2020届高考二轮复习热点重点难点专题透析数学理科专题3数列.pdf

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1、旅k 专题3 数列Z整知合识ZHISHI ZHENGHE一、等差数列1.等差数列的概念及等差中项的概念是什么？(1)如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同 一 个 常 数，那么这个数列就叫作等差数列.数学语言表达式：a*i N:d 为常数).(2)若 a,4 6 成等差数列，则/叫作a力的等差中项，且 片 片.2.等差数列的通项公式及前项和公式是什么？Q)若等差数列 为 的首项是由,公差是d 则其通项公式为an=的.(2)前n项和公式为Sn=畸 任 磬=迎 萼 _.3.等差数列的性质有哪些？Q)通 项 公 式 的 推 广:(n-崎或n,me N).(2)若 a 为等差数列，且

2、 k+/=m+n(k,/,m,n N，则 ak+a尸am+an .若 而是等差数列公差为d 则 为 a*.g 2m.MmWN)是 公 差 为 的 等 差 数 列.(4)若夕为等差数列 劣 的前 项和，则 数 列 金 5nsm-So,也是等差数列.若 S 为等差数列 为 的前 项和，则数列闺也为等差数列.二、等比数列1.等比数列的概念及等比中项的概念是什么？Q)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 非 零 常 数，那么这个数列就叫作等比数列.数 学 语 言 表 达 式:手N：q为非零常数).an(2)如果三个数a,G,b成等比数列，那 么 G 叫作a与。的 等 比 中 项，其 中G

3、=_ p a b _.2.等比数列的通项公式及前项和公式是什么？(1)若等比数列%的首项为负,公比是q,则其通项公式为an=西.通项公式的推广:诙(2)等比数列的前 项和公式:当q=l时,S=ai；当 中 1 时,$=强等L=2等应用等比数列的前项和公式时，应先讨论公式中的公比q 是否等于1.3.等比数列的性质有哪些？已知 a j是等比数列,多是数列%的 前n项和.若 Z+/=6+n(q/6,eN),则 有 电 句=am an .等比数列中相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 四 加0同 而 仍是等比数列，公 比 为中.当#-L或q=-l且为奇数时仍 成 等 比 数 列 具 公 比 为 上

4、 二.4.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢？等差数列的单调性只取决于公差d的正负，而等比数列的单调性既要考虑公比q的取值，又要考虑首项的的正负.三、数列求和列举数列求和的方法，各种方法的注意点是什么？公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式.（2）分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成的=为+为形式的数列求和问题的方法,其中 a 与 6 是等差（比）数列或一些可以直接求和的数列.（3）裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差，即 为=4+1）的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形如 就：（其中 a 是 公 差d 钝且各项均不为0的等差数列,c为常数）的数列

5、等.用裂项相消法求和时，易认为只剩下首尾两项.用裂项相消法求和时,要注意所裂式与原式的等价性.附:常见的裂项公式（其中N ）.n（n+l）-n n+1n(n+k)=%Gi京)1 1埼丁3向T同广%日*诉）.错位相减法:形如 而 也 （其中 亦 为等差数列,为为等比数列）的数列求和.一般分三步巧拆分;恁构差式;求和用错位相减法求和时,易漏掉减数式的最后一项.（5）倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法.一般步骤:求通项公式;既和值;I到序相加;毓和;囱导出结论.考向分析KAOXIANG FENXI15命题特点从近三年的高考全国卷试题来看，数列一直是高考的热点，数列部分的题型、难度和

6、分值都保持稳定，考查的重点是等差数列及其前 项和、等比数列及其前项和、数列的通项、数列的前项和等知识.考查内容比较全面，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.一、选择题和填空题的命题特点等差（比）数列的基本运算a,这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通项公式 前n项和等.1.（2019年 全 国/卷 理T9改编）记5为等差数列 前的前,项和.已知S-0,企=5,则关的值为（）.A.7 B.8 C.5 D.6，由题意知,佟=+亨x 4 x 3=0,解 得 收=3 a=2-5禽=2乂6-5=7.故选人la

