y=2，+o2r在 R 上为偶函数B.Vx R,函数y=s in x+c o s x+也 的值恒为正数C.2x k)g X3答 案 A C解析 当。=1 时，y=2，+2r为偶函数，故 A为真命题；_y=s in x+c o s x+&=W s i n(x+g)+也，当s in(x+；)=1 时，y=0,故 B 为假命题；当x(2,4)时，2x答案解析 因为命题“m x

12、 d R,使办2 x+2 W 0”是假命题，所以命题“V x E R,使得“fx+2 0”是真命题，当。=0时，得 x 0”是假命题，不符合题意;当a O时，得，a09/=18。0C.Sxe R,lgx 0成立，故 A项为真命题；.当 xN*时，x-I GN,可得。-1)2 2 0,当且仅当x=l 时取等号，3 x G N*,使(x1)2 0 不成立，故 B 项为假命题；.,当 x=l 时，1g 1=(X 1,使得lg x l成立，故 C项为真命题；:正 切函数y=t an x的值域为R,.存在锐角x,使得t an x=2 成立，故 D项为真命题.综上所述，只有B 项是假命题.2.若命题x2

13、4 xm W0”是假命题，则，”的取值范围是()A.-3 B.m 0,xsinx0,xsinx211B.3x0,xsinx 2 1C.VxWO,xsin x0,xsin x0,xsinx2*1.(2)(2022重庆模拟)下列命题为真命题的是()A.V x d R,炉一R+1W 0C.B xeR,(Inx/WOD.2XGR,sinx=3答 案 C解 析 对于A,因为W+l=(k|一三+。恒成立，所以x2一|x|+1 WO是假命题；jr 1对于B,当=可时，-=2,3 cos x所以/x R,f 是假命题；对于C,当x=l 时，Inx=0,所以(InxpWO是真命题；对于D,因为一IW sinxW

14、 l,所以sin x=3是假命题.(3)若命题 3 x e R,为真命题，则实数机的取值范围是答 案(一 8,-4)U(0,+oo)解 析 依题意，/=/层+4机 0,m0 或 z c=0,所以（a-6）_Lc或 a=），所 以 0 C=c 是 a=Z的必要不充分条件.3.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使 9W 0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使 2答 案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题;B 中当x=0 时,/=0,满足x2W0,所以B 既是存在量词命题又是真命题；C 中因为也+（一

15、也）=0 不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x,都有:0,不满足%2,所以D 是假命题.4.（2022 沈阳模拟）在空间中，设机，是两条直线，a,表示两个平面，如果根Ua,a 夕,那么是 皿 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案 B解析 当，_L 时，./nUa,a 夕，则与 可能平行，.充分性不成立；当L夕时，：a/p,：.na,mCa,.?_!_ ，.,.必要性成立，.“相，”是“邛”的必要不充分条件.5.若命题+8),使得冰好+4 成立”是假命题，则实数。的 取 值 范 围 是()A.(4,+)B.(8,4)C.4,+8)

16、D.(-8,4答 案 D解析 若命题“mxG(O,+8),使得 g/+4 成立”是假命题，则有 /右(0,+),使得a rW f+d 成立”是真命题.即 a W x+,则 aW(x+：)min,4 l又了+122皿=4,当且仅当x=2 时取等号，故“W4.26.(2022 南京模拟)已知集合M=-l,l ,那 么%一 丁 是 为,4*2*+1一。0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答 案 A解析 V 2xGM,4A-2x+l-a 0,.a2(4*2”i)min,x S -l,l,设 t=2x,则W)=-_ 2 f=(L)2 _ l,2j,/(f)m

17、in=yU)=1,.,.心一1,-|,+8)-1,+0),2“，一 是 三 加,4 1 一2#1 一 40”的充分不必要条件.7 .（多选）（2 0 2 2 烟台调研）下列四个命题中是真命题的有（）A.V x e R,3 0B.V x e R,炉+x+i w oC.V x e R,s i n xX2+X+1答 案 A D解 析 /xR,3，0 恒成立，A是真命题；V x2+x+1 =（工+。+0,，B 是假命题；由s i n（一|兀）=1 2 2 ，知 C是假命题;H 1取 x=-5，c o s但/+x+1 =3 坐，则 D 是真命题.8 .（多选）（2 0 2 2 临沂模拟）下列四个条件中，

