山东省冠县某中学高二数学复习导学案：1-2第1课时《等差数列的概念及通项公式》（新人教A版）.pdf

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1、等 差 数 列 第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义(1)关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同个常数，那么这个数列不是等差数

2、列.一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.照为+为(6 M)或者d=%q.i (n GN+且 心2).(2)如何证明一个数列是等差数列？要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只 需 证 明 对 任 意 正 整 数 是 同一 个 常 数(或(1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：仇+=成为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明为,册 或 为-4一1 (1)不是常

3、数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式(1)通项公式的推导常用方法：方法一(叠加法)：为 是等差数列，On-a n.d n.rOn-d,a n-2-an.3-d,-,a3-a2=d,a2-a i=d.将以上各式相加得：为七1=(-1)4an=a1+(n-l)d.方法二(迭代法)：.%是等差数列，an=an.1+d=an.2+d+d=an.2+2 d-an.3+3d=o i+(n-l )d.即 on=a i+(n-l)d.方法三(逐差法)：；4是等差数列，则有an=(an-on-i)+(on.1-an.2)+(an.2-an.3)+-4-(a z-a j+a i=a i+f n-

4、l)注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.(2)通项公式的变形公式在等差数列 册 中，若m,G N+，则a/O m+S-m)，推导如下：.,对任意的m,n G N+,在等差数列中,有%二%+(m-l)d an=a1+(n-l)d 山-得 an-am=(n-m)d,，an=am+(n-m)d.注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-l)d变 形 整 理 可 得d，+ad,从函数角度来看，。/加+(。:d)是关于n的一次函数(d W O时)或常数函数(0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，

5、胆 力 区 (nn-mW m).(3)通项公式的应用利用通项公式可以求出首项与公差；可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项；若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n=/m)=a i+(-l)d=d n+(ad),可知其图像是直线片d x+(ad)匕的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1,函数值增加d.当d 0时，为 为递增数列,如图(甲)所示.当d O H寸，分 是 数列；当d=0时，为 是 数列；当d 2).金+金(2 1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.加 不是等差数列.命题方

6、向等差数列通项公式的应用 例2 已知数列 册 为等差数列，且。5=1 1,。8=5,求an.分析 利用通项公式先求出田和d,再求0 1 1,也可以利用通项公式的变形形式afam+(-m)d求解.解析 解法一：设数列 为 的首项为由,公差为d,由等差数列的通项公式及已知，得ai+4 d=1 1 1。1=1 9 解 得J%+7d=5 =-2A an=1 9+(l l-l)X(-2)=-l.解法二：V a8=o5+(8-5)d,，an=a8+(ll-8)c/=5+3 X(-2)=-l.说明对于解法-，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出外和d,确定通项，此法也称为基本量法.(2)对于解法二根

7、据通项公式的变形公式为:。小为+加用办初d N+，进一步变形为“二区m-n应注意掌握对它的灵活应用.变式应用2已知等差数列。“中，/o=29,GI=62,试判断91是否为此数列中的项.1=%+9d=29 解析设等差数列的公差为d,则 有 ，S i=S+20d=62解得 a i=2,d=3.：.an=2+(n-l)X 3=3n-l.92令 为=3rbi=91,得 n=e N+.3 9 1不是此数列中的项.命题方向 等差中项的应用 例3 已知a,b,c成等差数列，那么。2伊0万2优+0)/(0+6是否成等差数列？分析 已 知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可 知a+c=2b,然后要证其他三

8、项a2(b+c),/(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.解析 因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,又 a2(b+c)+c2(a+b)-2 b2(c+a)-a2c+c2a+a b(a-2 b)+bc(c-2 b)=a2c+c2a-2 a bc=a c(a+c-2 b)=O,所以 a2(b+c)+c2(a+b)=2 b2(c+a),所以aa+c)力2(c+a),c2(a+b)成等差数列.说明 本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数歹U，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.变式应用3己知 数 列

