四川中考综合模拟考试《数学试题》含答案解析.pdf

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1、四川数学中考综合模拟检测试题学校 班级 姓名 成绩一、选择题（本大题共10个小题，每小题3 分，共 30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）L-2的倒数是（）A.-21B.-2D.22.下列所给图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A./T 3.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（A.越长 B.越短C.一样长 D.随时间变化而变化4.如今青白江投资环境，得到越来越多的境内外优质企业的青睐，外资和注册资本5000万以上的企业相比去年同期翻了一番，将 5000万这个数用科学记数法表示为（）A.50 xl06 B.5xl07C.5xl

2、08 D.5xl095.已知s i n a=*l,且 a 是锐角，则a 等于（2)A.75 B.60C.45 D.306.下列运算正确的是（）A.2x2*3x2=6x2B.x3+x5=x8C.X44-X=X3D.(x5)2=x77.二次函数尤+c 的图象如图所示，下列结论 首送的是（）A.a 0 B.b 0 D.b1-4ac 08.样本数据4,m,5,n,9的平均数是6,众数是9,则这组数据的中位数是（）A.3 B.4 C.5 D.99.如图，ABC中，D E/B C,若4）:。8 =1:2,口 ADE的周长是6,则口48c的周长是（）1 4.如图，是。0的弦，半径O C J _ A B于点D

3、,若。的半径为1 0,A B=1 6,则C Q的长是BCA.6 B.1 2 C.1 81 0.当O V x V l时，x 2、x、上的大小顺序是（）X7 1 1 T 1 7A.x x B.x x C.x X X X二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分,1 1 .计算（、6+1）（6-1）的结果等于_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 2.如图，等边口。钻的边长为2,则点B的坐标为_ _ _ _.A八Y B1 3.若X =则 0 的值等于_ _ _ _ _.a 3 bD.2 42 1：x D.x x 1 -5-r -其中 X =-1.I X+)X2-11 6 .已

4、知2 +6 是方程x 2 4 x +c =0的一个根，求方程的另一个根及C的值.1 7 .小明调查了本校九年级3 0 0 名学生到校的方式，根据调查结果绘制出统计图的一部分如图:(1)补全条形统计图；(2)求扇形统计图中表示“步行”的扇形圆心角的度数;(3)请估计在全校1200名学生中乘公交的学生人数.18 .如图，有一个三角形的钢架4BC，N A =3 0，NC=4 5，A C =2(6+l)m .请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.4 m 的圆形门？B19 .如图，已知三角形OAB的顶点B在 x 轴的负半轴上，四，0 8,点人的坐标为(-4,2),双曲线ky =(k 1 时

5、，n 是正数；当原数的绝对值 1 时，n 是负数.【详解】解：5000 75=50000000=5 xlO7.故选：B.【点睛】本题考查用科学记数法表示一个数.科学记数法的表示形式为axion的形式，其 中 l|a|0 D.b1-4 c 0【解析】【分析】据抛物线的开口方向得出a的符号，可判断A；根据抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a,b异号，得 出 b的符号，可判断B；根据抛物线与y 轴的交点情况得到c 的符号，可判断C；根据抛物线与x 轴交点情况得到 _ 4 a c 的符号，可判断D.【详解】解：A.由二次函数的图象开口向下可得a 0,6 2 0 ,故 B 错误；2aC.图象与y 轴相交于正

6、半轴，所以c0,故 C正确；D.图象与x 轴有两个交点，所以从-4 a c 0,故 D正确.故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系.对于二次函数y=a x 2+b x+c （a 翔）来说，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0）,对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异 号 时（即 a b 0时，抛物线与 x 轴有2 个交点；A=b2-4 a c=0时，抛物线与x 轴 有 1 个交点；A=b2-4 a c 3。可证明4人口6/（：,再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】:A D:D B =1:2:.A D:A B-1:3：DEHBC：.A A

7、 D EA A B C,相似比为：1:3.匾 _ yA A B C 3.A B C的周长是：6-1 =18.故选：C【点睛】本题考查比例的性质，相似三角形的性质与判定.掌握相似三角形周长比等于相似比是解决此题的关键.10.当 OVxVl 时，x2 X、L的大小顺序是（）X2 1A.x x X1 o 1 0 9 1B.x x C.x x D.x x XXX【答案】A【解析】分析：先在不等式0 x l的两边都乘上x,再在不等式0 x l的两边都除以x,根据所得结果进行判断即可.详解：当 0 x l时，在不等式OVx 1的两边都乘上x,可得0 x2x,在不等式0 x l的两边都除以x,可得X又 x

