上海市嘉定区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案).pdf

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1、2022-2023学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷一、选 择 题（本大题共6 题，每题4 分，满分24分）1.下列图形一定是相似图形的是（）A.两个矩形 B.两个等腰三角形C.两个直角三角形 D.两个正方形2.如图，在 RtzXABC 中，ZC=90,BC=4,AC=2,则 tanA 等 于（）A.A B.2 C.返 D.V52 53.如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为8 2 、53,那么另一个三角形中最小的内角为（）A.82 B.53 C.45 D.不能确定4.如图：在AABC中，点。、E 分别在AB、A C上，根据下列给定的条件，不能判断。E与 BC平行的是（）D

2、B E C A B A C A E A C B C A C5.已知线段a,b,c,求作线段x,使 下 列 作 图 中 正 确 的 是（）c Xo X6.如图，已知在ABC中，边 B C=6,高 AZ）=3,正方形E FG 的顶点F、G 在边BC上,顶点瓜，分别在边AB和 AC上，那么这个正方形的边长等于（)二、填 空 题（本大题共1 2 题，每题2 分，满分2 4 分）7 .已知3 n Z,那么空上=_ _ _ _ _.y 3 x8 .计 算：-3 +2 （a b）=-2 29 .在比例尺为1：50 0 0 0 0 的地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际距离 是 千米.1 0

3、 .已知两个相似三角形的相似比是4：9,那 么 它 们 对 应 的 角 平 分 线 之 比 是.1 1 .已知在 A B C 中，AO是中线，G是重心，如果G O=3。”，那么AG=cm.1 2 .已知点P是线段AB的黄金分割点（A P B P）,A B=2,那么8P=.1 3 .已知向量之与彳方向相反，长度为5,则之用彳来表示为：.1 4 .如图，A D/BC/EF,A E：A B=2：3,A O=8,B C=1 4 则 EF=.1 6.如图所示，在正方形网格上有6 个斜三角形，A B C,B C D,B Q E,B F G,1 7 .新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”

4、.如图所示，A B C 中,A F、8E是中线，且 A F L B E,垂足为P,像 A B C 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果N A 8 E=3 0 ,A B=4,那么此时4c的长为c.A B1 8.如图，在ABC中，M N/A C,直线M N将ABC分割成面积相等的两部分.将8WN沿直线M N翻折，点8恰好落在点E处，连接A E,若AECM 则4E：NC=.三、解 答 题（78分）（10分）已 知%=工=三=0,且5 x+y-2 z=1 0,求x、y、z值2 3 420.（10 分）计算：sin60_+cot30。-.COS2600 2cos45。+tan60021.（10分）如图，

5、已知在AABC中，4。是边BC上的中线，设 虱=1，BC=b；（1）求 标（用向量二，E的式子表示）；（2）如果点E在中线A。上，求 作 而 在 就，正方向上的分向量；（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）.D22.（10分）如图，在。4BCD中，点 是线段C。延长线上的一点，BE与4。交于尸点.（1）求证：A A B F s A C E B；(2)若 D F：AF=2t 3,且 SMEF=4,求。ABC。的面积.E2 3.（1 2分）已知：如图，在 A B C中，点。、E分别在边A B、A C上，且N A B E=N A C D,BE、C 交于点G.（1）求证：A

6、 E O sa A B C；（2）如果B E平分N A B C,求证：DE=CE.2 4.（1 2 分）已知：如图，在四边形 A B C Q 中，N A=9 0 ,B D L D C,且 B ）2=A Z B C,点M是边8 c的中点.（1）求证：A O B C；2 5.（8 分）如图，在等腰梯形 A B C Q 中，A D/BC,A D=2,A B=5,si nN B=旦，点 E 是5边8 c上的一个动点（不与点B、C重合），作乙4 E尸=/4 E B,使边E F交边C D与点F（不与点C、。重合），设B E=x,CF=y.（1）求边B C的长：（2）当a A B E与C E F相似时，求8

7、 E的长：（3）求y关于尤的函数关系式，并写出定义域.2022-2023学年上海市嘉定区九年级（上）期中数学试卷（参考答案与详解）一、选 择 题（本大题共6 题，每题4 分，满分24分）1.下列图形一定是相似图形的是（）A.两个矩形 B.两个等腰三角形C.两个直角三角形 D.两个正方形【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解.【解答】解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；8、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意.C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；。、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；故选

