2023高考数学难点突破专题训练一：函数与导数.pdf

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1、2023高考数学难点突破专题训练（1）函数与导数热身训练（2022-2023学年度第一学期高三阶段联考）1.已知4=巫,则仇C 的大小关系为e l n v2 Je 4（）A.a c b B.h a c C.c h a D.c a 06 B.ab0 C.ba0 D.b0a【试 题 分 析】考查目标试题以比较三个数值的大小为具体情境，通过分析数值的共性与特点，构建函数，研究其导函数的正负，得到函数的单调性,从而得到一些函数值之间的不等关系，得出所需结论 试题重点考查考生分析问题的能力以及运用函数 导数、不等式知识解决问题的能力作为甲卷选择题的压轴题，试题紧扣课程标准，题目新颖，力图引导教学，符合基

2、础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能.试题亮点以往试卷中的比较大小问题，往往通过差值比较或商值比较，结合对数函数与指数函数的性质即可得到结论.试题以幕函数为背景与模型，是一个创新与亮点；同时试题将函数、导数、不等式三者有机结合，成为又一个亮点.逻辑推理是课程标准提出的数学学科素养之一.命题者通过设计高质量的试题，意在加强教考衔接，实 现“服务选才、引导教学”这一高考的核心功能和根本任务，推动中学教学回归课堂，落实核心素养，助力学生综合素质提升.解题思路 构造函数/(z)=xr-l,由已知9m=10,可得/(9)=0,且 ml.于是于是)=皿1,当工w(0,+8)时，f(x

3、)0,/(X)在(0,+8)上单调递增，所以。=/(10)y(9)=0,6寸(8)ba B.bac C.abcD.acb【试题分析】考查目标试题以三个数值大小的比较为具体情境，根据数值的共性与特点，构建函数，研究其导函数的符号，得到函数的单调性，从而得到函数不等式和所需结论.试题重点考查了考生分析问题的能力以及运用函数、导数、不等式等知识解决问题的能力.作为甲卷选择题的压轴题，试题紧扣课程标准，设计新颖，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能试题亮点以往试卷中的比较大小问题往往通过差值比较或商值比较，结合对数函数与指数函数的性质即可得到结论，试题亮点之一

4、是以三角函数作为背景与模型.此外，试题将函数、导数、不等式三者有机结合，成为又一亮点.逻辑推理是课程标准提出的数学学科素养之一.高考通过高质量的命题，有助于加强教考衔接，实 现“服务选才、引导教学”的核心功能和根本任务，推动中学教学回归课堂，落实核心索养.助力学生综合素质的提升.解题思路4.I 14sin tan 思路1因为当时，tan X X,于是=-=i l,所2b 1 1cos 4 4以有c b.构造函数/（x）=C O R *+所以/，（*）=x-sin X.当”0 时，/,（x）=x-sin.v0,/（%）在 0,+8）上单调递增，于是/（小 /（）,即 cos 1.所以 cos 从

5、而有 ba.思路2由 思 路1得c b.因为当0%,时，有sin x x,于是l-cos x=2sin2 2-/j=,所以 I-co s；已 从 而 有/乙】乙 4 32 4 32b a.故正确选项为4【试 题 出 处】2022年高考数学 全 国I卷第7题【试 题】设 a=0.Ie。.6=-,c=-ln 0.9,贝 ljA.abc B.cba C.cab D.ac。9 哈，于是*?，=9 一 当 0o 0,所以/(x)0,/(x)在 0,0.1上单调递增，有/(S l)/(0)=0.即0.1p+ln0.90,所以a c.故正确选项为C.设函数/(%)=xe+ln(I-x),则/，(*)=(x+

6、1 )e*=1 -x(J -x2)e*-12022高考三类“比大小”问题的出题背景及应用举例文/刘蒋巍第 1 类出题背景1证 明 当r 0时，ln（1+.z-）JC.1 +x证设/（工）=g（1 +T）,显 然/（才）在区间0,1 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有/（x）-/（o）=r（e）（x-o）,o$x.由于/（0）=0（l）=14T，因此上式即为ln（l+x）=/3.又由0 ，有即8 ln（1+.V）0）.变形得：Xe+x l +x 0）注：该不等式也可运用“移项，构造函数”的高中方法证明。第 2 类出题背景2若 a l,b c,bc a1lo g.lo g.C 产“*呜

