辽宁省沈阳市皇姑区2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题.pdf

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1、辽宁省沈阳市皇姑区实验中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1.下面关于弧度的说法，错误的是()A.弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B.一个角的角度数为，弧 度 数 为 则 去 二 里.180 7 1C.长度等于半径的6倍的弦所对的圆心角的弧度数为与D.航海罗盘半径为10cm,将圆周32等分，每一份的弧长为?c m.2.关于象限角a的三角函数，下列说法错误的是()A.角a的终边与圆心在原点、半径为r的圆的交点为(rcosa,rsina)B.a是第一象限角，则sinae ,点尸(?,)在a的终边上，则cosasina.3.已知 tana=3,则 Zsin?a+sin a

2、cos a -3cos2 a 的 值 为()9 17A.-B.18 C.D.155 104.在平面直角坐标系中，A a，)8(X 2，%)，0(0，)三点不共线，则 错 误 的 结 论 是()A.若O4_LO3,贝I%/+%=。-B.的面积为:|当必一工2必|C.3到 直 线 的 距 离 为I%-X阂收+才D.丽在而上的投影为书 牛(2)5.已知向量万力瓦同=2,对任意/e R,恒 有 平 忸 目，贝!()A.a Le B.万 _1 _(万一ga)C.ela-e)D.(a+e)(a-e)6.圆台的上、下底面的面积分别是n,4兀，侧面积是6兀，则这个圆台的体积是()A 2石 R c A 76 c

3、1出A.-Ji B.2、/3兀 C.-冗 D.-n3637.已知$由0-S 由/?=一*以）5 0-（：0$/=!,且，则tan（a-/?）的值为（）A 一型B.C.且D.+叵55 22二、多选题8.关于复数的运算，错误的是（）A ；-7=-cosS-isin，）,一（cosO+isin。）rC.|Z1+Z2|2+|Z1-Z2|2=2|Z,|2+2|Z2|2B.D.五Z2ziA9.某人在A处向正东方向走xkm后到达3 处，他沿南偏西6 0 方向走3km到达。处，这时他离出发点g k m,那么x 的值可以是（）A.GB.2A/3 C.&D.2&10.已知。，夕是两个不同的平面，小 是两条不同的直

4、线，则下列说法中正确的是A.若 m_La,ml I n,则 a_L 4B.若 m，u a,mlip,n/P,则 all/3C.若 a 分，m u a,nu/3,则D.若 a_L,m u a,&/=，m k n,则7_Li i.已知,瓦3 是平面向量，工是单位向量，非零向量公与工的夹角为9，向量5 满足5-6 力+8=0,贝仙4 I 可能取至IJ的 值 为（）8A.亚 1 B.3732T12.下列等式成立的是（）A.sin40+-cos40?=sin702 2C.sinlO sin50 cos20=-C.73-1 D.73+10 2sin255-1,D.-二 1sin20cD.tan67.5-t

5、an22.50=2三、填空题1 3.把复数3-g i 对应的向量绕原点。沿顺时针方向旋转30,所得向量对应的复数是1 4.过球面上三点A,及C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且试卷第2 页，共 4 页A C =B C =6,A B=4,则球的表面积为.1 5.已知圆内接四边形ABC。中，A8=2,BC=6,A。=C。=4,则四边形ABC。的面积为.16.正四棱柱A 8C O-A B C R 中，底面边长为1,侧棱长为2,P,Q分别是异面直线和 8。上的任意一点，则 P,Q间 距 离 的 最 小 值 为.四、解答题17.在 AABC 中，/(B)=4cosB-sin2+-1+73cos2B

6、-2cosB.(1)若 f(B)=2,求角 B；(2)若/(8)-?2恒成立，求实数机的取值范围.18.已知向量,坂满足|2|=出|=1,|筋+切=6|-癌|伏 0,女 eR)(1)若Z/4，求实数%的值；(2)求向量Z与B夹角的最大值.19.在 A4BC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且a=2sinA,+-=0.COS C c c(1)求 c 的值；(2)求A4BC面积S 的最大值.20.己知向量 =(cos2a-2)石=(l,-sin2e),m=7 另+2,在复平面坐标系中，为虚数单位，复 数 对 应 的 点 为 4.(1)求；(2)Z 为曲线卜-2司=1(1为的共辄复数)