8、V l,；.X2、X、L 的大小顺序是：X2 X b,且 m 0,那么ambm或q 2 .m m二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）ll.i+M（73+1）（7 3-1）的结果等于.【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式计算即可.【详解】解：原式=3-1=2.故答案为2.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键.12.如图，等边口。钻 的 边长为2,则点B 的 坐 标 为 一.【答案】（1,6）.【解析】【分析】过 B 作 BDJ_OA于 D,则/BDO=90。，根据等边三角形性质求出0 D,根据勾股定理求出B D,即可得出答案.【详

9、解】解：如图，过B作B D L O A于D,则/B DO=9 0。,-.OD=AD=-OA=-x 2 =2 2在R s B D O中，由勾股定理得：BD=J爰-C=.点B的坐标为：（1,73）.故答案为：（1,百）.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形和勾股定理.能正确作出辅助线，构造R 2 B D O是解决此题的关键.1 3.若=2,则的值等于.a 3 b【答案】【解析】【分析】根据2=2可得2=3,然后利用分比性质即可得解.a 3 b 2【详解】解：a 3.a 3=一b 2.a-b 3-2 1.-=-=.b 2 2故答案为：.2【点睛】本题考查比例的性质.熟练掌握分比 性 质（如

10、果3 =,则巴a=二 色）是解决此题的关键.b a b a1 4.如图，A B是。O的弦，半径O C L A 8于点力，若。的半径为1 0,A 8=1 6,则C O的长是B【答案】4【解析】【分析】连 接0 4,如图，利用垂径定理得到A Q=8 O=!A8=8,再利用勾股定理计算出0 ,然后计算。C-0。2即可.【详解】解：连接0 4如图，,/0CVAB,：.AD=BD AB 4 1 6=8,2 2在 Rt A 0AD 中，0D=71 02-82=6，：.CD=OC-OD=W-6=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.三、解答题(本大题

11、共6个小题，共 54分，解答过程写在答题卡上)1 5.(1)计算(2)3 -J27+|1 -6s i n 60|+(201 9 ).i x 1 +6x +9(2)先化简，再求值：2-+-,其中 x=l.(x+1)x2-1r 1【答案】(1)-8；(2)化简为：-一，结果为：一 1.x +3【解析】【分析】(1)原式第一项利用乘方进行计算，第二项化简二次根式，第三项绝对值内利用特殊角的三角函数值计算后化简绝对值，第四项利用零指数 基进行计算，将各自计算的结果相加(减)；（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可.【详解】解：（1）原式=-8-+1 -6 x

12、+1=-8-36+36 1 +1=-8；（2）原式=（上2 x 士+2x+1二 十 q北X+1（X +1）（X -1）_X+3E（X+1）（X-1）x+1 （x+3）-_x-lx+3当 x=-1 时，原式=-=-1.-1 +3【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值.（1）中能根据乘方、二次根式的性质、绝对值、三角函数、零指数基分别计算是解决此问的关键；（2）中熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解决此问的关键.1 6.已知2 +8是方程*2 -4 x+c =0的一个根，求方程的另一个根及c的值.【答案】X 1=2-百，c =l【解析】试题分析：设另一根为X I,由根与系数的关系得，两

13、根和为4,求得X I,再根据两根积求得常数项c.试题解析：设另一根为X I,由根与系数的关系得：2+3+X =4X =2-8 （2-扬（2 +扬=。c 考点：根与系数的关系.1 7.小明调查了本校九年级3 0 0名学生到校的方式，根据调查结果绘制出统计图的一部分如图:（2）求扇形统计图中表示“步行”的扇形圆心角的度数；（3）请估计在全校1 2 0 0 名学生中乘公交的学生人数.【答案】（1）补全条形统计图见解析；（2）“步行”的扇形圆心角的度数为6 0。；（3）1 2 0 0 名学生中乘公交的人数约为56 0 人.【解析】【分析】（1）先计算乘公交的学生数=3 0 3 步行人数-骑自行车人数-

14、乘私车人数，据此补充条形统计图即可；（2）先计算步行所占调查人数的比，再计算步行扇形圆心角的度数；（3）先计算乘公交的学生占调查学生的比例，再估计1 2 0 0 名学生中乘公交的人数.【详解】（1）乘公交的人数为：3 0 0-50-80-3 0=1 4 0（人）补全的条形图如图所示：3 6 0 X =6 0；3 0 0（3）因为调查的九年级3 0 0 名学生中，乘公交的学生有1 4 0 人,所以乘公交的学生占调查学生的比例为：,3 0 0 1 57所 以 1 2 0 0 名学生中乘公交的人数约为：X 1 2 0 0=56 0 A.答：1200名学生中乘公交的人数约为560人.【点睛】本题考查条

