湖南省长沙市2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题附解析.pdf

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1、长郡中学2022年高二暑假作业检测试卷数 学得分：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _本试卷分第I 卷（选择题）和第1I卷（非选择题）两部分，共 8 页。时 量 120分钟。满分 150分。第I卷一、选 择 题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知i 是虚数单位，复数z=（d-4）+（x+2）i 是纯虚数，则实数x 的 值 为（）A.2 B.-2 C.2 D.4【答案】A析】由题意，利用纯虚数的定义，求得实数x 的值.【解析】解：，是虚数单位，复数z=（f 4）+（尤+2 是纯虚数，f-4 =0 x+2 w 0:.x=2,故

2、选：A.2.若 则 下 列 不 等 式 成 立 的 是（A.a b y ab B.2C.a b 4 ah D.2【答案】B【分析】直接利用不等式的性质推出结果即可.)a +J ab b2-a 7 arbr bL2【解析】解：a h Of可得次+，可得。色电,2并且可得“+”,2ab b2.cib b，可得：a a +ab b.2故选：B.3.在平面四边形中，满足印月+C方=0,（丽 丽）/=0,则四边形ABCD是（）A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 答案C【3 析】由向量的运算性质进行判断.【解析】平面四边形ABC中，由4月 +C方=。，得 A月=，可知A反。C 共线，由（X&-AZ5

3、）.布=。月.记=0,可 知/_!,耳，因此可得四边形A8C。是菱形，故选C.4.九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：”今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈,5 J 1 +乃 2A.-4万【答案】B高为一丈”，则该圆台的侧面积(单 位:平 方 丈)为()5 4 1 +4/5，1 +万2 5/1 +4 1B.-C.-.D.-4万2.712万【分析】设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,由已知周长求出r 和 R,然后由圆台的侧面积公式求解即可.【解析】解：设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,贝 I

4、 有-2万厂=2,2 7?=3,解得r=，兀 2万又圆台的高为1 丈，所以圆台的母线长为1 =/+(-)2 =运里，24所以圆台的侧面积为S=%(R-r)/=x d +3)x)+l=5 0+4万2冗 2 24 47r故选：B.5.已知小8 是两条不重合直线，a ,4 是两个不重合平面，则下列说法正确的是()A.若。，h/a,则。a B.若a_L ，a/a,则。_ 1_/?C.若 a_L ，a(z a,a 工。,则 a a D.若 Z?_La,a/b,J3 l,a,则/答案C【分析 1利用线线，线面，面面的位置关系逐项分析即得.【解析】解：若 a/Z?,bl la,则a/a 或 a u a,故

5、A错误；若 a_L/7,a/c r,则a/或 a u/或 a 与/相 交，故 3 错误；若 a_L/7,a 上 0 ,则 a/a 或 a u a,又 a(f a,W a l l a,故 C 正确；若 hJ_2,al lb y 则 a _ L a,又/?J L a,则 a/0 或 a u，故。错误.故选：C.6.在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a ,c,若 a c=COsC cos A,则4 ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos3sinC=sinA

6、cosb,从而可求8 s 8=0,或 sinA=s in C,进而可得3 为直角，或 A=C,即可判断得解三角形的形状.【解析】解：,.,a c=Z?cosC-6cosA,由正弦定理可得：sin A sin C=sin cosC sin cos A,可得：sin A-sin Acos B-cos Asin B=sin Bcos C-sin Boos A,sin A-sin Acos B=sin Bcos C，可得：sin A=sin Bcos C+sin 24cos B ,sin B c os C+c os B sin C =s i n Bc o s C +s i n Ac o s B,可得：

7、c o s Bs i n C =s i n Ac o s B ,/.c o s B=0,或 s i n A=s i n C,.8 为直角，或 人=。，A A 5 C 的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：C.2(J C-6 T),X 0A.-1,2 B.-1,0 C.1,2 D.0,2【答案】D【分析】利用基本不等式，先求出当x 0 时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可.【解析】解：当x 0 时,/(%)=x+a.a+X=a+2 ,此时函数的最小值为a +2,若。/2cos20-Vicos20。-V2cos20 2 ,故正确；对于。，tan 200+tan 250+tan 20

