高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备.pdf

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1、大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点1一、函数与极限1、集合的概念(I)、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集).记作N(2)、所有正整数组成的集合叫做正整数集.记作N或N-.、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z.“)、全体有理数组成的集合叫做有理数集.记作Q。(5),全体实数组成的集合叫做实数集。记作R.(3)、邻域：设a与6是两个实数，且6 0.满足不等式|x-a|6的实数x的全体称为点a的8邻域，点a称为此邻域的中心，6称为此邻域的半径.2、函数(I)、函数的定义；如果当变量x在其变化范围内任苞取定一个数值时,显y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的

2、函数 变量x的变化范用叫做这个函数的定义域.通 常x叫做自变量，y叫做函 数 值(或 因 变.变量:y的变化范围叫做这个函数的值域.注：为了表明y是x的函数,我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母f、表示y与x之间的对应法则即函数关系，它们是可以任意采用不同的字母来表示的,如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数.这里我们只讨论单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的.所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个函数

3、相等.、域函数的表示方法a):解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法.例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x、y：=r：b):表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法.例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数.c):图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法.一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量.例：笛出尔直角坐标系中,半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态(1)、函数的有界性：如果对属:某一区间/的所有x值总有|f(x)|WM成立，其中M是

4、一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界,否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界.则称为有界函数例题：函数COS X在(-8,+8)内是有界的.、函数的单调性：如果函数,(X)在区间(a,b)内甑若X增大而增大,即：对于(a,b)内任意两点右2及 x”当x,x：时，有 g /炽 2）,则称函数/（X）在区间（a,b）内是单调增加的。如果函数/（X）在区间（a,b）内随若x 增大而减小，即：对 F（a,b）内任意两点&及 x 当x,=/（）及 =3更合而成的函数.筒称更合函数，记作=力3（切，其中u叫做中间变量。注：并不是任意两个函数就能更合：熨合函数还可以由更多函数构

5、成。例题：函数=坨 与函数”=2+X3是不能复合成一个函数的.因为对J =2+N的定义域（-8,+8）中的任何x值所对应的u值（都 大 于 或 等;2）,使y=a r c s in u都没有定义.6、初等函数（1）、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幕函数、三角函数及反三角函数.下面我们用表格来把它们总结一下：(2)、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数曳合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.函数称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数1y =1(40,一a):不论x为何值,y总为正数；b):当 x=0 时.y=l

6、.对数函数=logax(a 0,a。1。与 X .7 =1 0 gaA=l o g 1 Xa):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当al时,在区间(0,1)的值为负：在区间(1+8)的值为正：在定义域内的调增.函数丁=x，为任意实数|0 l*这里只画出部分函数图形的一部分.令 a n/na):当m为偶数n为奇数时,y是偶函数；b):当m,n都是奇数时,y是奇函数；c):当m奇n偶时,y在(-,0)无意义.角函数_ y =s i n x (正弦函数)这里只写出了正弦函数11/-1法*.0才2冗*”a):正弦函数是以2”为周期的周期函数b)：正弦函数是奇函数且s m z|=2 +l n(

7、/43 t+3+s i n 8 x)是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数5（1）、双曲函数：在应用中我们经常遇到的双曲函数是：（用表格来描述）函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正弦skx=-27a）:其定义域为：（-8,+8）：b）:是奇函数：C）：在定义域内是单调增双曲余弦,/+chx-2ly y=；chxa）:其定义域为：（-8,+8）；b）:是偶函数：c）:其图像过点S.1）:双曲正切el仇K=-十=二二a）：其定义域为：（-8,+8）；b）：是奇函数：c）：其图形夹在水平直线y=l及y=-l之间；在定域内单调增；我们再来看下双曲函数与三角函数的区别:双曲函数的性质三角函数的

