突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题34 立体几何中二面角的计算问题(含详解).pdf

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1、专题3 4立体几何中二面角的计算问题【高考真题】1.(2022新高考I卷)如 图，直三棱柱A B C-A B C的体积为4,AA?。的面积为2 a.求A到平面A B C的距离;(2)设。为A C的中点，A Ai=AB,平面4 B C，平面,求二面角A-8 O-C的正弦值.1.解 析(1)在直三棱柱A B C-A 4 G中，设点A到平面A B C的距离为，虹匕-&BC,=人=0-4 8。=gS/C /A=:以8/3x 4-y+z=0贝“2，令 z=2,则 丁 =-3,x=0,元福=4:=0所以 3=(0,-3,2)；设平面A E C的法向量为m=3 c）,则in-AE=3f3a+/?+c=0.厂

2、 .2,令 a=g,贝 ic=-6,。=0,m-AC=12Z?=0所以?=(G,0,-b)；所以cos 8小n m -12卜阿 Vf3 x/3946设二面角C-A E-8为，由图可知二面角C-A E-8为钝二面角，所以cos6=-逑，所以sing=J l-c o s 2 6=M，故二面角C-A E-B的正弦值为工.13 13 13【方法总结】1.二面角（1）如图，AB,C是二面角a-/一 夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小9=CD.如图，小，2分别是二面角a T一 夕的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小9满足|c o s=|c o s|,二面角的平面角大小是向量“I与 2的夹角

3、（或其补角）.2 .平面与平面的夹角如图，平 面a与平面相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面夕的夹角.a若平面a,尸的法向量分别是用和2，则平面a与平面4的夹角即为向量1和2 的夹角或其补角.设平面a与平面P的夹角为仇 则 c o s 6)=|c o s ,PD=D C=,M 为 8 C 的中点，且例.求B C；(2)求二面角A-P M-B的正弦值.pt。卜-一、-4 C/V A VB 8.(2 01 8 全国I I I)如图，边长为2的正方形A B C D所在的平面与半圆弧无 所在平面垂直，M 是 上 异于 C,。的点.(1)证明：平面A M _ L

4、平面B M C；(2)当三棱锥M-A B C体积最大时，求面MA B与面MC D所成二面角的正弦值.9.(2 02 1 全国新I )如图，在三棱锥A-B C D中，平 面 A B O_ L 平 面BCD,AB=AO,。为 8。的中点.(1)证明：O A L C D；(2)若 OC O是边长为1 的等边三角形，点 E 在棱AO 上，D E=2 E A,且二面角E-B C-D的大小为4 5,求三棱锥A-B C D的体积.4 8=B C=2,E,F 分别为 A C1 0.(2 02 1 全国甲)已知直三棱柱A B C 4BC中，侧面AAB山为正方形,和 CG 的中点,。为棱45上的点，BFlAi B

5、i.(1)证明：BFV DE-,(2)当BD为何值时，面B B C i C与面O F E 所成的二面角的正弦值最小？11.(2021北京)已知正方体A3CA山i G A,点E为42中点，直线B 6交平面C D E 于点、F.(1)证明：点尸为B iG的中点;(2)若点”为棱4 5上一点，且二面角M CFE的余弦值为 坐，求然的值.J Ajoi1 2.如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P,C为原正方体的顶点，E,F为原正方体侧棱长的中点，正方形ABC。为原正方体的底面，G为棱8 c上的动点.(1)求证：平面APC_L平面PECF：，Ji设B G E B C (0 9 S

6、1),当，为何值时，平面EFG与平面ABC。所成的角为?1 3.如图，已知直三棱柱4 B C-4 81G 中，A At=A B=A C=,A BA.A C,M,N,。分别是 C G，BC,A C的中点，点P在 直 线 上 运 动，且 份=Z4商I).(1)证明：无论7取何值，总有平面PNQ(2)是否存在点P,使得平面PM N与平面ABC的夹角为60。？若存在，试确定点P的位置，若不存在,请说明理山.N c 1 4.己知在四棱锥 P-A 8C。中，平面尸。CJ_平面 ABC。，A DA.DC,A B/CD,A B=2,DC=4,E 为 PC的中点，PD=PC,BC=2yf2.求证：BE平面力)；