7、5=%+4d=5,E =2,答 冬 A2.（2019年 全 国 ，理T5改编）已知各项均为正数的等比数列 劣 的前4项和为15,且况=3为+4五 则an=.设等比数列的公比为a90）,则 产 竺+虻:。同=15,S iq，=3 arq+4alf解得，?二L.=a/iq 一 4，答案213.（2019年 全 国/卷 理T14改编）记S为等比数列 莉 的前项和.若的=电 则生=.设等比数列 力 的公比为q,因为仇g，谖=电所以（前3）2言 我 又 就0,所以夕=3,所以为三乂34=27.274.（2019年全国必卷，理T14改编）记分为等差数列 加 的前项和.若aH 0,力=3/则10 _$5-,

8、设等差数列 a 的公差为a因为改=3抗，所 以ai+d=3五 即2a=d,所以为=12=22S5 5ai+争 25al 25，-255.（2018年 全 国/卷 理T14改编）记S为数列 莉的前项和若5 2/+1,则%=.当 2 时,S-i=2a-i+1,所以&-S-i=2（a-a-i）,即 3 n=2.3 n-i-又 说=夕=2&+1,所 以=-1*0,所以数列%是以-1为首项,2为公比的等比数列，所以为=-2-1禽=-26-1=-32.-32二、解答题的命题特点等 差(比)数 列 的 基 本 运 算 dq)这五个量中已知其中的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项，求数列的通

9、项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和，求其通项公式.等差(比)数列的判断与证明以及等差数列前n项和的最值问题等.1.(2018年全国卷，理 T17改编)记分为等差数列 而 的前项和，已知出=-7,=-15.(1)求 a 的通项公式；若 5=20,求的值.(1)设等差数列 分 的公差为d,由题意得3仇+34=-15.由%=-7得d=2.所以 力 的通项公式为为=2-9.(2)由(1)得Sn=m$n,令5=20,解得=10,所以的值为10.2.(2018年全国必卷，理 T17改编)等比数列 而 中庖=1,g=4两(1)求 a 的通项公式；(2)求数列 2-、而 的前项和Sn.(1)设等比

10、数列 劣 的公比为q,由题设得an=qnA.由已知得=4g解 得 g=0倍去)=-2或q=2.故 a=(-2)-i 或 an=2nA.消 力=(-2)-1,贝(2n-1+an=2n-1+-2)T,数列 劣 的 前 项 和 为 其=疆(2),数 列 21 的前项和为M=2-L3J1-Z所以当 为偶数时,S=|(2-1);QM+2 r y当为奇数时,m=一.潴而二2-1 厕 2-1+力=2,所以 5=2“215规律方法L 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略Q)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:观察分式

11、中分子、分母的特征;观察相邻项的变化特征;观察拆项后的特征;见察各项的符号特征和绝对值特征；化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;仍寸于符号交替出现的情况，可用(-段或(1 户 1(在 N)处理2.数列的通项为与前。项 和 S 的关系是力二/fS 1(nq=1八,7四时，力若适合S n$d则n=l的情况可并入n 2时的通项an,(2 n=l时庖若不适合 第 S i 则用分段函数的形式表示.3.由数列的递推关系求通项公式的常用方法（1）已 知 况 且a-a-i=4/7）,可用 累加法”求为.已 知 火 为，0）,且 鲁=胴）,可用 累乘法 求为.n-1（3

12、）已 知 且 力*i=q a+6,贝!而“+Z=仇a”+苗（其中可用待定系数法确定），可转化为 a+为等比数列,求其通项公式即可得an.（4）形如当“=%（/,氏。为常数）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.4.证明数列是等差数列的主要方法定义法:对于n 2的任意自然数，验证力-为一1为同一常数.（2）等差中项法:验证2a-i=a+a-2（23,w N ）都成立.（3）通项公式法:为常数）o a 是等差数列.前项和公式法5=力亦+劭（4 6为常数）=褊是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.5.求等差数列前项和S的最值的常用方法Q）函数法:利用等差数列前项和的函数表达式=0/0时

13、，满足:吸 M 的项数”使 得&取得最大值为S（当时,5m.i也为最大值）；四 仇0。0时，满足仁：+：2 0的项数6使 得S取得最小值为5m（当am+i=0时,5m*i也为最小值）.6.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量为,加,品一般可以 知三求二，通过列方程（组）便可迎刃而解.7.等比数列的前项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q=l时，等比数列 劣 的前项和Sn=n应 当炉1时，等比数列的前项和5筌山二*微专题0 7等差数列与等比数列基础Q）.魂=1律与弱的等差中项为今 a第=1,-2 n=3 x2-2n-6.1-Z在等差(比)数列问题中，最基本的量是首项为