8、性质班 0=O,cAO=。sin 0=O,cos 0=1,tan 0=0s hx与t hx是奇函数，c hx是偶函数s i n x与t a n x是奇函数，c o s x是偶函数ch2x-s k2x=1sin x+cos x=1它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式:xy)=shxchy ckxshych xy)=chxcky shxshy6 工土 ky(2)、反双曲函数 双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数 s&x=ln(x+J P ZI)其定义域为：(_8,+8)：b):反双曲余弦函数 加=匕(天+&)其定义域为：n+8)：.1,1+Xartnx=-la-C)：

9、反双曲正切函数 2 1-X 其定义域为：(-1,+1).8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。(1)、数列：若按照一定的法则，有第一个数a,第二个数比，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数 那末,我们称这列有次序的数a“a”，为数列.数列中的每一个数叫做数列的项.第n项a*叫做数列的一般项或通项.我们也可以把数列心看作门变敏为正整数n的函数,即：a.=,(),它的定义域是全体正整数(2)、极限：极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。例：我们可通过作阅的内接正多边形，近似求出国的面积.G)、数列的极限：一般地，对 数列来说，若存在任意给定的正数e (不论其

10、多么小)，总存在正整数N,使得对nN时的一切%不等式k “性 国 都成立，那末就称常数a是数列的极限，或 者 称 数 列 收敛f a .n推出醺=。十/Ta(n o a)记作：29 或*?此定义中的正数e只有任意给定，不 等 式 才 能 表 达 出“与a无限接近的意思。11定义中的正整数N与任意给定的正数e是有关的，它是附着e的给定而选定的。(4)、数列的极限的几何解狎，在此找们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解择.以使我们能理解它.数列/极限为a的一个几何解释：将常数a及数列旃 兀2，/，在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的e邻域即开区间(a-e,a+c),如下

11、图所示：71a 次;二 届:%。端;t 猛 3 编；布 布：因不等式I*一 “饪,与不等式“一 /N 时，所有的点/都落在开区间（a-c,a+c）内，而只有有限个（至多只有N个）在此区间以外。注：至尸如何求数列的极限，我们在以后会学习到,这里我们不作讨论.（5）、数列的有界性：对 数列仆，若存在着正数M,使得一切X*都满足不等式|W M,则称数列X”是行界的，若正数M不存在，则可说数列X*是无界的。定理：若 数 列 0 收 敛，那 末 数 列/一 定 有 界.:有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例：数列 1.-1.1.-1.（-1）*.-是有界的,但它是发

12、散的.9、函数的极限前面我们学习了数列的极限，已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取1-8内的正整数.若自变量不再限F 正整数的顺序，而是连续变化的，就成了函数。下面我们来学习函数的极限.函数的极值有两种情况：a）:自变量无限增大；b）：自变量无限接近某一定点x“如果在这时，函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值.我们已知道函数的极值的情况，那么函数的极限如何呢？下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念！（1）、函数的极限（分两种情况）a）:自变量趋向无穷大时函数的极限定义：设函数v=/（）,若对J：任意给定的正数e（不论其多么小），总存在着正数X,使得对F适合不等式卜的

13、一切x,所对应的函数值/s,都满足不等式）_ 脂那末常数A就叫做函数=/（X）当x-8时的极限，记作：吧匕）一 下面我们用表格把函数的极限与数列的极限时比一下：数列的极限的定义函数的极限的定义8b）:自变盘趋向有限值时函数的极限，我们先来看一个例子.存在数列%=与常数A,任给一正数t 0,总可找到一正整数N,对于n N的所有“都满足人 一 1 0.总可找到一正数x,对于适合卜 ”的一切X,都满足“一 归.函数沙=/（%）当31-8时的极限为人，记：H m /（x）=A3 9。-1-“士，-O A*Jky0-K*例：函数 了一1，当x-1时函数值的变化趋势如何？函数在X=1处无定义.我们知道对实