7、(2)若尸8与平面ABC。所成角为4 5 ,点P在平面ABC。上的射影为O,问：8 c上是否存在一点尸,使平面POF与平面出B所成的角为60。？若存在，试求点尸的位置；若不存在，请说明理由.且CF_L平面A BCD,A D=C D=B C=C F.(1)求证：EF_L平面BCF；(2)点M在线段E尸上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此1 6.如图所示，正 方 形 与 矩 形A8CO所在平面互相垂直，A 8=2A=2,点E为A 8的中点.(1)求证：8口平面4。民(2)设在线段AB上存在点M,使二面角DX-MC-D的大小为专 求此时AM的长及点E到平面Dy

8、M C的距离.底面 A8CO,A D,/8A=/A B C=90。，E 是 P。的中点.(1)证明：直 线 C E 平面出B；(2)点 M在棱PC上，且直线8 M与底面A 8C。所成角为4 5。，求二面角M A 8 一。的余弦值.=2 B C=2 C D,四边形如图所示的几何体中，四边形A B C。是等腰梯形，A H/CD,N A 8 C=6 0。，A BD C E F 是正方形,N,G 分别是线段A 8,CE 的中点.(1)求证：N G 平面A Q F；(2)设二面角A-C D-F的大小为想 6 兀)，当6为何值时，二面角A-B C-E的余弦值为喏?1 9.已知三棱锥尸一A B C(如图1)

9、的平面展开图(如图2)中，四边形4 8C。为边长等于正的正方形，A B E和A B C 尸均为正三角形.在三棱锥P 4BC中:(1)证明：平面布C _ L 平面A 8 C：若点M在棱P A上运动，当直线B M与平面P A C所成的角最大时，求二面角P-B C-M的余弦值.2 0.如图所示，在四棱锥P-AB C D中，侧 面 外 ，底面A B C D,侧 棱 雨=。=地，PA 1.PD,底面 A B C。为直角梯形，其中B C A。，A BA D,A B=B C=,。为 A。的中点.(1)求直线P B与平面P O C所成角的余弦值；(2)求B点到平面P C D的距离；(3)线段PD 上是否存在一

10、点Q,使得二面角QA C。的余弦值为 半？若存在，求出条的值；若不存在，请说明理由.专题3 4立体几何中二面角的计算问题【高考真题】1.（2022新高考I 卷）如图，直三棱柱ABC-A81G的体积为4,AA B C的面积为2人.求 A 到平面4 BC的距离;（2）设。为 A C 的中点，A Ai=AB,平面4B C J.平面，求二面角斗一如一C 的正弦值.1.解 析（1）在直三棱柱中，设点4 到平面ABC的距离为，则 以-&BC=.SAAB C/=KA-ABC=S/ABC，A A =以BC-AB=，解 导=夜 ,所以点A 到平面4 8 c 的距离为 近；（2）取 4 B 的中点E 连接A E,

11、如图，因为所以A E A B,又平面ABC J平面A881A,平面A8CPI平面4881A=A B,且A E u平面ABB1%,所以A E L 平面A8C,在直三棱柱ABC-481G 中，8 5,平面ABC,由 8 C u 平面 ABC,8 C u 平面 A8C可得 AE1.3C,BB BC,又AE,88|U平 面 且 相 交，所以8 C L 平面，所以BC,B4明 两 两 垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，所以招 二 回 二？，4 8 =2拒，所以8 c =2,则 4（0,2,0）,4（0,2,2）,B（0,0,0）,C（2,0,0），所以 的中点,则 丽=（1,1,1）,丽=（

12、0,2,0）,而=（2,0,0）,一/、机 BD=x+y+z=O /、设平面A3。的一个法向量团二 (x,y,z),则 _ _ _ _ _ ,可取?=(1,0,-1),m-BA=2y=0设平面8DC的一个法向量”=(a,c),贝！|m-BD=a+b+c=0-.、_ _ _ _ _ ，可取”=01-1,m-BC=2a=0,所以二面角A-8 D-C 的正弦值为2.(2022新高考H卷)如 图，PO是三棱锥P-A B C的高，PA=PB,AB L A C,E 是 PB的中点.(1)证明：OE平面R4C；(2)若 NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角 C-A E-8 的正弦值.2.