8、：D.2.如图，在 RtABC 中，ZC=90,BC=4,AC=2,则 tanA 等 于（）A.A B.2 C.匹 D.V52 5【分析】根据正切的定义计算，得到答案.【解答】解：在 RtZA8C中，/C=9 0 ,.,.tanA=N=2,AC故选：B.3.如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为8 2 、53,那么另一个三角形中最小的内角为（）A.82 B.53 C.45 D.不能确定【分析】先求出该三角形的另一个内角的度数，再由相似三角形的性质即可得出结论.【解答】解：.一个三角形的两个内角分别为8 2 、53，另一个内角=180-82-53=45.两个三角形相似，.另一个三角形

9、中最小的内角为45.故选：C.4.如图：在A A B C中，点。、E分别在A3、A C上，根据下列给定的条件，不能判断。E与BC平行的是（）B A D _ A EA B A CrA D A B.A E A CnD E A E 而 至【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，即“三条直线被两条直线所截，如果截得的对应线段成比例，那么三条直线平行”，进行分析判断即可.【解答】解：；坦4，OEBC,4不合题意；D B E CVA D =?A E DE/BC t B 不合题意；A B A CVAD：.DE/BC,C 不合题意；A E A CJ I望，不能判断。E与BC平行，。符合题意；B C A C

10、故选：D.5.已知线段d b,c,求作线段x,使 下 列 作 图 中 正 确 的 是（）x c X ba x【分析】利用ox=bc得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论.【解答】解：A、由 公=比 得 且J,但x是所求线段，所以图形不能画出，故选项A不a c正确;B、由o r=b c得2 故选项B 不正确；c XC、由得2 J,故选项C 正确；b xD、由主/得4c=6 x,与已知不符合，故选项。不正确;C X故选：C.6.如图，已知在A3C中，边 3 c=6,高 A D=3,正方形EFG”的顶点F、G 在边3。上,顶点E、”分别在边A 8和 AC上，那么这个正方形的边长等于（)A.3B.2

11、.5C.2D.1.5【分析】利用正方形的性质可知EH/B C,再利用平行线分线段成比例定理的推论可得 A H E s X A C B,利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长【解答】解：:四 边 形 EFMN是正方形，:EHBC,EH=EF,：.X A E H s X A BC,：.A D.LBCf E H=E F=M D,A M =E H,A D B C，设 则 A M=3-羽 3-x=x 亍T解得：x=2,：.EH=2.答：这个正方形的边长为2.故选：C.二、填空题(本大题共12题，每题2 分，满分24分)7.已知三=2,那么二型=_立_.y 3 x-2-【分析】直接

12、利用已知得出X=2 y,进而得出答案.3【解答】解：；三=2,y 3x 2了 23y故答案为：1.28.计算：-2 a+2(a _ b)=_ a b_.2 2 2-【分析】去括号合并同类向量即可.【解答】解：-a+2(a-b)=-a+2 a_ b=a-b.2 2 2 2故答案为：a-b-29.在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是3.5厘米，那么甲乙两地的实际距离是 1 7.5 千米.【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲乙两地的实际距离.要注意统一单位.【解答】解：设甲乙两地的实际距离为x 厘米，根据题意得，1：500000=3.5：x,解得 x=17500

13、00,12000000 厘米=17.5 千米.即甲乙两地的实际距离为17.5千米.故答案为：17.5.1 0.已知两个相似三角形的相似比是4：9,那么它们对应的角平分线之比是4：9.【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论.【解答】解：两个相似三角形的相似比是4：9,，它们对应的角平分线之比是4：9.故答案为：4：9.1 1 .已知在 A B C中，A a是中线，G是重心，如果G O=3。”，那么A G=6 an.【分析】根据三角形重心的性质即可求出AG的长.【解答】解：是 A B C的重心，且A O是中线，.,.A G=2G D=6cm.故答案为：6.1 2 .已知点P是线段A B的黄金

