高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册全概率公式.pdf

《高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册全概率公式.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学：学案2：高中数学人教A版2019选择性必修第三册全概率公式.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、7.1.2全概率公式 导学案【学习目标】1.理解并掌握全概率公式2.了解贝叶斯公式3.会用全概率公式及贝叶斯公式解题【自主学习】知识点一全概率公式尸=P(A)P(=+/(4)0(8|彳)；定 理 1若样本空间。中的事件4,4,，4满足：任意两个事件均互斥，即4 4=0,i,7=1,2,n,i半三,4+/I 2+4=。尸(4)0,f=l,2,，n.则对2 中的任意事件6,都有8=9+以+刈，且n nP=j /W,4)=/1/U)皿 4).知识 点 二 贝叶斯公式(1)一般地，当0尸(4)0 时，有p(.功 4)二 4 1(0 一+凡 7)汽6|7)定 理2若样本空间。中的事件4,4,，4满足：任

2、意两个事件均互斥，即44=。，/,j=l,2,，n,i力j；1 4+4H-A=O；1 (4)0,7=1,2,，n.则对。中的任意概率非零的事件8,有/U或、=小喝4)L8 4)；U)A 6 n 尸=)=1/、/、3+1 4 PA =?o n-i y ,尸(4|B)=7TT7=_ _ _ 4 2 1 1 11 尸(4=P M +&40=P(力尸(0+P(A 而 2(7)=-X-+-X-=y o o o 乙 i探究二贝叶斯公式及其应用【例 2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病.在患有此种疾病的人群中，通过化验有9 5%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应.某地区此种病的患

3、者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？4 解 设力=呈阳性反应”，B=“患有此种疾病”，则尸(4)=尸(。尸(4+P(B)PAB)=0.5%X 9 5%+9 9.5%X 1%=1.47%.P(B|A)=所以P(AB)P=0.5%X 9 5%=1.47%3%.归纳总结：第一步：利用全概率公式计算利力）,即尸（力=J2=1尸）尸（力也用第二步：计算户（/而，可利用户（4 0=尸（0户（4|0求解；第三步：代入/（创 力）=然 求 解.【练习2】某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%,209 6、30%.35%,又这四条流水线的

4、不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02,现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？解 设4=第/条流水线生产的产品，=1,2,3,4；8=抽到不合格品，.尸（4）=0.15；尸（=0.20；/（4）=0.30；-（4）=0.35.4（84）=0.05；2 4）=0.04；尸（剧4）=0.03；户（夕|4）=0.02,-1尸=2 =1 尸（4）PB 4）=0.0315.PA,&=,0.222 2.I 1探究三全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状S=S，W,S,S 的疾病有d，&,“三种，现从20 000

5、5份患有疾病d,dz,”的病历卡中统计得到下列数字:疾病人数出 现S症状人数d7 7507 500dz5 2504 200di7 0003 500试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？解 以 表示事件“患有出现S中的某些症状”，。表示事件“患者患有疾病d r(7=1,2,3),由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知/、7 750,、5 2500.387 5,=262 5,乙U UUU 乙u uuu/、7 000 z x 7 500)=7 7-7 7

6、 7=0.3 5,尸(41 )=7 -0.967 7,zU UUU(/DU/i、4 200/、3 500/(/|加=/=0.8,/(4|)=厂而5=0.5.ZOU l uuu从而 尸(心=尸(川)()+(川加夕(。)+尸 尸(加=0.387 5X 0.967 7+0.262 5X0.8+0.3 5 X 0.5 0.76.由贝叶斯公式得八 力 0.387 5X0.967 7W M)=-=o.76心 0.4934,产 心=八力|)0.262 5X 0.80.760.276 3,6/4=共川)人。)0.35X0.50.76-0.230 3,从而推测病人患有疾病d较为合理.归纳总结：若随机试验可以看成

7、分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：1如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；2如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率,熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效【练 习3】同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.8 0,三家产品数所占比例为2：3：5,将三家产品混合在一起.(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可

