2023学年上海市师范大学附属外国语高考数学全真模拟密押卷含解析.pdf

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1、2 0 2 3年高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请 用 0.5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 a=log8（）.2,Z=loga34,c=4 ,则（）A.c b a B.a b c C.acb D.b a 04.若 x,y满足约束条件+y-3 N 0,则z=x+2 y 的取值范围是x-2y 0,B=xlog2X

2、则实数*的值等于（）3 3A.6 B.1 C.D.-2 21 0.已知函数函X)满足当xWO时,2/(x-2)=/(x),且当x e(-2,0时，/(x)=|x+l|-l；当x 0时,/(x)=b g“x(a 0且a h 1).若函数/(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是()A.(62 5,+o o)B.(4,64)C.(9,62 5)D.(9,64)1 1.设向量7，5满 足 同=2,忖=1,5)=60,则,+同 的 取 值 范 围 是A.啦,+o o)B.瓜+8)C.V 2,6 D.73,61 2.已知双曲线C：二-与=l(a 0,b 0)的一条渐近线的倾斜角为。，且

3、c o s 6=好，则该双曲线的离心率为()a b 5A.J 5 B.且 C.2 D.42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.已知圆柱的上下底面的中心分别为a，0过直线。1。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为3 6的正方形，则该圆柱的体积为一1 4.已知复数z=3担 是 纯 虚 数，则实数a=，|z|=.1-z1 5.从集合 1,2,3中随机取一个元素，记为。，从集合 2,3,4中随机取一个元素，记为b,则a 的概率为.2 21 6.双曲线C:工-汇=1的左右顶点为A,8,以 为 直 径 作 圆。，尸为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连4 3接P A交圆。于点。，设 直

4、 线 的 斜 率 分 别 为 匕，攵2,若 占=九&，则 几=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 2 分)已 知/(x)=|2 x +5|-x-g .(1)求不等式/(x).的解集；4 4(2)记/(x)的最小值为加，且正实数a/满 足-+-=a +b.证明：a+b.2.a-m h h-ma1 8.(1 2分)A A B C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,其面积记为S,满足2叵S =布-G 5.3(1)求A；(2)若gr(-b+c)=2 a,求巴2 +幺h2 +J2的值.be ac ab1 9.(1 2分)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(O

5、,c)，(c 0)关于直线l:x-y-2=0的对称点为例，且|尸M|=3也.若点P为。的准线上的任意一点，过点尸作C的两条切线P A P B,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线A3恒过定点，并求 Q48面积的最小值.2 0.(1 2分)已知函数/(x)=2|九一2|-加(加0),若/(%+2)()的解集为(2,2).(1)求加的值；-1 1 1 9(2)若 正 实 数b。满足。+2/?+3c =,求证：I-1之一.a 2b 3c 42 2 i ，a2 1.(1 2分)如 图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆 三+=1(。人0)的离心率为5,且过点F 为 I椭圆的右

6、焦点，A,8为椭圆上关于原点对称的两点，连接AR3 R分别交椭圆于C,。两点.求椭圆的标准方程；若A R =FC,求 处 的 值；F D设直线AB，CO的斜率分别为占，月,是否存在实数加，使 得&=加 占，若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.=1(人0)的焦距是2起，点P是椭圆C上一动点，点M,N是椭圆C上关于原点。对称的两点(与p不同)，若 直 线 的 斜 率 之 积 为-2(I)求椭圆的标准方程；(1 1)4 5是抛物线。2：/=4了上两点，且A,8处的切线相互垂直，直线AB与椭圆G相 交 于 两 点，求 0 8的面积的最大值.参考答案一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60

7、分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】结合指数函数及对数函数的单调性，可判断出-l a 0,-l,o l，即可选出答案.【详解】由 l o g0 3 4 l o g0 3 5=-1 ,即人 一1,又 一1 =l o g8 0.1 2 5 l o g s 0.2 l o g8 1 =0,即 一1 。1,即 c 1,所以b a 0,得xV4或x2,，A=x H +2 x-8 0 =x|x 2 ,由 o g i x vl,x 0,得 0V x V 2,A B-xlogix 1 =x|0 x 2 ,则年A =x-4x2 9故选：D.【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运

8、算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.6.C【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.【详解】由-=a+2i,得 1 +2i =a +2i,解得a=.l-2i故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题.7.D【解析】分析可得k 0,再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】2 2当人2 0时,等式区2 +y 2=4|。不是双曲线的方程；当k Q a=（4,2），Z?=（x,3）,al l b9.4X3=2X,即 x =6,故选：A【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标运算，属于容易题.10.C【解析】先作出函数/（X）在（-8,0 上的部分图