18、能成为x y 的充分不必要条件的是（）A.x&y（?BA|y|D.I n x l n y答 案 A B D解析 对于A选项，若xc 2 y c 2 ,则 dWO,则X y,反之x y,当c=0 时得不出x y c2,所 以“疣2/2”是“x y”的充分不必要条件，故 A正确；对于B选项，由上！x y；但 X y 不能推出:；0（因为X,y的正负不确定），x y所 以 dW y”的充分不必要条件，x y故 B正确；对于C选项，由|x|.y|可得x2 y2,则（x+y）（xy）0,不能推出 x y；由心*y也不能推出x M（如 x=l,y=2）,所 以“园 I W 是。）产 的既不充分也不必要条件

19、，故 c错误；对于D 选项，若 ln x ln y,则x y,反之xy得不出In xln y,所 以“lnxlny”是“xy”的充分不必要条件，故 D 正确.9.若命题P：V x e（o,+8）,5 x+l，则命题P 的否定为.答案 BxG（O,+8）,TW x+110.（2022 衡阳模拟）使得成立的一个充分条件是.答 案 次 一 1（答案不唯一）解析 由于4=22故2，22 r等价于x2x,解得x 4 成立的一个充分条件只需为集合 xk0,12.已知命题 p：K VxG 1 +）,/一,命题 g：u x2+2ax-2a0 ,若命题p,q 均为真命题，则实数。的取值范围为.答 案 a|aW2

20、 或。=1解 析 由题意可知P 和 4 均为真命题，由命题P 为真命题，得V x d l,+oo）,恒成立,（min1.得 aW l；由命题q 为真命题，知/=4-4（2a）。成立，得 aW2 或所以实数a 的取值范围为 a|a W-2 或 a=l .应技能提升练13.（2022苏州中学月考）在AABC 中，AB 是 cos A8,所以 0BA7t,因为y=cosx在（0,兀）上单调递减，所以cosAccos B,故充分性成立；反之，y=c o s x在（0,兀）上单调递减，0 A T T,0 B B,故必要性成立，所以在 A B C 中，aA Bn是“c o s A c o s B”的充要条

21、件.1 4 .已知函数7 U）的定义域为（“，b）,若b）,X x）+A-x）#0”是假命 题,则 加+b）=.答 案 0解析 b）,y（x）+y（x）W0”的否定是Vx e（a,/,）,负 x）+x）=0,依题意得，命题Vx e（a,b）,y（x）+_ A x）=0为真命题，故函数y=/u）,xe（a,b）为奇函数，.,.a+b=0,.ja+b）=fl0）=0.立拓展冲刺练1 5 .（多选）已知aWR,则使命题“X/xe 仔 兀），*2 s i n x r O”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.a B.兀 2 _47 C2_4C.a 0,则函数./（x）=x2-s i n x在仁，兀）上

22、单调递增，、，无 、J t2 4所以原命题为真命题的充要条件为元 2 4 兀？4 兀 2 4 无 2 4而 1 4 2,则满足A 选项、C 选项的a均有a W 一，4 W 一时a和a一 一 都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A,C.1 6.火 了）=一始一6 x 3,记 m ax p,q表 示p,q二者中较大的一个，函 数 g（x）=m ax 6-2,|og2（x+3）|,若-2 为减函数，y=kg 2(x+3)为增函数，观察尝试可知当且仅当x=l时,()L 2 =l g 2(x+3).由题意得，g(x)=卜 一 2,0 W x l,l og 2(x+3),x 2 l,.在 0,+8)上，g(X)m i n=g(D=2,g(x)的值域为 2,+8),X x)=-(x+3)2+6 6.a V x i G m,2 ,3%2e 0,+).使_/(x i)=g(X 2)成立 等价于 r)在 m,2 上的函数值域是g(x)在 0,+8)上的值域的子集，作函数y=J(x),y=g(x)的图象，如图所示，令1Ax)=/6 x 3=2,解得 x=-5 或 x=-1,则m的最小值为-5.