9、X的首项Xi=3,通 项Xn=2p+nq(nCN+,p,q为常数)，且x1、x、X5成等差数列.求：p,q的值.分析 由x i、X,、X5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合4=3推 出2p+q=3,从而得到 p,q-解析由Xi=3,得2p+q=3,又 X4=24p+4q,X5=2p+5q,且 XI+XS=2X4,得3+25p+5q=25p+8q,由得q=l,：,p=l,说明 若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.探索延拓创新命题方向等差数列的实际应用 例4某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞

10、争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这规律如果公司不开发新产品，也不调整经 营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损?解析 由题意可知,设第1年获利为由,第n年获利为4，则%-%产第,(”年2,nGN+),每年获利构成等差数列,且首项。产200,公差d=-20,所以 an=ai+(n-l)d=200+(n-l)x(-20)=-20n+220.若 为0,则该公司经销这一产品将亏损，由 为=-20+220 ll,即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.说明关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.变式应用4 2012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了

11、实际效果，体育场的看台-般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多2 0个座位，你能用品表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？分析分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.解析 由题意知，每排的座位数组成了一个首项为。产150,公差为d=20的等差数列，,an=Oi+(n-l)d=150+(n-l)X 20=20/7+130,则aio=33O,即第10排可坐330人.名师辨误做答 例 5 已知数列 on ,ai=a2=l,an=an.i+2(n 3).(1)判断数列 册是否为等差数列？说明理由；(2)求 为的通项

12、公式.误解 */an=an.1+2,.4-%一1=2(为常数),an是等差数列.(2)由上述可知,an=l+2(n-l)=2 n-l.辨析忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数 列 从第2项起，以后各项组成等差数列，而%不是等差数列，为小。)应该表示为“分段函数”型.正解 (1)当 2 3忖，。产为4+2,即 an-a.i=2.当n=2时,a2-ai=0不满足上式.an不是等差数列.(2)：a2=La=an-：i+2(心3),。3=。2+2=3./.a3-a2=2.当n2 3时，4味=2./.an=a2(n-2)d=1 2(n-2)=2 n-3,又0

13、1=1不满足此式.C 1(n=l),n y 1 2巾3(心2)一、选择题课堂巩固训练 1.(2011 重 庆 文,1)在等差数列 4 中小2=2浦3=4,则Oio=()A.12 B.14 C.16 D.18 答案D 解析该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.4-2由 生 二2,%二4 知 d=2./.a10=a2d=2+8 X 2=18.2.已知等差数列 的通项公式为=32c,则它的公差为()A.2B.3C.-2 D.-3 答案C 解析 V an=a1+(n-l)d=dn+(a1-d),公差为一2,故选C.3.方程X2-6X+1=0的两根的等差中项为()A.lB.2C.3 答案C 解析

14、 设方程x2-6x+l=0的两根为Xi、X2,则X r/=6.D.4,其等差中项为土土逸=3.2二、填空题4.在等差数列 4 中，42=3,04=02+8,则。6=.答案19 解析,:。2=3,。4=。2+8,I。1+4=3 I ，解 得1 .oi+3d=Gi+d+8 1d=4；。6=。1+54=-1+20=19.5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数片ax2+2bx+c(aW0)的图像与x轴的交点有 个.答案1或2 解析 V o,b,c成等差数列，.2b=a+c,又 =4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20.三、解答题6.在等差数列 4 中，已知。5=2%2=31,求通项公

15、式小.ai+4d=10Oi=1 2 解析由题意得,解得01+11*31d=3an=-2+(/?-l)X 3=3n-5.课后强化作业一、选择题1.等差数列1,-3,-5,，-8 9,它的项数为()A.92 B.47 答案C 解析d=-l-l=-2,C.46D.45/.on=l+(n-l)(-2)=-2n+3,由-8 9=-2 r?+3,得 n=4 6.2.如果数列 4是等差数列，贝IJ()人。1+。8。4+。5 8。1+。8=。4+0 5 0。1+0 8。4+。5 口。1。8二。4。5 答案B 解析 设公差为 d,则 a1+a s-a 4-Qs=o1+a1+7d-a1-3d-a1-d=Q,。1+