14、和公差4公比,在解题时往往根据已知条件建立关于这两个量的方程缄从而求出这两个量，那么其他问题也就会迎刃而解，这就是解决等差(比)数列问题的基本量的方法,其中蕴含着方程思想的运用.在应用等比数列前n项和公式时,务必注意公比q的取值范围.(2019北京市朝阳区二模)在等差数列/中，已知加+力=12,力+的=18.(1)求数列 诙 的通项公式；(2)求 为+a&+朋+.+而.因为*是等差数列冏+电=1 2,3 2+诩=18,所以 羡 黄 二:斛 得d=3,ai=3.贝U an=3+(n-l)x3 N 办 心，,就 构 成首项为力当公差为9的等差数列,1 9贝！J 由+%+的+.+痴=9。右(。-1)

15、*9=-(/T2+/7).能 力2等差、等比数列的基本性质15典型例题(1)(2019山东省临沂市二模)已知等差数列 劣 的 前 项和为S,且a?-3A,-6,5S-5S-45,510 ao M ).A.21B.27C.32D.56(2)(2019安徽省十校联考)已知等差数列 a的前/7项和为S,且W S i o 0的正整数的最大值为().A.16B.17C.18D.19”(1)设等差数列 为 的公差为d,由力-西=6得3 d 玉,又 区-W=45,.：d 6+力+%=3力=45,-c t 1=15,.西o 二 刃 +3d=15+6=21.故选 A.(io v 0,(2)由 W 0,。9+。1

16、0 ,.,等差数列 褊的公差d 0$8 二 项。r 8)二%为9 0)0,$9=19出0 Q的正整数n的最大值为18.故 选 C.(1)A(2)ClE S I等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用 巧用性质，整体考虑,减少运算量”的思想.1忸收 到 切,I(1)(2019河北省石家庄市适应性考试)设等差数列 前的前项和为S,若曲疑是方程M 4x-3=0的两个根，则 W=().A.18B.19C.20D.36(2019贵州省

17、遵义航天高级中学高三冲刺)已知等比数列 a 中向=2,且 4出 血 2改成等差数 列 厕 况=().A.2 B.2 或 32c.2 或-32 D.-1 (1)ai,as是方程非-4x-3=0的两个根.力+%=4,.5 =驾 幽=驾 蛆=9 x2=18.故选A.设等比数列 a 的公比为),.4a,为,2力成等差数列，二 2力=2为+4出，：ZW0,.4-q-2 句,解得 q=2 或 q=-l,又 as=aic.as=2 或 32.故选 B.:.(1)A(2)B能 力315典型例题(2019四川省成都七中模拟)已知数列 a 满 足%=0,a”i=2为，设bn=an+n+l.求bi,b2.证明:数列

18、 6 为等比数列.(3)求 a 的通项公式.当=1 时，力=2 a i+l=l,E=a i+l+l=2;当=2 时,坊=力+2+1=4.(2)由题意知 bn+i=an+i+n+l+1 =an+i+n+2,又因为 a+i=2a+所以 bn+i=2an+n+n+2=2(an+n+l)=2bn,由(1)知 必=2,所以数列 2 是首项和公比均为2 的等比数列.由 知 仇=2,所 以 a+l=2,故an=2n-n-l.判断或证明数列是否为等差、等比数列，一般是依据等差、等比数列的定义，或利用等差中项、等比中项进行判断.利用嫉=an+van-An 2,n&N )来证明数列 a 为等比数列时，要注意数列中

19、的各项均不为0.(2019江西省抚州市模拟)已知数列 而 中，为=m,且 而+i=3a+2-l也N)Q)判断数列 端是否为等比数列，并说明理由.(2)当6=2时,求数列(-1)雨 的 前2020项 和So2o.(1).an+i=3 an+2n-l,.-.bn+x=an+i+n+l=3 an+2n-Y+n+l=3(an+/i)=3 bn,当m=-l时，仇=0,故数列 2 不是等比数列；四 m -1时，数列 6 是等比数列，其首项为也=6+1/0,公比为3.(2)由知，当m=2时力=3,又 bn=an+nl.-.an=3n-nl：痴20=：河心旷 2 U(-1+2)+(-3+4)+.+(-2019