7、上的动点，求Z 与4 之间的最小距离；（3）若 e=g,求 在另上的投影向量兀O21.如 图（1）所示，AABC和ACO都是直角三角形，AB=BC=46,ZCAD=30,如 图（2）所示，把沿AC边折起，使AABC所在平面与AC。所在平面垂直，连接 BD（1）求 3。与平面AOC所成的角的余弦值；（2）求点C 到面4 的距离.22.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A3CZ）为矩形，平面PA）_L平面ABC。，P A Y P D,P A=P D,E,尸分别为AO,PB的中点.（1）求证：平面以8，平面尸8；（2）求证：EF平面PCD.试卷第4 页，共 4 页参考答案：1.D【分析】根据弧度制与

8、角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.【详解】A.根据弧度数定义可知A 正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B 正确；C.根据三角形关系可知，长度等于半径的G 倍的弦所对的圆心角为120,即弧度数为1,故 C 正确；D.圆周长为2乃厂=20万 cm,32等分后，每 一 份 弧 长 为 故 D 错误.8故选：D2.B【分析】根据三角函数的定义判断A C D,举特例判断B.【详解】A.由三角函数的定义知A 正确；B.sin a a ta n a 不一定正确，如。=兀，tan a=“，得 cosa sina,D 正确.yj/n+n 7 m+n故选：B.3.A【分析】原式可除以siM a +c

9、os?a 化简成2 tan?a：tan a-3,代入tana=3求值即可lair a +1【详解】2sin2 a+sin a cos a-3cos2 a_ 2sin2 a +sinacosa-3cos2 asin2 a+cos2 a_ 2 tan2 a 4-tan a-3tan2 a+19代入tan a =3可算得原式的值为|.故选：A4.D 分析】分别由坐标法求出OA.OB.cos NA0 8、sin ZAOB,对 A,OAlOBOA dB=0;对 B,SAR0=IOAI-IOBIsinZAOB；答案第1 页，共 14页对 C,B 到直线O A的距离为|丽卜in Z A O B:对D,砺在而

10、上的投影为幽 cos N4OB0B.研【详解】由题，砺=&，x),O B =(x2,y2),cosNAOB=UUI uuuOAOBOA.08网.|08O A-OB O-OB网网对 A,O A A-O B O A O B =xx2+yy2=0,A 对；对 B，s AB0=1|OA|-|oB|Sin A A O B =|,B 对；对 C,B 到直线。4 的距离为|即 in/A B =匣c x；j-.对 D,而 在 丽 上 的 投 影 为|oosN A O B.谶=慧：/必),D错.故选：D.5.C【分析】对任意r e R,恒 有 忸-加 目 等 价 于 区 一 后 2 区-同2恒成立，即可展开成一

11、元二次不等式，则恒成立等价为A 4 0,可得无=4,最后根据向量垂直与数量积的关系逐个判断即可【详解】对任意r e R,恒 有 忸-德 目 等 价 于|局 2 2 区一,恒成立，展开整理得4t2-2a-e-t+2a-e-4 0,则当4=（-2万 1）2-16-（2/电-4）=4（1 2）2-861+16=4（万 一4）2 4 0,恒成立成立，a-e=4.对 A,=4 x 0,不成立，A 错；对 B,a 1（a-e a-（a-e=a2-a-e=a2-2=0a=/2,不一定成立，B 错；答案第2 页，共 14页对 C,e l(a-e)e a-e)=e-a-e2=0,成立，C 对；对 D,(a+e)