16、。8=。4+。5.3.已知数列3,9,1 5,乃出口),，那么8 1是它的第()A.1 2 项 B.1 3 项 C.1 4 项 答案C 解析 由 3(2 -1)=8 1,解得=1 4.4.在等差数列%中，。2=5。6=。4+6,则。1等 于()A.-9 B.-8 C.-7 答案BI a i+d=-5 解析由题意，得 ，1%+5 d=6+3 d+6解得%=-8.5.数列%中,。1=2,2 4“=2%+1,贝I J。1()1 的 值 是()A.4 9 B.5 0 C.5 1 答案D 解析 山 2%+1=2%+1 得L2；.%是等差数列，首项。产2,公差d=,2.1 ,、n+3an=2+-n-l)=

17、,2 2.1 0 1 +3 C ioi=-=52.D.1 5 项D.-4D.5 21 .1一6+后，-V 3-V 2，则a,b的等差中项为)A.V 3 B.V 2 C.D.一32 答案A 解析 a+b=73+5/2 6一 亚=指-血 +若+血=代2227.设数列 是递增等差数列，前三项和为1 2,前三项积为48,则它的首项为(A.lB.2 C.4 D.3 答案BI 0 1+。2+。3=1 2|Oi+a3=8 解析由题设 ,；.a 2=4,；.。1。2。3=48 0103=12 6,。3是一元二次方程X2-8X+12=0的两根，又 a3 alf Aai=2.8.册 是首项为=4,公差d=2的等差

18、数列，如果”=2012,则 序 号 等 于()A.1003 B.1004 C.1005 D.1006 答案C 解析V ai=4,d=2,/.an=ai+(n-l)d=4+2(n-l)=2n+2,2n+2=2012,An=1005.二、填空题9.三个数 lg(V 3-V 2),x,lg(V 3+V 2)成等差数列，则 x=.答案0 解析由等差中项的运算式得lg(V 3-V 2)+lg(V3+V2)lg(V 3-V 2)(V 3+V 2)nx-=-=0.2210.一个等差数列的第5项。2=10,且 出+吁。3=3,则。1=,d=.答案-2,3。5=。1+44=10。1+4d=10 p7i=-2 解

19、析由题意得1 ，即,a1+a1+d+a1+2d=3 ai+d=l d=311.等差数列 为 的前三项依次为x,2x+l,4 x+2,则它的第5项为.答案4 解析 ,*2(2x+l)=x+(4x+2),二 x=0,贝lj。1=0,。2=1/=。2-。1=1,；。5=。1+40=4.12.在数列 册 中，出=3,且对于任意大于1的正整数，点(向，值?)在直线x y百=0上，则an=.答案3/解析由题意得n-7 7 =6,.数歹计向 是首项为Q,公差为Q的等差数列，J a”=J 3 n,.cin 3n.三、解答题13.在等差数列 4 中：(1)已知。5=-1,。8=2,求 5 与 d;(2)已知。1

20、+。6=12,。4=7,求s+(5-l)d=-l ph=-5 解析 由题意知，解 得，I ai+(8-l)d=2 I d=l|oi+a i+(6-l)c/=1 2(2)由题意知，,解得。1+(4-1川=7,J 的=Oi+(9-l)d=1+8 X 2=1 7.3 r1 4.已知函数 f(x)=二 一，数列 x j的通项由 xn=f(xn.1)c N+)确定.x +3求证：1-是等差数列；x(2)当 X i=L 时，求 Xioo.23 x 解析(l)xn=/(xn.1)=T m 2 2,G N+),X-i+3所以=尤 3 x“_1 3111,、-=m 2 2,/?N+).X Xn-l 3所 以L