9、象，再作出/（无）=10 g“X 关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.【详解】先作出函数/（X）在（-8,0 上的部分图象，再作出/（X）=l o g,X 关于原点对称的图象，如图所示，当0。1时，要使函数/（X）关于原点对称后的图象与所作的图象有3 个交点,Ia 1-lo g 3 -1,解得9a625.-log(,5 G ,当=-1时取等号，所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.12.A【解析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即。力的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为c,由题意8e0,万

10、)又cos。=旦,则sin6=R 5,tan6=2,?=2,所以离心率6=亚,5 5。a V ya)故 选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.54万【解析】由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.【详解】解：因为轴截面是正方形，且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6V=7rr2h=x 32 x 6=54 r故答案为：54%【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.14.1【解析】根据复数运算法则计算复数z=+，根据复数的概念和模长公式计算得解.2 2【详解】a+i复数z1-i(a +i)(l +z

11、)(a-l)+(a +l)i a a+,(i-/)(i+z)-2-F+F12:复 数”是纯虚数.0+解得=】，:Z=i,，团=L故答案为：1,1.【点睛】此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.8-5.9【解析】先求出随机抽取a力的所有事件数，再求出满足a Wb的事件数，根据古典概型公式求出结果.【详解】解：从集合 1,2,3 中随机取一个元素，记为明从集合 2,3,4 中随机取一个元素，记为。，则(。的事件数为 9 个,即 为(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)

12、,其中满足a 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),共有 8 个，Q故 的 概 率 为【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数.1 6.-4【解析】2 Q根据双曲线上的点的坐标关系得即X心=-%；=一 ：=,交圆。于点。，所以P ALQ B,建立等x0+2 x0-2 x0-4 4式乐A =T，两式作商即可得解.【详解】设 P(x 0,%),A(2,0)3(2,0)予T=1，升=3传4汩Tk k=-_ _ _ _ _%=方=3P A P B/+2 x0-2 X02-4 4Q4交圆。于点。，所以P A _ L

13、Q 5._3易 知:4%二 n3 =x =_3kPA-kQB=-1%B 4kx 1 3即3故答案为：一二4【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 3 71 7.(1)一或 一7尸(2)见解析【解析】(1)根据/(x)=|2 x +5|-，利用零点分段法解不等式，或作出函数f(x)的图像，利用函数的图像解不等式；4 4(2)由(1)作出的函数图像求出f(x)的最小值为 3,可知机=-3,代入-+-=+。中，然后给等式a-mb b-ma两边同乘以G

14、+力，再将4。+4人写成(。+3份+(3。+加 后，化简变形，再用均值不等式可证明.【详解】(1)解法一：1 用，一二时，/(X).1,即X.1 解得不，.-；2 2 25 1 9 7 12 x 一时，f().11 即 3 x d .1 9 解得,x ；2 2 2 6 23 X.时，f(A?).1 ,即 X d-.1 9 解得 X.2 2 2综上可得，不 等 式 的 解 集 为 x l x,或XI o 5 I解法二：由/(x)=|2 x+5|-x-=3 x +,-2cx ,作出/(幻图象如下:由 图 象 可 得 不 等 式 的 解 集 为jx|T 或工-一(2)由/(x)=|2 x +5|_

15、x-g1 12523 x+|,一51 x 2,得证.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.此4专；3+孚【解析】(1)根据三角形面积公式及平面向量数量积定义代入公式，即可求得t a n A,进而求得A的值；(2)根据正弦定理将边化为角，结 合(1)中A的值，即可将表达式化为3的三角函数式；结合正弦和角公式与辅助角公式化简，即可求得8和C,进而由正弦定理确定a:A:c,代入整式即可求解.【详解】(1)因 为 毡5 =而京，3所以由三角形面积公式及平面向量数量积运算可得百be sin A =0 c c o s (乃 -

16、A)=-be cos A所以 t a n A =因为0(2)因为6 为+c)=2 a,所以由正弦定理代入化简可得G (s in 3+s in C)=2 s in A =石，由(1)A =,代入可得G s in5 +s infB +|=G,3 L I 3 )展开化简可得百 s inB +-c o s/?=6,(2 2 J根据辅助角公式化简可得s in(8 +?)=1.因为08工，所以8 =9,所以C =2，3 6 6所以 A A B C为等腰三角形，且 a:b:c =s in A:s in 8:s in C =0：1:1，a2 b1 c2。G 百。26所 以 一+=3 +=3 +-be ac a

17、b 3 3 3【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，平面向量数量积的运算，正弦和角公式及辅助角公式的简单应用，属于基础题.1 9.(1)V=4y(2)见解析，最小值为4【解析】(D根据焦点/到直线/的距离列方程，求得c的值，由此求得抛物线的方程.(2)设出A B,P的坐标,利用导数求得切线PA,P B的方程，由此判断出直线AB恒过抛物线焦点F.求得三角形P A B面积的表达式，进而求得面积的最小值.【详解】(D依 题 意 =归尸=芈，解得c =l (负根舍去)y/2 2.抛物线C的方程为-=4y(2)设点A($,%),8(%为)，?(由*2=4 y,即 y 尤2,