15、形统计图，扇形统计图，用样本估计总体.能读懂条形图和扇形图，从中提取有用信息是解决本题的关键.18.如图，有一个三角形的钢架A B C,乙4=30，NC=45，AC=2(6+l)m.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.4m的圆形门？【答案】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.4m的圆形门.【解析】【分析】过 B 作 BDLAC于 D,设 BD=xm,解直角三角形求出A。=x,根据AD+C)=A C 得出方程，求出方程即可求出BD的长度，与 2.4m比较即可.【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.4m的圆形门，理由是：过 B 作 BDLAC于 D,VABBD,B O

16、 B D,A O A B,求出BD长和2.4m比较即可，设 BD=xm,V ZA=30,ZC=45,在 RtAABD 和 RtABDC 中DC=BD=xm,AD=y/3BD=至txm,/AC=2(G +l)/n,x+f3x=2(5/3+1)，解得 x=2,即 BD=2m2.4m,工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.4m的圆形门.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，一元一次方程的应用.能正确作出辅助线，构造RSABD和R t A B D C是解决此题的关键.1 9.如图，已知三角形OAB的顶点B在 x 轴的负半轴上，ABL O B,点 A的坐标为(T,2),双曲线ky=(k 0)的一支经过。

17、4 边的中点C,且与AB相交于点D.x(1)求此双曲线的函数表达式；(2)连结8,求 A O D 的面积.【答案】(I)y =；(2)3.x【解析】【分析】(1)根 据 C为 O A的中点，由 A点的坐标求出C点坐标，根 据 C点坐标利用待定系数法可求双曲线的函数表达式；根 据 S1 M8=-SADBO，分别求出SAAB。和SA/MO即可求出！AO D的面积.【详解】(1).点A的坐标为(-4,2),C为0A的中点，(2 点的坐标为(一2,1),将 C（2,1）代入y =K（k =2 上XNJtfU 2 Z V IDCZ 2 2,S MOD SMlj0 SA D Ii0=4 1 =3故口 AO

18、 D的面积为3.【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数k的几何意义及应用.(1)中能利用C为0A的中点求出点C坐标是解决此间的关键；(2)中理解过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为一是解决此间的关键.22 0.将一副三角板 R t Z Vl B O 与 R t a A C B (其中/A B D=NA C B=9 0 ,Z D=6 0 ,NA B C=45 )如图摆放，R t z A B。中N。所对的直角边与R t Z A C B 的斜边恰好重合.以AB为直径的圆经过点C,且与AO 相交于点E,连接E B,连接C E 并延长交BO 于 F

19、.(1)求证：E F 平分N B E D；(2)求a B E 尸与尸的面积的比值.【答案】(1)见解析；(2)乖)【解析】【分析】(1)利用圆周角定理证明N A E C=/A B C=4 5 即可解决问题.(2)首先证明8E=JO E,再利用三角形的面积公式计算即可.【详解】(1)证明：CA=CB,ZACB=90 ,.NA B C=/A E C=45 ,:AB是直径，:.N A E B=/BED=90 ,V ZAEC=ZDEF=45 ,；.FEB=NFED=45 ,.E F 平分/B E D.(2)解：V ZBD=9 0 ,Z =6 0 ,t a n Z I =-B-E=，3r，DE*.*SB

20、EF=-B E*E F*s i n 45,S&EDF=,Z)E*E F*s i n 452 2S BEF _ B E _ r-【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的面积和三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、三角形的面积和三角函数的使用.四、填空题（本大题共5个小题，每小题4 分，共 20分，答案写在答题卡上）B卷（共 50分）2 1.己知a 为实数，那么J 万 等 于 _ _ _ _.【答案】0【解析】【分析】根 据 非 负 数 性 质，只有a=0 时，有意义，可求根式的值.【详解】解：根据非负数的性质a 2 N0,根据二次根式的意义，-a 2 K）,故只有a=0 时，J 丁 有 意 义，所以