8、能性大？解 设 事 件/表 示“取到的产品为正品”，,氏，笈分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知/(团=0.2,/)=0.3,/(加=0.5,尸(4=0.9 5,2(4|8)=0 9,尸(川加=0.8.由全概率公式得：3P(A)=P/(4|8)=0.2X0.95+0.3X0.9+0.5X0.8=0.86./=1(2)由贝叶斯公式得7产(川冷=网 夕)汽4|5)0.2X 0.950.86-0.2 2 0 9,尸/(、因网的心网川=0.=3 X0.9-0.314 0.,、外网川6 0.5 X 0.8尸(/A)=-Jn 1=-，-0.465 1.jA)0.86由以上3个数作比较，可知这件产品由

9、丙厂生产的可能性最大.8课后作业A组基础题一、选择题1 .有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.2 5,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为()A.0.6 5 B.0.0 7 5C.0.1 4 5 D.0【答案】C 设 4 =他乘火车来，4=他乘船来，4=他乘汽车来，4 =他乘飞机来，8=他迟到.易见:4,4,4,4构成一个完备事件组，由全概率公式得尸(0 =/=1尸(4)尸件)=0.3 X 0.2 5+0.2 X 0.3+0.1 X 0.1+0.4 X 0=0.1 4 5.2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.0 4,

10、第二台的废品率为0.0 7,加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为()A.0.2 1 B.0.0 6C.0.9 4 D.0.9 5【答案】D 令8=取到的零件为合格品，4=零件为第，台机床的产品，=1,2.由全概率公式得：2 1产(0 =尸(4)P(B 4)+户(4)P(B A2=X 0.9 6+-X 0.9 3=0.9 5.故选 D.O O93.设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8.则甲正点到达目的地的概率为（）A.0.7 2 B.0.9 6C.0.8 6 D.

11、0.8 4【答案】C 设事件力表示甲正点到达目的地，事件8 表示甲乘火车到达目的地，事件。表示甲乘汽车到达目的地，由题意知/（0=0.4,尸（0=0.6,小川0=0.8,/（如。=0.9.由全概率公式得尸（/）=尸（而 尸/+产（。产（川。=0.4 义 0.8+0.6 X 0.9=0.3 2+0.5 4=0.8 6.故选 C.4 .播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，设的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含5 0 颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.1 5,0.1,0.0 5,则这批种子所结的穗含5 0 颗以上麦粒的概率为（）A.0.8 B.0.8 3 2 5C.

12、0.5 3 2 5 D.0.4 8 2 5【答案】D 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是4,4,4,4,则它们构成样本空间的一个划分.设8=“从这批种子中任选一颗，所结的穗含5 0 颗以上麦粒”，贝 i j：4尸（=尸（4）户（引4）=9 5.5%X 0.5 +2%X 0.1 5 +1.5%X 0.1 +1%X O.0 5=0.4 8 25 .故选D.5.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产去乙、丙两厂各生10产;，而且各厂的次品率依次为2 览2%4 队 现从中任取一件，则取到次品的概率为()A.0.0 2 5 B.0.0 8C.0.0 7 D.0.1 2

13、5【答案】A 设4,A2,4分别表示甲、乙、丙工厂的产品，6表示次品，则尸(4)=0.5,户(4)=尸(4)=0.2 5,尸(创4)=0.0 2,户(引 4)=0.0 2,/(8 4)=0.0 4,尸(8 =尸 PB 4)+户(4)P(B 4)+(4)PB 4)=0.5 X 0.0 2 +0.2 5 X 0.0 2+0.2 5 X 0.0 4=0.0 2 5.故选 A.6.一道考题有4个【答案】，要求学生将其中的一个正确【答案】选择出来.某1 9考生知道正确【答案】的概率为王 而乱猜正确的概率为手在乱猜时，4个【答案】都有机会被他选择,如果他答对了，则他确实知道正确【答案】的 概 率 是()【