13、解 析(1)连接8 0 并延长交AC于点。，连接。4、PD,因 为 是 三 棱锥尸-A B C的高，所 以 平 面 ABC,4。3。_ 1_40、POA.BO,又 PA=PB、所以PO4 三?w,即。4=0 3,所以 NQ43=NO区 4,又 AB_LAC,即 ZS4C=9 0 ,所以 N 3 8+N 3 )=90。，ZOBA+ZODA=90,所以 NOZM=NCM所以AO=Z)O,即AO=Z)O=O B,所以。为8。的中点，又 E 为 PB的中点，所以OEI/PD,又OEu平面期C,所以OE平面A4c(2)过点A 作A z/O P,如图建立平面直角坐标系，因为PO=3,/=5,所又 NC4=

14、NO8C=3 0 ,所以 80=204=8,则 AO=4,AB=4 ,所以 AC=1 2,所以 0（26,2,0）,B（4 石,0,0）,P（2,2,3）,C（0,12,0）,所以 E（3 白,1 4则 通=（3 万AB=（4,0,0）,AC=（0,12,0）,_ .、n-AE=3/3x+y+z=0设平面AEB的法向量为 =（x,y,z）,则J 2,令 z=2,则 丁 =-3,x=0,ri AB=4/3x=0所以 3=（0,3,2）；设平面AEC的法向量为机=(,c),则fh-AE=3y/3a+b+c=0.仁2,令 a=则 c=-6,力=0,rn-AC=l2b=0所以而=(右,0,-6卜所以c

15、os 工 布)nrn-12|/?|/7?|/13 x5/394x/313，设二面角C-A E-8 为6,由图可知二面角C-A E-3 为钝二面角，所以8$。=-逑，所以sine=J l-c o s 2 e=1,故二面角c A E-8 的正弦值为U.13 13 13【方法总结】1.二面角(1)如图，AB,C是二面角a-/一 夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小9=CD.(2)如图，用,“2分别是二面角a-/一 6 的两个半平面 a,4 的法向量，则二面角的大小6 满足|cos8|=|cos ,二面角的平面角大小是向量m 与 血的夹角(或其补角).2.平面与平面的夹角如图，平 面 a 与平

16、面相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面夕的夹角.a若平面a,尸的法向量分别是用和2，则平面a 与平面4 的夹角即为向量1和2的夹角或其补角.设平面a 与平面P 的夹角为仇 则 cos6)=|cosm,扃.3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【题型突破】1.(2020全国m 改

17、编)如图,在长方体ABCCA1B1C。中，点 E,F 分别在棱。1，2 3 上,且2DE=EDi,BF=2FBi.(1)证明：点 C i在平面4E厂内；(2)若 AB=2,AD=1,A 4 i=3,求平面AEF与平面7小 夹角的正弦值.1.解 析(1)设/18=4,AD=b,A A i=c,如图,GOT,GBT,成的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Gxyz.连接 G F,则 G(0,0,0),A(a,b,c),(a,0,F(0,b,或=(0,b,币=(0,b,所以或=中，所以 EACF,即A,E,F,G 四点共面，所以点G 在平面AEF内.(2)由已知得 A(2,1,

18、3),E(2,0,2),F(0,1,1),4(2,1,0),则戏=(0,-1,-1),#=(一2,0,-2),碇=(0,-1,2),锯=(-2,0,1).、，,屐=0,y izi=0,设 i=(xi,zi)为平面4EF的法向量，则，|川 办=0,即1l-2 x i-2cz i=0八,可取“1=(1,1,1).A 1C=O,y2+2z2=0,设2 =。2,”，Z2）为平面A 1E77的法向量，贝 K 即 彳 1 2=0,1-2A-2 +Z 2=0,同理可取2=（3，2,1）.tti工 r2 币因为 cos=7，x/42所以平面A EF与平面EF A 夹角的正弦值为甲一.2.（2019全国HI）图

19、 1是由矩形A OE8,RtZXA BC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中A8=l,B E=BF=2,ZF BC=60.将其沿4B,BC折起使得BE与 BF重合，连接O G,如图2.（1）证明：图 2 中的A,C,G,。四点共面，且平面AB C,平面BCGE；（2）求图2 中的二面角B-C G-A的大小.2.解 析（1）由已知得A QB,CGBE,所以A QCG,所以A O,CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面.由已知得 A 8_L8E,A B1.BC,且 8ECIBC=8,所以 平面 8CG.又因为A3u平面AB C,所以平面48CJ_平面BCGE.（2）作E H 1 B C,垂