14、数来讲,在数轴上任何一个有限的范围内,都行无穷多个点，为此我们把x-l时函数值的变化趋势用表列出，如下图：x b-0.9 0 99 0.999|“1 001 1 01 1 1 f(4 1 g 1 99 1.999 1?|-2.001 2 01 2.1 从中我们可以看出X-1时，/（X）-2.而且只要x与1有多接近，,（X）就与2有多接近.或说：只要/（X）与2只差一个微量*,就一定可以找到一个6,当卜一 I 6时满足,（X）-4 定义 设函数,（X）在某点立的某个去心领域内有定义,旦存在数A,如果对任意给定的e（不论其多么小），总存在正数6,当0,一而1 0；2:写出不等式火）一 闻 0：90

15、):解不等式能否得出去心邻域。卜 一 而 1 0,总 能 找 出 8,当 0 卜一而1 6 时，b S)一5|b m (/(x)g )=A+B li m /(x)g(x)-A-B则：1%XfRli m =0)2 g(x)BI m i上/二 出 伏 为 常 数)li m L/(x)r =工、(制为正整数)推论：f 在求函数的极限时,利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限.函数极限的存在准则学习函数极限的存在准则之前，我们先来学习一下左、右的概念.我们先来看一个例子：-l,x 0s g n =c 0,x =0例：符号函数为 U，x0对 这个分段函数,x从左趋r o和从右趋广。

16、时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念.定义:如果x仅从左侧(xM)趋近X。时，函数/(X)与常量A无限接近,则称A为函数/(X)当 7 X。时li m+/(z)=A的右极限.记：注：只 有 当X-&时，函数,(X)的左、右极限存在且相等，方称/(X)在X-R时有极限函数极限的存在准则准则一：对广点X.的某一邻域内的一切X.X.点本身可以除外（或绝对值大于某一正数的一切X）有g(x)w 斌X)l im 式 x)=W且一砧1 2 n h(x)=Af a n f（x）那末，存在，且等于A注，此准则也就是夹逼准则.准则二；单调有界的函数必有极限.注：有极限的函数不一定单调有界两个重要的

17、极限l im Q +3 =S一：x注；其中e 为无理数，它的值为：e=2.7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 59 0 4 5二:q s in x,hm-=1x x例题：求 I B X一Xt=-解答：令 2 ,则 x=-2 t,因为X8,故t 8,9 1 1 1hm Q ）*=lm Q +-）w=hm （1+-）-2?=l im （1+-/-2=a则“TB X 29 t 2T2 t 1b I注：解 此 类 型 的 题 时，一 定 要 注 意代换后的变量的趋向情况，象 X-8时，若 用 t代换1/x,贝!）t-0.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子，已知函数I）%,当 x-0时，可

18、 知 我 们 把 这 种 情 况 称 为/（X）趋向无穷大.为此我们可定义如下：设有函数y=/（X）,在X=M的去心翎域内有定义，时 任意给定的正数M 一个任意大的数），总可找到正数6.当0 卜-勾|6 时，/（力 成立，则称函数当XT/时为无穷大乐11lim/（x）=oa记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当X-8时，/（X）无限趋大的定义：设有函数y=/（x）,当X充分大时有定义.对 任意给定的正数M-个任意大的数），总 可 以 找 到 正 数 当 卜”时，成立，则称函h m /（x）=0 0数当X-8时是无穷大立,记为：*T3无穷小猫以零为极限的变量称为无克小量.

19、定义，设有函数/（X）,时 任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正数6（或 正 数 使 得 对r适合不等式 k-o K 5（或kA%的一切x,所对应的函数值满足不等式（小。则称函数/（X）当x T飞（或X-8）时 为无穷小量.3/W=。hm/（x）=0记作：*（或 1）注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有。可作为无穷小蜃的唯一常鼠。无穷大鼠与无穷小鼠的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛J 0.无穷大鼠与无穷小量是互为倒数关系的.关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数 X）在f X。（或X-8）时有极限A,则 差/（X）-/=也）是当一/（或x-8）时的无

