2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点11：等体积法求点面距离综合专练（教师版）.pdf

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1、考点1 1:等体积法求点面距离综合专练（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.圆台。如图所示，AC为圆。的一条直径，B为圆弧AC上靠近点C 的一个三等分 点,若 上O ,O、A=O、C=2桓,则点A到平面CBO1的距离为（）A 4 2V2T 2币 n 4721A.B.-C.-D.-7 7 7 7【正确答案】D【思路点拨】本题首先可连接AB、BC、。、B0,由题意易知。，底面A B C,然后求出三棱锥。尸 48（?的体积丫=生 叵，再然后设点A 到平面CB。的距离为 ，最后通过等体积法3即可得出结果.【步步为营】如图，连接力8、BC、。、B0,易知底面48C,因为q4_L O C，O、A

2、=OC=2叵,所以AC=4,。=2,因为8 为圆弧AC上靠近点C 的一个三等分点，所以ZB0C=2，Z B A C =,rr因为AC为圆。的一条直径，所以NA8C=5，AB=2。BC=2,因为O O J 底面A B C,所 以 三 棱 锥 ABC的体积仓 426仓 22=竽，因为。是圆Q 的圆心，A、B、C 都在圆。上，所以0田=。0 =0田=2应，因为。田=2 0,0 0 =2亚，8C=2,所以。回=(仓 必 J(2&-2=近，设点A到平面CB。的距离为d,由等体积法易知 仓 诉 d=处,解得d=生 包，3 3 7故选：D.【化龙点睛】关键点点睛：本题考查点到平面距离的求法，可通过等体积法求

3、解，能否求出三棱锥q-A B C 的体积是解决本题的关键，考查计算能力，体现了数形结合思想，是中档题.2.如图，正方体ABC。-A B C。的棱长为2,M 为棱R G 的中点，N 为棱CG上的点，且 CN=a(0 a,8。A=。，所以 BQ _L 平面 QCG A,这是不可能的，故错误.利用等体积法匕，一如=匕-皿3 BN=DN=亚,50俗=3、2无 x6=,1X-LX2X2X1=1X76X/Z,解得：h=,求得点C 到平面BW的距离为 如，故3 2 3 3 3正确.连接BG，AQ,A M u平面A B C Q,点B e 平面A B C Q,点N8平面A B C Q,利用异面直线的判定定理“过

4、平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面”,故正确.3.在棱长为的正方体ABC。-4 用G R 中，E,F,G 分别是A 3,AA,A4 的中点，则点3 到平面EFG的距离为（）.1%A.-a B.a C.D.-J3a22【正确答案】B【思路点拨】在正方体中构造三棱锥3-EFG,用等体积法计算点到面的距离【步步为营】如上图所示，三棱锥8-瓦 G可以换底为三棱锥E-3FG,此时，底面积5=/一）=），高 为 在=9，所 以%;=上）,*=23,三角形瓦6中,o o 2 3 8 2 1 b1 2 1 2 3 2r r r r -a 4a c i EF =F G =-a,E G=-a,

5、根据余弦定理，c os ZE F G =，所2 2 2 xla2 22以 s i n /.EF G =,23/s E F C=-x-a2x -=-a2,根据等体积法得:点B到平面E F G的距离d =%=为 2 2 2 8 V 3 2 c i8故选：B4,在三棱锥A-B C D 中，A C，底面B C D,底面3 C O 是正三角形，A C =a,Z A B C =30 9则点。到 平 面 曲 的 距 离 是（）A 6 口 3 /1 3 岳 n V 1 3A.c i B-c i V.-c i O.-c i51 3 5 1 3【正确答案】B【思路点拨】由题意先求出A B,B C,再用等体积法即可

6、求解【步步为营】如图,AD由 X A B C=3 0,A C =a ,可得 A B =2a ,B C =y j_ 3a，又底面B C D 是正三角形，故 B C =B D =D C =6 a,A B =A D =2a,取 8 ）的中点 E,连接 AE,则易得 5.A E=y l A B2-B D2=a,2由匕生。=匕MM，设点C到平面A B D的距离为d,则可得到-x -x y j3a x g a x -x a =-x x 6 a x a x ,3 2 2 3 2 2求得d =1叵 a1 3故选：B5.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的