7、与2 =（方）2 （#）2 =1【运用案例1】（2 0 2 2.新高考 I 卷 T 7）设。=0.1 e,b =L c =ln 0.9,则（）9A.a b c B.c b a C.c a b D.a c b ln（1+x）0）.人 1 H l,1 0 1 -r/日 ,令=一,得：一 In一 ,可得：cb9 1 0 9 9Xel+x 1 +x o)i n 1 i 1 1 i 1令x =，得：?9 e，|Q e 9 0 6 即：可得：a b设 a =0.1 e ，c =ln(l 0.1)将 0.1 抽象成 x,a=xex,c =-ln(1 -x),则+ln(l-x)问题迎刃而解。【运 用 案 例2

8、18 b=（南京市第一中学2 0 2 3届高三上学期入学考试数学试题）已知a =lo g7 1,O 1 77 5 8 In 55,7c =lo g6-,5 5则仇c的大小关系为（）A.b c a B.b a cC.acb D.a b cm8531 +xln(l+.r)0).3-58-In 53-8得3-5lo g b.lo ga c （*：）2 =1，得：a,8 ,6,-=lo g7-lo g7-l 所以，acc 5 5 5故：ba 0 b B.a b 0 C.b a 0 D.h 0 am=lo g91 0a=1 0Io g9 1-1 1 =1 0,o g9，-1 0lo g,n由“若 a l

9、,b 于 c,bc a2叫 1。印 心”）2=心宇）2 0lo g 9 1 0同理，/,=8 o g9 1 0 _9=8lo g91 0 _8lo gs9 =lo g91 0 1 o g98 l,则。0 b【变式】（2 0 1 9 年全国高中数学联赛甘肃预赛第3题）已知a=l o g,e ,8=l o g s 4,c=l o g45,则a、b、c 的大小关系是参考答案：a c b（提示：-=l o g45-l o g43,因为3 x 5 4）,所以工 1）b b第3类出题背景3在 图1-32所 示 的 四 分 之 一 的 单 位 圆 中，设 圆 心 角Z.A O B =x点A处的切线与OB的延

10、长线相交于D,又B C _ L O A,则z-、s i n x=C B,x =AB,t an x =AD .因为 AOB的面积（扇形AOB的面积（A O D的面积，所以 y s i n x y J,y t an x,即s i n JT t an x.不等号各边都除以s i n z,就有+或co s x /-s i-n-/1t.x因为当工用-H代替时，CO S X与则三都不变，所以上面的不等式对于开区间X（一5,0）内的一切H也是成立的.事实上.当时，0 I co s T-1 1=1 -co s h =2 s i r?5 2（5）2即0 1 co s x h a B.h a c C.a b c

11、D.a c h分析：因为=4t an,因为当xe（0,=,s i n x x 工,即，1,所以b 4 k 2；44bc b i结合“当0|N 寺时，0 1-的 a/Z x =一故，c b a【类题训练】1.已知=l o g3 2,b=l o g1 51 0,c=s i n g,则A.b c a B.a c b C.a b c D.b a cD【解析】本题考查基本初等函数,考查逻辑推理的核心素养.因为 a=log32=詈,。=logi5 10=4 =$|$|，所以 b a.1g 3 lg 15 lg 3 十 1g 5 1g 3a=log3 2log3K =J s in J =c,，所以 l)a

12、c.乙 乙2.若=s i n l+t an l,b=2,c=l n 4+,则 ，b,c 的大小关系为()A.cba B.cab C.abc D.bcc,再构造函数g(x)=s i n x+t an x-2 x,利用导数说明函数的单调性，即可判断4匕，即可得解；【详解】解：令/(x)=2 1 n尤+J x,贝ij/,(6=2+3=九+y=二(=1屋0,则/(x)在定义域(0,+。)上单调递 X 丁%2 X2减，所以2)/(1)=0,即2 1 n 2 +g 2 0,所以l n 4+g0,令g(x)=s i n x+t an x-2 x,则，/、1 co s3x-2 co s2 x+l b 二 fn

13、 匚 匚“、g(x)=co s x+-2 =-,因为0,彳，所以CO S X(),1),co s x co s x 2 y令 力(%)=/一2%2+1,x e(0,l),则 ()=3工2-4x =x(3 x-4)v(),即(x)在(0)上单调递减，所以人(*)41)=0,所以g(x)0,即g(x)在(0,口上单调递增，所以g(l)g(O)=O,即 s i n l +t an l 2。，即 s i n l +t an l 2，即。力，综上可得a b c；故选：A3.已知a u jY l/ntam-O.lcM lnO.g,其中e为自然对数的底数，则eA .c a b B.a b cC.b a c