20、穷小量，反之亦成立.定理二：无穷小量的有利运算定理a）:有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；b）:有限个无穷小量的积仍是无穷小量：c）:常数与无方小S：的积也是无穷小量.无穷小量:的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小鼠的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷小量的比较。定义，设a,B都是 T飞 时的无穷小量，且P在。的去心领域内不为零，lim =0a）:如果尸，则 称a是B的高阶无穷小或P是a的低阶无穷小：l i m.-=c 0b）：如果“一 6，则 称a和B是同阶无穷小；1 2l i m -=1c):如果1

21、%尸，则 称0和P是等价无穷小，记作：a S B(a与B等价)litYl-=一例：因为 3 x 3 ,所以当x-0时，X与3 x是同阶无穷小:hm =0因为i 3 x ,所以当x-0时，x：是3x的高阶无穷小：sin xlim-=1因为20 X,所以当x-0时,sin x与x是等价无穷小.等价无穷小的性质设 aS-hm 且夕hm =l i tn 存在，则注：这个性质表明：求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，因此我们可以利用这个性质来简化求极限问题.tan x-sm xh m-5-例题：求 用 tan此题不能将其展开成两个函数差的形式，因为X(3X).3的极限为无穷大，极

22、限不存在，不符合等价无穷小的条件 户 存在.tan x -si n x .tan x(l-c o sz).1 1J i m-；-l i m-;-=b m-=&把 f tan33x tan33x 3(3x)5 541-cosx=2 sin 2 OT2()2=注：2 2 2注：从这个例题中我们可以发现,作无穷小变换时，要代换式中的某一项，不能只代换某个因子.函数的一直要性质一一连续性在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量设变量X从它的一个初值X,变到终值X”终值与初值的差xx,就

23、叫做变量X的增量，记为：4 x即：4X=K-X,增最4 x可正可负.我们再来看一个例子：函数=/仄)在点x。的邻域内有定义，当自变辰x在领域内从X。变到我+Zlx13时，函数y相 应 地 从 变 到,（/+）,共对应的增成为:功=丁（/+&）-/（丽）孑,这个关系式的几何解释如下图：。*o+A x现在我们可对连续性的概念这样描述：如果当4x趋向f零时,函数y对应的增量4y也趋向于零，即：lim A y =0 ,_ .小1ATO,那末就称函数沙一 J 1町 在点X。处连续”函数连续性的定义：V -f（x 妣1/（x）=/（x（j）_ f（设函数沙一 J 在 点X.的某个邻域内有定义，如果有称函数

24、A-J 即在点4处连续，口称设为函数的y=/（*）的连续点.下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、右连续的概念：设函数,（X）在区间（a.b 内有定义，如果左极限 唾存在I I等于（），即：觊）=9）.那末我们就称函数,（X）在 点b左连续.设函数/（刈 在区间 a,b）内有定义,如果右极限 蹴存在且等jJ（）,K|J：脸（幻=,那末我们就称函数/（X）在点a右连续.一个函数在开区间（a,b）内每点连续,则为在（a,b）连续，若乂在a点右连续，b点左连续，则在闭区间 a,b 连续，如果在整个定义域内连续.则称为连续函数.注，一个函数若在定义域内某一点左、右都连续.则称函数在此点

25、连续,否则在此点不连续.注；连续函数图形是一条连续而不间断的曲线.通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了，同时我们可以想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢？接着我们就来学习这个问题：函数的间断点函数的间断点定义：我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.它包括三种情形：M以 月 在x.无定义：b）：/（同 在x-x.时无极限;14c）:j（X）在x-x.时有极限但不等于/（X ）:下面我们通过例题来学习一下间断点的类型：7C 7U_+升=彳=-_ .例L 正切函数y =t3nx在 2处没有定义，所以点 2是函数A=如X的间断点,因l i m t a n x =o o _ 乃tr X “