14、分割点(A P BP),AB=2,那么B P=3 -西 .【分析】根据黄金分割点的定义，知A P是较长线段；所以4/=返 二1 4 8,代入数据即2可得出4 P的长度，进而得出8 P.【解答】解：由于P为线段A B=2的黄金分割点，HAPBP,则 A P=_ 0=遍-x 9=V 5 -1 2 2B P=2-(V 5 -I)=3-V 5；故答案为：3 -V s1 3 .已知向量之与之方向相反，长度为5,则之用之 来表示为：；且I a l =l a l=5 .【分析】根据平面向量的方向性即可得出结论.【解答】解：与彳方向相反，长度为5,a=-e且I a l-I e l=5.故答案为：a e且la

15、l=le l=5.1 4 .如图，A D/BC/EF,A E：A B=2：3,A D=S,8c=1 4 则 E f=1 2 .【分析】过 点A作A H/D C,交E F于 点G,利用平行四边形的判定可得四边形A G F D和四边形A H C D都是平行四边形，从而可得4 O=GF=8,AD=C H=S,进而可得B，=6,然后证明A字模型相似三角形 AEGS AAB”，从而利用相似三角形的性质可得E G=4,最后进行计算即可解答.【解答】解：过点A作A H O C,交E F于点G,四边形A G F D是平行四边形，四边形A H C D是平行四边形，：.A D=G F=S,A D=C H=S,V

16、B C=1 4,：.B H=B C-CH=6,:EG BH,：.Z A E G=Z B,Z A G E=Z A HB,：.X A E G s X A B H,A E =E Gt*A B 丽，-2 _ E G ,3 6；.E G=4,E F=E G+F G=4+8=1 2,故答案为：1 2.1 5.在 RtZXA B C 中，ZC=90 ,B C=3,s i nA=2，那么 A B=1 55【分析】根据锐角三角函数的定义得出s i nA=因 ，代入求出即可.A B；.A B=5 B C=1 5,故答案为：1 5.1 6.如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，A B C,B CD,B CE,Z

17、BFG,F GH,/E F K,在 中，与三角形相似的有 （填序号）C D E【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答.【解答】解：设每个小正方形的边长为1,则AABC 的各边长分别为1、近、辰.则 B CD 的各边长分别为1、疾、2 7 2；B D E 的各边长分别为2、2 M、2 遥（为 A B C各边长的2倍）；B G 的各边长分别为5、疾、A/10（为ABC 各边长的遥倍）；的 各 边 长 分 别 为 2、近、行（为 A B C各边长的加 倍）；E F K 的各边长分别为3、&、娓.根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形相似的是.故答案为.1 7.新定义

18、：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图所示，AABC 中,A F.BE是中线，且 A F J _ B E,垂足为P,像 A B C这样的三角形称为“中垂三角形”，如果/A B E=3 0 ,48=4,那么此时AC 的长为 2 y h .C【分析】根据三角形中位线的性质，得至U E 尸A B,E F=LB=2,再由勾股定理得到结【解答】解：如图，连接E F,VA F.B E 是中线,是 C4 8的中位线,可得：EFX 4=2,2 EF/A B,:.丛 PEFs A BP,.PF=PE=EF=1AP PB AB 2在 RtA A B P 中，A B=4,Z A BP=3 0,：.

19、A P=2,P 8=2 百，：.PF=,P E=M，在 RtA/lPE 中，:.AE=5:.A C=2 初,故答案为：W 7.1 8.如图，在 A B C中，M N/A C,直线MN将 A B C分割成面积相等的两部分.将 B M N沿直线MN翻折，点 B恰好落在点E处，连接A E,若 A E CN,则 A E：NC=_&：1 _.【分析】利用翻折变换的性质得出B E _ L M N,BE A C,进而利用相似三角形的判定与性质得出对应边之间的比值与高之间关系，即可得出答案.【解答】解：连接8 E,交 MN于点/,交 AG 于点Z,.将 B M N 沿直线MN翻折，点 B恰好落在点E处，:.B