21、是等差数列；x.(2)由知-的公差为X,3又因为X 1=L，即=2.2 x所以=2+(n-l)X ,尤“3=2+(1 0 0-1)X 1=3 5.xioo 3所以 Xioo=.3 51 5.已知等差数列 4中,的+。6+。7=1 5,。5。6。7二4 5,求 数 列 an的通项公式.分析 显然06是。5和。7的等差中项，可利用等差中项的定义求解。5和。7,进而求4.解析 设 as=a6-d,a7=a6 d,则由。5+。6+。7=1 5,得 3。6=1 5,。6二5.当 o5=l 时，d=4,从而=-1 5,an=-1 5+(n-l)X4=4 n-1 9.当 a5=9 时，d=-4,从而 a i

22、=2 5.：.an=2 5+(n-l)X(-4)=一 4。+2 9.所以数列 为的通项公式为4=4 1 9 或册=-4 n+2 9.1 6.第一届现代奥运会于1 8 9 6 年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；2 0 0 8 年北京奥运会是第几届？2 0 5 0 年举行奥运会吗？解析(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 8 9 6 为首 QQQ 项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为on=1 8 9 6+4(n-l)=1 8 9 2+4 n(n e N+).(2)假设 on=2 0 0 8,由

23、 2 0 0 8=1 8 9 2+4 ，得 =2 9.假设。产2 0 5 0,2 0 5 0=1 8 9 2+4 无正整数解.所以2 0 0 8 年北京奥运会是第2 9 届，2 0 5 0 年不举行奥运会.第2课时 等差数列的性质知能目标解读1 .掌握等差数列的项与序号的性质.2 .理解等差数列的项的时称性.3 .能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.重点难点点拨重点：等差数列的性质.难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题.学习方法指导1 .等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数/(X)=k x+b(k#0)的图像是一条直线，斜 率 匕/-2)一/(X#X 2).龙 2 f当k=0时

24、，对于常数函数/(X)=b，上式仍然成立.(2)等差数列 4 的公差本质上是相应直线的斜率.特别地，如果已知等差数列 的任意两项。/m,由为=O m+(-m)d,类比直线方程的斜率公式(1 -n得 d=-(m#.m-n2 .等差数列的“子数列”的性质若 数 列 是公差为d的等差数列，则(1)d去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列 内M 是公差为2 d 的等差数列；偶数项数列。2“是公差为2 d 的等差数列；(3)若 公是等差数列，则%,也是等差数列.知能自主梳理1.等差数列的项与序号的性质(1)两项关系通项公式的推广：an=am+(m、N+).多项关系项的运算性质：若

25、=p+q(m、n p、昨 N+),贝ij=op+aq.特别地，若 m+n=2 p(m、n p N+),则 产.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和(若有中间项则等于中间项的2倍)，即a i+an=a2+=仅+(其中n为奇数且n3).T-3.等差数列的性质(1)若 为是公差为d的等差数列，则下列数列：c+%(c为任一常数)是公差为 的等差数列；c (c为任一常数)是公差为 的等差数列；为 (kG N j是公差为 的等差数列.若%、bn分别是公差为小、%的等差数列，则 数 列 pa.+qb”(p、q是常数)是公差为 的等差数列.答案l.(n-m)d

26、 am+an 2 ap3.d c d k d pd i+qd?思路方法技巧命题方向运用等差数列性质a=am+(n-m)d(m、nGN+)解题 例1 若数列。“为等差数列，ap=q,/=p(pW q),则 知+1,为(),、p+qA.p+q B.O C.-(p+q)D.-2 分析本题可用通项公式求解.利用关系式a“=am+m-m)d求解.利用一次函数图像求解.答案B 解析解法一：Qq=ai+(q-l)d,C a1+p-l)d=q ai+(q-l)d=p-，得(p-q)d=q-p；pWq,：.d=-l.代入，有 ax+(p-l)(-l)=q,a!=p+q-l.故 a=+q=ai+(p+q-l)d=

27、p+q-l+(p+q-l)(-：l.)=O.应选 B.解法二：；ap=Oq+(p-q)d,，q=p+(p-q)d,即 q-p=(p-q)d.,：pWq,d-l.故 a0+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-l)=O.,.应选 B.解法三：不妨设p q,由于等差数列中，为关于。的图像是一条直线上均匀排开的一群孤立的 点，故 三 点(p,O p),(q,a g),(p+q,a p*g)共线.设 a p+q=m,由 已知,得三点(p,q),(q,p),(p+q,m)共线(如 图).由 A B E s 椀,得 丝=空.BE FC.q-p=p-mq-p(p +q)-g1=HP得m=0,即Q p+q=0

