（本科）线性代数期末考试题及答案AB卷.pdf

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1、线性代数试题测试卷及答案2 套一、填空题1.四阶行列式中含有因子%4/2的项为.2.行列式1aa21bb21Cc2的值为_.3.设矩阵4 =4.设四元齐次 1 0 0 0、0 10 0 .,则 川=_.0 0 2 1、0 0 2 2,线性方程组的系数矩阵的秩为1,则其解空间的维数为_5.设矩阵 A =（,%，%，%），其中,%，线性无关，a =02+2a4 （向量44=，则方程A X=B的通解为./=16.已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3 ,则|4 3 2 4 同=.二、选择题1 .若两个三阶行列式D,与D2有两列元素对应相同，且。=3,=-2 ,则。+2的值为（）.A.l B.-6 C.5

2、 D.02.对 任 意 的 阶 方 阵 总 有（）.A B =BA B.AB=BAC.（叫t =B A D.（AB）2=A2B23.若矩阵X满足方程A X 3 =C,则矩阵、为（）.A.A B C B.A CB C.CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A为四阶方阵，且R（A）=3,则R（A*）=（）.A.4B.3C.2D.15.下列说法与非齐次线性方程组A X =夕 有解不等价的命题是（A.向量 可由A的列向量组线性表示B.矩阵A的列向量组与(A,/?)的列向量组等价C.矩阵A的行向量组与(A,/7)的行向量组等价D.(A,/J)的列向量组可由A的列向量组线性表示6.设阶矩阵A和3相似，

3、则下列说法错误的是().A.|A|=|B|B.R(A)=R)C.4与5等价 D.A与5具有相同的特征向量7.设 f(x)=X：+x22+x32+2 a xi-2,+4 x2x3 为正定二次型，则 a 满足().A.C L ci 一1 B.l a 2 C.l a l D,-2 a -1三、计算题1 +q 1 11 1 +,11.已知&=.-.其中a。可声，求A”+4“+4,小1 1 1 +4 2”2.设矩阵4=1、T2 2、1 0 ,且AX=A+2 X,求 X.2 3,q1 221、02 1 5-13.求矩阵 A =(%,%工。5）=20 3-13的列向量组的一个最大无关J1 04组，并把其余列

4、向量用最大无关组线性表示.1,4.求非齐次线性方程组3%一/一3七+4%=4,的通解.玉 +5X2 一9毛-8 4 =05.求一个正交变换X=p y ,将二次型/（%,%2，七）=2 X 1%2 -2%丙-2工2%3化成标准形.四、证明题已知n阶方阵A和5满足2 4一%=B-4 E,证明2不是A的特征值。模拟试题（五）答案1.41。2 4。3 2%3 ；2.(b-a)(c-a)(c-b)1 0 0 00 1 0 00 0 1-/,、0 0-1 14.3；5.A:(1,-1,1,-2)T+(l,l,l,l)T()l G R)；6.-120.二、1 .A；2.B；3.D；4.D；5.C；6.D；7

5、.C.1 +4 1 11 1 +a,1三、i.解 4 +4 +4=.1 1 14 0 10 出1 科=：:：=n ,/=!0 0 12.解 由 4X=A+2X 得(A-2E)X=A,又由于-2 2|A-2E|=1 -1-1 220=2 w 0,即 A 2E 可逆，故 X=(A-2E)T4.而(-1(A-2E)T=，-12 12 2、0 22 0,从而3解A=p o o-1 0 1 03 0 0 1-1J(0 0 013-100、-11则为矩阵4的列向量组的一个最大无关组，其中a4=at+3a2-a,，a5=-a2+a,.1 0 1 14.解 4=3 -11 5-3 -1 r-3 4 4-0 1

6、-9 -8 0,0 03 3 52 4 43 7 11 4 40 0 0故方程组的一个特解p、4400(xA r n (xA取=八，3 =,得齐次线性方程组的基础解系 t +l)2(2-2),-1 -Z则4特征值为4=2,%=4=一1.当4 =2时，解方程组(A 2E)X=0,-2A 2E=1、T-2-1-0 1-1-2)10 0P10,1得基础解系4=-1,单位化得耳=当 否=4=一1时，解方程组(A+E)X=0,T 1 -n iA+E=1 1 -1-0 0、-1 -1 1 )(0 0-p0得基础解系岁2=1 当5将 与,益正交化：取7=刍，_ E Eg”工2J_217-0工 1际口逝0单位