14、D.a c b解析：因为e Nx +1，所以。=0皿一1 一0.1 +1-1 =-0.1；因为 t an戈,w(0,，所以b=-t an O.1 0.1：因为In x W x l,所以c=l n 0.9 力(0)=0所以/*)0 J(x)递增，所以/(-0,1)/(0),即 l n 0.9-t an(-0.1)v 0所以c b c4.设。=l n l.l,Z?=e0 J-l,c=t an O.l,d,则7 1A.a b c d B.a c b d C.a b d c D.a c d -cosy C.sinxcosy D.cosxsiny答案：ABC【分析】将e s i但e s i n y变 为

15、 父=2也结合指数函数的性质，判断A;构造函数ex s i n x/(x)=/,xe(O,%),求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单sinx调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C,结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0元 0 ,一ev=sin yev v1，.siny-,1,.si.n s.in x,A 对；eA sin x sin xe-v ev PV虫=令,=7,xe(O,),即有/(x)=/(y),令了，二吆心了2【。/二,sirrx 4/*)在 O q J上递减，在 上 递 增,因为/(x)=/(y),：.QX y 5，%5-丁，c冗 7 1 式 7

16、1且 一 ,乃,-V sin y -y I =cos y,c 对；由C的分析可知，工（工（工，2 2 4在区间|-5,工上，函数y=co sx不是单调函数，即cos（色一 y）cosx不成立，即Z 42sin y v cos x不成立，故D错误；故选：ABC.6.设。=亲“皿畀 c=sin4,则A.cba B.abc C.bca D.ca 0,故选项C不正确 故选项A正确思路2特殊值法.根据函数表达式和图像区间，有-le卜5.y,l e -y,y ,K/(-1 )=(3-3)0 8(-1)0,所以选项B,C,D不正确.故选项A正 确.思路3利用函数单调性.根据函数解析式可得/(-*)=/(*)

17、,即函数/(X)是奇函 数.由/(x)=3 c o s x-3-，c o s X,知函数是连续可导的，且/(X)=I n 3,3MC O8 x-3xs i n x+l n 3 3r c o s 4+3 s i n x=l n 3 (3+3r )c o s x+(3*-3*)s i n x.故/(0)=2 1 n 3 0,从而函数在4 =0附近的某个对称区间内是单调递增的，故选项B.C,D不正确.故选项A正确.【试 题 出 处】2 0 2 2年高考数学全国乙卷文科第8题【试 题】右图是下列四个函数中的某个函数在区间-3.3 的大致图像,则该函数是-x3+3xA.y =：-x2+c 2 4 c o

18、 s xC.尸 F T【试题分析】考查目标试题以初等函数为载体，函数表达式虽然简单但其图像不易得到.通过分析给定的函数图像，可知该函数为奇函数 此外，部分函数值的符号也可通过函数图像获得 根据题设可知，给定的图像是选项中某个函数的图像，根据这些条件,考生能正确求解试题 试题考查考生对函数的奇偶性、函数图像与性质的理解与掌握，考查图像分析及运算求解能力.试题遵循重基础、重思维、重过程,适当降低运算量的命题思路.试题亮点函数是数学址基本的概念，是描述客观时界中变ht关系和规律的最甚本的数学语言和 具之一,是贯穿岛中数学的一条试题以函数图像为背景,考杳了函数的概念、函数值的计算,以及函数的基本性质等

19、知识点，同时考杳了考生的逻辑推理能力运算求解能力以及灵活地分析问题蒯决问题的能力.瓜虺的号化方式是号生而见的解题思路思 路1 特殊值法 根据函数表达式和图像区间，分别计算选项函数在X=1 和x=3处的函数值.当x=l 时,B选项函数/(1)=0,故根据图像可以排除B选项.当*=1 时.D选项函数/(1)=sin l oin；-j,故根据图像可以排除C选项.综上，选项B,C.D不正确.故正确选项为A.思路2利用函数单调性和特殊值.B选项函数的导函数为，（*）=宜-】）（/+1）-2x（/r）=,+/-1（x2+l）2+产在区间（1，3）上函数单调递增，故根据图像可以排除B选项.C选项函数的导函数

20、为/（丫）=、（/T）3 x4 x（+l）sin x（6+1）2 J1-（4 cos 3+1 5 sin3）0,此时函数在x=3处附近是单调递增的，故根据图像可以排除C选项.在区间（0.1）上，D选项函数/（*）=察 一 _ 宅2 =，故相提x2+l x3+|2.r x 惯供砧图像可以排除该选项.综上，选项B,C,I）不正确.故正确选项为A.【试题出处】2022年高考数学全国甲卷理科第6题【试题】当工=1时，函数/（%）=a11 1 x+一取得最大值-2,则/（2）=XA.-1 B.-j C.j D.1【试题分析】考查目标试题以基本初等函数的简单线性组合构成函数人工），考查函数及导数的基本问题