18、得 y，=g x.抛物线C在点A处的切线P A的方程为y-X=(x-玉)，即 =色+%1xV)|=一#,.y=必 点 P(/,-l)在切线 P A 上，4 2-J 5 r-y i，同理，-1=/，-必综合、得，点4(%,凹),8(马必)的坐标都满足方程-1=，-八即直线AB:y=：x+1恒过抛物线焦点F(O,1)当f=()时，此时P(O,T),可知：P F A B2当EWO,此时直线。尸直线的斜率为A-=-，得。尸，AB于是S.=J a r iA B I,而|PFbJ(f 0)2+(一1 一把直线y=”l代入f=4 y中消去X得y2(2+/)y +l=OAB=1+%+2卜4+/，即：s=g(4

19、+产)14+=3(4+产 尸当/=()时，S“4B最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题,考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.20.(1)，%=4；(2)证明见详解.【解析】(1)将不等式/(X+2)()的解集用2表示出来，结合题中的解集，求出”的值；(2)利用柯西不等式证明.【详解】IT1解：(1)/(x+2)=2|x|-m 0,x 9m m.-x 92 2因为/(x+2)a 2b 3c-4当且仅当。=一4，b=2,c=4,等号成立.3 3 9【点睛】本题考查了绝对值不等式的

20、解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.2 2 7 V21.(1)+-=1 (2)-(3)加=二4 3 3 3【解析】试题分析：(1)+?=1 ；(2)由椭圆对称性，知所以3(-1,一 斗，此 时 直 线 方 程 为 标 一4)，-3=0,故 而=丁 二-=5(3)设则B(一不，一%)，通过直线和椭圆方程，解得-17 8-5/-3y0、5 2X Q 5 2XQ)0(8+5%5+2x03%-3y0C言),所以5+2/送:”爱=1，即存在加=93+M _ 3-()3x0 3 35+2x0 5-2x0试题解析:(1)设 椭 圆 方 程 为 与+乌=1(。0),由题意知:a b解之得:4=2

21、by所以椭圆方程为:=12 2I 43a 21 9/+市(2)若 瓶=/0,由椭圆对称性，知所以3(一1，一此时直线BF方程为3x 4y 3=0,3x-4y-3=0,由%2 V,得7/一61-13=0,解得=一(x=-l 舍去),-1-=1,74 3B F 1-（-1）7故 而 一 13 一.-17（3）设 AG。,%）,则 3（-,一%），v 2 2直线AE的方程为）=-7（X-1）,代 入 椭 圆 方 程 工+匕=1,得x（）T 4 3（15-6亦2-8y；-15x；+24%=0,因为x=x0是该方程的一个解，所以C点的横坐标%=8 5XQ5 2%0又。（七,%）在直线y=Pl（x-i）上

22、，所以先=/（七一1）=言2,同 理 。点坐标为（/E8+5为）看3yn、）即存在加=3,使得,=3占.3-3r2 222.(I)+2_=1 ；(II)V24 2【解析】（I）设点P,M,N的坐标，表达出直线PM,PN的斜率之积,再根据P,M,N三点均在椭圆上，根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.（H）设直线A B的方程为y=k x+m，根据直线P M ,P N的斜率之积为-L可得机=1,再联立直线与椭圆的方程，表达2出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】（I）设（冷 乂），（%2，%），（一马,一%）则 5 =4 5 =一1，2 2 2 2 2 21,故土小与与a b

23、 xx x2故/=2，又 2 c =2及 n4/=2,故/=4,/?2=2.2 2故椭圆的标准方程为王+汇=1.4 2（I I）设直线A 8的方程为 =+，4（%,凶）,6（%2，%），。（七，%），台（%4，乂），由，y =Ax+m2 )=32-4日一4机=0,故%+%=4攵，工2二 一4加x=4 y2又。,：/=二，故y =三，因为A8处的切线相互垂直故土 =-l n m =l.-4 -2 2 2故直线A B的方程为y=kx+l.联立y=+1x2 j n(l+2X X+4 履-2 =0.T+T=1故 X3 +%4 =一4k2T72F,X3%4=I72F,故 心C D=；X1 X|七一%2 I=；J（X|+工2）2-4中2，代入韦达定理有S,OCD在2+-1 +2二=2&=2及/2夜=5设”向7石2 1,则 。一 下 石 一1 r TT 当且仅当（,=时取等号一t+2t-t故Q C D的面积的最大值为V2.【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题，需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.