26、一 爹 ，我们就称 2为函数A=t a n*的无穷间断点:1y =s i n -例2,函数 五在点x=0处没有定义：故当X-0时，函数值在T 与+1之间变动无限多次，我1y =s i n 们就称点x=o叫做函数 K的振荡间断点:x-l,x n I n n /(x)=-1 l u n /()=1 当x-0时，左极限，右极限，从这我们可以看出函数左、右极限虽然都存在，但不相等，故函数在点x=0是不存在极限。我们还可以发现在点x=0时，函数值产生跳跃现象，为此我们把这种间断点称为跳跃间断点：我们把上述三种间断点用儿何图形表示出来如下：“X）应1 1/（”）X）芥我是函数7丫 的间断点，但极限,“存在

27、，那末右是函数J 的第一类间断点。此时函f(x x/(z0)=h m /(x)八.我们令 f ,则数不连续原因是：f（X n 1 2 X 1/CO，不 存 在 或 者 是 存 在 但#可使函数/（X）在点X。处连续，故这种间断点X。称为可去间断点。间断点的分类我们通常把间断点分成两类：如果X。是函数,（X）的间断点，旦其左、右极限都存在，我们把注称为1 5函数/（X）的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.连续函数的性质及初等函数的连续性连续函数的性质函数的和、积、商的连续性我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得出以下结论：a）：有限个在某点连续的函数的

28、和是一个在该点连续的函数；b）：有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数：c）:两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）：反函数的连续性若函数少=/炽）在某区间上单调增（或单调减）且连续，那末它的反函数，=吠 负也在对应的区间上单调增（单调减）且连续例：函数V=s1nx在闭区间 2 2上单调增旦连续，故它的反函数A=5m X在闭区间-L I 上也是单调增且连续的.复合函数的连续性设函数”=,（幻 当x x 0时的极限存在且等于a,即：船 .而函数 二,缶）在点u=aV-丹力 1 H U /加X）=/连续，那末复合函数V-J L双 切 当X-X。时的极限也存在

29、口等于八 叼.即：1litn cos(l+x)例题：求 2 0解答:hm cos(l+z)x=coshm(l+x)R=cos设函数=P（K）在点x=x.连续，旦 孤 飞）=。，而函数、=/（）在点u=3连续，那末复合函数沙=/巩X）在点x=也是连续的初等函数的连续性通过前面我们所学的概念和性质，我们可得出以下结论：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；一切初等函数在其定义域内也都是连续的.闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续，右端点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质,下面我们来学习一下：16最大值最小值定理：在 闭 区 间 上 连 续 的 函 数

30、 一 定 有 最 大 值 和 最 小 值.（在此不作证明）函数y=s i n x 在闭区间 0,2“上连续，则在点x=x/2 处，它的函数值为1,f l 大于闭区间 0,2 上其它各点出的函数值：则在点x=3/2 处，它的函数值为-1,旦小于闭区间 0,2*1 上其它各点出的函数值。介值定理 在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点的函数值间的任何值。即：“）=&,u在 a .P之间，则在 a,b 间一定有一个4.使/=推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的任何值.二、导致与微分导数的概念导数的定义：设函数V=/缶）在点”的某一邻域内有定义，当自变量x在右处有增量 x G+x

31、也在该邻域内）时，相应地函数有增鼠与=/（砧+小）一 /（A0）,若与 之 比 当 x-0 时极限存在，则称这个极限值为沙=/（）在 X。处的导数。函数/（X）在点处存在导数简称函数/（X）在点*处可导，否则不可导。若函数/（X）在区间（a.b）内每一点都可导，就称函数,（X）在区间（a.b）内可导.这时函数V=/6）对:区间（a.b）内的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数=/（）的导函数.注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极眼的概念,导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念.若极限h m _ ,.l i m

32、曳w加&x 存 在,我们就称它为函数少=J W 在 x=x 0 处的左导数.皆极限T O-Ax存在,我们就称它为函数V=/6）在 x=W 处的右导数。注：函数y=/（X）在X 0处的左右导致存在且相等是函数A =/（X）在R处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则函数的和差求导法则法 则：两个可导函数的和（差）的导数等于这两个函数的导数的和（差）.用公式可写为：（士 ）=3。其中u、v为可导函数。函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去.用公式可写成：（8）=必函数的积的求导法则法则：（*=心+”3函数的商的求导