8、 tan 250=tan(25+20)(l-tan 25 tan 200)+tan 200 tan 25=1 -tan 250 tan 200+tan 20 tan 25=I,故错误.故选：BC.1 0.某同学在研究函数x)=X，(尢cR)时，分别得出下面几个结论，其中正确的i+W结 论 是()A.等式/(x)+/(x)=0在x eR时恒成立B.函数 力 的值域为(一1,1)C.若王。工2，则一定有了(石)。/()D.方程/(x)-x =O在R上有三个根 答案A B C【.析】利用函数的性质，对各项逐一分析即可.【解析】解：因为f(x)=,(xe /?),1+k l所以/(T)+/(x)=1

9、j +74 T 言：=0，1+|X|1+|X|1+|X|所以A正确；Y-(x.0)因为/(0=上 _=1 +X-的图象如下图所示:1+|x|X由图象可知函数/(幻是奇函数，且在/?上为单调增函数，值域为(-1/)，所以3C正确；因为 g(幻=/U)-x,所以 g(O)=/(0)-0 =0,_x2当x 0时，g(x)=f(x)-x=-0,1-xg(x)=/(x)-x在K上只有一个零点，即/(x)的图象与/(x)=x只有一个交点(0,0)所以。不正确；故选：A B C.1 1.己知/=(2(:0$5,皿 蛇)，b =-V 3 c o s cox,2 c o s cox,co Q,/(x)=a b+

10、G，且/(力 的图象的对称中心与对称轴的最小距离为:，则下列说法正确的是()A.6 9 =1B.“X)的图象关于直线=-专 对称C.把/(X)图象向左平移三单位，所得图象关于)，轴对称D.保持/(x)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移?个单位，得到函数y=2 s i n x的图象 答案A B D【/析】由题意，利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用函数y=A s i n(v+s)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【解析】解：,/a=(2 c o s cox,s i n cox),=(-/3 c

11、 o s cox,2 c o s a)x),y 0 ,f(x)=a-b+y/3=-2A/3COS2 t yx+2 s i n yxc o s /=-2币)义 差 +s i n 2 o x+G-7 5 c o s 2 a x+s i n 2 a)x=2 s i n(2 /(x)=2 s i n(2 x-),4 2 a)4 3故 A正确；令*=-勺 可得f(x)=-2,是最小值，故(x)的图象关于直线片-看对称，故 3正确：把/(x)图象向左平移看单位，可得y=2 s i n(2 x-?)的图象，由所得函数为非奇非偶函数，故所得函数的图象不关于y 轴对称，故C错误；保持了(x)图象上每一点的纵坐标

12、不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=2 s i n(x-g)的图象,然后把图象向左平移3个单位，得到函数y=2 s i n x的图象，故。正确，故选：A B D.1 2.已知正方体A B C D 乂 i B i C D i 的棱长为1,如图，点 F,G,M 分别为CG，B B i，B i C(的中点，则下列说法正确的是()A.平面ADiF平面AiMGB.直线ADi与直线A Q 所成角的余弦值为巫109C.平面AFDi截正方体ABCD乂 B C iD i所得截面的面积为一8D.点 C i与点G 到平面AFDi的距离相等 答 案 ABC析】利用几何题的特征，结合线面的位置关系，逐个判断即可得出答案

13、.【解析】解：对于A：因为G,分别为B g 的中点，所以又 A D J IBC、,所以 M G/A.,又尸为C G的中点，所以A AG/且A A=G尸，所以四边形A A FG 是平行四边形，所以A G/R 尸，因为MGP|AG=G,A DPDtF =Dl,所以平面4F/平面A M G,故 A 正确；对于3：因为正方A B 8-A B C R 的棱长为1，所以 A|=V5,R F =l+(g)2,AF=-JAC2+CF2=J?+()2=|,所以cosZAD,F=回+R尸产=(&)+(2)5)=叵,故 5 正确；2 A D F 2X56 102对于C：取 BC的中点N,连接/W,AN,因为尸N/8