20、足为.因 为 E，u 平面B C G E,平面8CGEJ_平面A BC,平面3CGECI平面A B C=B C,所以EH_L平面A BC.由已知，菱形BCGE的边长为2,N E B C=60,可求得B =l,E H=木.以”为坐标原点，谎 的 方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz,则 A(-l,I,0),C(l,0,0),G(2,0,回 cb=(,0,下)，At=(2,-1,0).C&n=0,设平面A CGO的法向量为”=(x,y,z),则，Atn=0,即卜+8,-y=0.所以可取=（3,6,小）.又平面BCGE的法向量可取加=（0,I,0）,所以cos是正方形，点 E

21、在棱A4i上，BELECy.(1)证 明:8 E _ L 平面 E B i C i；(2)若A E=AtE,求二面角B E C G 的正弦值.3.解 析(1)由已知，得 8 i G J _ 平面A88A,由于8 E u 平面故 B C i L B E.又 BE 上EG,8iGnEQ=G,所以 C E _ L 平面 E B G.(2)由(1)知Z 8 E 8 i=9 0 .由题设知 R t Z k A B E-R S 4 8|E,所以/A E 8=4 5 ,故 4 E=A 8,A At 2 AB.以。为坐标原点，方 A 的方向为x轴正方向，皮 的 方向为y轴正方向，说的方向为z 轴正方向，|反I

22、 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 C(0,1,0),8(1,1,0),C.(0,1,2),EQ,0,1),所以仍=(1,0,0),Ck=(1,-1,1),C C i=(0,0,2).晶i=0,设平面E B C 的法向量为=(x i,yi,z i),贝七_比 n=0,为=0,内一y i+z i=0,所以可取=(0,1,1).C C i,/i 0,设平面ECG的法向量为“1 =(X 2,Z 2),则“C E m=0,|2Z2=0,即 及y 2+z 2=0,即所以可取力=(1,1,0).于是c o s v ，mn m1nm2-所以二面角B-E C-Q的正弦值为4.(2 0 1

23、9 全国I 改编)如图，直四棱柱A B C D-4 由CQi的底面是菱形，4 h=4,A B=2,ZBAD=6Q,E,M,N分别是8 C,BB,40的中点.(1)证明：MN平面C i Q E；(2)求平面A M At与平面M4N夹角的正弦值.解 析(1)如图，连接B C,ME.因为M,E分别为8 8,BC的中点,所以ME&C,且 ME=/iC.又因为N为40的中点，所以ND=；A Q.由题设知 4 B|C 且 4 8|=/)C,可得 8 i C 4 Q 且 8 1 c=A 0,故 M E ND 且 M E=N D,因此四边形MNDE为平行四边形，M N/E D.又 MNu平面C Q E,E u

24、 平面Q D E,所以MN平面C Q E.(2)由已知可得。E _ L A,以。为坐标原点，正 的 方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 4 2,0,0),4(2,0,4),M(l,小，2),N(l,0,2),7 =(0,0,-4),河=(-1,3,-2),1,0,-2),荻=(0,一 于，0)./A i-=0,设 w?=(x,y,z)为 平 面 的 一 个 法 向 量，贝！|,/H-AJA 0,所以-x+小 y 2 z 0,B r-可得 in=(y3,l-4 z=0,0).n-M k=0,设 n =(p,q,r)为平面A|A/N 的一个法向量，则，.nA l=0,所以

25、j 可取 n=(2,0,1).-p-2r=0,于是c os=MM=2 xy5=5 所以平面A M A 与平面M4 N夹角的正弦值为丐25.(2 02 0.全国I )如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，A E为底面直径，AE=AD.AB C 是底面的内接正三角形，P 为 D O 上一点,P O=D O.(1)证明：R1 _L 平面P 8 C；(2)求二面角B P C E的余弦值.(1)设。0=4,由题意可得尸0=手，A O=a,AB=a,P A=P B=P C 2 a-因此而2+P =4 8 2,从而尸 氏 又 以 z+p c A G,故 网 _L P C.又 PBCi PC=P,PB,P