7、化得巴h i -372J_217将，R,居构成正交矩阵73-3迫3月一3V66#6V631F17T。2 0 0 使得尸一四尸=0-10,于是有正交变换X=p y 使/=2%2一%2-%上、0 0 f四、证明 对等式24-%=5-4 E 两边同时左乘A,得 28=A 3-4 A 即（A-2E）B=4A.由于A 可逆，故同彳0,从而|（4 一 2）回=|4一 2同忸|H。，即|A-2 E|0,故2 不是A 的 特 征 值.模拟试题（一）一、填空题.1.排列217986354的 逆 序 数 为.2.6阶行列式中a21al2。56。43a35。64的符号为.1 0 2 1、3.设4=4-；1 r 0:

8、，问元素x 的代数余子式是2 2-1 0 -5-2 1,4.设A 为一个三阶方阵，若|A|=3,则.5.三维线性空间一组基%=（1,1,0）,。2=（1,。4）,。3=（O,U），则B=（2,0,0）在 上 述 基 底 下 的 坐 标 是.二、选择题.-1 1 11.已知|川=1 -1 X ,则中X的一次项系数是（）.1 1 -1A.l B.-l C.2 D.-22.要断言矩阵A 的秩为r,只需要条件（）满足即可.A.A中有r 阶子式不为0B.A 中任何厂+1阶子式为0C.A 中不为0 的子式的阶数小于等于rD.A 中不为0 的子式的最高阶数等于r3.二次型/（不.六石?+6xm+3考的矩阵表

9、示为（).,/I 2VXA/、n 3 Y小A.(XPX2)B,(X1,X2)1一JX2)I。八”2 J-(/1-i Y%八 /i -i V x C.(xpx2)D.(X j,x2)【7 J 八%2 J )X2j4.一个 维向量组/,%，4(sl)线性相关的充要条件是(A.含有零向量B.有两个向量的对应分量成比例C.有一个向量是其余向量的线性组合D.每一个向量是其余向量的线性组合)若a,/7 为单位正交向量，则()A.x 任意，y =-B.x 任意，y=2 2C.x =l,y =D.x =l,y=2 2三、判断向量组的线性相关性，若相关，把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来.四、解下

10、列方程组.(3 2 0)/、(1)设 X5-3 0=，求 X.(-1 3 1J(0 0 8 J J2%）-x2+x3+x4=1（2）问；l为何值时，方程组 占+2工2-忍+4%=2有解，并求通解.x+7X2-4X3 4-1 lx4=2五、求一正交变换，将二次型/（%,工2，工3）=2工；+2工；+2x；+2当 工2化为标准型.六、若是实对称矩阵A的两个特征值，%是其对应的特征向量，证明见与火 正交.模拟试题（一）答案一、1.18；2.正号；3.-1（）；.5 1 .C；2.D；3.B；4.C；4.2；6 45.D.5.(1,1,-1).三、解（。,。2，。3，。4）=所以向量组线性相关,1-2

11、-1 0、q-2-10、1030-242603200 1202-10 2000133333,、000000 0 110 0 0 0因此，7?（%,%，0 3，&）=3 2-50-1304-702、-32-5当X=5时，方程组有解，此时1 6 4、15 5 5A=000103 7 35 5 50 0 07同解方程组工23 7 3产 一萨+二，通解为2 1 0、五、解 4=1 2 0,由、0 0 3,2-几|A-2E|=1、012-20 3-2J0-(丸-)(4-3),得特征值为4=1,22=4 =3.当4=1 时，由（A ）X=0得特征向量为4=1（1.正单位化4=击07当办=4=3 时，（A 3）X=0 得特征向量舄个=1，舄，0、=0单位化1 7因此，得正交矩阵7oO1If&O-1正1正。=用 正 交 变 换 X =py,把/（斗,刍）=2%=（a 4）q =al，（Aa2）=aI，仇）=4/a2，即有（4 一 4）a：4=，因为4 H 4，所以四。2=0，故囚与%正交.