12、l(a-e)(a+e)-(a-e)=a2-=0|o|=2,与条件矛盾，D 错;故选：C6.D【分析】求出圆台的高，再利用圆台的体积公式进行计算.【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,母线长为/,高为6”由圆台的上、下底面的面积分别是兀，4兀，得7tr=it,兀R2=4,所以r=l,R=1,由圆台侧面积公式可得nX(2+1)/=6TT,所以/=2,所以=西 _(2_1)2=5所以该圆台的体积V=+r2+7?r)=兀*石、(4+1 +2)=兀故选：D.7.AQ【分析】将条件的两个式子平方相加可得2-2 c o s(a-)=,然后可得8 s(a-4)的值,然后判断出a-4然后可求出答案.【详

13、解】由sina-sin/?=g 可得sin2a Zsinasin/J+sin?/?=,由 cosa-cosy?=1 可得cos2。-2cosacos+cos26=,Q5两式相加可得2-2 co s(a-尸)=,所以c o s(a-/7)=因为 sina-sin4 =-1 Ja2+b2%n 丁*=-;3-=T=，B 正确；c2+d2 T T T J7%|z,+z2|=a+c+(h+d)i=(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d+2ac+2bd,|z(z2r=ac+bd)=(a c)2+(bd)2=a2+h2+c2+d2 2ac 2hd,|z,+z212+1 z,-z212=2(a2+h

14、2)+2(c2+1/2)=2|z|2+2|z212,C 正确；Z )_ ac+bd-(be-ad)i 。+dZ _ a-bi _ (。-bi)(c+di)_ ac+bd+(ad-bc)i _(4 口 下确z2 c-di(c-di)(c+M)c2+rf2 U J 故选：BCD.9.AB【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】如图，由条件可知，|AB|=xkm,ZABC=30,忸。=3km,|A q=6 k m ,根据余弦定理可知3=x、9-2 3x,即/_ 3 向+6=0,2解得：x=6或2+故选：AB10.AD【分析】根据线面位置关系判定A 正确，根据面面垂直的性质可得D 正确，B 选项必须两

15、条直线相交，C 选项两条直线可能平行也可能异面.答案第4 页，共 14页【详解】A 选项若,?/，则w_La,u ,则a_L尸，所以该选项正确;B 选项若加，u a,ml1(,n/p,必须加与相交，才能得出。，所以该选项错误;C 选项若a/,机u a,nu/3,则?，可能平行也可能异面；D 选 项 根 据 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 若，u a,a p =n,m l n,则加，?该选项正确.故选：AD【点睛】此题考查空间线面位置关系的判定，关键在于熟练掌握线面之间的垂直和平行关系的判断，结合定理和性质即可判定.11.ABD【分析】建立平面直角坐标系，由给定条件，确 定 九 B的终点的轨

16、迹即可求解作答.【详解】将向量,员工平移到共起点o,以点。为原点，单位向量工的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图，由12-6力+8=0 得：I)-6e-b+9e=0)或 y=-G v(x 0)上,点、C(3,()到射线y=瓜(x 0)或 y=-瓜(x 0)的距离d=当,因此圆C 上的点到射线y=&x(x 0)或 y=-G x(x 0)距离的最小值为“一 1 =手-1 ,卜-彳表示圆C 上的点与射线y=G x(x 0)或 y=-W x(x 0)上的点的距离，即有归-5卜 孚-1,A 满足，而6 +1地 叵 _ 1,V 3-K -因此，BD都满足，C 不满足.2 2 2故选：ABD12.