26、 C u 平面P B C,所 以%_L 平面尸8 c.(2)以。为坐标原点，沆:的方向为y轴正方向，|前为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O x y z.由题设可得反0,1,0),A(0,-1,0),一半，I，0),P(0,0,孝).所以证=(一坐，0),港=(0,1,日).m.EP=0,1-)+条=，设加=(x,y9 z)是平面P C E 的法向量，则，_即j 广EC=0,半 l、y=o可取根=(一 坐 1,也).由(1)知乔=(o,1,坐|是平面P C 8 的一个法向量，记 =Q,则 cos ，加 =曰=芈.所以二面角8 P C-E 的余弦值为 平.6.(2021全国新H)在四棱锥。

27、一ABCO中，底面ABCC是正方形，若 AQ=2,QD=QA=y5,QC=3.(1)证明：平面。平面A8CC；(2)求二面角B-Q D-A 的平面角的余弦值.取的中点为O,连接。，CO.因为 Q=QA,O D=O A,则 QO_LA。，而 4。=2,Q A=y5,故。=/=2,在正方形4BC。中，因为A O=2,故 0 0=1,故 C 0=小，因为Q C=3,故。2+。(？=。7 2,故AQOC为直角三角形且Q0_L0C,因为。CriAO=。，故 QO_L底面A 8C O.因为QOu平面QA。,，故平面Q4O_L底面A8CZZ(2)在平面ABCD内，过。作 0 7 C O,交 BC于 7,则

28、07_LA。，结合(1)中的。0,平面ABC。，故可建如图所示的空间坐标系.则(0,1,0),0(0,0,2),B(2,-1,0),故 池=(-2,1,2),9)=(2,2,0).设平面。8/)的法向量”=(x,)，z),则瓦)=0,2x+y+2z=0,即-2x+2y=0.不妨设x=l,可得=(1,1,1).而平面QAD的法向量为 i=(l,0,0).故 cos，,in-n_1 _2吁 丽=口=?1X22二面角8。一4 的平面角为锐角，故其余弦值为7.(2021.全国乙)如图，四棱锥PABCO的底面是矩形，底面48C3,PD=DC=1,M 为 8 c 的中点，且尸2_LAM.求 BC；(2)求

29、二面角A-P M-B 的正弦值.p,DbB 7.解析 连结80,因为尸力1.底面A B C。，且 A Mu 平面A8 C,则 A M _ L P O,又 4 例J _P 8,PBCPD=P,PB,PDu平面 PBD,所以AM _L 平面PBD,又 8 O u 平面PBD,则AMLBD,所以/A8 D+/D 4A/=9 0,又/D 4M+/M A8=9 0,则有 ZADB=NM AB,所以 Rt AD AB Rt AAB M,则 的=需，所以3 8 G=1,解得8 c=啦.(2)因为D A,DC,OP两两垂直，故以点。位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,则 A(霹，0,0),B(啦,1,0),

30、M咨,1,0),尸(0,0,1).所以#=(小,0,1),加=(乎,1,0),扁=(一坐,0,0).阱=(一 巾,一 1，1)设平面A MP的法向量为“=(x,j,z),则有，H-AA=O,，x+z=0,2：x+y=0.令 x=p,则 y=l,z=2,故=(也,1,2),设平面BMP的法向量为,”=(/?,q,r),则有，m 副=0,一坐p=0,、一yf2p-q+r=0.“仄府=0,M T 就 f=0,即,即令 4=1,则 r=l,故相=(0,1,1),叽 E -3所以c o s=而 向 一 齐 万 一 1 4-设二面角A PW 8的平面角为a,则 s in a=所以二面角A-P M-B的正弦

31、值为 噜.8.(2 01 8全国I I I)如图，边长为2的正方形A8 C Z)所在的平面与半圆弧C )所在平面垂直，M 是CO上异于 C,D的点.证明：平面AM Q _L 平面8 M C；(2)当三棱锥M-AB C体积最大时，求面MAB与面MC D所成二面角的正弦值.8.解 析(1)由题设知，平面CMO,平面A B C Q,交线为C O.因为 B C _L C D,8 C u 平面 A 2 C D,所以 8 C _L 平面 CMD,故 3 C _L O M.因为M 为a 上异于C,。的点，且 0 c为直径，所以C M _L C M.又 8CnCM=C,所以平面BMC.而。Mu 平面AA/O,