14、C 又 B CJ/AD、,所以 FN/AD、,所以/W 在平面4 尸口内，所以平面AFDt截正方体A B C D-A B C R所得截面为等腰梯形A D、FN,过点N 作 N Q _L A R,垂足为Q,4NF=-B Cl=,A D=6.,AQ=-=,AN=,2 1 2 2 4 2NQ=JAN-AQ2=Q($一净=乎,所以5梯 s=聘+阊X乎，故 C 正确;对于。：因为G B/平面AD|F,所以G G 不会平行于平面ADXF，且线段G G 不与平面AD.F相交,所以点G 与点G 到平面A F.的距离不相等，故。不正确；故选：ABC.第I I卷三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共 20分

15、)13.欧拉公式*=cosx+isinx(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数当1的 共 轲 复 数 为.Ie4【答案】1-i【分析】利用复数三角形式以及复数的除法化简所求复数，利用共辄复数的定义可得结果.【解析】解：由已知可得j=c o s +isin=变+变 i,4 4 2 2.曲 后 2z 2/(1-)所以3=五石=下=用 而 不e4 +;2 2=;(1-/)=I+/,因此，复数臣的共朝复数为1-i.I故答案为：1-i.14.己知s in(?+a)=,则c o s(?-2 a)=7【答案】-9【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式即可求解

16、【解析】因为s in(?+a j =cos-a j,则cos|-2 d；=2cos2|-or|-1 =2x-1 13 J 16)9 91 5.已知函数y=3tanC=/?,利用两次余弦定理求得cosa,cos6 的关系，再根据三角形面积公式以及余弦的差角公式，即可求得结果.【解析】解：设 4 45C=a,ZADC=J 3,连接A C,作图如下：在 AABC 中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2-2 AB x BC x cos a =25-24cos a,在 AADC 中，由余弦定理可得：AC2=AD2+DC2-2ADx DCxcos/3=6 -60cosp ,故可得 25-24coscr

17、=61-60cos/?,即 5cos/?-2cosa=3,又四边形 A8CD 的面积 S=gsinaxA BxBC+gsin9xAOxC=3(5sin4+2sina),令5sin+2sina=加，则 25 sin2 0+4sin2 a+20 sin a sin J3=m2,由 5cos/？-2cos a =3)则 25 cos2/3+4cos2 a -20cos a cos)=9,上述两式相加可得：29-20cos(a+)=?2+9,B P m2=2 0-20cos(a+J3),当且仅当a +=时，/取得最大值4 0,此 时 机 的 最 大 值 为,由S=3(5sin/?+2sinc)=3加，

18、其最大值为6/记.四、解答题(本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)1 7.(本小题满分10分)如图所示，三棱柱 ABCTLIBICI 中，CA=a,CB=b,C Q=c,CA=CB=CG=1,(a,b)=(a,c)=,=y ,N 是 AB 中点.(1)用 a,b,c 表示向量A N；(2)在线段CIBI上是否存在点M,使 A M LA iN?若存在，求 出 M 的位置，若不存在，说明理由.【分析】(1)根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；(2)根据空间向量共线向量的性质，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.【解析】解:(1)lN =lA+AN=QC+A

19、 B =-C C+-(C B-C A)-a +-b-c；(2)假 设 存 在 点 使 A M A N，设 泵 =/lG瓦，(2e0,l),显然 2 c 9=久6,AM=AA+AG+GM =c-a-v Ab,因为所以戒1.丽=0,即(c ci+A,b),(6?+b c)=0,.-c a+-c b-c2+a2-a b+c d+Aa b+Jlb2-A b c=02 2 2 2 2 2-27r TC：CA=CB=CC.=1,=,=,3 2一.1 c a-c92 +-1 a92 -11-.A)a br +c-a+1 A be=02 2 2 2 2B|J-X1X1X(-)-12+-X12-(1 +1A)X