14、答案】B设4=考生答对，B=“考生知道正确【答案由全概率公式：_ _ 1 2 1 1P(A)=P(切P(A力+尸(8)/(川 6)=-X 14-X-=-O。d 乙111又由贝叶斯公式：P B J)=等 售=：=|.故选B.1/1)1 O2二、填空题7.某小组有20 名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名.又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.8 5、0.64,0.45、0.3 2,今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为.【答案】0.527 5设B=该小组在比赛中射中目标,4=选，级射手参加比赛,(1=1,2,3,4).由全概率公式

15、，有尸(0 =(4)(创4)2 6 9 3=X 0.85+TTX 0.64+TJTXO.45+TTX 0.3 2=0.527 5.乙 U 乙 U 乙 U 乙 u8.袋中有10 个黑球，5 个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出3 点的概率为.【答案】0.0 4案5设6=取出的球全是白球,4=掷出，点 (，=1,2,，6),则由贝叶斯公式，得X1-644)外笈4)PAiB)=1一65咨诅84)=CsF-=0.0 48 3 5.X&C；59.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以/表示事件12“试验反应为阳性”，以。表示事件 被诊断

16、者患有癌症”，则有尸(加0=0.95,一(彳|Z)=0.9 5,现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.0 0 5,即尸(0=0.0 0 5,则尸(二0)=.(精确到0.0 0 1)【答 案】0.0 8 7 由题设，有一(下)=1-户(0=0.995,P U I?)=1-A7|C)=0.0 5,由贝叶斯公式,得 P(C A)=-、一 、二 0.0 8 7.1IAC)IC)+IAC)PCC)10.一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次取出的3个球均为新球的概率为【答 案】5285 915

17、设 =第二次取出的均为新球”,B产“第一次取出的3个球恰有，个新球(/=(),1,2,3).由全概率公式P=P/(川区)+P尸(4 8)+PP(A|B)+PPA笈)CG Co Ls LgCfi L7 C9 Ct；3 z-,3 I3-3 I-3 -3 3 315 15 V15 Vzi5 C15 V15 V15 C155285 915,1 1.电报发射台发出“”和“-”的比例为5：3,由于干扰，传 送“”时失21真 的概率为:传送-”时失真的概率为亍则接受台收到“时发出信号恰是“”的概率为133【答案】；设 4=收到“=8=发出“”，由贝叶斯公式5 3一(引心=-1=R.=不】IB)IAB+IB)

18、IIA B)j x +f x 1 48 5 8 3三、解答题12.设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为:，:现从这三个地区任抽取一个人.7 5 4(1)求此人感染此病的概率；(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率.解 设 4=第/个地区，=1,2,3；6=感染此病/.P(A)=|；尸(4)=；(4)=；.O O O:.P(B 4)=4；P(B Az)=4；PB 4)=7./b 438 3尸=Z,尸(4)尸(引4)=怠 心 0.198,g 4 2 0产(4 =3、八 一=。-3 3 7.O O-4)/3 14)13.设甲盒有3 个白球，2 个红球，乙盒有4 个

19、白球，1 个红球，现从甲盒任取2 球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求：从乙盒取出2 个红球的概率;14(2)已知从乙盒取出2 个红球，求从甲盒取出两个红球的概率.解(1)设 4=从甲盒取出2 个红球；4=从甲盒取出2 个白球；4=从甲盒取出 1 个白球1 个红球；6=从乙盒取出2 个红球.则4,4,4 两两互斥，且 4+4+4=0,所以P=尸(4)尸4)+尸尸(8 4)+尸(4)尸(引 4)CLCLCL CXZC2 3-c r c r c r c r 森 xcr?o-1 夕 取 需=3=44rD)6 6石一)引 4)701 4.设 5 支枪中有2 支未经试射校正，3 支已校正.一射手用校正过的枪

20、射击,中靶率为0.9,用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.解 设 表示枪己校正，6 表示射击中靶.3 _ 2则尸(=,尸(A)P(BA)=0.9,5 5P(BA)=Q.1,尸(7)=0.4,(5|7)=0.6._ 3 2尸=P(A)PB A)+尸(/)P(B A)-TX 0.9+TXO.4=0.7.5 57)(7 1彳)P(7|7)=7)7|7)+打/)气力|为2-XQ.6D9=0&TXO.6+7XO.15 515B组能力提升一、选择题1.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5 箱