33、法则二匕y法则：v v更合函数的求导法则复合函数的求导规则规则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变豉对自变量的导数。用公式表示为：dy _ fy du上 du d r,其中u为中间变量反函数求导法则根据反函数的定义,函数沙=/炽）为 单 调 连 续 函 数,则 它 的 反 函 数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求导法则,如下（我们以定理的形式给出）：定理：若=武 犷）是单调连续的，且吠月则它的反函数A=/炽）在 点X可导，且有：尸 =J 注；通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数.注,这里的反函数是以y为自变量的，我们没有对它作记

34、号变换.即：叫 田 是对y求导，/是对X求导例题：求1y =ar cs in x的导数.解答：此函数的反函数为x =$in y ,故x =co$_ y则：,1 1 1 1y=-/-,x cos y J l_ s in 2 丁 J 1 -18例题：求y =ar ct an x的导数.解答：此函数的反函数为x =t an y.故x =s e c2 y则：,1 1 1 1y =-=-=-犬 s e c 1 +t an 2y 1+x2高阶导致定义：函数=/()的导数y=/()仍 然 是x的函数.我们把V=/()的导数叫做函数d2y 也=色但y=/5)的二阶导数，记作，或d/，即：y =3 )或&/公口

35、相应地，把y=7 的导数v n/Y x)叫做函数y=了6)的一阶导数.类 似 地.：阶导数的导数，叫做三阶导 数,三阶导数的导数，叫做四阶导数，一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导致.dzy dy d y分别记作：尸.炉 .，或d/,以，dx:阶及.阶以上的导数统称高阶导数。由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导,所以.在求高阶导数时可运用前面所学的求导方法。例题 求对数函数、=孤1 +“)的n阶导数。yj 1 y=!.=.1 2 *=_ 1 2 3解 竺“1 +x (l+x)2(1 +X)5(1 +X)4*)=(-1严等之一般地，可得 Q+x)隐函数及其求导法则我们知道用解析法表示函数，可

36、以有不同的形式.若函数y可以用含自变.鼠x的算式表示，像y=s in x,y=l+3 x等，这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的y值存在，则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了 x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式,叫做隐函数的显化.附函数的求导办若已知F(x,y)=O,求 小 时，一般按下列步骤进行求解：a)：若 方 程F(x,y)=O,能 化 为 =了(*)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；b)：若 方 程F(x,y)=O,不 能 化 为 沙=/缶)的 形 式，则

37、是 方 程 两 边 对x进 行 求 导，并把y看 成x的函数y =用复合函数求导法则进行.例题，求隐函数沙5 +2 -=0,在x=o处的导数,1+2 1/y =-解3K答：由两,边+对 X求a导./J +2/y -1 -=0 故H 5Jy +2，当W 朽0u时4,，y=0.故y*J C-J O=2有些函数在求导数时，若对其直接求导有时很不方便,像时某些事函数进行求导时,有没有一种比较直观的方法呢？下面我们再来学习一种求导的方法：对数求导法对数求导法对数求导的法则：根据隐函数求导的方法,对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导.注：此方法特别适 用 于 零 函 数 的 求 导问题。例题：已知y=

38、71 t t x x。，求此期若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数,然后再把它看成隐函数进行求导.就比较简便些.如下解答：先两边取对数：把其看成隐函数.再两边求导1,s in xy =cos x ln x H-y x1 s in 耳、皿*,s m 汗、_ ，处 上 y=7(cos x ln x d-)=A(COS x ln x H-)因为y =x ，所以 x XgR x 二 2?例题，已知Y(X-3(K-4),求y 此题可用更合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导I n y =ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x 3)-ln(x -4)解 答：

