数学高考总复习：数列的概念与公式.pdf

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1、数学高考总复习：数列的概念与公式一编稿：林景飞 审稿：张扬 责编：严春梅知识网络国目标认知国考试大纲要求：窗1.了解数列的概念和儿种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.重点：国1.掌握常见的求数列通项的一般方法；2.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：国1.利用函数的观点去认识和理解数列与其它数学知识之间的内在联系；2.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。知识要点梳理国知识点一：数列的概念国按一定顺序排列的一列数，如 1,1,2,3,5,，an,可简记为%。注意：数列可以看作是定义在N*或其子集 1,2

2、,3,，n 上的函数,与以前常见函数的不同主要在于：(1)定义域是离散的因而其图象也是离散的单点集；(2)有序。知识点二：数列的表示囹(1)列举法：如-2,-5,-8,(2)图象法：由 点 组 成 的 图 象；是离散的点集。(3)解析式法：类似于函数的解析法，数列的解析法就是给出了数列的通项公式an=f(n),nN”。(4)递推：利用数列的第n 项与它前面若干项的关系及初始值确定。如 a n=a n+a n-2（n 2 3）,且 a【=l,a2=l.注意：并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项如果存在，也不一定唯一。数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。利用递

3、推关系表示数列时一，需要有相应个数的初始值。知识点三：数列的分类国（1）按项数：有限数列和无限数列（2）按单调性：常数列、摆动数列、单调数列（递增数列、递减数列）知识点四：数列的通项公式与前T项和公式任 意 数 列 的 前n项 和S =,于 是%+FT,a 平（，=9所以有：4 K-S-（4 2）注意：由前n项和与求数列通项时，要分三步进行：（1）求,=1；（2）求出当n 2 2时的，；（3）如果令n N 2时得出的中的n=l时有，=耳成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。规律方法指导国1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有相应的三个性质：(1)确定性：一

4、个数是否数列中的项是确定的；(2)可重复性：数列中的数可以重复；(3)有序性：数列中的数的排列是有次序的.2 .数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上，根据此特殊性可以判定一个数是否数列中的项；数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.3 .要注意强调数列、数列的项、数列的通项三个概念的区别.4 .给出数列的方法中，递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n项 和Sn之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，Sn和a。的转化，一定要围绕目标进行转化.5 .重视函数与数列的联系，

5、重视方程思想在数列中的应用类型一：依据数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式国0 1.根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式.由(1)1,3,7,15,3 1,2 4 6 8 10(2)3,15*35*63*99*(3 3-6.a-20.3 0.一程 ：i3s 13 31 57 91(4)2*4*6*8*10*1 5 4 11 7 17a v *11 H_ (5)2*7*5*13*8*19*(6)8,8 8,8 8 8,8 8 8 8,8 8 8 8 8,思路点拨：根据数列前面具体的项写通项公式，就是寻找项数n与项的值凡的函数关系.因此将各项改写为项数n的表达式，是寻找这种函数关

6、系的关键.解析：(1)将数列改写为 21-1,22-1,23-1,24-1,25-1,4=7-12x1 2x2 2x3 2x4 2x5(2)将 数 列 改 写 为:由 访 而 共 TF 2,%=(2 3+0(3)将数列改写为I2*-2X3x4.-4x5.5x6.-6x7,-a.X f L.Q +D(4)(5)(6)i l 3 2 5A 7A o_L.将 数 列 改 写 为2*4*6*?IO-.将数列改写为9 999 9总结升华：写通项时注意以下常用思路：若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；注 意(-4或GD向(或(-I)

7、。)在系数中的作用是让数列中的项 正、负交替出现；归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化，在此处经常用到由特殊到一般的不完全归纳法，此时要联想到一些已经学习过的基本数列，如：，2,3一1),，宁 等。举一反三:【变式】求下列数列的一个通项公式：(1)1,-1,1,-1,；(2)3,5,9,17,3 3,；2 9 25(3)三,2 2 8,记,;1 _ _ 1 2(4)l,o,3 o 3 o,：,o,.【答案】(l)an=(-l)n+1 an=c o s(n+l)n .N+l.忘(3)an=2*.9 又(4)an=.类型二：数列的递推关系式国