20、+2020)_-3+32021 1 0 0 _32021-40434 4.fS i(n =1),能HB力/J 4 1 公亍“k 5n.i(n Z,ntlN)IE典型例题(2019湖北省黄冈市联考)已知正项数列 为 的前项和为S,且2als=W+an.Q)求数列 a 的通项公式.(2)若6=(匕,求数列 仇 的 前 项 和Tn.由题意得，当n=l时,2域=讲+如 又a0,.-.ai=l;当 n 2 时，由 2Sn=a1 得/加口.两式相减得 2an=cL +%-/口,即(为+为-1)(a-8 -1)=0,又 an 0,n-an-l =1,二数列 a 是 以1为首项,1为公差的等差数列，.B/7=

21、/7.(2)由(1)得 bn=n备,%=1啕Z啕晨 喏 广则*1唔）晨2 4八，（一1胞）（旷两式相减得I*8唔）1.唔）nW瑞,-T-_3 2n+3解这种题目的一般方法是用 退位相减法 消去&（或 者a禽得到数列 加 的递推公式（或者是数列 S 的递推公式），进而求出a（或 者S）与的关系式.（2019山东省烟台市适应性测试）已知数列 为 的 前 项 和5满 足S=2a-2（e N）b 是等差数列，且 为=d-2仇 仇=a4.（1）求 力 和 6 的通项公式.（2）求数列（-1）喝 的前2项 和T2n.（1）因为 Sn=2an-2,所以当n=l时 向=2,当 时 S-i=2a-i-2,作差得

22、 an=2an-i（n 2）,所以数列 为 是以2为首项,2为公比的等比数列,所以为=2.设等差数列 d 的公差为d,因为必=4-2 d戊=的所 以8=3 16=54优解 得4=3,h=1,所以 bn=3 n-2.(2)&=(-bl+的+(-bl+必)+，(4&i 处乳)=3(6+bi+3 bi+啕+3(-1 +63=3(bi+6 +.+bin j,又因为bn=3 n 2,所以 T2n=3 3/71 3 X(2/7)-2-18/72-3/7.对点集训DUIDIAN JIXUN一、选择题（2019贵州省贵阳市适应性考试）已知面 为递增的等差数列3+加=2,打a=-8,则公差d=（）.A.6 B.

23、-6C.-2D.4：面 为递增的等差数列且鬲+&=2,g36=-8,.35+36=2,.-.as,3 6 是方程足-2X-8=0的两个根，且 为 -as=6故选 A.A（2019浙江省杭州市模拟）若等差数列 a 、等比数列 为 满 足 贝=仇=1,g=&,则由能取到的最小整数是（）.A.-1B.0 C.2 D.3设等差数列 a 的公差为d 等比数列 为 的公比为a#0）,由 西=也=1,55=公,可得1+47=72,贝|a=1+8d=l+2（72-1）=2-1,可得心能取到的最小整数是0.故选B.笞 金 B观察下列各图，并阅读图形下面的文字.像这样10条直线相交,最多可形成的交点的个数是（）.

24、2条直线相交最 3条直线相交最 4条直线相交最多有1个交点 多有3个交点 多有6个交点A.40 B.45C.50D.55 （法一）+1（小 e ）条直线相交，当二1 2 3,时最多可形成的交点个数分别是1,1+2,1+2+3,1+2,+3+.+k,.10条直线相交,最多可形成的交点的个数是1+2+.+9=45.a3a2 2,。4口3=3,累加得01。-。9=9,的o3i 2+3+9,.二 为。=1+2+3+9=45选 B.答策a B（2019山东省潍坊市三模）已知等差数列 为 的公差和首项都不为零，目力昌,九成等比数列，则f ll+a3 _/。2+。4Ag B.|C.|D.2 设等差数列 为

25、的 公 差 为 吠*0）,则 32=凯+d,a g +3d,%=讥+ld,因为关岛总成等比数列，所 以 +3 d2=（出+6+14整理得到=的4因 为 以 0,所 以 d=ai,所 以 an=nai,所 以 冷 乏 乏 故 选 B.做+。4 6 3答 B（2019山东省聊城市三模）我国古代的 洛书中记载着世界上最古老的一个幻方.如图，将1,2，,9 填 入 3 x3 的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1 23，,加 填 入 个 方 格 中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫作阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为下图三阶