21、，包括导数的计算和应用及函数最大值存在的条件和计算.试题主要考查考生对函数与方程的思想方法的掌握，以及运算求解能力.试题亮点试题为基础性题目，通过设置数学课程学习情境，要求考生能利用基本初等函数的导致公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会用导数求函数的极大值、极小值，以及一些特殊情况下的最大值、最小值.试题以水平二的层次考查数学运算等数学学科素养，设问常规，有利于考生答题和稳定考试心态解翅思路 根据条件建立基本关系，由 a，6满足两个已知条件，可以求出其值，然后可求得/(2).由题设可知，/(工)=色-与，故/(1)=6=。X/(D=6 =-2,X X解 得 a =b =-2.所 以/(

22、2)=-,故正确选项为B.【试 题 出 处】2 0 2 2 年高考数学全国I 卷第1 0 题【试 题】已知函数/(x)=/r+l,贝 IJA./(x)有两个极值点B./(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y=f(口的对称中心D.直线，=2 x 是曲线y=f(x)的切线【试题分析】考查目标试题考公考生利用导数判断函数的单阴性,求函数的极值点,零点，求曲线切线的以本方法，号代号生对三次函数的图像与性质的理解与掌握 试题综合考杳考生灵活运用铮数匚具去分析、解决问题的能力，考查了分类讨论的思想.试题以数学推理学习的问题情境，考先考生逻辑思维能力和运算求解能力.试题考查的知识点属于函数的币点知识，符令

23、基础性、综合性的命题要求.试题亮点 试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值 零点、切线、函数图像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考杳点全面 试题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考直考生的理性思维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.解粒思路思 路 1 直接求导分析.由题目可知，当*=彳时，f(x)=0.当*时，f(x)0,单调递增.当 一 717时，f(”)g 时,f(x)0,/(x)单调递增.所以/(*)在刀=-，：处取得极大值,在x=T处取得极小值.因此，/(X)有两个极值点，故选项A正确.又因为/(-2)=-5 0,/(扑1 一

24、 等 o,结合/(x)的单调性，可知/(X)在区间卜8,-堂 上 有 唯 一 零 点，在区间卜g.+T 上无零点，故选项B错误.由于g(x)=x r是奇函数，所以点(0,0)是曲线v=g(x)的对称中心.而曲线y=/(x)可由曲线y=g()向上半移一个一位长度得到 可知点(0,I)是曲线y=/(x)的劝称中心.故选项C正确.若/(x)=2,则*=1.所以曲线，=/(*)斜率为2 的切线仃两条分别为y-2x-1 和y =2x+3,均不过原点,故选项D错误.思路2利用三次函数的性质和结论.由于广(幻=3/-1 有两个不相等的实根，故/(*)有两个极值点.故选项A正确.又因为J项的系数大于零，故工=

25、是极小值点，其 函 数 值/怜=”等 0,故y=/(x)与工轴只有一个交点.故选项B错误.由于三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，由/(*)=0得x=0,则y=L故曲线的对称中心为(0,1).故选项C正确.过点(0,0)做曲线y=/(x)的切线，设切点为(%,/(%),则f(x)-=/(3),可得2x：=l.此时切线斜率/(痂)=3 君-1 K 2.故选项D错误.【试 题 出 处】2022年高考数学全国I 卷第1 2题【试 题】已知函数/)及其导函数/(X)的定义域均为R，记g(工)=/(#)若-2x)9 g(2+%)均为偶函数，则A./(0)=0 B.=0C./(-1)=/(4)D.

26、g(-l)=g(2)【试 题 分 析】考 查 目 标 试题以抽象函数作为背景，考查函数的奇偶性、对称性、周期性等基础知识.试题考杳了考生分析问题的能力和运用函数、导数相关知识解决问题的能力.作为新高考试卷的压轴选择题，试题紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求.试题将导函数与函数的性质结合，设计新颖，具有较好的选拔功能.试 题 亮 点 以 往 试 题 中 考 查 抽 象 函 数 性 质 的 问 题，往往 通过特殊值法、单调性、奇 偶 性 即 可 得 出 结 论.试 题 除 了 考 查 抽 象 函 数 的 奇 偶 性、周期性、对称性，还创造性地将导函数引入其中，