21、，J-/=0.故填：0.【点睛】考查了算术平方根.注意：平方数和算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键.2 2.在试制某种洗发液新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理，通常要先从芳香度为0,1，2的三种添加剂中随机选取一种，再从芳香度为3,4,5 的三种添加剂中随机选取一种，进行搭配试验，则芳香度之和等于5 的概率为.【答案】-3【解析】【分析】列举出所有情况，让芳香度之和等于5 的情况数除以总情况数即为所求的概率.【详解】解：列表如下：第二次 第一次0123345445655673 1所有可能出现的结果共有9 种，

22、芳香度之和等于5 的结果有3 种，故概率为一=一.9 3故答案为：-3【点睛】考查的是用列表法或树状图法求概率，能根据题意利用列表法或树状图法列出所有可能的结果是解决此题的关键.概率=所求情况数与总情况数之比.2 3.如图，在平面直角坐标系中，直线4 ：y =-2x与反比例函数y =与的图象交于A,B 两 点(点 A在点B2 x1 k左侧)，已知A点的纵坐标是1：将直线4：y =-X沿 y向上平移后的直线6 与反比例函数y =在第二2 x象限内交于点C,如果I Z A BC 的面积为3,则平移后的直线4的 函 数 表 达 式 为.【解析】【分析】先求出A点坐标，根据题意可得A、B 关于原点对称

23、，求出B 点坐标.设平移后的直线1 2 与 y 轴交于点D,连接AD和 B D,可知A A B C 的面积与AAB D的面积相等.由此可求出D点坐标.直线4的一次项系数与直线/,的一次项系数相同，它的常数项即为D点的纵坐标.【详解】解：直线4 ：y =；x经过A点，且 A点 纵坐标是1,.当 y=l 时，x=-2,A(-2,l),V反比例函数与正比例函数都关于原点中心对称，B(2,-l)如下图，设平移后的直线1 2 与 y 轴交于点D,连接AD和 BD,根据平移的性质 4，.AABC的面积与AABD的面积相等，ABC的面积为3,S A 0/）+S =3,即:。（|“+同）=3,1 3一OOx4

24、=3,解得。二一，2 21 3即平移后的直线A的函数表达式为：y=-x +-.1 3故答案为：y=x 4.2 2【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，一次函数的平移，一次函数与几何问题.本题的关键点有两个根据正比例函数与反比例函数的对称性求得B点坐标；构造ABD,依据AABC的面积与aABD的面积相等，得到D点的坐标.24.如图，等边三角形ABC中，A B =3,点D是CB延长线上一点，且BD=1，点E在章年A C上，当NBAD=NCDE 时，AE 的长为.【答案】2或913.3【解析】【分析】分在线段AC上，在 线 段A C的延长线上两种情况讨论.对于作EF/AB与BC相 交 于F,

25、证明 DFES AA B D,利用相似三角形对应边相等可求得E C,即也可求得AE；对于作EF/AB与BC的延长线交于F,证明D C E s4 A B D,利用相似三角形对应边相等可求得E C,即也可求得AE.【详解】解：E 点的位置有两种可能，在线段AC上，在线段AC的延长线上.E 不可能在CA 的延长线上（因为若E 在 CA 的延长线上由可知N C D E不可能等于N84Z）.若 E 在线段AC上，如图作EF/AB与 BC相交于F,V AABC 等边三角形，A B =3,；.AC=BC=AB=3,ZB A C =ZA B C =Z C =60,，/ABD=120。，EF/ZAB,/C F

26、E =ZAB C =60,ZC E F=ABAC=60,.EFC 为等边三角形，ZEFD=120,设 EF=FC=EC=x.：/B A D =N C D E,ZABD=ZEFD=120,ADFEAABD,.EF DF,/BD=1，BF=B C-F C+B D =3-x+l=4-x.二,解得 x=1.1 3.EF=FC=EC=1,AAE=AC-EC=3-1=2；若E 点在线段AC的延长线上，作 EF/AB与 BC的延长线交于F.A与同理可证AEFC为等边三角形，ZECD=120,设 EF=FC=EC=x.：NBAD=/C D E,ZABD=ZECD=120,.,.DCEAABD,.EC DC茄

27、一 茄BD=1，.,.BD=BC+BD=4,x 4 4*.-=,解得 x,1 3 34EF=FC=EC=一,34 13AE=AC +CE=3+-=,3 313故答案为：2 或 一.3【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定.解题的关键是学会用分类讨论的思想，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.25.如图，线段AC=+1（其中为正整数），点 B 在线段AC上，在线段AC同侧作菱形ABMN与菱形B C E F,点 尸 在 边 上，A B=n,ZA B M=60,连接AM、M E、E 4得到A M E.当A B=1时，的面积记为 S；当A B=2时，/V U/E的面积记