28、.应 选B.说明本题采用了三种方法，第一种方法使用的是方程思想，由已知建立了两个关于首项 和 公 差d的等式，通过解方程组，达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式a=a m+(=-m)d.第三种方法使用的是函数的思想，通 过 点(p,a),(q,a q),(p+q,a 0+q)共线求得其解，这也是解决本类问题较简便的方法.变式应用1己 知 an为等差数列，。1 5=8,。6 0=2 0,求。7 5.解析解法一：.。1 5=。1+1 4。,7 6 0=。1+5 9 4C O i+1 4d=8%+5 9 d =2 01 6 41 5解 得 0,故所求的四个数为-2,0,2,4.解法二：

29、若设这四个数为a,a+d,a+2 d,a+3d l公差为d),依题意，2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8,3把 a=l-d 代入 a(a+3d)=-8,23 3 9得(1-d)(l+-d)=-8,即 1d2=-8,2 2 4化 简 得 出4,.d=2或-2.又知四个数成递增等差数列，d 0,；.d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.说明此题设法很重要，一般地有如下规律：(1)若 所 给 等 差 数 列 为 项，则可设为：a-(2n-l)d,a-3d,a-d,a+d,a+3d,a+(2n-l)d,此数列的公差为2d.若所给等差数列的项 数为2 im N+）项,则这个数列可设为

30、:a-（/?-l）d,这个数列的公差为d.QC变式应用3已知5个数成等差数列，它们的和为5,平方和为汩，求这5个数.9 解析设这五个数依次为。-20-4（74川,a+2d,由题意，得-5a=585(a-2 d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2 d)2=/a=l解 得 ya=l,e*Y故这五个数为!，,1,2,1或,1,.3 3 3 3 3 3 3 3名师辨误做答 例4 在等差数列 册 中，已知01=2,02+03=13,则a4+a5+a6=.误解39*/。2+。3=13,05=02+03=13,/.。4+。5+06=3。5=39.辨析 误解过程中，吁 3%是错误的，在运用等数列的

31、性质“若mM=p+q（m、n.p、qWN+）,则am+an=ap+aqf f的过程中，一定要明确条件“m+n=p+q（m、n、p、q&N+）”的内在含义.正解42设公差为d/：a2+a3=13,2s+3d=：13,又 01=2,：.d=3,。4+。5+06=3。5=3（01+4。）=42.课堂巩固训练一、选择题1.已知 为 为等差数列，a2+o8=1 2,则 为 等 于（）A.4B.5C.6D.7 答案C 解析；为 为等差数列，二。2+。8=2。5,2。5=12,.。5=6.2.如果等差数列 4 中，。3+。4+。5=12,那么%+%+。产（）A.14 B.21 C.28 D.35 答案C 解

32、析 a3+a4+o5=12,，304=12,。4=4.。1+。2+。7=（01+。7）+（。2+。6）+（。3+。5）+。4=7。4:=28.3.等差数列 d 中,。4+。5=15,。7=12,则。2=（）33A.3B.-3 C.-D.22 答案A 解析V a4+a5=15,/.。2+07=。4+。5=15,又 a7=12./.。2=3.二、填空题4.在等差数列包 中，a3=7,a5=a2+6,则。6=.答案13 解析 设公差为 d,a5=a2+6,a s-a2=3d=6,/.。6=。3+30/=7+6=13.5.等差数列%中，若。2+。4022二4,则。2012=.答案2 解析,m 为等差数