26、幻方的M =15,那么M 的值为（）.A.41 B.45C.369 D.321由题意,阶幻方每行、每列和两条对角线上的数字之和都为而n阶幻方共有n彳 亍，故 n Nn=l+2+.,4,即 g Q+2+.+*、=”通（1 7 2）二 吗 也.n n 2 z故 MW里2=9x41=369.故选 C.合菜 C（2019安徽省联考）已知首项为1 的正项数列 而 满 足 皿 嚏 警 汕=吭 若 力=9；,则实数X九 十，3-2的值为（）.A.64 B.60C.48D.32由 题 所 导 比=（2）2 +4*+2:也+2=（2+2）1令 6 二 2+2 厕 两 边 取 对 数 得 1g2*i=2lg bn

27、.an又 1gb=lg（+2）=lg 3：数列 lg 6 是首项为Ig 3,公比为2 的等比数列.-.lg b=2g 3=lg 32n A=32】,即:+2=32“T,.a,.力=H?又 力 =26=64.古姆A.!A二、填空题（2020届湖北重点中学高三摸底）将正奇数按如图所示的规律排列：13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31则2019是第 行从左向右数第 个数.根据排列规律可知，第一行有1个奇数，第2行 有3个奇数，第3行 有5个奇数，,第 行 有 个 奇 数，前n行 共 有 四 萼=个奇数.当=31时 共 有 亦4 6 1个奇数，当n=32时，共

28、有 亦=1024个奇数.因为2019是 第1010个奇数，所以2019是 第32行第4 9个数.纥 令 32 49(2019河北省石家庄市适应性考试)已知数列*的前项和为品满足m=2a2n(e N),则3n=a 由题意，数列 a 满 足S=2劣+2n(/7N)贝(J Sn-i=2an-i 2(/7-l)(/72f/7GN 3；两式相减可得 S-S-i=2an-2anA+2n2,nEi N)即 an=2an-2an-i+2(n2,nE.N X整理得为=2而I-2(22),即 a-2-2(a.i-2)(n2),BP-=2(n2).%当n=l时51=2出+2,即 出=2出+2,解 得ai=-2.所以

29、数列 劣-2是首项为抗-2=4,公比为2的等比数列，所 以%-2=4x2-i=-2“，所以 a=2-2*i.2-2n+1(2019江苏省苏州市月考)若数列 a 是等差数列向=1,公 差 痣 1,2,且a4+1也，如=15,则实数/1的最大值为.因 为 胡+居0+&6=15,所 以31+34(抗+9功+&+154=15,所以/1=叔 二 盘2因为 虑 1,2,所以令t 1+9 怎 10,19,因此4=4。*-2.当 归 10,19时，函数人气是减函数 故 当 仁10时，实数A取得最大值最大值为d 0)=悔.1口 口 A 三、解答题(2019黑龙江省哈尔滨市二模)设数列 力 满足=*+2,为=4.

30、求证 力-3是等比数列，并 求an,(2)求数列 当 的前项和Tn.(1)加*1=而+2,&=4,-3=；(力-3),故为-3是首项为1,公 比 为的 等 比 数 列，/I M-1,3=3+6),3=3+(旷，卡)。+咪=3 用=3问1一就.1 5已 知 数 列 a的前项和为品且Sn=an-2,ai=2.(1)证 明 a是 等 比 数 列，并 求 其 通 项 公 式；若数列儿满 足4%工4 3 I./，】二瘠(作N。，证 明:6 是 等 差 数 列.(1)当 n2 时，由 Sn=an+i-2,得 S-i=a“-2,两 式 相 减 彳 导a+i=2a，即 皿=2.an又$=为-2,出=2,.a=

31、S+2=4,满 足 詈=2.ai:皿=2对任意的nW N都成立.数列而是首项为2,公比为2的 等 比 数 列.an=2n.：4 A T 4 b 2，.4%T=a 3.2bi+bi+.+br-ri=n-bn,-2(Zi+6+.+bn*。Y+1)=(+1)仇1.由-。导 2(Z?+i-1)=(n+l)bn+i-nbn,即(-l)6*i-/?6+2=0,nbn+2-(n+1)bn+i+2 力.由-1导 nbn+2-2nbn+i+nbnO,.bn+2-2bn+l+bn=Q,即 bn+2-bn+=bn+l-brknGN).,z 是等差数列.微专题0 8数列求和的方法基础检测.BHzma.1.(2019山