39、先两边取对数 2 再两边求导201,f_ 1 上 1 1 1./(z-l)(x-2)y 2 x-l x-2 x-3 X-4 因 为 V(x-3)(x-4),所 以工 i(x-D(x-2)1+1 _ 1 _ 12(x-3)(x-4)x-1 x-2 x-3 x-4函数的做分函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，%及w+A x在这区间内，若函数的增员可表示为Ay =3 x+0 3),其中A是不依赖广及的常数,如)是人的高阶无穷小，则称函数V =”)在点X。可微的。H A x叫做函数少=/(X)在点W相应于白变鼠增最Z x的微分，记作dy,即：的=/Ax .通过上面的学习我们知道：微分力是白变量改变

40、量Z x的线性函数，dy与 的 差。(A)是关尸Ax的高阶无穷小量,我们把dy称作的线性主部。于是我们乂得出：当x 0时,Z X y=dy.导数的记号为：益 ,现在我们可以发现,它不仅表示导数的记号，而n还可以表示两个微分的比值(把看成dx.即：定义自变量的增量等户自变量的微分)，还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立.微分形式不变性设y =/(),“=3(月,则复合函数=，研 初 的微分为：力=乂 心=)&“)以由于炉&)a=血，故我们可以把身合函数的微分写成dy=尸 )必由此可见，不论u是白变量还是中间变量，、=/()的微分dy总可以用 俗)与d

41、u的乘枳来表示，我们把这一性质称为微分形式不变性.例题：已知y =s G(2 x+D,求dy解答：把2x+l看成中间变量U,根据微分形式不变性,则21dy=d(s in 以)=cos 以*以=cos(2x+l)d(2x +l)=cos(2x+1)-2dx-2cos(2x+l)女基本初等函数的微分公式由r函数微分的表达式为：力=/（力 小.r是我们通过基本初等函数导数的公式可得出基本初等函数微分的公式下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式对比一下：（部分公式）导数公式微分公式(Qf=0d(CQ =O(切=1d(x)=dx(x”y =4d(x)=切 dx(s in x)r=cos xd

42、(s in x)=cos xdx y=/d )Q n x)*=X，-、dKd Q n 式)=X微分运算法则由函数和、差、积、商的求导法则.可推出相应的微分法则.为了便广理解，下面我们用表格来把微分的运算法如与导数的运算法则对照一下：函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则(v)r=ZifVd(u v)=du dv3)，=c vd(Cu)=Cdud(*P)=vdu+udvr_ u、-uv9IJ _ V2/“、vdu-udvd=-3I”V22例题：设 X ,求了(x)对X 的导数解答：根据微分形式的不变性/s in 彳 (x c o s 片 一 s in 八，a-辽 汇 ,d f(

43、7 L)_ x)x )_ x c o s x-s in xdx3 dx3 3x2dx 3 x4三、导数的应用微分学中值定理设方,连续函数、=/()，a与b是它定义区间内的两点(a N)时，与 g (x)都存在，g (X)*0.且(-3 g(，存在./(x)./l i m -l i m -则;声=;荔声)这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L H o s pi t a l)法则s i n a x ,h m -(b H 0)例题：求0解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的型求解问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了.25,s i n

44、ax.a cosax ahm-=l u n-=A sm bx 怎TQ bcosbx b例题:.ax2+8h m -求 J，次+d解答：此题为未定式中的0 00 0型求解问胭，利用罗彼塔法则来求解,d t x2 4-6 寸 2ax ah m -r =hm=一-z 2c x c另外，若 遇 到0 8%0 0-0 0Q或 巴产、0、8 等型，通常是转化为6 8 型后，在利用法则求解“l a m (x h A)例题：求i 0+0或o o解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它 为0 8型.故 可 先 将 其 转 化 为 0 0型后在求解.l i m (彳 I n x)=l i m 2=l i m