28、为S2；当 A 8=3时，/XAME的面积记为S3；当4 8=时，AME的面积记为S”当时，S,-S.i=_.ABC【答案2岛-64【解析】【分析】根据连接8 E,则 BE A M,利用 A M E的面积=4MB 的面积即可得出S,=走2,s-、=B(n-1)2,4 4即可得出答案.【详解】连接8E.菱形 A B M N 及菱形 BC EF,Z A B M=60,Z F B C=1 80 -Z A BM=1 2 0 ,：.NA/MB,N EBC=60 ,.*.N A 8=1 80 -/A BM=1 2 0 ,A ZMA B=60 ,Z M A B=NE B C,:.B E A M,：.Z v

29、l M E与aAMB 同底等高,/XA ME的面积=Z 4 M B 的面积,/.当A B=n时,A M E的面积记为Sn=S&ABM=心-裙，45,I=(-1)24：.当 2 2 时，Sn-S.一 1 =在(-1)2-且 2=2 G L 6 .444故答案为：过捶【点睛】本题考查三角形面积求法以及菱形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与 n 的关系是解题关键.五、解答题（本小题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）26.某服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销，商销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.1元，愿意多经销500件.服装厂决定批发价在不

30、低于11.4元的前提下，将批发价下降O.lx元.（1）求销售量y与x的关系，并求出x的取值范围；（2）不考虑其他因素，请问厂家批发单价是多少时所获利润W可以最大？最大利润为多少？【答案】（1）y=500 x+5000,0 x 1 6；（2）批发单价是12元时所获利润W可以最大，最大利润为20000 元.【解析】【分析】（1）根据销售量=原销量+多经销的销量即可列出函数关系式，根据批发价在不低于11.4元，可得x的取值范围；（2）根据利润亚=销量x单利润即可列出函数关系式，将函数化为顶点式，根据顶点式求最值即可.【详解】解：（1）根据题意：y=500 x+5000,因为批发价在不低于H.4元，所

31、以13-O.L c lH.4,解得E 6,又x N O,所以0WxW16.所以销售量y与x的关系为：y=500 x+5000,x的取值范围为0WxW16；（2）根据题意：W=（500 x+5000）（13-1 0-0.U）=-50 x2+1 OOOx+15000=-50（x-10）2+20000因为-50 0,所以当x=10时（在x取值范围之内），利润最大为20000元.因为当x=10时，13-0.1x=12元所以当批发单价是12元时所获利润W可以最大，最大利润为20000元.【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用.能根据题意得出等量关系，根据等量关系列出函数关系式是解决此题的关键.2

32、7.已知：口ABC和口ADE均为等腰直角三角形，ZR4C=NDAE=90，AB=AC,AD=A E，连接BD,CD,CE.(1)如 图1所示，线段BD与C E的 数 量 关 系 是,位置关系是(2)在 图1中，若点M、P、N分别为。石、DC、的中点，连接BW,PN,M N,请判断口PM N的形状，并说明理由;(3)如图2所示，若M、N、P分别为。E、BC、0 c上的点，且满足吧=科=变=1，BD=6,DE BC DC 3连接PM,PN,M N,则线段M N长度是多少？【答案】(1)相等，垂直；(2)CPMN为等腰直角三角形，证明见解析；(3)MN=2卮【解析】【分析】(1)延长8口与 2相交于

33、口证明ZkABD/AACE,根据全等三角形的性质可得BD=CE,NA3)=NACE,再进一步证明N。BC+NBCE=90可得NBFC=90。，由此可证明BO与CE垂直且相等；(2)结 合(1),根据中位线的定理，可推出DPMN为等腰直角三角形；(3)证明 CPNsaCDB,AD PM A D C E,根据相似三角形的性质可求得NP和MP的值，结 合(2)可证明/NPM=90。，根据勾股定理可求得MN的长度.【详解】解：(1)如下图延长BD与EC相交于F,;A B C和DADE均为等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90,.NBAD+ZDAC=90,ZEAC+ADAC=90,/B AD =ZEA

34、C,又.AB=AC,AD=AE.A B D AA C E(S A S).BD=CE,ZABD=ZACE,ZBAC=90ZABC+ZACB=90,：.ZABD+ZDBC+ZACB=90：.ZACE+NOBC+ZACB=90。,即 NDBC+NBCE=90。/.ZBFC=90，即BFA.EC.故线段3 0与CE的数量关系是相等，位置关系是垂直.答案为:相等，垂直.(2)EJPMN为等腰直角三角形，理由如下：.点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，；.N P和 MP分别为ABCD和AECD的中位线，NPHBD,NP=-BD,MP/CE,MP=-CE,2 24DPN=NFDC/DPM=NDCE,由