8、C2.在数列 aj中，a i=l,a n+i=f ,求 由思路点拨：将递推关系式变形，观察其规律.1 14-ML I.1 1 =-=+-解析：,.,.一-=。一。将以上各式叠加,-=1+2H卜8一。(内 之2)得.2-=l+(jt-D(2)q NlQ-D=l=Z又n=l时，2,2ja-w4-2总结升华：求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘外还应注意变形式是否是等差（等比）数列.对于数列递推公式不要升温，只要能根据递推公式写出数列的前几项，由此来猜测归纳其构成规律.举一反三:【变 式1】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式:.=3.Ji=N+l ；2-

9、.对一切n N*,a。且?四=+1【答 案】(1)2 1=3户2=7再3=15,04=31,猜想得=2用-1；I 2 a 3-2ti(2)a i=a,a 2=2 _。，a 3=3-2a 月4=4-3o,87-8 田猜想得a n=叱a-w ；(3)令 n=l 得 2 6=a 1+l 得 a 1=l；令 n=2 得 2/方=a2+l得 a2=3；令 n=3 得 2 -F =a3+l 得 a3=5；令 n=4 得 2小+,=如+1得 a 4=7,猜想得an=2 n-1 o【变式 2】已知数列 a j中,a i=l,a2=3,an=an-i+-（n，3）,则 a s等 于（）55 13A.n B.T

10、C.4 D.5【答案】A；解析：根据递推公式，令 n=3,4,5,求 a s即可.【变 式 3数列 a j中，al=l,对于所有的nN 2,n N都有a i ,a2,a3.an=n2,贝 l j a 3+a 等 于（）61 25 MA.i fi B.T c.i s D.i s【答案】A9 25 l解析一：令 n=2、3 4、5,分别求出 a 3=彳，a5=M ,.*.a3+a5=W .解析二：当 n N 2 B L a ,a2,a3.an=n2.当 n2 3 时，a 1 a2 a3.an-1=(n1)2B两式相除=(n-1)2,9 25a 3=4，a s=i .61 33+35=.4 0 4/

11、g一 J 6【变式4】若数列 a/满足l衩T 5m,若.F,则-的值为（）A.7 B.7 C.7 D.7【答案】选B；6 12 f 5 I。1 3 6解析：逐步计算，可 得,晚=亍亍这说明数列%是周期数列，7=3.7而 20=3x6+2,所 以%I。类型三：由数列的前n项和求数列的通项公式由O3.数列 a j的前n项和S V-n+l,求 a j的通项公式.阖解析：*.*Sn=n2-n+1,当 n 22 HJ,an=Sn-Sn.=(n-rn-l)-C(n-1 )-(n-1)+1J=2n-2.当n=l时;ai=S=l,不适合上式.,an=L 2M-2,之2总结升华：1.已知 an的前n项和Sn,求

12、an时应注意以下三点：(1)应重视分类讨论的应用，分n=l和n 2 2两种情况讨论；特别注意 an=Sn-Sn.中需 n22.(2)由SSn产an推得的a.当n=l时,a1也适合 区式”，则需统一“合写”.由SSn一 产 时推得的%,当n=l时向不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即an=S*S i 当 之 利 2.利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容,应注意Sn与an间关系的灵活运用，同时要注意a,并不一定能统一到an中去.举一反三：【变式1】已知数列的前丫项和应-,求通项 答案当，N2 时，；=-i=C3r-2)-(3-2)=r-3-,=2-3r,当舞=1时，西=