27、这 便 成 为 本 题 的 一 大亮点；同时多选题的题型设置也为不同能力层次的考生提供了发挥的空间.试 题 源 于 教 材，紧扣课程标准，对 考 生 的 能 力 能 进 行 很 好 的 区 分具有较好的选拔功能.解 题 思 路 设 函 数g)=/(泊，则)为 偶 函 数 从而5,于是呜-士心斗卜呜叶函数/(工)的 图 像 关 于 直 线 对 称，因此/(T)=/(4)，故 选 项C正确.因为g)+c),=g所 以/的 图 像 经 过 上 下 平 移 复 黑:与 导 函 数 的 性 质 不 发 生 改 变，即/(G+C也 满 足 题 意，、定/(0)=0,故 选 项A错误.由呜r卜呜+*卜 两

28、边 求 导 得，-/(J卜/倒 小 即栏卜q%)=。,a(x)的图像关于点仔，0)中 心 对 称,且*)=。又因为8(2+*)是偶函数，所 以g(x)的图像 关于 匕线 工=2轴 对 称,所以 g(x)=-&(3-x),g(x)=g(4-x),从而 g(3-x)=-g(4-x),所以8(x)=-g(x+l)=g(x+2),即g(x)是 周 期 函 数,2是它的一个周期.从而g(-；)=g(：)=0,g(-D =g(l)=-g(2),故选项 B 正 确，选项 D错误.【试 题 出 处】2022年高考数学全国I I卷第8题【试 题】已知函数/(x)的 定 义 域 为R,且/(x+y)+/(x-y)

29、=/(x)/(y),】)=1,则*(A)=A.-3 B.-2 C.0 D.1【试 题 分 析】考查目标函数的概念和性质是中学数学的核心内容.试题以抽象函数为载体，全面考查了考生对函数概念的理解以及对函数性质的代数推理和论证能力，综合考查考生对数学符号语言的理解和运用能力，考查考生对由特殊到一般、转化与化归等数学思想方法的掌握.试题为不同水平考生采用不同的解题路径提供了可能，既让不同水平的考生都能有获得感，又能体现出较好的选拔功能.试题亮点抽象函数问题是高中函数中的一类综合性比较强的问题，抽象性强，灵活性大.试题给出的抽象函数没有具体的解析式，只给出一些体现函数特征的表达式.解决这类问题，要求考

30、生有较强的抽象思维能力和综合运用数学知识解决问题的能力.考生既可以通过函数的局部性质或图像的局部特征进行推理论证，也可以通过对函数的观察、分析、类比、联想等寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图像和性质反过来解决抽象函数的问题.试题人口非常宽，能让不同能力的考生都有获得感和成就感.对于代数推理能力一般的考生其目标就是把/U),/(2),，/(2 2)的值全部写出来.他们可以从条件出发，利用代人特殊值法首先得到/(0)=2,然后取y=l 代入等式，得到/(x T),/(x),/(x+1)之间的关系式/(x+l)V(x-D=/(x),由此可以依次求出人2),/(3),，/(2 2)的值，最后把各

31、函数值相加就可以得到答案.只要坚持写的考生，写到/(6)时就会发现周期性，后面的问题便迎刃而解.试题考查了考生锲而不舍的精神.对于代数推理能力强的考生，他们一般不会把目标设定为写出所有的函数值然后再相加，而是会关注抽象函数的性质，比如奇偶性、周期性等，通过对这些性质的研究把所求和式转化为部分函数值或者函数值之间的关系式来求解.所以这部分考生会在得到关系式/(1)+/(x-l)=/(z)后继续消元，从而发现/(6)=/(口，这样就把问题转化为前6 个函数值的求解.对于数学直觉好、思维能力强的考生，他们会在抽象函数的特殊化上花功夫，只要细心回忆就会发现三角恒等式cos(x+y)+cos(x-y)=

32、2cos x cos y,所以不妨假设/(%)=acos g x,利用/(0)=2,/(1)=1,就*TF _ _ *r r可以解出一组解a=2,u)=-.再验证/(工)=2(：。三工满足题目所有条件，这样就可以把问题特殊化，利用此三角函数周期为6 的特征，把问题转化为前6 个函数值的求解.实际上，由于试题中涉及的函数值均为自变量为整数时取得的，所以考生也可以将问题转化为数列问题求解.由/(0)=2,/(1)=1,f(x+2)=/(x+l)/(z)对应到数列 4 =2,|=1,aBt2-an+I+an=0,这也是一个确定的数列，有多种方法求解.虽然大部分考生对抽象函数望而生畏，但试题呈现方式平