20、1X1X(-1)4-1 2-12=0,2 2 2 2 2 2 2解得；=；,所以当C 1 M=；G4时，A M1 8.(本小题满分1 2分)已知函数f(x)=3-*.(1)若函数y =|/(x)-3卜%在 目一2,1 上有且仅有一个零点，求实数A的取值范围；log1/(x2-4)1(2)是否存在实数用，使得函数y =4 /匕 二-L(%0)在 a,目 上的值域为 2 a,%,若存在，求出实数皿的取值范围；若不存在，说明理由.【分析】(1)由题意可得关于x的方程k =|3-*-3|在x e -2,1 上有且仅有一个实根，作出函数人。)=|3-3|在x e -2,1 上的图像，由图像可得所求范围;

21、(2)化简可得F(x)=4 w +x-4,x 0,由尸(x)的单调性可得a,6是f+(，”一4)x +4 =0X的两个不等正根，由判别式大于0和韦达定理，解不等式可得所求取值范围.【解析】解：(1)问题转化为关于X的方程左=|3-3|在x e -2,1 上有且仅有一个实根,作出函数M x)=|3-*-3|在x e -2,1 上的图像(如右图),Qh(2)=6 ,h(l)=f 由题意,3直线y =攵与该图像有且仅有一个公共点，所以实数k的取值范围是21 1 0,因为函数F(x)在他，句上单调递增，若存在实数加，使得尸(x)的值域为 加,2 b,则 尸(a)=2 a,F(b)=2 h,所以 F(x

22、)=2 x,即a,人是x?+(，-4)x +4 =0的两个不等正根，所以=(，-4)2-1 6 0,a+b=4 m 0,at =4 0,解得m 所以实数?的取值范围是(-oo,0).1 9.(本小题满分12分)如图所示，已知DOE是 半 径 为 百，中心角为王的扇形，P 为弧O E 上一动点，四边37T形 PQMN 是矩形，ZPOD=x(0 X y ).(1)求矩形PQMN的面积/(x)的最大值及取得最大值时的x 值；(2)在AABC中，/(C)=弓，c=2,其面积2 4 8 c=2 百，求AABC的周长.E【分 析】(1 )求 出 QM=PN=OPsinx=75sinx，ON=OPcosx=

23、/3cosx,OM=-Q M =x3 sinx=sinx,MN=ON-OM=V3cosx-sinx,由止匕能求出矩形PQMN的面积的最大值.(2)求出。=生，ab=8 6 由余弦定理得,8C u平面A8C。，所 以 姑_L8C,因为底面至8为矩形，所以ABJ_3C,又必|45=4,PA,ABu 平面 所以 BCJ_ 平面因为A u平面R 4 3,所以BCLAE,因为R4=AB=2,点石是尸3的中点，所以AELPB,5LBCpPB=B,BC,PB u平面 PBC,所以AE_L平面PBC,因为PC u平面P B C,所以AE1.PC.(2)解：由(1)知，8C_L平面因为 /8 C,所以4_L平面

24、因 为A O u平 面A D E,所 以 平 面4)E_L平 面 以3,所以二 面 角C-A E-8与二面角C-A E-O是互余的，问题可转化为求二面角C-A E-8的大小，由(2)知，A=x/2,CE=2,因为 AC=82+BC2=,所以 ACZMA E CEZ,即 CE_LA E,又BE L A E,所以N3EC即为二面角C A E-B的大小，因为8E=8C=0,CE=2,所以NBEC=X,即二面角C AE8的大小为工，4 4故二面角C-A：-)的大小为生.42 1.(本小题满分12分)向量a=(2,2),向量b 与向量a 的 夹 角 为 一,且a-b=-24(1)求向量b；C(2)若1=