7、距离之和为（）”.A.定值 B.变数C.有时为定值、有时为变数 D.与正四面体无关的常数【正确答案】A【思路点拨】三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的，类彼此可利用四面体的体积相等求得棱长为。的正四面体内任意一点到各个面的距离之和.【步步为营】解：边长为“的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的,由此可以推测棱长为。的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到.方法如下，如图，在棱长为。的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为九，h2,h,h4.正四面体A-3CD的四个面的面积相等，均为3高 为 逅4 3由体积相等得：轴+由+h招

8、八；4喈a.所以4+4 +%+用所以正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值.故选：A.6.已知直三棱柱ABC-ABg的各棱长均相等，体积为2石，M为AB中点，则点M到平面A8,c的距离为（）【正确答案】A【思路点拨】根据三棱柱的体积求出棱长，设M到平面A8C的 距 离 为 利 用乙一的。=匕一4晒 以及棱锥的体积公式即可求解.【步步为营】直三棱柱ABC-A4 G的各棱长均相等，设棱长为。，因为体积为2 6,所以V=走。2七=2 6，解得：。=2,设点M到平面A4C的距离为，因为=2,C B、=C A=2 6,所以AABC中，AB1边上的高为/2夜F=为,则黑 的 2 x 4 =7 7，取AB

9、的中点H,连接C ,则CMLA8,因为4 A l面ABC,C u面A 8 C,所以抽，。7,因为 44,048=4,所以 C“JL 面 在“LBC 中，C H =6，由 Vw-A4C=1M，即 小 5.吩=-C H 1M 即、小近 X百x、2xl,3 3 2解得j考故 点 M 到 平 面 A g e 的距离 为 叵，7故选：A.7.已 知正方形A 3 C。的 边 长 为 4,C G L 平 面 A B C。，CG=2,E、尸分别是4 8、AD的中点，则 点 8 到 平 面 G E F 的 距 离 为（,而A.-11【正确答案】BB,迎11 3日1 1D.也11【思路点拨】设出点面距离，利用%一

10、防=%_ “，结合几何体的特征，即可用等体积法求得点面距禺.【步步为营】GE=GF=A/22+42+22=424=246 EF=J*+展=瓜=2日所以久 GEF=；XE FXGE2-EF2-X2 XV22=2VH.2由 V =VBX 得；X 2而 X =3 =*.故选：B.8.如图，在长方体A 8 C O-A 4 C Q中,A B =4,B C =2,C C,=2,E是 8 的中点,求。到面A E B的距离为（）【正确答案】BB,亚3D.G【思路点拨】连接8D,由%.8明=%-8扪，结合棱锥体积公式即可求。到面O g B的距离.【步步为营】连接 BD，则 VD-BED1=t -B ED 由题设

11、知：B E=2y/2,DE =2y/2,8 =2后，.B E%中，8R上的高为 正，则5血。=26，4又S .BED=2,。=2,即%一 孙=%.口=屋 若。到面*8的距离为心:.”上 号,得=乎.故选：B9.如图，在四棱锥P A B C。中，底面A 8 C。是矩形，P A J _平面A B C。，PA =A D=4,AB=2,以AC的中点。为球心，AC为 直 径 的 球 面 交 于 点 交PC于点N.下列命题：平面回“，平面PCD；直线8 与平面ACM所成角的余弦值为赵二面3角A-P C-O的余弦值为典其中正确的个数有（）A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】D【思路点拨】：根据已知条件

12、可知，AM_LMC,C D A.A M ,故AM J_面PC。，即平面ABML平面 PCD；：要求直线8 与平面ACM所成角的余弦值，只需求点。到面AMC的距离为人即可:：根据题意可知，NAN。即为二面角A-P C-。的平面角，再结合解三角形即可求解.【步步为营】：因为AC为 直 径 的 球 面 交 于 点，所以又因为PAJ平面ABC。，所以PAJ_CD,又因为 a）_LAO,所以 CD1面 P A D,则 C_LAM,所以4W J_面P C D,所以面ABM _L面PC。；故正确；：由知：A M Y P D，又因为F4=A O=4,所以点M为PZ）中点，且4M=2 0，易得：M D =4应，

13、C M =25/3,所以 SAAMC=2娓,1 Q设点D到面A M C的距离为h,则 有%一.c=V oc=-X2X4=-,所以有gx26x/z=|,得到/,=半，设直线CD与面ACM所成角 为%则有sin0=2=，得到cos=立；故正确；C D 3 3：连结A N,过点N 作 N Q 工P C 交 P D 于点Q,连结AQ；易得PC=6,AC=2小,因为AN J_ PC,N Q L P C,所以N4V0即为二面角A-PC。的平面角，同时得到P4N 4P C 4,则 有 纵=转=空，所以PN=2,AN=K 5,PA PC A C 3 3在RtZVWQ中，瞿=黑=2,得到。=延，从而PQ=2&=