17、BCD答案第5 页，共 14页【分析】利用三角恒等变换公式一一计算可得.【详解】解：对于 A：lsin40+cos400=sin（40+60）=sin 100=sin80 sin70,故 A错误；对于 B.2城 55。-1 _-cosllO _-cos(90+20。)_ sin 20。sin20 sin200 sin200 sin20对于 C：sinlO sin50 cos20=sinlO cos40 cos20sinlO coslO cos40 cos200cos 10-sin 20 cos 40 cos20_ 2cos 10sin40 cos 40二4cos 100-sin80-coslO

18、 M-cm8=8=j_，故 C 正确;cos 10 cos 10 8因为 tan675-tan225=tan(450+22.5)-tan(45-22.5)tan45+tan22.5 tan45-ta n 22.51-tan45-tan22.5 1 +tan450-tan22.5_ 1 +tan 22.5 1-tan 22.51-tan 22.5 1 +tan 22.5_(l+tan22.5)L(l-ta n 2 2.5)4tan22.5 _ 2 3 4 5-2,故 D 正确;1-tan2 22.5 1-tan2 22.5故选：BCD1 3.6-3i#-3i+G【分析】根据给定条件，求出复数3-

19、6 i 对应的点所在终边的角，再借助三角函数求解作答.【详解】复数3-4 对应的点A（3,-右），以射线。4 为 终 边 的 角 则 tana=-3,显然a3是第四象限角，因此a =h360-30,A e Z,将射线OA绕原点O 沿顺时针方向旋转3 0 所得的角为a-3 0 =A:-3600-60,jte Z,而|O A|=2 g,有|OA|cos(a-30)=2石 cos60=y/3,OA sin(a-3()=-2 sin 60=-3,答案第6 页，共 14页即点A 绕原点。沿顺时针方向旋转3 0 所得点的坐标为(6,-3),对应复数为百-3i,所以所得向量对应的复数是6-3 i.故答案为:

20、百-3i14.547t【分析】根据正弦定理求出AABC外接圆的半径，然后根据题意结合勾股定理计算出球的半径 R,即可求出球的表面积.【详解】因为AC=BC=6,AB=4,所以cosZACB=如58 c,-=6*二4：=些=工2AC BC 2x6x6 72 9所以 sin Z.ACB=),9AB 4 9 r-r=-=/2所以AABC外接圆的半径为 2sin ZACB 8夜 4,9设球的半径为R,由题意可得R 2=(；RJ +/,解得R2=5,77所以球的表面积为5=4兀片=4TTX =54?t,故答案为：547t.15.【详解】连接B。,圆内接四边形对角互补，A+C=%，利用余弦定理，得6 +4

21、2-2 x 4 x6cosC=23+42-2 X 4 X 6COS(TT-C),*cosC ,。C(0,0,2),8(1,1,2),所 以 取=(1,0,2),丽=(1,1,0),4=(1,0,0),答案第7 页，共 14页设 E =(x,y,z)且 黑1:,即 令 Z =l,则*=一2,y=2,所以=(一 2,2,1),加丽9所以异面直线A。和 3。的距离d =j ,0所以尸、。间距离的最小值为故答案为：I一 冗1 7.(1)B=(2)m 2 恒成立，得 2 s i n(2 8 +?)2 +机恒成立，然后只需求出/的最小值即可 详解解：(1)/(B)=4C O SB-+GC O S2 8-2

22、C O S8=2 c o s B(l+s i n B)+G c o s 2 8-2 c o s 8=s i n 2 3 +G e o s 2 8 =2 s i n(2 B +?j ./(B)=2 ,.-.2 8 1 1 1 +=2.答案第8页，共 1 4 页.B是AABC的内角，+则 8=二.3 2 12（2）若/（8）一机 2恒成立，即2sin（2B+?）2+m恒成立.7C 7：0 B T T,，一 28+一 一 4,3 3 3.2sin（2B+?）e-2,2,2+机 v 2,即机 0,确定a,B方向关系，即可求解;（2）设 的 夹 角 为。，根 据（1）求出cos。，利用配方法求出cos。

23、的最小值，即可求出结论.【详解】（1）因为2 石，左 0,所 以 出=应 丑 0,则公与囚同向.4k因为I 1=1石 1=1，所以 B=1,即 1 1 =1,整理得火2一必+1 =0,解得&=2 也，4人所以当k=2 土百时，at 1b-（2）设点坂的夹角为，,当=7 F，即&=i时，cos。取最小值;，TT又0。万，所以。=,7 T即向量 与石夹角的最大值为【点睛】本题考查了平面向量的基本运算、向量的模计算、向量的夹角等基础知识，属于中答案第9 页，共 14页档题.19.(1)G；(2)B.4【详解】试题分析：(1)要求边J 从已知 =2sinA出发，如能求得角C 即可，又已知条件 当+幺+