33、易近人，不偏不怪，让所有考生都可以上手做，但不同思维能力水平的考生所花时间完全不同.试题在保证所有考生学有所得的同时，充分体现了选拔功能,对中学数学教学起到了较好的引导作用解题思路 由函数/(X)的 定 义 域 为 R,且/()+/(“，)=/(*)/(y),/(D=i,得/(1+0)+/(1-0)=/(1)/(0)，/(*+D+/(x-i)=/(x)/(D,故/(0)=2,故/1)也#-D=/U).于是/(x+2)+/(x)=/(x+l),故/(x+2)+/(x-l)=0,所以/(%)=力N+3)=/(6),则/(*)=/(l)V(2)+f(3)V(4)+3g/(A:).由/(0)=2,/(

34、1)=1,/(x+2)=/(x+l)V().得人2)=1-2=7,/(3)=-1-1=-2,/(4)=-2-(-1)=-1,/(5)=-1-(-2)=1 J(6)=/(0)=2.22因此/U)=-3.A I【试 题 出 处】2022年高考数学全国乙卷理科第16题【试 题】已知X=X 和*=七分别是函数/(X)=2a-ex2(a 0且 a 1)的极小值点和极大值点.若。匕，则 a 的 取 值 范 围 是.【试 题 分 析】考 查 目 标 试题以函数的极值点的存在性与极值点大小的比较为情境，研究导函数的零点存在问题，通过对零点大小的比较，得到参数的取值范围.试题考查了考生分析问题的能力，以及运用函

35、数、导数、不等式等知识解决问题的能力.作为填空题的压轴题，试题设计新颖，紧扣课程标准，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，且具有较好的选拔功能.试题亮点试题利用极小值点与极大值点的存在性，首先求得参数的范围，然后结合图像考查了极小值点和极大值点的大小比较问题 由于思维定式，考 生 或 许 仅 考 虑 的 情 形，但试题着重考查了当。(x)=ed-(x l n a),(I n a)则 g(x)有两个零点，当且仅当函数A(x)=ei-x有两个零点.(I n a)因为曲线？=/与直线y=h有两个交点，当且仅当Ax,则 M”)有e1两个零点；当且仅当7；R e,解得一 a l

36、或 l a 1,由图像容易判断/勺；若 要/如，必须所以a的取值范围是(上，1).e【试 题 出 处】2022年高考数学全国乙卷文科第16 题【试 题】若/(x)=l n l a +；1+。是奇函数，贝 l j a=,b=-【试题分析】考 查 目 标 试题以对数函数为背景，考查了函数的奇偶性和对数函数的图像与性质等基础知识，考 查 考生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力.解题思路 奇函数的代数特征是/(七)=7/(外，几何特征是其图像关于原点对称.试题亮点试题设计简洁，给出了一个含有参数的对数函数的解析式.要解决的是有关函数奇偶性的问题.对数函数的基本性质是

37、中学数学的重点内容和必备知识，属于考生熟悉的知识范畴 试题符合基础性的考查要求，有利于稳定考生情绪，充分体现r对基础薄弱考生的关怀.承载了高考命题“立德树人”的核心功能.试题解法多样，考生既可以通过代数推理求解，也可以通过函数图像的对称性求解，为不同思维层次的考生提供了发挥空间.试题考查了考生的推理论证能力、运算求解能力，同时也考查了考生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力.既有利于选拔人才，也有利于指导中学教学.思路1因为要求的参数有两个，所以利用函数的代数特征，寻找两个关于参数的方程,列方程组求解 因为/(“)=缶 十；一i +1 一46是奇函数,所以/(0)=I nI(1*1 1 6

38、=0,/(2)=I nl a-1 I-2)=-I n l n+y I-A.故(a-l)(a+J =(+1 )2,解得 a=-g.从而 b=ln 2.思路2号虑到定义域的对称性，注意到#=1不在定义域中,所以可由定义域先确定。的值,再得到6的值.因为/(x)=l nl a+J l+。是奇函数，注意到x=1不在定义域中，由I-X图 像 对 称 性 知 即|+,J,=0,解得 =再由/(0)=I n I Q+1 1+6 =0 得=hi 2.【试 题 出 处】2 0 2 2年出号数学余国乙卷理科第12题【试 题】已柿函数/(*),八，)的 定 义 域 均 为R.IL/()+AT(2-X)=5.“力1)