14、P M,即点。与MPN PD 4。2 3重合,所以在AAVQ中，。=逑，AN=,A Q =2四,由余弦定理可得：co s NA NQ =色，故正确；1 0综上：选D.故选：D.【化龙点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.1 0.已知正方体A B C O-4 B C A内切球的表面积为兀，P是空间中任意一点：若点尸在线段A。上运动，则始终有Cf L CB i；若M是棱GA中点，则直线AM与C G是相交直线；若点P在线段AA上运动，三棱锥。-B P G体积为定值；E

15、为/W中点，过点4,且与平面A 8 E平行的正方体的截面面积为包；2以上命题为真命题的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【正确答案】B【思路点拨】根据线面垂直的性质定理证明是真命题；由图可知直线力 与e g是异面直线，故是假命题；利用等体积转化法得到三棱锥B P G体积等于三棱锥C-B P G的体积，接着求点到平面的距离和底面面积，从而证明三棱锥O-BPG体积为定值；做出过点名，且与平面A 8 E平 行 的 正 方 体 的 截 面 为 面,最后求其面积即可.【步步为营】因为正方体A B C O-A B C A内切球的表面积为兀，设内切球的半径为r,则4%产=万，解得r=g,所以正方体A

16、B C。-ABC。的棱长为2 r=1,因为 C4 _L B C，CB|J.A B,且 BGnA8=B ,所以C瓦，面 ABC Q,因为C/u面ABGD，所以C/_L CB 1 恒成立，故是真命题；由图可知，直线AM 与C G是异面直线，故是假命题;由图可知：因为C O 8 P G，三棱锥D-BPG体积等于三棱锥C-8PC 的体积,由知物而叫所以C 点到面般的距离 为 冬因为动点P到宜线8G的距离等于1,所以小 PG的面积等于_ l x&x i=也,22所以.8 S=g x 孝 x#=:，故棱锥O-BPG体积为定值，故是真命题;取 A A 中点为M ,8c中点为N,连接BM，MD,D N,片N

17、,因为 B M“B E,B NA E,所以面 g M O N/面,所以过点4 ,且与平面ABE平行的正方体的截面为面4M 0N,由图可知面B|MN是菱形，其中对角线长为与。=J5,M N=&,所以S/s v=g x 6x&=手，故是真命题；真命题的个数有3 个，故选：B;【化龙点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题_ _ 711 1.如图所示

18、的三棱锥P-A B C,摩，平面ABC,ZABC=-,若 PA=a,AB=c,PB=10,BC=2不，当前取最大值时，点A到平面P8C 的距离为.【正确答案】5【思路点拨】首先利用/+,2=100，求出碇的最大值，即6 c 的值，再利用等体积求点A 到平面PBC的距离.【步步为营】2 2PA a,AB=c,PB=10,a2+c2=100,A ac.-xlx5/2x2/7x5/2=-x-!-x2xl0 x/i,3 2 3 2解得：h=5,即点A 到平面PBC的距离为5.故答案为：5【化龙点睛】关键点点睛：本题考查等体积求点到平面的距离，以及基本不等式的综合应用，本题的关键是利用基本不等式求得，c

19、 的值.1 2.已知棱长为2的正方体ABC D-A/GA,点 E为 AA的中点，过 B,E,。|三点的平面截该正方体所得的截面记为若点P ec则线段用P长度的取值范围为【正确答案】半,2 四【思路点拨】利用面面平行性质作出裁面求出四棱锥5-A EBF的侧棱长，高可得结论.【步步为营】如图，设平面。与平面C D D G 交于RF,尸在CG上，又平面b与平面A8 耳A 交于直线BE,平面A BBA 与平面C C 平行，所以B E/R F,同理 E/8 F,乌仍尸是平行四边形，C F=,8 尸-B C?=DE -RA；=&E,是 中 点，易得F是CG中点.正方体棱长为2,则 B E=BF=布,BR=