21、英语书、2 箱数学书、3 箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9 箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）2-93-B.8【答案】B 用力表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用打表示丢失的一箱为4,4=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书.1 C2 1 C-3 C2 8由全概率公式得尸（/）=丸。（加 P（A Bj=-?+-,75+77 73=77.e Z Lg D Lg i（J C9 3t1 d产4=a s/川 5 日33636=?故选 B。二、填空题2.已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02,一

22、个次品被误认为是合格品的概率是0.0 5,则在检查后认为是合格 品 的 产 品 确 是 合 格 品 的 概 率 为.（精确到0.001）【答案】0.998 设 4=任取-产品，经检查是合格品,6=任取-产品确是合格品，则 4=胡+石4P(A)=尸(面 +尸(2)尸(4|2)16=0.96X 0.98 +0.04 X 0.05 =0.94 2 8,故所求概率为P 天0.96X 0,980.94 2 8 0.998.3.8 支步枪中有5 支已校准过，3 支未校准.一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则 所

23、用 的 枪 是 校 准 过 的 概 率 为.【答 案,琮4 0 设 8 产 使用的枪校准过,艮=使用的枪未校准,力=射击时中靶,则 N 3)5 ,、3=尸(氏)=O O尸(川 身)=0.8,2(川8)=0.3.由贝叶斯公式，得p(B =_ 怨 尊_ _ _ _ _ _=4 04 0所以，所用的枪是校准过的概率为石4.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为4 0%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40

24、%,则 该 支 股 票 将 上 涨 的 概 率 为.【答案】64%记 为事件“利率下调”，那么彳即为“利率不变”，记 8 为事件“股票价格上涨”.依题设知产(4)=60%,(7)=40%,尸(引4)=80%,。(8 7)=40%,17于是 尸(而=P(A*+尸(彳而=尸(P B 心 +尸(7)P B 7)=60%X80%+40%X40%=64%.5.某仓库有同样规格的产品12箱，其中6 箱、4 箱、2 箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为.，.，1.现从这12箱中任取一箱，1U 14 lo再从取得的一箱中任意取出一个产品.(1)则 取 得 的 一 个 产 品 是 次 品 的

25、 概 率 为.(2)若已知取得一个产品是次品，则 这 个 次 品 是 乙 厂 生 产 的 概 率 是.(精确到0.001)【答案】(1)0.083(2)0.287(1)设力=取得一个产品是次品,6=取得一箱是甲厂的,民=取得一箱是乙厂的,8=取得一箱是丙厂的.三个厂的次品率分别为1U 14 lo.*.77（J|）=,=7 7,-（力=上.6 4 212箱产品中，甲占冠，乙占冠，丙占冠，3由全概率公式得0(力)/(8)083.11Z IU 1Z 14 1Z 1 o依题意，已知4 发生，要求(区M),此时用贝叶斯公式:4 1P Q =X%因网川一 12 14IA）一）0.08340.287.三、解

26、答题6.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号.求他拨号不超过18三次而接通电话的概率.若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？解 设 4=第，次接通电话”，i=1,2,3,B=拨号不超过3次接通电话”，则事件6 的表达式为6=4 U M诙U才 T z/L利用概率的加法公式和乘法公式PB=尸（4）+尸（彳自）+/,（7,724（）_ _ _ _ _ _ _ _ _ 19 19 8=4）+/,（7l）/?（J a|A|）A PA2 A P（A3 人儿）=行X +行X J*3Z J+行J.XJ vX/1_ _ 3 _=而若已知最后一位数字是奇数，则p 9=m）+/（彳/）+夕（才 4 4）_ _ _ _ _ _ _ 14 14 3 1=（4）+尸（U-UJ+（力 1）（力/小）尸（4/=-+-X-4-X-X-=3 0 4 3 4。35,19