20、 E 1 M N 于点、1,：MN/A C,于点 Z,设 E M N 与边AC 交于点/、G：MN/A C,：.2BM NS/BAC,(BI：BZ)2=SABMN：SBAC=1 ：2,:.BI：B Z=1：近,：.Z I：B I=(V 2 -1)：1.,/AE M N是由 B M N 翻折得到，：./EMN 冬 A BMN,:.EI=BI,：.Z I：7=(A/2-1)：1.ZI+E g _1_=&+1,zi V 2-1.1+丝=&+1,ZI：.EZ：Z/=&：1,:A C MN,A E/NC,E Z=E G=A E-，zf GN N C.E G=V 2 G N 丁：.A E：N C=近:1,

21、故答案为：A/2：1 -三、解 答 题（7 8分）1 9.（1 0 分）已知三=工=三 W 0,且 5 x+y-2 z=1 0,求 x、y、z 值2 3 4【分析】首先设x=2 a,y=3 a,z=4 a,然后再代入5 x+y-2 z=1 0,可得”的值，进而可得答案.【解答】解：设 x=2 a,y3 a,z4a,：5 x+），-2 z=1 0,/.W a+3 a-8a=1 0,5 a=1(),Q=2,.*.x=4,y=6,z=8.2 0.(1 0 分)计 算：s i n6 0 _+c o t3()-_2-c o s 2 6 0。2 c o s 4 5。+ta n6 0 0【分析】根据特殊角三

22、角函数值，可得答案.V 3【解答】解：原式=+遥-2()2 V 2 W3=2如+如-2心 辛(V 2 W3)(V 3 -V 2 )=3 7 3 -2 V 3+2 V 2=M+2 近.2 1.(1 0分)如 图，已知在A A B C中，A。是边B C上的中线，设 或=Z，B C=b：(1)求 标(用 向 量4的式子表示);(2)如果点E在中线AC上，求 作正在忌，正方向上的分向量；(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量).一 .【分析】(1)由A O是边B C上的中线，B C=b 可求得B D，然后由三角形法则，求得A D；(2)利用平行四边形法则，即可求得直在裒，前方

23、向上的分向量.【解答】解：(1)是边B C上的中线，B C=b.*.B D=A B C=lb.2 2 A D=B D -*1 一B A=b-2a;(2)如图，过点 E 作 E M 8 C,EN/A B,则 而、而 分 别 是 瓦 在 瓦，前方向上的分向量.22.（10分）如图，在。A8CC中，点E是线段CO延长线上的一点，与 交 于 尸 点.（1）求证：ABFsCEB；（2）若 DF：AF=2：3,且 SAOEF=4,求。A8CD 的面积.【分析】（1）根据平行四边形对角相等可得/A=N C,对边平行可得ABQ 9,根据两直线平行，内错角相等得到/A B F=/E,然后利用两角对应相等，两三角

24、形相似即可证明.（2）由于ABC EsAFD E,可根据两三角形的相似比，求出 E的面积，也就求出了四 边 形BCDF的面积.同理可根据OEFS A A F B,求出AFB的面积.由此可求出aABCD的面积.【解答】（1）证明：；四边形ABC。是平行四边形，ZA=ZC,AB/CD,JAB/CD,：./ABF=NE,在ABF和CEB 中，/A =/C,NABF=NE,lABFs XCEB：（2）解：四边形ABC。是平行四边形，：.AB/CD,AD/BC,AD=BC,:.ABFs/DEF,ACEBsADEF,:DF：AF=2：3,:.DE：AB=DE：CD=2t 3,：.DE：CE=2：5,：.F

25、Dt B C=2：5,A SAA B F：SDEF=AF2：FD2,SM CE：S/FDE=BC2：FD1,：D F：A F=2：3,SDEF=4,.ABF的面积为9,.CEB的面积为25,J.A BCD 的面积=25-4+9=30.23.(12分)已知：如图，在ABC中，点。、E 分别在边AB、AC上，且NABE=NACQ,BE、CO交于点G.(1)求证：X A E D s XAB C；(2)如果BE平分NA B C,求证：DE=CE.【分析】(1)证明8、C、E、力四点共圆，得至IJN 4D E=/4C B,即可解决问题.(2)如图，作辅助线，证 明E M EF；由 sina=耳员，sin