33、列，2。2012=。2+。4022,。2012二出+022=9=22 2课后强化作业一、选择题1.已知等差数列 中，。3=5,。5=9,则。7二（）A.11B.12C.13D.14 答案C 解析 设公差为 d,as-a3=2 d,A 2d=4,X a7=s+2c/=9+4=13.2.在等差数列 4 中，。3+。4+。5+。6+。7=45 0,则 吁为二（）A.45B.75C.180D.300 答案C 解析 由 a3+a7=aA+a6=2 as,得03+。7+。4+。6+。5=5。5=450,/.。5二90./.。2+08=2。5=180.3.下列命题中正确的是A.若a,b,c成等差数列,B.若

34、 a,b,c成等差数列，C.若a,b,c成等差数列，D.若a,b,c成等差数歹U，答案C（）则/斤/成等差数列则log2a,log2b,log2c成等差数列则。+2,b+2,c+2成等差数列则2,2 b z成等差数列 解析：a,b,c成等差数列,2 b=a+c,2b+4=a+c+4,即 2(b+2)=(o+2)+(c+2),：.a+2,b+2,c+2成等差数列.4.已知等差数列 a0 中，。7+。9=16,。4=1，则由2等 于()A.15 B.30 C.31 D.64 答案A 解析,；。7+。9=2。8=16,故 兔=8.在等差数列 叫 中，。4,。8,田2成等差数列，所以。12=2。8-。

35、4=16-1=15.5.已知等差数列 分 满足?1+。2+。3+。101=0,则 有（）A.G j+G ioi O 8。2+。1000f 03=-6,。7=2.I%+2 d=-6 Oi+6d=2故。=-1 0/=2,.二 an=2 n-12.15.已知数列 an fan=2 n-l,bn=a2 n.i-求 6 的通项公式；(2)数 列 瓦是否为等差数列？说明理由.解析 :an=2 n-lfbn=a2 n-if儿=。尸1 也=。3=5,优=%=9，bn=a 2 n-i=2(2 n-l)-l=4n-3.(2)由 bn=4n-3 知 bn.i=4(n-l)-3-4n-7.,/bn-bn.1=(4n-

36、3)-(4n-7)=4,.是首项仇=2,公差为4的等差数列.16.有批影碟机原销售价为每台8 00元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销；买一台单价为7 8 0元，买两台单价都为7 6 0元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少2 0元，但每台最低价不能低于4 4 0元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.解析 设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于4 4 0元，售价依分数n 成等差数列.设该数列为 4 .an=780+(n-l)(-20)=800-20n,解不等式。”2 4 4 0即800-20/1440,得n

37、218.当购买台数小于1 8台时，每台售价为800-20n,在台数大于等于18台时，每台售价为440元.到乙商场购买，每台售价为800X75%=600元.作差：(800-20n)n-600n=20n(10-n),当 n10 时、600n(800-20n)n,当。=10 时，600n=(800-20n)n,当 10nl8 时(800-20n)n18 时，440nD=-22,Sno-Sioo=Slo+(11-1)D=100+10X*SHO=-12O+SIQO=-1 10.方法三：设S产。+加).V510=lO0,Sloo=lO,(-22)=-120.10*2a+10b=100F-2,又 SIOO-

38、SIO=1O-1OO=-9O,OI+GIIO=2.5110=-110.211Q-1001002a+100h=10=1011 2 111Sn=-n+-100 10n.*,-iio=-X IIO?-!-X 110=-110.100 10方 法 四:V Si0010=oll+o12+*+cf100_ 90(i+IOQ)_ 90(+()方法五：在等差数列中，因 为 点，d)共线,n所 以(10,4.),(10 0,与 他),(110,9 1 m)三点共线,10 100 110Sioo Si。S.o S0故而一而一 加 _ 而1 0 0-1 0 110-10即Is-10 皿 一1010 11090 10

39、0-=1 0+X(-10)=-1110 9 10 S i o=-llO.说明 比较上述五种解法可以看出，利用等差数列 前 项和的性质解题，可以大大减少运算量.变式应用2 已知等差数列 an)的前n项和为5”,且 5 m=7 0,5 2 m=110,则$3m =.答案12 0 解析；册 为等差数列，5 也 5 2 m sm S m S2m也成等差数列，,2($2m-Sm)=5m+S3 m-S2m,即 2 (110-7 0)=7 0+S3m-110,.-.S3m=12 0.命题方向 等差数列前n项和的最值问题 例 3 已知数列 册是等差数列，的=5 0,d=-0 6(1)从第几项开始有o 0;求此