20、2&B B,=2,侧棱长最大为2 0.设棱锥片-A E B 尸的高为人B F =D 1 F =E BR=2 6!S R 的边 8 乌上的高为，=J（）2 _（G）2=血,S；叫F=；X3 RX/?=；X2/5X&=，%如尸=；x S：叫”G=g g x2x 2x 2=；所以 t iXF=S,B a Fh=h=Va B I,F ,h=-,/l t S L r 3 I D L r 3 z|o o j r 3 32 1 6 所以3 f的取值范围是，一2尤.2%-故答案为：二-,2近.1 3.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的

21、三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖膈是四个面均为直角三角形的四面体.在如图所示的堑堵A 3 C-A 8 c 中，已知 AB=BC=4,AC=4 五,若阳马 G-的侧棱 GA=8,则鳖膈G-A8C中，点 C 到平面CtAB的距离为.【正确答案】侦3【思路点拨】由 勾 股 定 理 得 到 是 等 腰 直 角 三 角 形，利用线面垂直的性质可得CG_LAC,分别求解GBA和AABC的面积，然后由等体积法%列式求解即可.【步步为营】解：由 AB=BC=4,AC=4 4 2,则 AB?+BC?=AC?,所以 ABJ_5C,故 是 等 腰 直 角 三 角 形，在三棱柱A BC-A U

22、G 中，平面A B C,且 ACu平面A B C,则CG A C,在用中，AC=4应，C/=8,所以 C1C=4 0,故在RtZiGCB中，1 8 =46，贝 IJSc的=；-AB-G8=；x4x4石=8百，SA718C=1-AB-CB=1X4X4=8,设点C 到平面c 8 的距离为乩由等体积法.cj=%.A 0 c，可得 ,SFGBA，d=S*8c.C G，解得d=孚，所以点c 到平面GAB的 距 离 为 华.故答案为：生生.31 4.如图，直四棱柱ABS-ABIGR的底面是菱形，AA|=4,AB=2,Z4=60,E 是 8 c 的中点.则点C 到平面C、DE的距离为【思路点拨】根据题意求得

23、三棱锥G-8 E 的体积，再求出G O E的面积，利用匕=C-CjDE 求得点C 到平面C Q E的距离，得到结果.【步步为营】在菱形A8CD中，E 为8 c 中点，所以E_L8C,根据题意 有 小=疗#=5 GE=2+I2 =历,由直棱柱得OELCG，8 C n C G=C,.)E_L平面8 C C#,所以O E L E G，所以5初四=g x 有设点C 到平面C Q E的距离为d,由等体枳法 知%一 8=匕 YQ E ,贝|J有,x!x 6 x 5/F 7 x d =x x l*百 x 4,解得d=3 3 2 3 2 V17 17故答案为：出 叵17【化龙点睛】思路点睛：该题考查点到平面的

24、距离的求解，利用等积法求点到平面的距离是常考的内容，考查学生的转化思想与运算求解能力，属于一般题.15.如图，点C 在圆锥P 0 的底面圆。上，A8是直径，AB=8,NB4C=30。，圆锥的母线与底面成的角为60。，则点A到平面P8C 的 距 离 为.【正确答案】8 叵5【思路点拨】先根据题意得到各棱长的长度，再利用等体积 法 匕=匕 一 me求解点A到平面P B C的距离d 即可.【步步为营】依题意可知，底 面 直 角 中，AB=8.BC=4,AC=4百，PO_L底面A fiC,圆锥的母线与底面成的角为60。，即NPB4=60。，故P C =PA-PB=A B=8,P O =4 6），设点A

25、 到平面P B C的距离为d,则利用等体积法%_ 树=匕/BC，I!XX4X45/3JX4/3=-x x 4 x 5 2 j x i/故答案为：巫.5解得公鸣16.如图，在长方体中，点尸，0 分别是棱8C,C O 上的动点，BC=4,CD=3,CC=2y/3,直线C C 与平面P Q C 所成的角为30。，则 P 0 C 的面积的最小值是一.【正确答案】8【思路点拨】设三棱锥C-C P。的高为，CQ=x,C P=y,由体积法求得,X,y的关系，由直线CC与平面C，PQ 成的角为30。，得到x比8,再 由 幺 2=%，0 2，能求出4/5。的面积的最小值.【步步为营】解：设三棱锥C-C P Q