32、故 平 面.平 面 8 M C.(2)以。为坐标原点，房 的 方向为x轴正方向，皮 的 方 向为)，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥A/-A B C 体积最大时，M 为6 b的中点.由题设得。(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),A/(0,1,1),破=(-2,1,1),屈=(0,2,0),0=(2,0,0).n-A=0,设 =(x,y,z)是平面M4 B的法向量，则，_nA b=0,2 x+y+z=0,即 1 可取”=(1,0,2).1 2 y=0.力 A 是平面MCD的一个法向量，因此，c o s =n Q A=W,s in u平面B

33、 C D,所以。4_L C )；取。的中点尸，因为。为正三角形，所以C F L O。，过。作 O M C 尸与8c交于点例，则。例，。，所以OM,O D,。4 两两垂直,以点。为坐标原点，分别以O M,OD,0 A 为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 8(0,1,0),C(2 !，0),D(0,1,0),设 A(0,0,r),则 E(0,1,y),因为0 4,平面B CD,故平面BCO的一个法向量为苏=(0,0,r),设平面8 C E 的法向量为=(x,y,z),又 觉=(坐,1,0),屋=(0,3,表,近 3 c 炭=0,右 1一 卓=0,2所以由j 得j 令*=小，则”=(

34、6，-1,n 碇=0,引+京=0,因为二面角E-B C。的大小为45。，所以c o s =UL=言 =半，向的7 4+5解得 t 1,所以 O A =1,又 SAOCD2X1 x 1 ,所以 SABCD=,故 VA-CD=|X5ABC/;XO A=|XX 1=.1 0.(2 0 2 1 全国甲)已知直三棱柱A B C A 1 8 1 G中，侧面A 4 山归为正方形，A B=B C=2,E,尸分别为A C和 CG 的中点,。为棱C B i 上的 点,BFXAIBL(1)证明：BF VDE-,当B Q为何值时，面 B8G C与面Q F E 所成的二面角的正弦值最小？1 0.解析(1)连接A 凡,:

35、E,尸 分 别 为 直 三 棱 柱 的 棱 4c和 C G的中点，且 A B=B C=2,C F=1,B F=6 VBFIAIB,AB/AB,：.BFAB,.4 尸=、4 3 2+8/=、2 2+(小)2=3,A C=、A 产一(7 万=、3 2 十=2 啦,.3 2+B C2=A C2,即 8 A l.8 c.故以8为原点，BA,BC,83所在直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 4(2,0,0),6(0,0,0),C(0,2,0),(1,1,0),尸(0,2,1),设田 =?,则 (?,0,2),.耕=(0,2,I),Dk=(m,I,-2),阱的=0,：.BFL DE.

36、(2)：4 8 1.平面 B B i GC,.,.平面 B 8 1 GC 的一个法向量为，”=(1,0,0),由(1)知，Dk=(m,1,2),B 1,1,1),n-Di 0,设平面。尸 E 的法向量为=(x,y,z),则有，赤=0,(1 m)x+y 2 z=0,即x+y+z=0.令 x=3,则 =?+1,z2 m,故=(3,?+1,2 m ),斫 以 _ n m _ _ 3 =_ 3 .9+(，”+1)2+(2 z)2标 2m+1 4所 以 当 时，面 8BCC与面O F E 所成的二面角的余弦值最大为坐，此时正弦值最小为乎.1 1.(2 0 2 1 北京)已知正方体A 8 C -A 囚 C

37、Q,点 E 为A Q 中点，直线BC交平面C Q E 于点F.(1)证明：点尸为S G 的中点；(2)若点M为棱48上一点，且二面角MC F E 的余弦值为坐，求 装 的值.J A j l如图所示，取 8G 的中点广，连结 E,EF,F C,由于为正方体，E,尸为中点，故 EF Y/CD,从而E,F,C,D,四点共面，所以平面CDE 即平面C Q E产，据此可得，直线B C交平面C 0 E 于点F,当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点F重合,即点F 为 B i G 中点.(2)以点Q为坐标原点，DA,DC,D D,方向分别为x 轴，y轴，z 轴正方形,不妨设正方体的棱长为2,设 筮=(

38、上 5)，则，M(2,2 2,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),从而，M t=(-2,2-2 2,-2),净=(1,0,2),度=(0,-2,0),m-A 7 t=0,设平面M C 尸的法向量为m=(xi,y,zi),所以=0,22=0,.X2+2Z2=0,令 Z 2=-l,则平面。尸 E 的一个法向量为=(2,0,-1).从而 m n=5,m=5+(y )2,|=5,则,C0S7,nin55+(占)2、小3,整理可得：1)2 =；,故%=；或|(舍去).1 2.如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2 的正方体得到，其中P,C 为原正方体的顶点，E,尸为原正方体侧棱