39、=7.?：的图像关干1*(线”2对 称,(2)=4.则工八A)-A II -2 1 B -2 2 C.-2 3 I).-2 4【试 题 分 析】考 查 目 标 函数艮现代数学外从事的微念之一,是描述客嫂世界中受试关蔡和规律的基本的数学语；和工具.是贯穿高中数学的一条主线.学习、掠索和斛决函数间跑.能提升学生的数学抽象.数学运W和直出更象年数学学科索格试区以两个抽象函数为载体(函数模受可选为)=2 ：i-l.(x)=2 o s ：i+6).通过与传函数的奇偶性.勺称性和同期性.柬学竹匕生的进料推理能力、运仃求解能力.以TN活地分析向4.H化向地、X决问牌的能力.试题解法多 样,能够使不同思唯一平

40、的考4都得到充分展示.试题亮点 试题将两个周期同为4的抽象函数巧妙地联系起来，给出其中一个函数的对称性等信息，要求考生通过推理与转化，确定另一个函数的奇偶性、对称性和周期性等性质.试题简洁清晰，解题思路多样，比较全面地考查了抽象函数的性质.试题侧重于对知识的理解和应用的考查，对考生的数学抽象、逻辑推理、直观想象以及综合应用所学知识分析问题解决问题等数学学科素养和关键能力都提出了较高要求，引导考生从更深层次认识主干知识，感悟数学本质.试题符合中学数学课程要求，难度设计科学合理，体现了很好的选拔功能.试题亮点 试题将两个周期同为4的抽象函数巧妙地联系起来，给出其中一个函数的对称性等信息，要求考生通

41、过推理与转化，确定另一个函数的奇偶性、对称性和周期性等性质.试题简洁清晰，解题思路多样，比较全面地考查了抽象函数的性质.试题侧重于对知识的理解和应用的考查，对考生的数学抽象、逻辑推理、直观想象以及综合应用所学知识分析问题解决问题等数学学科素养和关键能力都提出了较高要求，引导考生从更深层次认识主干知识，感悟数学本质 试题符合中学数学课程要求，难度设计科学合理，体现了很好的选拔功能.解题思路 试融的翦本条件卜 亶 是 函 数 给 出 的,但 没 何 止R嫉故一提出，因此解肥的关健是如何利川 的 A函数之间的关系.将，的伉整到/(，)I,思 路I -为,的图像卜H的*=2时 你.所 葭f i,(2-

42、i(2*i).由2 r 卜 S,W/(-)=g(x)的图像美于直线K=2 对 称,所 以 g(2-x)=g(2+x).g(l)=g(3).因为x)+g(2-x)=5,所以/(x)=5-g(2-x),/(0)=5-g(2)=1.因为 g(x)/(*-4)=7,所以/(x)=(x+4)-7,g(4)=/(0)+7 =8.因此&(x+4)=1 2-g(2-*)=1 2-g(x+2)=1 2-g(x-2+4)=1 2-(1 2-g(x)=g(x)./(x)=g g(x+4)-(2-x)-l=；g(x+4)-g(x+2)-l.于是2 2 .2 2/(幻=彳 g(A+4)-g(A+2)-2 24 *I Z

43、 A I=j K(5)-g(3)+(6)-g(4)+g(7)-g(5)+.4.K(2l)-g(1 9)+g(2 2)-=g(x)中常数项。的变化会引起图像的上下移动,在这一变化过程中,应保证两条曲线始终具有相同的切线.当两条曲线具有相同切线时.可以通过斜率相同建立起两条曲线切点的坐标之间的关系，从而使=g(x)中常数项a可以用切点坐标表示，进而可以求出a的取值范围.此问的设问方式也是号生常见的.即讨论常数项的取值范围问题,解决问题的关键是建立起常数项的表达方式，具体途径是由已知条件建立起两个函数之间的关系,建立已知和所求问题之间的联系,再求出a的取值范围.函数性质的研究是高中数学课程的重要内容

44、之一.试即从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法,考查利用导数来判断函数单调性、求函数极值点、求切线方程等问题，考查考生对导数公式和导数运算法则的掌握情况，考查了考生的推理论证能力、运算求解能力以及对分类讨论思想方法的理解与运用.解题思路3）思路1由题设知,曲线y=/（x）在点（-1./（-）处的切线方程为,=2 x+2,曲线y=*（x）的切线的斜率也为2,所以可以求出,=g（x）的切点，进而求出a的取值.思路2由题设知，曲线y=/（x）在点（-1,/（-）处的切线方程为,=2 x+2,此切线也是曲线）=.*）的切线，联立方程可求出的值（2）思 路1可假设题设中切线在曲线y=（x）上的切点为