32、东省四校联考)已知等差数列 而 的公差不为零$为其前/7项和5 4,且.3 2 -1,33-1,a5-1构成等比数列则W=().A.15 B.-15 C.30D.25 设等差数列 为 的公差为4*0),由题意得3al+3d=9,+2d-l)2=+d-l)(z1+4d-l),解得%=1d=2,.5=5*1 殁、2=25.古 嬷 D.D2.(2019山东省德州市月考)已知数列 褊是公比不为1 的等比数列,S 为其前 项和，若 为=2,且16抗,9扇,2小成等差数列则$=().A.5 B.6 C.7 D.9:浊 设 数 列 的 公 比 为 西 用 油 题 意 得 舐 1 2=1 6 a i+2 a

33、d 解 得 心 生，则 =a=7.故选C.A C3.(2019陕西省八校联考)记S 为数列 a 的前项和，若 5=2 为+1/4=().A.2026 B.-2026C.1023 D.-1023a 当 时,，=2&+1,二仇二-1;当 欣 2 时$=2S.iH L二 9 包=2.Sl-1.数列 分 是首项为2 公比为2 的等比数列，则 5-1=-2,-S?1 2”,故 So=1-2。=-1023.D4.(2019福建省龙岩市质检)若数列 a 满足出=1,为+17-1=2,则an=.因为数列 a 满足出=La+ia-1 =2，所 以 时 出=1+2，力-力1+22,的 他=1/23,3n-3n-l

34、=1+2。,以上各式相加得为-&=n-l+(222+23人.+2吵，所以 an=2n+n-2.a 2n-t-n-2考能探究KAONENG TANJIU能 力1，会用分组求和法求和15典型例题(2019山东省潍坊市三模)已知数列 而 是以3为首项,4d0)为公差的等差数列,且力,3隗自成等比数列.求数列通 的通项公式；(2)设b=a-2,求数列 6 的前项和Sn.(1)因为血3遍,画成等比数列，所以力0=45,即(由+动(出+3功=45.因 为&=3,所以(3+动(1+劝=15,即+4 4-12 力，所 以d=2或4=倍去)，所 以a=2n+l.(2)由(1)知 仇=(2+1)-2,所以$=/?

35、!+0+bn 3+5+.+(2/7+1)-(2+4+.+2)_3+2n+l 2(1-2”)2 n1-2=(+2Y2*i-2)=-2n+1+ri1+2n+2.方法归纳某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论.Q)若数列&的 通 项 公 式 为 且 a ,仇 为等差数列或等比数列厕可以采用分组求和法求数列 G,的前 项和.若数列 金 的通项公式为金 加为奇数 且数列,勿是等比数列或等差数列厕可以Ifon.n为偶数，采用分组求和法求数列 金 的前项和.(3)若数列的通项式中有(-1)等特征，根据正号、负号分组求和.i io i(

36、2019四川省高三模拟)已知正项等比数列 为 的 前 项 和 为5 s =30+1575,且的0是8为和6a6的等差中项.Q)求数列 a 的通项公式；令bn=a+log2a，求数列 6 的前项和.(1)设正项等比数列 为 的公比为7(70).由出o是8力 和6a6的等差中项，可得2如=8为+6%,即2团 =8为/631/,所 以4,所以 Tn=bi+bi+戾+.+bn =2-4+3-42+4-43+.因此 4 5=242+3.43+4.44+(n+Y)An+1,两式相减得-3。=2-4+42 弘3 +44+.+4乂/7+14%整 理 得/;=智 上 士IEE3I(1)一般地,若数列 a 是等差

37、数列,仇 是等比数列,求数列 a 的前 项和，则可以采用错位相减法求和.一般是先将和式两边同乘以等比数列 房 的公比，然后作差求解.在 写 出 S 与 夕的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐，以便下一步准确写出“Sn_ qS；的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.(2019山东省临沂、枣庄市二模)设数列 为 满足的=2,册+1=2而，数列 切的前项和Sn rP+ri).求数列 a j和 为的通项公式；若，求数列 金 的前项和Tn.数列 力 满 足 a=2同媚=2%则 皿=2,an所以数列 为 是以 2 为首项,2 为公比的等比数