39、长的中点，正方形ABC。为原正方体的底面，G 为棱BC上的动点.(1)求证：平面APC_L平面PECK 设 防=7证(0架 1),当尤为何值时，平面EFG与平面ABC。所成的角为空12.解 析(1)由已知可知，EB/F D,且E B=FD,如图，连 接 则 四 边 形 7758是平行四边形,J.EF/BD.底面 ABCZ)为正方形，：.BDA C.YAP，底面 ABC。，：.BDA P.又 ACn”=A,平面 A P C,，EF_L平面 APC.E F u平面 P E C F,：.平面 A PC 平面 PECF.(2)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 8(2,2,0),F(

40、0,0,1),E2,2,1),G(2,222,0),F E=(2,2,0),GE=(0,22,1),设冽=(x,y,z)是平面EFG的法向量，故，mFE，=0,即 =-i=L=9 解得丸=*，又 0夕$1,/=*.5 7 2+4入2 6 613.如图，已知直三棱柱 ABC中，A4=AB=AC=1,A B1A C,M,N,Q 分别是 C G，BC,A C的中点，点 P 在 直 线 上 运 动，且A iP=A A 80,1).(1)证明：无论2 取何值，总有AM，平面P N Q；(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面A B C 的夹角为6 0。？若存在，试确定点P的位置，若不存在,请说明理由.轴

41、、z 轴建立空间直角坐(1)如图，以A为坐标原点，AB,AC,A 4 i 所在的直线分别为x 轴、y标系，则 A(0,0,0),4(0,0,I),|(1,0,1),M(0,1,拈,0),0(0,1,0),由匹力=。加=4 1,0,0)=(九0,0),可得点玖2,0,1)，所 以 的=6一 九 g，1)屈=(一 九；，一 1).又A X/=(o,I,x),所以A i C/,丽=o+；;=0,A/tf P 5=0+=0,所 以 磁 _L 的，破，而，即A M _L P N,A M 1 P Q,又 P N C P Q=P,所以A M _L 平面P N Q,所以无论，取何值，总有A M J _平面P

42、N Q.z)是平面PMN的法向量,12,)，丽=I+2 Ay=k x,2-2；加*(，一 九 2)得令 x=3,所以”=(3,1+2 2,2 2 是平面QW N的一个法向量.取平面ABC的一个法向量为,“=(),0,1).|2 2 2|假设存在符合条件的点P,则|c o sVm,|=9+1+2,2+2 2万1化简得4 万-1 4%+1=0,解得7=上 芈 或%=22芈(舍去).综上，存在点忆 且当4P=7一：于时,满足平面PMN与平面ABC的夹角为6 0。.1 4.已知在四棱锥 一ABC。中，平面 PQC_L平面 ABC。，ADLDC,AB/CD,AB=2,0 c=4,E 为 PC的中点，PD

43、=PC,B C=2 求证：BE平面以。；若 P 8与平面ABC。所成角为4 5,点尸在平面ABC。上的射影为0,问：8 c 上是否存在一点F,使平面P0尸与平面以8 所成的角为60。？若存在，试求点尸的位置；若不存在，请说明理由.解 析（1）取尸力的中点H,连接AH,E H,则 E C,EH=CD,又 AB/CD、AB=CD=2,：.E H/A B,且 EH=AB,，四边形A8EH为平行四边形，故 8E/M.又 BEC平面BAO,H4u平面用。，平面B4O.尸为8 c 的中点.理由：.平面H）CJ平面A8C）,PD=PC,作 P OLD C,交 OC于点O,连接0 8,可知。为点P 在平面A8

44、C）上的射影，则NP8O=45。.由题可知O B,OC,OP两两垂直，以。为坐标原点，分别以。8,OC,OP所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz,由题知 0 c=2,B C=2p,：.O B=2,由 ZP8O=45。，可知 OP=O8=2,；.P(0,0,2),A(2,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0).设尸(x,y,z),BF=kB C,则。-2,y,z)=-2,2,0),解得 x=222,y=2九 z=0,可知尸(2-2九 22,0),设平面现8 的一个法向量为?=（xi,y,zi）,V M=(2,-2,-2),AB=(0,2,0),w-B4=0,=0,