35、 得 BD=CE,，NP=MP,由(1)得/.NFDC+NDCE=90ADPN+ZDPM=90,即 ZNPM=90.DPMN为等腰直角三角形.,、BN DP 1(3).-BC DC 3.CN CP 2BCDC3XV Z BCD-Z BCD.,.CPNcoACDBNP CP 2=,ZNPC=/B D C,BD DC 3ANP/BD,BD=6：.NP=-BD =4,3PM DP 1同理可证 DPM sD CE,=-,MP/EC,EC DC 3PM=-CE=-BC =23 3与(2)同理可证N N P M=9 0 ,.在RsNPM中，根据勾股定理MN=yNP2+MP2=V42+22=275-【点睛】

36、本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理.(1)中掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此间的关键；(2)掌握三角形中位线的判定定理是解决此间的关键；(3)能根据证明三角形相似，并根据相似三角形的性质求出N P和PM是解题关键.本题中的难点是利用角之间的数量关系证明N B F C和/M P N为9 0。.2 8.如图，抛物线y =a x?+b x+c与x轴相交于A (3,0)、B两点，与y轴交于点C (0,3),点B在x轴的负半轴上，且O A=3 O B.(1)求抛物线的函数关系式；(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动

37、点，求口ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；(3)在线段OC上是否存在一点M,使BM+二CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M2点的坐标；若不存在，请说明理由.2 7 3 1 5【答案】(1)y=-x2+2 x+3；(2)口ACP的面积的最大值为一，此时P(一-,)；(3)当M(0,l)时,8 2 4B M+yC M的最小值为2夜.【解析】【分析】(1)根据O A =3 O B求出B点坐标，设交点式，用待定系数法即可求出函数关系式；(2)作P D L x轴，与线段A C相交于D,根据S M pc=S A/c +S M A表示口A C P的面积，利用二次函数的性质即可求出口A C P

38、的面积的最大值及此事P点坐标；(3)构造C M为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N,可得出B M +也C M=3M+MN2最小值即为BN.设”(0,2)可表示N点坐标，继而可表示B N 2,利用二次函数的性质即可求的B M+2cM最小值，以及此时M点坐标.2【详解】解：(1)V A(3,0),O A =3 O B.0 A=3,O B=15(1,0)设抛物线的交点式为y =a(x+1)(%-3),将 C(0,3)代入得 3 =。1(一3),解得。=-1y =-l(x+l)(x-3)=-x2+2 x+3 ,即该抛物线的函数关系式为丁 =-公+2工+3.(2)作P DJ _ x轴，与线段

39、A C相交于D.设直线A C：y=k x+d将C(0,3),A(3,0)分别代入3=d d=3得 八 /解得、0 =3 Z +d 伙=-1所以 y=-x+3.设 P(n,-n2+2 +3),则 D(n,-n +3),D P =-rr+2 +3 -+3)=-n2+3n设 D C P以P D为底时高为,Z k DAP以P D为底时高为h2,则心%=59改+5 3=亍1 尸。4+1不 尸。=亍1 尸 (4+/1 9 3 o 92)=5(一 2+3办3 =-5 2+不因为乙 乙 乙 乙 乙 乙3 3 2 7 3 3 1 5 0,所 以 =一j 时取得最大值为.n+2 +3 =()+2 x F 3 =.

40、2 2 x(-1)2 8 2 2 42 7 3 1 5故口A C P 面积的最大值为一，此时（一己,二）.8 2 4（3）存在，如下图，作以C M为斜边的等腰三角形，它的直角顶点为第一象限内的N点,V A M C N为等腰直角三角形,.M N=W C,即要使B M +注C M最短，只需要5 M+MN最短为B N即可,2 2设 团(0,呵 则 MC=3-m,EM=EN=3-771 3 +加、，A()22 2：.BN2=(3-m2八2 .3 +m.2+l)-+(-)-22-1 ,L当加=F =1时，BN z取得最小值为8,BP BN=2 72 .-Z X j当M（0,l）时，B M +乎C M的最小值为2 0.【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形问题.（1）中能选择交点式，可以使求解析式的过程更加简单；（2）中能正确表示口A C P的面积是解题关键；（3）中能构造等腰直角A C MN,将B M+C M最短问题转化为8 M+MN最短是解题关键.2