26、的高为/?,CQ=x,CP=y,由长方体性质知CC,C8,C两两垂直，所以PQ=“2 +y2,PC =7 7+1 2 =&+1 2,c o s/p c。=P C/Q C Q 2 =3 +12+/+12 一 （八 丁）=122PC QC 2&+1 2 0 +12 yl（x2+U）（y2+2），sin ZPCQ=71-cos2 ZPCQ=x2y2+I2x2+12y2(x2+12)(/+12)所以 CPQ=CP CQsin ZPCQ=；y/x2y2+12x2+12y2,由 C-CPQ=C-CPQ 得 *lx 2y2+12x2+12y2-/z=-x xy-2 G ,“1111所以小L尸口.直线CC与平

27、面CPQ成的角为30。，：.h=2扃g 0。=6,1 I 1 1 1 2,-1-+-*x2 y2 4 f x2 y2 孙,*xy8,再由体积可知：Vc CPQ Vc-CPQf得 hSqpQ=，X 2由 肛,SA cPQ=xyf3 6PQC的面积的最小值是8.故答案为：8.1 7.在正三棱柱A B C-A B C 中，若 期=收 他=2&，则点A倒 平 面 A8。的距离为【正确答案】双 四11【思路点拨】画出图形，采用等体积法由匕 I-A 8C =1-A A C 即可求解【步步为营】如图，由等体积法可得“EC=!T M，又BB=6AB=2 O,故45=8C=AC=2,的=C B 尸 亚+（2 q

28、=2+,再作BC中点）,连接用。，B D,则 4。=/不 _4 2 =，2-1=布,B D =6，因为A B C-A 4G 为正三棱柱，所以B D 为四棱锥M-AAC的高，设点4到平面ABC的距离为力，则9 c=gxgx2xT x，匕1f A e=gx；x 2 x 2及 xg,联立可得=,故答案为：2 叵111 8.已知四面体有五条棱长为3,且外接球半径为2.动点尸在四面体的内部或表面，P到四个面的距离之和记为s.已知动点P 在 4,2 两处时，s分别取得最小值和最大值,则线段P A长 度 的 最 小 值 为.【正确答案】题14【思路点拨】设四面体为A3C。,其中AO=8O=BC=A8=AC=

29、3,取C。A 8 的中点分别为E,F,求出EF的长，将点P到四个面的距离之和记为s,转化为到其中两个面的距离，利用等体积的方法分析出距离之和的最值，从而得到线段勺鸟长度的最小值为CO,AS h两点间的距离的最小值，得到答案.【步步为营】四面体为 A8CO,其中 A。=8。=3C=AB=AC=3,设C。=2x.取CRAB的中点分别为E,F,连接。C F，如图.在等腰三角形A82 ABe中，有FD，AB,FC，AB.所以AB _L平面CDF,又F为AB的中点.则四面体ABC。的外接球的球心。定在平面C D F上.同理可得四面体ABC。的外接球的球心。一定在平面4狙上.所以四面体A3C。的外接球的球

30、心。一定在EF上.连接 0 C,0 8,设 NEFC=9.在直角三角形08尸中，OF=dOB?-B F。=4-2=亚.V 4 27 27.一“.OF2+CF2-OC2 4+T-4 3在二角形 中，cos-2.0F CF 4 而,2x x-2 2在直角三角形/;C中,EF=CQcos9=.14所以CE长为定值，8 的长为定值.根据条件有SAACD=S/C D，设为SI,S JB D =SAC 45，设为$2设点P到四个面4。,3 8,“16、。的距离分别为4，4 4，4.设四面体ABC。的体积为V（为定值）由等体积法有：v=+4）4+4）$2所以+&一（小3V所以=4+2+&+a =3V,4,、

31、不+1(4+4)2 1 d2 7当点尸在c o上时，4+4=。最小.当点P远离8 时，4+4的值增大,由等体积法可得当点P 在 A 8上时，4 +4 的值相等，且此时4 +4 的值最大.所以当点P 在CO或 A 3上时，,取得最值.故线段耳巴长度的最小值为CO,A B上两点间的距离的最小值.由上可知，E F 1 C D,E F 1 A B.所以CQ,A 8上两点间的距离的最小值为EE=%巨.14故答案为：也.14【化龙点睛】本题考查球的内接问题和空间点到面的距离之和的问题，以及等体积的方法的应用，属于难题.1 9.已知正四面体ABCD的棱长为9,点尸是AA 8 C内（含边界）的一个动点，满足尸