45、z+xW 1 I Q+1二 三x -xE m -x=0X T0+3/fW /（x）t o n -u m -W（K）h i 区（j f）注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且：者的极/（X）./（X）l i m -Um -限相同；而并不是不存在时，-s 也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。函数单调性的判定法26设函数、=/（X）在 a.b 上连续，在（a.b）内可导.a）：如果在（a,b）内，（”）0,那末函数少=/8）在 a,b 上单调增加；b）:如果在（a,b）内,（X）0,那末函数A =在 a,b 上单调减少.函数的极值及其求法函数极值的定义设函数/S,在区间

46、（a,b）内有定义，x 8是（a.b）内一点.若存在着x。点的一个领域，对 r-这个邻域内任何点x（x。点除外），（x）/（x）均成立,则说,（而）是函数/（幻 的一个极大值：若存在着X。点的一个邻域，对 r-这个邻域内任何点x（整点除外），/（X）（X）均成立,则说,（丽）是函数J S）的一个极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点.学习这个问题之前,我们再来学习一个概念一驻点凡是使 （*）=的 x点，称为函数/S）的驻点.判断极值点存在的方法有两种：如下方法一：设函数/（X）在“点的邻域可导，且/（X。）=.情况一：若当x 取 X e 左侧邻近值时，/（幻

47、0,当X取 X。右侧邻近值时，尸（X）0.则函数/（X）在 x 点取极大值情况一：若当x 取 X。左侧邻近值时,/S）o,当x取右右侧邻近值时，/（幻 0.则函数/（X）在右点取极小值27注：此判定方法也适用于导数在X。点不存在的情况。用方法一求极值的一般步骤是：a）:求9b）:求y（的）=的全部的解驻点：c）:判断了（X）在驻点两侧的变化规律,即可判断出函数的极值.方法二：设函数/（X）在右点具有：阶导数，且,（X。）=时/（丽）*.则：a）:当/函数/（X）在力点取极大值；b）：当（/）o,函数,（X）在右点取极小值；c）:当/（/）=（）,其情形不一定,可由方法一来判定.例题：求/（”）

48、=*+2尸（X-以 极值点*先求导数/=2（x+2）（x _ l）3+（x +2）23（x _ l）2=（x+2）a r _ l）2（5 x+4）再求出驻点：当（而）=时，x=2、1、-4/5判定函数的极值，如下图所示(-3,-2)-2(-2,-4/5 J-4/5(-4/5,1)1(1,十8 )+00+0+刁国大援小尸无例题：我们仍以例1为例,以比较这两种方法的区别.解答：上面我们已求出了此函数的驻点，下面我们再来求它的：阶导数。28j=(x -1)2(5 x +4)+(x +2)2(x-l)(5 x+4)+5(x -1)2=(x-l)(x-l)(5 x +4)+2(x +2)(5 x +4)

49、+5(x -l)(x +2)=2(x-l)(1 0?+1 6x+l),以1)=.故此时的情形不确定，我们可由方法一来判定；2)o,故此点为极小值点.函数的最大值、最小值及其应用怎样求函数的最大值.最小值呢？前面我们己经知道了，函数的极值是局部的.要求,(X)在 a,b 上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点/(“)/(”)的值，从中取得最大值、最小值即为所求。例题：求函数/(*)=/-3无+3,在区间-3,3/2的最大值、最小值。解答：,(X)在此区间处处可导，先来求函数的极值()=3 23 =,故*=1,再来比较端点与极值点的函数值，取出最大值与最小值即为所求.

50、因为1)=1 J0 W 3)5 1)=5,故函数的最大值为了(D =5.函数的最小值为了(3)二 一”.曲线的凹向与拐点通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一29步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。定义，时区间I的曲线y=/（x）作切线,如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I凸,如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I凹.曲线凹向的判定定理定理一，设函数=丁 葭）在区间（a,b）上可导,它对应曲线是向上凹（或向下凹）的充分必要条件是:导 数/（X）在区间（呢b）上是单调增（或单调减）。定理二 设函数少=/）在区间（a,b）上可导，并