38、列，所以数列 丽 的通项公式为加=2-2-1=2.又数列 为 的 前 项 和Sn=W+ri),所以当n=l时 公=1;当 n 2,bn=Sn-Sn-i=rF-+ri-(/7-l)2(n-l)=n.因为首项bi=l符合通项bn=n,所以数列 2 的通项公式为bn=n.(2)由 Q)得 cn=anbn=n-2n,所以 Tn=L 2i+2?2+.+介2%2 W+2 2 3+.+O 2%。团导-勿=(21+22+2-仆2叫解得勿=(-1)2入2.能 力3,会用裂项相消法求和15典型例题(2019安徽省马鞍山市三模)已知正项数列 劣 的前项和为Sn ASn=aii+4=-1,出=1.Q)求数列 a 的通

39、项公式；(2)设%是递增数列d7；为数列 为 的 前“项和，若7；/恒成立，求实数6 的取值范围.(1)当 n 2 时,4劣=4 5 1 4$一1=成+4-1-a；+4(-1)口,整理得(为-2)2=4-an0,-3 n 3 n-l 2 或 3 n +3 n-l 2.当an-an-i=2时，数列 而是首项为1,公差为2的等差数列|而=1+2(-1)=2-1.当 3 n 3 n-l 2 时,：，的1,.1.(2)：是递增数列由 知an=2n-l.b=1=1 _ 1(1 _ _n an-n+i(2n-l)(2n+l)2 2n-l 2n+l 数列 为 的 前 项 和 它(1黑?舄焉)4 1一 高 .

40、“理 恒 立,.全,解得623.O Z O.实数0的取值范围是3,+8).(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.(2019河南省高三摸底)已知正项数列 劣 满足的=1,吗=而1为+1(伯2),且3,当5为成等差数列，数列 6 满足的仇+3 20+.+anbn=(n+l)3n-l.求数列 劣 和 仇 的通项公式；(2)若Q=1一,求数列 Q的前项和Tn.数列 a 中 底=a 一a*1(祇2),则 为 是等比数列，设 诙 的公比为q.因为

41、3出5宓成等差数列，所以2为=3+5，即27=3+5q,解 得q=3或(舍 去),所以 an=3n-令 Sn=aibi+a2bi+an bn=(n+X)3 -l,当/7=1 时,S =aibi=2*3-1=5,所以 bi=5;当 n 2 i,Sn.i=aibi+a2bi+.+an-ibn-i=n-3n-1-l.由而导,诙6=3-16=(+13-3-1,所以 bn=3(n+l)-n=2n+3(r)2).经检验，当=1时也符合上式，故=2+3.(2)由(1)得=(2n+3)(2n+5)=5 2n+3 2n+5所以乙，(1_1上_1+_)/(，)=n厂 “n 2 57 7 9 2n+3 2n+5 2

42、 5 2n+5 5(2n+5)*能 力4会用等差、15典型例题(2019河南省濮阳市模拟)已知数列 切 的 前 项 和 为51s+仇=2,等差数列 而满足 bia2=3,bi+as=l.Q)求数列 劣,为 的通项公式.(2)证明:由必+aibi+.+anbn+i 2 时,6=5-1=2-6-2+仇-1,整理得 bn=bn-i-.：数列 是 以1为首项”为公比的等比数列，.也铲.设等差数列 a 的公差为d,如犷弋:鲁晨解得喘；，.an=出+(77-1)4=2+(-1)*1=n+l.(2)设 二的+切勿+.+/仇#1,则 7=2,+3x(g)+.+(/7+1(；),邦=2 +3啕1.+(皿 广，两

43、 式 相 痢 超Tn=l唔7唔7 +唔用.(y1 X=|蓊,T 一一。+3pr-)即 为无+为伍+班+1=3 竽.,.甯 0,.:出优+aibi+.+anbn+i A(2019山东省德州市月考)设数列 而 的前项和为S,已知的=1,力=2,且an+2=2Sn-Sn+i+3,记 仇=log2物-1+Iog2的,则数列(-1产 孀 的 前10项和为().A.100 B.400 C.200 D.250a .日1=1,攵=2,且=2S-S+i+3,.0=2-3+3=2.-3 n +2-2 Sn Sn*1+3,.当 之2 时,为+I=2S-i-S+3,两 式 相 减 可 得-3 n+l=2 -S-1)-