32、到平面D 43、平面O8C、平面。C 4的距离成等差数列，则点P 到平面。的距离的最大值为.【正确答案】2底【思路点拨】根据题意，设动点尸到平面D4B、平面。BC、平面。C 4的距离分别为九,%小,正四面体ABC。的棱长为9,求出每个面的面积为S=生 叵，高九=。0 =3痴，由正四面体4ABCD的体积得到九+色+用=3#,再由满足尸到平面D4B、平面。BC、平面。CA的距离的成等差数列，即可求出点尸到平面0 c 4 的距离最大值.【步步为营】解：设动点P 到平面ZM 3、平面O 8C、平面QCA的距离分别为 .正四面体A8CZ）的棱长为9,每个面的面积为S x9x9xsin60o=,2 4如图

33、，取 BC的中点E,连接A E,过。作 DO _L平面A B C,垂足为O,贝 IJ 4 O =2A E=2 J 8 1-=3 6，3 3 V 4:.高h=D O =781-27=3A/6 ,正四面体ABC。的体积V=；S/7=；5（/J,+均+%），.%+4=3/6.满足尸到平面。AB、平面0 8 C、平面。CA的距离的成等差数列,.l+h1+hi=3%=3/6,;.%+%=2 瓜,点P到 平 面DCA的距离最大值为2瓜.故答案为：2底.【化龙点睛】本题考查点到平面距离和利用等体积法解决点面距离问题，涉及正四面体的结构特征和体 积，考查空间想象能力和计算能力.2 0.正 方 体4 B 8-A

34、 8 C Q中，E是 的G R中点，M是 线 段AE上的一点.给出下列 平 面ABC。中一定存在直线与平面ACM垂 直；平 面4OR A中一定存在直线与平面ACM平行;平 面AORA与 平 面ACM所成的锐二面角不小于45。；当 点M从 点A移 动 到 点E时，点。到 平 面ACM的距离逐渐减小.其中，所有真命题的序号是.【正确答案】.【思路点拨】对于：利用反证法进行证明；对 于 :过M作MN垂 直4 9于N,在AC上 取 一 点。，过。作P QL AD于尸，且PQ=MN.可 以 证 明N P/面MAC即可判断；对于：当 M 与4 重合时，N D 4C即为二面角的平面角，此时/D4C=45。.

35、当 M 与 4向 E 移动时，平面与平面ACM所成的锐二面角在增大，所以平面AOAA与平面ACM所成的锐二面角不小于45。；即可判断；对于：当 M 与 4 重合时，D 到面MAC的距离最大，当当 M 与 4向 E 移动时，点。到平面ACM的距离逐渐减小.即可判断【步步为营】对于：假设平面ABCD中存在直线LL面ACM,则由面面垂直的判定定理可得：面A B C D，面ACM.而在正方体A B CO-A BG A 中，面 A3C。，面ACGA.因为E 是的G。中点，M 是线段A E 上的一点，所以面ACGA与面ACM不重合，所以过A C有两个平面ACGA和 ACM均与面A3CO垂直，这与过平面内一

36、条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，故假设不正确，所以错误；对于:过M 作 MN垂直于N,在4 c 上取一点。，过。作PQA.AD于 P,且PQ=MN.则有尸。M N,所以四边形MNP。为平行四边形，所以MQ/NP,又 N P a 面 MAC,M Q 面 MAC,所以NP面MAC.D 1 E y J故正确.对于：当M 与 4 重合时，N D 4C 即为二面角的平面角，此时/D4C=45。.当M 与4向E 移动时，平面与平面ACM所成的锐二面角在增大，所以平面A D D A与平面ACM所成的锐二面角不小于45。；故正确.对于：当 M 与4 重合时，D 到面MAC的距离最大，当当M 与4向

37、 E 移动时，点D到 平 面AC M的距离逐渐减小.故正确.故答案为：【化 龙 点 睛】立体几何解答题的基本结构：（1）立体几何证明题一般是几何关系的证明，用判定定理；（2）立体几何计算题一般是求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算.三、解答题2 1.如 图，已知点尸在圆柱。的底面圆。上，Z A O P =n O,圆0的 直 径A B =4,圆柱 的 高。=3.（1）求 点A到 平 面A尸。的距离;（2）求 二 面 角 的 余 弦 值 大 小.【正确答案】（1）（2）空.2 7【思路点拨】（1）根据等体积法，由匕T8=匕 一A 8即可求出点A到 平