24、2=。是边角关系，因此我们应用正弦定理把边转化为角，从而可很快求得CO S C C CC=M，再正弦定理可得c；(2)由(1)S=-absinC=a b,而由余弦定理有c2=a2-2abcosC,可求得他的最大值.试题解析：(1)V|+-=0,CO S C C Cccos B+2tzcos C+/?cos C=0,由正弦定理化简得：sinC cos B+sinBcos C+2sin A cos C=0,即 sin(8+C)+2sin AcosC=0,整理得：sin A+2sin Acos C=0,V sinAO,cosC=-2r 2万3.asinCsin A=6.(2)*/c=G,cosC=2

25、 c 1 a2+/?2-3.cos C=-2 2ab ci+h+cih 3,*a2+b2 2ab,3ab =l,a 与石的夹角余弦为cosO=p|w=p y与加方向相同的单位向量为e=而木，用所 以 公 在 让 的 投 影 向 量 添=乎 际 昨=偿,-怖)21.(1)画(2)空 510 5【解析】(1)取 A C中点E,连接BE,OE,先求证/B O E 为 8。与平面ADC所成的角,结合已知条件，即可求得答案；答案第11页，共 14页（2）先求证CH的长为点C到面4皮）的距离，结合图形和己知，即可求得答案.【详解】（1）取A C中点E,连接BE,力邑AB=BC=m,：.BEVAC.面 AB

26、C_L 面 AC。，.3E_L 面 AC。，即为8。与平面ADC所成的角.ABC为等腰直角三角形且A8=而，BE=瓜 AC=2区.BD=V7+3=ViO,DE=4 icos Z.BDE=70.10二 屹 与平面AC所成的角的余弦值为恒.(2)CD八面 A3C,A B u 面 ABC,:.CD.LAB.AB1BC,BCcDC=C,.AB 上面 BCD.答案第12页，共14页过 C 作 C 4 _ L 3 3,则 C H，面 ABD,：.C H的长即为点C到面ABD的距离.在 RtADC 中,AC =2底N C A D=3 0/.C D =2 5/3 x t a n 3 0 =2,在MABCD中，

27、BC =C D =2,BD=/6 +4 =V 1 0,.川=平=巫V 1 0 5点C到面ABD的 距 离 为 迦 .5【点睛】本题考查了求点到面的距离和线面角，解题关键是掌握点到面距离的定义和线面角的定义，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2 2.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）首 先 根 据 面 面 垂 直 的 性 质 得 到 平 面E 4 O,从而得到根据_ L P得到J_平面P A B,再利用面面垂直的判定即可证明平面PAB _ L平面PCD.（2）首先取P C中点G,连接FG,G D.易证四边形E F G D为平行四边形，从而得到EF/GD,再利用线面平行的判定即

28、可证明E F平面PCD.【详解】（1）因为底面AB C D为矩形，所以因 为 由 平 面 平 面AB Q9 =A D,所以AB _ L平面A4 O,P D u平面 PA。，所以 A3 _ LPE.又因为 P4 _ LP,PACAB=A,所以 P J_ 平面,因为P D u平面PC。，所以平面PAB JL平面PC。.（2）如图，取P C中点G,连接尸G,GD.答案第1 3页，共1 4页因为b，G分别为m和PC的中点，所以FG/BC,且尸G=g 8C,因为四边形ABCD为矩形，且E为AO的中点，所以ED/BC,D E.B C,所以ED/FG,且&)=F G,即四边形EFGD为平行四边形，所以EF G D,又 防 平面PCD,G D u平面P C D,所以EF平面PCD.答案第14页，共14页