45、（x,g（x2）.曲线y=f（x）在点（/,/（/）处的切线，=（3 4;T-2*：与曲3 3：-1线y=g（x）相切于点（盯，g（%），则g（叼）=3*T,从 而 盯=一 厂，代入方程y=g（x），于是可以得到a =!（9 x：-8 x：-6x：+l）.由此，可以将求a的取值范围，转化为求函数h（x）=（9/-8-6/+1）的取值范围.思路2同（1）问的方法，已知曲线=/（工）在点（。，/（。）处的切线方程为y =（3 x：T）x-2 x；,与 曲 线y=g（工）联 立 方 程，此时曲线y=g（x）的切线与曲线=g（x）只有一个公共点，故方程有唯一解，从而得到a =L（9 x：-8 4-6x

46、：+l）-可 以 将 求a的取值范围转化为求函数4/i（x）=-7（9%4-8 x3-6z2+l）的取值范围.思路3可假设题设中切线在曲线y =g（x）上的切点为（孙,且（叼）分别写出用对应切点表示的切线方程表达式：y =（3 x f-l）x-2 x；和y =2 t 2 X-2 x：+a.由题设可知，两个表达式表示同一直线方程，于 是 得 到。=i（9 x：-8 -6x?+l）.可以将求。的 取 值 范 围 转 化 为 求 函 数:44(9-8 P-6/+1)的取值范围.试 题 亮 点 试 期 全 面 考 查 了 导 数 及 其 应 用 等 基 础 知 识 试题的第（1）问，给定曲线，=/（工

47、）在点（T,八-1）处的切线也是曲线尸=g（x）的切线，将考生熟悉的知识点作为考查对象，面向大部分考生试题对考生思维和知识的综合性都提出了一定要求 试题的第（2）问要求a的取值范围，设问方式是考生常见的，但问题的解决需要综合利用函数的特征、函数的单调性以及题干中给出的切线相同等条件,从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法.试题对考生的逻辑推理能力、综合应用所学知识分析问题解决问题的能力都提出了较高的要求试题分步设问.逐步推进，考查由浅入深.层次分明，重点突出，内容丰富，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查了考生进一步

48、学习的潜能,对中学数学教学具有较好的引导作用.【参 考 答 案】（I）解 法1由题设得/（幻=豕 _ ,g（x）=2 x，曲线y=f（x）在点（T,/（_ 1）处的切线方程为y =2 x+2.由 g（*）得”1,故点（1,g（l）在直 线y=2 x +2上，所 以l+a =4,可知a =3.解法2由 题 设 得/（工）=3-1,曲线y=/（x）在点（7,-1）处的切线方程为 y=2 x+2.根据题设可知该方程有唯一,f y =2 x+2,联立方程 得2#+。-2 =0,l y =2 x2+a解，于是 4=（-2）J 4（a-2）=0,解得 a =3.（2）解 法1由题设可得曲线=/（*）在 点

49、（/，/（阳）处的切线y =（3 z：7）x-2 x；与曲线 y=g ）相切于点（七,g（X l）,则,（）=次从而修=卒.*g（x2）=+a=（3 x：-l）x2-2 x U#a =l（9 x：-8 x-6 x：+l）设函数/1 （x）=（9x4-81-6x?+I）.则人（X）=9x-6x2-3x=3x（x-l）（3/1 ）.,i*6 I）U（o.I）H-L/（x）0;t j-J,o）u（I,+）时.6（x）o.故/|（K）在卜8,-；）和（0,I）I.单 谢 递 减 在卜;，0）和（I.）上单网递增.又M-：卜;.（I）=T.所以似X）的 小 俏 力-L因此。的取值范围以T.+8）.解法2

50、由也设可知.曲线=/（、）在点（孙./（阳）处的切线为I=（3I；-I）X-2A 由题没知.、=（3x；-l）x-2x；与曲线、=（x）相切.联1 y=（3R ）、2；1立方程:得/_（3X：_|）X+2X：+=O.注意到曲线J=x+.产g（*）的切线与曲线=g（x）只有一个公共点,可知上述方程有唯一解.故 a=:（9x：-8a：-6x；+I）.同解法1.求辅助南数M x）的取值范 围.得到它的最小值为-1.因此 1的取值范由是 T,+8）.解法3用假改题设中切线在曲线=*（上的切点为（”分别4出用对应切点&小的切线力卅4达式：=（31；-1 和 =b；x-2：*u.因此，-I 2xt,j L