44、+1 S)(N2),即 当2 2 时,即 3 n+2=2a.魂 二2五.数 歹U /的奇数项和偶数项分别成等比数歹I,公比均为2,.a2n=2 x2n l=2n,a2n-i=1 x2n-1=2n-1.-bn=OQ23 2n-l+Iog2 力+=2-1,二(-1)喝=(-1)(2/7-1)2,.(-1)尻 的前 10 项和为 02-12)*72.52)+(192-172)=2*(4+12+20+28+36)=200.C(2019河南省八校联考)已知数列 劣 的 前。项和为+4将该数列按下列格式(第行有个数)排成一个数阵，则该数阵第8行从左向右第8个 数 字 为().a t5 03a 的 ，5他

45、3 G io fftl On a(3 O|4 d iA.142 B.270 C.526 D.1038由题意，知 多=加，当 n=l 时,为=2,当 n 2,an=Sn-Sn.i=n2+n-(n-l)2+n-l)=2,所以 an=2n.又由数阵知，每一行的项数依次构成的数列124,8，,是首项为L公比为2的等比数列，由等比数列的前项和公式知，该数阵第8行从左向右第8个数为数列 力 的 第 昙+8=1351-Z项，所以该数为出35=2x135=270.故选B.案,B（2019湖南省岳阳市一模）函数/=s i n皿3 0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为4,4,4，,4在点列 4 中

46、存在三个不同的点4,4,4使 得 是 等 腰 直 角 三角形.将满足上述条件的3值从小到大组成的数列记为 3 ,则 他019=（）.A 4033n B 4035TT Q 4037T T p 4039TT 由3 x=k n号(Z W Z 得x=驾 如(Z G Z),L L(j)由题意得X吟 法 战，,矮”即 4 总,1）,4（弟 1）,4浇,1）,4（务1），.由“1 4 4是等腰直角三角形，得心1,也2,=1月片4=口,解得切当故纳岑O）（1）同 理,是 等 腰 直 角 三 角 形 彳 导 心1,也 储=-L得 延 弯；4441.是等腰直角三角形彳导心 也6411 得 他=与；必士.mi.（2

47、x2019-l）n 4037n贝！J 2019=i-2-故选C.c二、填空题（2019北京市通州区三模）已知 a j是等比数列且为24=为向=27,则 雨的通项公式为.设等比数列 为 的公比为因为力为=as,a 4=27,所 以&=0,则 上 义 卷.又因为为二为川为整数，所 以 四 乙 所 以4=3此时为=9-3(-1)=12-3$=步 吟。令 g=$=沙 好/w N*,则=|/吟RAM=悔2+21 x.由 外)=0,可得*0或x号 厕 觞的最大值在心)45)中取得.又%)=72,Q)=75,所以当=5时优)取得最大值75.75三、解答题(2019湖南长沙模拟)已知数列 a 满 足a=1,为

48、=2夕+1,其中夕为 而 的前项和,GN*.求数列 为 的通项公式；设 劣-而 是首项为1,公差为2的等差数列,求数列 切 的 前 项 和Tn.-由 ai=l,an+i=2Sn+l,得当=1 时,力=2(si+1=3;当n 2时，诙=2$一1+1.-必导 an+x-an=2an,an+i=3 an(n 2).又 力=3出，故 劣 是 以1为首项,3为公比的等比数列.所以为=3工(2)由题意得2-为=1+2(-1)=2-1,所 以bS2n L所以 Tn=bi+0 +.+bn=(3 0+31+.+31+Q+3+.+2n-l)=+*=冬 +4.1-3 2(2019安徽省合肥市质检)已知等比数列%是首项为1的递减数列且为+&=6附(1)求数列 a 的通项公式；若 仇=/7诙,求数列 6 的前“项 和Tn.设等比数列 a j的公比为q.由力+函士 打 得6-g-l力，解 得9弓 或q=j.数列 a 为递减数列，且首项为.:（旷 二（2）由 知仇=茅Tn=lx g）+2x g）1+3 x g）2+.3 m 杯=1嗯）”凯3嗯）二一（/两式相减得/啕 啕“）七/铲飞）鹏-啕2一 啕 工 笔1 2,%=4注