45、得2AJ2yi2zi=0,2y=0,令 zi=l,得 m=(1,0,1).设平面尸。尸的一个法向量为=（X2，Z2）,V OP=(0,0,2),。尸=(2-2 九 2九 0),nOP=0,n-OF=0,2Z2=0,得1222+2A/2=0,令”=1,得 =（、，1，0）.cos 60。=坤T-i,解得2=;,可知当尸为BC的中点时，两平面所成的角为60。.1 5.如图所示，在梯形48CZ)中，AB/CD,ZBCD=120,四边形ACFE为矩形，且 CF_L平面A8CZ),AD=CD=BC=CF.求证：平面BCF；(2)点 M 在线段E尸上运动，当点 在什么位置时，平面MAB与平面FC8所成的锐

46、二面角最大，并求此时二面角的余弦值.15.解 析(1)设 AC=CD=3C=1,：AB/CD,ZBCD=120,：.AB=2,：.AC2=AB2+BC2-2AB BC COS 60=3,：.AB2=AC2+BC1,贝 U BCJ_AC.：C F Y ABCD,ACu平面 ABC。，：.A C C F,而 C7T1BC=C,CF,8Cu平面 2CF,；.AC_L 平面 8CF.：EF/AC,：.E F i.BCF.(2)以 C 为坐标原点，分别以直线CA,CB,C F为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设 FM=A(02V3),则 C(0,0,0),A(小,0,0),8(0,1

47、,0),M(2,0,1),.初=(一5，1,0),痢=(九-1,1).n-Ai=0,设 =(x,y,z)为平面M4B的法向量，由，J IBUQ,得f3x+y=0,Zry+z=0,取x=l,则“=(1,小，小 T).易知，=(1,0,0)是平面尸C 8的一个法向量，.nm_ 1 _1 _,CS W，-丽1=3+3+小小厂/-小2+4*0A/3,当 2=0 时，cos取得最小值 亭，当点M 与点尸重合时，平面MA8与平面R78所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为坐.16.如图所示，正方形A4Q1。与矩形ABC。所在平面互相垂直，A3=2A Z)=2,点 1为 AB的中点.(1)求证：B O 平

48、面AQE；7 T(2)设在线段AB上存在点M,使二面角。i-M C-O 的大小为不 求此时AM 的长及点E 到平面iMC的距离.1 6.解析连接4 9,交A Q 于点0,：四边形A A Q Q 为正方形，二。是 A Q 的中点，：点 E 为AB的中点，连接0E.E O 为ABDi 的中位线，E0/BD.又：8力臣平面4E,OEu平面AQE,.BDi 平面AQE.(2)由题意可得口。,平面A 8C D,以点/)为原点，DA,D C,。0 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则。(0,0,0),C(0,2,0),4(1,0,1),01(0,0,1),8(1,2,0)

49、,(1,I,0),设 M(l,y0.O)(O jo2),.流=(1,2-y0.0),庆=(0,2,-1),小 流=0,设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 m=(x,y,z),则jlnvDC=0,即-x+y2-yo=O,2yz=0,令 y=l,有 m=(2泗.1,2).而平面MC)的一个法向量为“2=(0,0,1).要使二面角D -MC-D的大小为亲而 兀 I X 7 1|2|2 亚则 cos1|cosm,2尸 面 面=/_时+1”=2 解得泗=2-卓(03，/2),故 AM=2 一 坐,此 时|=停，1,2),Z 5/=(1,1,1).一 3 _故点E 到平面D i M C的距离为d=喈

50、卢1:一 普 二 咛1.Iil 4V3 4317.(2017全国H)如图，四棱锥P-A8CO中，侧面用。为等边三角形且垂直于底面A8CD,AB=8C=；A D,ZBAO=N48C=90。，E 是 PZ)的中点.证明：直线CE平面以8；点 M 在棱PC上，且 直 线 与 底 面 A8CO所成角为45。，求二面角M T 8。的余弦值.pEF=A D.取的中点F,连接E E B F.因为E是尸。的中点，所以E 由N 8 4/)=N A 8 C=9 0。，得 8 C A O,又 B C=；AD,所 以 EFjBC,四边形B C E 尸是平行四边形,CE/BF,又 8 尸 u 平面PA B,C E C