25、(1,0),且b，t,c=(cos A,2 c o s),其中 A,B,C 是 ABC 的内2角，且3=5,试求|b+c|的取值范围.【分析】(1)设出向量5=(x,y),由向量5与向量2的夹角为曳及1石=-2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量5的坐标:(2)由f J_5得b=(0,1),求出日+及其模|分+乙|的表达式，由 =60。得 A+C=120。,化简|日+可，求出它的取值范围.【解析】解：(1)设5=(x,y),则 施b=2x+2y=-2,:.x+y=-1；E-3又,/G*b=ab cos%=-2,42/2|x|fe|x(-)=-2,2 1 万 =1,EP x2+/=1；由解

26、得f或 匕。y=0 y=-：.5=(-1,0)或=(0,-1)；(2)v t=(1,0)且b_L t,5=(0,-1)；_c+c=(cos A,2 cos2-1)2=(cos A,cos C)，16+工|=Vcos2 A+cos2 C,/Z B =60,/.A+C=120;:b+c|=/cos2 A+cos2(120-A)+cos 2A_ 1 +cos(240 2A)-V 2+2=Jl+；cos(2A+60);/0A120,.602A+60300,1 cos(2A+60),不，出+5 v：2 4V2 一 75.-|b+c|的平面角，即NPG=6,建立空间直角坐标系，用含6 的关系式表达出平面网

27、和平面P3C 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到cosa=j ,结合f 的取值范围求出余弦值的最小值.V80/2+60r-9【解析】解：（1）取 钎 中 点。，连接NQ,MQ,则因为N 为 中 点，所以N。为 的 中 位 线,所以 NQ/AB且 NQ=，A8,因为例为8 的中点，四边形/WCD为矩形,所以。0/筋 且。知=1 4 8,2所以 CM/NQ 且 CM=NQ,故四边形CNQW为平行四边形,(2)连接。G,因为 D 4 =D M,所以。G _ L A M,所以NPGD为PAM。的平面角，即N P G D =，过点。作Q z_ L平面4?8,以力为坐标原点，分别以Z M,D C,AZ

28、所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(l,0,0),M(0,1,0),C(0,2,0),过P作尸”_ L Z X 7于点”，由题意得P _ L平面A B C M ,设 P(x。，%，Z。)，所以毛=%=-0-c o s )x =i(l-c o s 0),z0=-sin0,所以 P(1 -c o s 0),(1 -c o s 0),s i n 9),2 2 2l+c o s 6 c o s0-1所 以 词=(-1,1,0),诩=(设平面P AM的法向量为%=(X ，x，Z|),f M =0则1 +c o s。c o s -1 夜s i n。八，-西 +-M-4 =0令

29、2 1=夜，则 =(t a n at a n。,夜)，设平面P3C的法向量为;=(x?,当，Z?)，因 为 而=(1,0,0),P g =(8 s e T,c o s 6 +3,_2 2x2=0c o s 0-1 C O S 0+3 y/2.八 c -/+-y2-z2sm0=O令 y2=J 5 s i n。，可得：4 =(0,&s i n 6,3 +c o s 6),设两平面夹角为a ,2L|V 2S i n-+3 x/2 +x/2 c o s(9|c .贝 a=.吗=c o s。=1 3 c o s 6 +l|l|-|M2 I 7 2 t a n26 +2 x/2 s i n2 9 +6 c o s +6 c o s(93 1 c o s 6 +；|1、2 2 0/1.8 0J-(c o s 6 +)+-(c o s 6 +-)+38 0 2 0-F 7 +r9(c o s 0+-)2 3(c o s。+3)令/=所以3 ,c o s e +-43所以c o s g M-y 9 ,所 以 当 3 时，c o s a 有最小值 五，V 8 0?+6 0 r-9 1 1所以平面R W 和平面P 3 C 夹角余弦值的最小值为包1 1