40、数列的前n项和的最大值.分析 对 于(1)实质上是解一个不等式，但要注意n S N,；对 于(2)实际上是研究5 随 n的变化规律，由于等差数列中S”是关于n的二次函数，所以可以用二次函数的方法处理,也可以山的变化推测Sn的变化.解析 (1)因为 a i=5 0,d=-0.6,所以 an=5 0-0.6(n-l)=-0.6 n+5 0.6.令-0.6 0+5 0.6 W 0,贝 1 8 4.3.0.6由于“G N-,故当n)8 5 时，an 0,即从第8 5 项起以后各项均小于0.(2)解法一：因为 d=-0.6 0,由(1)知。840,。85$85$86“1QA X 83所以当=8 4 时，

41、S,有最大值，即$8 4=5 0 X 8 4+-X(-0.6)=2 10 8.4.2解法二：Sn=50n+，(n-X(-0.6)=-0,3n2+5 0.3n=-0.3(n-)n 取 接 近 于 空 的26 120 6自然数，即。=8 4 时，S n 达到最大值5 8 4=2 10 8.4.说明 求等差数列的前 项和5 n 的最值有两种方法：方 法：根据项的正负来定.若s 0,d 0,则数列的所有正数项之和最大；若。1 0,%=2 5-2(0-昨0由Yon+1=2 5-2 n O(113 2,得 Y、1心12 1 2所以当n=13时，5 有最大值16 9.解法三：同解法一先求出 d=-2.山$1

42、7=$9，W 0 10+0 11+,+a17=0,而。10+。17=。11+。：16=。12+。15=。13+。14,故。13+。14=0.因为 d=-2 0,所以。13 0,。14(4n+27)k是n的一次函数，与公差不为零的等差数列的前n项和为n的二次函数不符合.正解 由于等差数列%的前n项和Sn-a n2+bn=a n(n+),a设 S=(7n+1)kn,Tn=(4n+27)kn,*-011=511-510=(7X11+1)llk-(7X 10+l)10k=148k,bii=TiTio=(4 X 11+27)llk-(4 X 10+27)10k=lllk.孙 48k _4-3,课堂巩固训

43、练一、选择题1.在等差数列 d 中，已知。2=2,。8=10,贝IJ前9项和$9=()A.45 B.52 C.108 D.54 答案D 解析；分 是等差数列，/.。2+。8=01+。9=2+10=12,.9 x(q +%)_ 9X12222,数列 册是等差数列，的+。2+。3=-24,田8+。19+。20=78,则此数列的前20项和等于()A.160 B.180 C.200 D.220 答案B 解析:a是等差数列，01+。20=02+019=。3+018,又。1+。2+。3=-24,018+。19+。20=78,/.。1+。20+。2+。工9+。3+。18=54.3(01+。20)=54,。1

44、+。20=18.2 0(a,+a,n)二 520=1 8 0.23.记等差数列 4 的前c项和为工.若由，$4=2 0,则 5 6=()2A.1 6 B.2 4 C.3 6 D.4 8 答案D 解析设等差数列 d 的公差为d,/0 =,S4=4 X +-d=2+6d=2 0/2 2 2d=3,故$6=6 X -+X3=4 8,故选 D.2 2二、填空题4 .等差数列 端 中，5=1,。3+。5=1 4 淇 前n项和S n=10 0,贝|J n=.答案10 解析设等差数列 的公差为d,Oi+2d+Oi+4c M4,解得d=2.。1二 1S n=n a i+n lx d i2n(n-1)10 0=