13、R=T-2=1*2十;(*=D【变 式 2】已 知 数 列 的 前 三 项 积 汇=+2,求通项,_7J4-2【答案】当“时，,=1=五二彳，当 =1时,%=彳=7+2=9*7x1+27x1-5P，=D7x+2X-5心之乃【变 式 3】如果数列 的前n 项的和Sn=2 f 二求通项，。【答案】当=时，=&=5%=63 3又一u=7 _ 4 =铲 裸 产 a a i-=6 =2 7类型四：数列的单调性国Ok已知数列区=3K-2G,判断数列&的单调性，并给以证明.阑思路点拨：可以利用数列中的任意两项相减证明，也可以转化为函数，利用导数证明。解析：3K=-2-3（=H+-9-U-_-=3-I-t-方

14、法一：+3 +3 ”3,.&）为递增数列，下面给以证明:1 1、C 1 1、11 11 11 c-)(3-)=-，=-0JI+-4 ir+3 H+3 B+4(+3)(II4-4)数 列 是 递 增 数 列./（X）=?*2=3-方法二：由题意设 1+3 X4-3（工之1）,F 8=0-二y=则x+3ID(*+3)aV*1,./*住)。f(._ 3x-2 _ 11：/W=x+3 =T b 3 (x a l)单调递增,.数列公）是递增数歹U.总结升华：数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.举一反三：_ 2a.【变 式1】数列&中：,二1，“一中（e nr）（1）写出它的前五项，并归纳出

15、通项公式；（2）判断它的单调性.【答 案】2 1 2 2 I 2，=1，2 4,5,1 3 6,24 =-.,岸+1;=_2_ 2_=2 0(2)方法一：.F _*一初(25U+D v,.*.数列-)是递减数列.方法二：.函数示在*上单调递减，.数列3 是递减数列.【变 式2数列中：中”3,“0且 为常数),判断数列&的单调性.【答 案】.(尸-吟/凯当。时J -,数歹IM是递减数列；当。0时%一，。，数 列 是 递 增 数 列.0 5.已 知 数 列 的 通 项.9哈(n N*),试问该数列有没有最大项？若 有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由.由10 10 倍 丫 j解 析：-a

16、n=(n+2)(ii)n+l-(n+i)(n)n=lnj ll，当 n 0 P an+,an；当 n=9 时 一 an+|an=0,E|J an+,=an；当 n 9 时、an+,-an 0 an+,an故 a a a】2 .，10.数列 aj中最大项为a g或a 1。，其值为10（近）9,其项数为9或10。【变 式1】设an=-n2+10 n+l l,则数列 aj从首项到第_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 项的和最大.A.10 B.ll C.10 或 11 D.12【答案】C；方法一：a n=-n 2+10 n+ll是关于n的二项函数，它是抛物线f（x）=-x2+1 0

17、 x+l l上的一些离散的点,从图象可看出前10项都是正数，第11项是0,所以前10项或前11项的和最大.方法二：由一M+l O n+UO 得一iW nW ll,又 nN*,.,.OV nW lL，前10项为正,第I I项为0.所以前10项或前11项的和最大.【变式 2 已知 SH+L吏L+1),(nN*),设 f(n)=S2 n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n,不等U式:f(n)lo gm(m1)2a lo g(m-i)m 2恒成立.【答案】V SU 1n=l+2+3+-+.(ne N*)二 -跟”-X rf-i4-A4-+-内 +2*3 2M4-1X A

18、+D-/W-y-7+7 z ,1,*y=-=rM2 2A+3 A4-2 2M4-2&+3 +4(-54-(-)0、2+2 2+4，v2M4-3 +4.*.f(n+l)f(n)，f(n)是关于n的增函数.,对 于 一 切 大 于1的 自 然 数n,1 I 9f(n)min=f(2)=G+W 3.而；要使一切大于1的自然数n,不等式f(n)lo gm(m111)2 20 lo g(m-i)m 2恒成立9 IL只要2D lo gm(m1)22 0 lo g(m-i)m 2 成立即可M0由得 m l 且 m W 2此时设lo gm(m-1)I t,则 t 0,9 z-t-i-r-i-i-.1f 20于是有上。*0,解得o v tv i由此得 OV logm(m-l)21*,-1 logm(m1)2且m#2.