26、a=旦 E,得到鸟员=5 2,根据DE EC DE ECM E=E F,即可解决问题.【解答】(1)证明：NABE=/AC,:.B、C、E、。四点共圆，Z A D E=Z A C B,而:.X A E D s X A B C.(2)解：过点 E 作 EM_LAB,EFLBC-,平分 N4BC,：.E M=E F；设 NADE=/ACB=a,则 sina=NE,sina=旦上，DE EC.遐 H 而 ME=EF,DE EC：.DE=CE.2 4.(1 2 分)己知：如图，在四边形 A B CD 中，N 4=9 0 ,BD1.DC,且 82=A9BC,点M是边8 C 的中点.(1)求证：AD/BC

27、；(2)作垂足为点E,并交C。于点F.求证：2AD*DM=DF,DC.【分析】(1)由N B A D=N 8 O C=9 0 ,BB=A D,B C 即得ABOS/O C B,然后利用相似三角形的性质和平行线的判定即可求解；(2)利用已知条件证明 B O F sa CQ B,然后利用相似三角形的性质和直角三角形中斜边上中线的性质即可证明.【解答】证明：(1),：BD1.DC,：.ZBDC=90a,：.ZA=ZBDC,而 BD1=ADBC,:.ABD sW CB,：.NADC=NDBC,：.AD/BC；(2)解：,:BEL DM,；.NDBF+NBDM=90,而N B D M+N M O C=9

28、 0 ,:.NDBE=NMDC,又M是边8 c 的中点,2NMDC=NDCM,：NDBE=NDCM,:.BDFs/CDB,：.BD1=DF-DC,而 BD1=ADBC,J.AD-BCDFDC,：.2ADDMDFDC.25.（8 分）如图，在等腰梯形 ABC。中，AD/BC,40=2,AB=5,sin N B=3,点 E 是5边BC上的一个动点(不与点8、C重合)，作/4 E尸=N A EB,使边E尸交边C。与点尸(不与点C、。重合)，设BE=x,CF=y.(1)求边BC的长：(2)当ABE与CEF相似时，求BE的长：(3)求)，关于x的函数关系式，并写出定义域.【分析】(1)根据等腰梯形的性质

29、，可得AZ)=MM BM=CN；AB=QC=5,根据勾股定理，可得8M的长，根据线段的和差，可得答案；(2)分类讨论，当/AEB=NFEC时,根据正切函数，可得ME的长，根据线段的和差,可得答案，当NAEB=NEFC时，根据等腰三角形的性质，可得与ME的关系，根据线段的和差，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得函数解析式，根据线段的和差，可得定义域.【解 答】解：（1 ）如 图：过A作AM _L BC,过D作D N工BC,;等腰梯形 ABC。，AM1BC,DN1BC,sinNB=3,5：.AD=MN；BM=CN；ABDC=5；NB=NC,，AM=ABsin/B=5x3=35BM=CN=/

30、AB2-A M2=VS2-32=4A BC=BM+MN+CN=AD+2BM=2+2 X 4=10；(2)AABE与CEB相似有两种情况，如图：(J)zAEB=zFEC当NAEB=NFEC时ZAEF=ZAEB：.NAEF=NAEB=ZFEC=60过 A 作 AM_L8C由(1)知：AM=3,BM=4 ME=AMtan60=3X叵=M3 BE=BM+ME=4+M，当 N AB=N EFC 时 NAEB=NEFC,/NAEF=ZAEB：.NAEF=Z E F C：.AE/DC：.Z A E B=Z C=Z BABE是等腰三角形过 A 作 4例，BC:.BM=ME(等腰三角形三线合一性质)；BM=4:.BE=2BM=8综上，当A B E saC E F时，BE的长为4+或 8；(3)作图如下，易知x 4,否则F 点将在D C的延长线上或与C 重合;4G=3,G E=x-4ZPAE NAEB=NAEP故 以=P E,三线合一，。为 4 E 的中点；又/AGE=NPQA=90；故AGES/XPQE；则 有 雪 再_ Q A P AAp X2-8X+252TX-4)而 DP=AP-2又二 DFPs ACFE故有：巫盘；CF=y,DF=5-y,CE=10-x；CF CE2整理即可得：y=1*-140X+400；（4X 1 0）X2-16X+39