45、n+-X 22解得n=10.5.等差数列%中，Su=20 13,则。6=.答案183r 解析.S1 l(a,+aH)11x 2。,、n=-卫=-=l l a6=20 13,2 2/.。6=183.三、解答题6.在等差数列%中：已知$7=425=510,a.3=45,求.解析$7=1 +%)=70 4=4 2,a4=6.2.(4+怎)_”(4+-3)_/1(6+45)22 2.=20.课后强化作业一、选择题1.已知等差数列 d 满足。2+。4=4,。3+。5=10,则它的前10 项和510=()A.13 8 B.13 5 C.95 D.23 答案C 解析 设等差数列。”的首项为与 公差为d.。2

46、+。4=4 则 。3+。5=10 得 2d=6z：.d=3.a2O4=ai+d+a1+3d=2a1+4d=2a1+4 X 3=4,/.ai=-4,10 x9S10=10X（-4）+X3=-40+135=95.故选C.2.在等差数列 4 中，。2+4。7+。12=100,贝1 J 2。3+。1 5 等 于（）A.20 B.100 C.25 D.50 答案D 解析V a2+a12=2a7f/.6。7=10,307=50.又 2。3+。15=2（。74/）+。7+84=3。7=50,故选 D.3.已知一个等差数列的前四项之和为2 1,末四项之和为6 7,前n项和为2 8 6,则项数n为（）A.24

47、B.26 C.25 D.28 答案B 解析设该等差数列为 4,由题意，得（71+。2+。3+。4=21,on+an.i+on.2+an.3=67,又：oi+an=o2+an.1=o3+on.2=a4+an.3,.4（田+。）=21+67=88,.。1+0/22.：.Sn（a+“）n=-=lln=2 8 6,2：.n=26.4.（2011 江西文，5）设%为等差数列,公差d=-2 为其前“项和，若5 o=5ii，则W（）A.18 B.20 C.22 D.24 答案B 解析本题主要考查等差数列的基本性质以及等差数列通项公式.5ir5io=nn=O/a1i=ai+lOc/=a1+lOX（-2）=0,

48、所以。尸20.5.已知等差数列 4 中，。4=9,。7=3,则数列4 前“项和的最大值为（）A.8B.24 答案D 解析 设等差数列的公差为a则 a7-aA=3d,/.3d=-6,d=-2.Oi=ar3d=9+6=15,：.Sn=15 n+n（/1 X（-2）2=-n2+16n=-m-8,64,C.45D.64 .,.当n=8时,5 取最大值64.6.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为1 5,偶数项之和为3 0,则其公差为(A.2B.3C.4D.5 答案B 解析.S=。1+。3+。5+。7+。9=15,5=02+04+06+08+010=30,.S K-S 0,d=-,册=3,5=，贝U

49、 的=_,n=_.25 答案2 3113=ai+(n-l)X 解析由题意，得 Y12 1 /、1 n X(n-1)X、5 2 2r ai=2解 得 n=310.(2011 广东理，11)等差数列 册 前9项的和等于前4项的和.若d=1 q+。4=0,则k=.答案10 解析 本题考查等差数列通项公式、前n项和公式以及基本运算能力.设等差数列公差为d,则an=l+(n-l)d,*/$4=$9,%+。6+。7+。8+。9=0，。7=0,l+6d=0,d=.乂。4=1+3 X ()=,/k=l+(k l)d,6 2/-+l+(M)d=O,代入，得 k=10.261L数列%的前项和5产3 力2 2(n

50、e N j,则 4=，此 时 5n与nan的 大 小 关 系是.答案-4+5 Sn nan 解析”=1 时,5i=a i=l;“N 2 时，an=5n-5n.i=-4n+5n=l 时，也适合上式,故an=-4n+5.5n-n an=3 n-2n2-n(-4n+5)=2 n2-2 n=2 n(n-l)0,故 5会 叫.12.设5n为等差数列 册 的前项和，若Q1,S5=10,当 S 取最大值时，n的值为.答案4 或 5 解析由 O4=Gi+3 d=l,S 5=5o i+10 d=10,得a i=4,d=-l,n(n-l)Sn=4n-2-n+922(9 、2 81(n-)+,2 8又,.n W N