38、面A P。的距离;（2）先证明P BVAA,由线面垂直的判定定理可得P B 面A A/,进而可得4私 即为所求二面角的平面角，在R t A A P A中，计算c o s N A P A =,即可求解.【步步为营】(1)因 为 例=O O|=3,A O =；A B =2,所以 A O =y/A A +A O2=A/32+22=V 13,在AAOP中，由余弦定理可得:AP=A O+OP-2AO-OP-cos 120=+2?-2 x 2 x 2x(-；=2百，所以=+=6 2+(2百 y=万,OP=2,，-A n n I 人什士丽一 r/a/s A,P2+OP2-A.O2 21+4-13 历在 O

39、P 中，由余弦定理可得cosZAPO=2_OP=忘弧所 sin Z 4P 0 =y-cos2 ZAtPO=-,所以S =3 技x2x苧=2 6设点A 到平面A尸。的距离为d，由9 -AOP=VA-AtOP,得 八 尸.AA)二 SAAQP,d，g p lxlx2x2/3x-!-x3=-x 2 V 3 x J,3 2 2 3解得：3d =j,所以点A 到平面AP O的距离为|；(2)二面角 A-PB-O 即二面角 A-P B-A,因为4 8 是圆。的直径，点尸在圆柱。的底面圆。上，所以P3_LAP,因为AAJ面 他 P，P 3 u 面 4 卯，可得P8_LAA，因为A P c A 4 1=4,所

40、以 3_1_面 4 4 尸，因为4/u 面 4 尸，A P u 面 AA。，所以尸3_LAP，PBA.AtP,所以N A 即为二面角A-P B-。的平面角，在 RSA/A 中，=后,AP=2y/3,4 2 小ox A P 2 6 2百所以8 s 幺*丽=百=亍，所以二面角A-P B-。的余弦值为毡.72 2.如图，四棱锥S-ABC。中，54=2 6,5。=#,底 面 4 5 8 是面积为18的正方形,点M,N 分别在线段SA。上，且S登M=C夫N=1?SA CD 3SM(1)求证：直线M T V/平面S B C；(2)若平面S A。，平面A B C。，求点8到平面S CO的距离.【正确答案】(

41、1)证明见解析；(2)25【思路点拨】(1)取线段B S上靠近B的三等分点L,连接M L,C L,通过线段比例关系证明M L H C N且M L =C N,可得四边形M L C N为平行四边形，得M N H L C,由线线平行推线面平行，即得证；(2)设点B到平面S C。的距离为“，等体积法，由BCD=%TCD得 耽 D-S H=；S&scD.d,运算即得解.【步步为营】(1)证明：如图，取线段B S上靠近5的三等分点L,连 接 刈,CL,=ML/AB 且 M L =2 A BSA SB 3 32AB/CD,CN=-CD,:.M L H C N 且 M L =C N3四边形M L C N为平行

42、四边形，得MN/LC,L C u平面 SBC,M N 为菱形即 N C A O,2 2:.M E U N C旦M E =N C,即M E C N为平行四边形，故M N UE C,又M V(Z面。C D,E C c O C D,则脑V平面。C O；(2)由A 8 C D为菱形，知：A B/D C,故异面直线A 8与例。所 成 角 即 为,连接M C,A C,又ZA B C =X，贝IA C?=AB2+B C 2-2A 8-8CCOS壬 =2-V ,4 4又O A L平面 A 8 C Z),A。,4 7 C e 0,工 ,故2 M D D C 2 V 2 2 2Z MD C =.3(3)连接8。，

43、则%“c o=匕-g ，由(2)可知：O C 2=6-五,O D2=5,.c os。=、-。、岑=叵,B P s i n ZO D C =2 O D D C 2 V 5 1 0 1 0,*S 0 C D=-0 D-D C s in Z O D C =，而 S%=也，若 8 到平面 0 c o 的距离为 ，1123 O A ,S BCD=,d，S 0c口，即 d =.DCLZ3 A(7C U 32 4.如 图1,平面四边形A B C。关于直线A C对称，ZA =6 0 ,Z C =9 0 ,C D=2.把A 3。沿8。折 起(如图2),使二面角A-B D-C的余弦值等于3.对于图2,完成3以下各

44、小题：(1)求A、C两点间的距离；(2)证明：A C _ 1平面B C D；(3)求直线A C与平面4双)所成角的正弦值.【正确答案】(1)2；(2)证明见解析；(3)虫.3【思路点拨】(1)根据题意取B O的中点E,容易证明N A E C是二面角A-8 O-C的平面角，进而求出结果；(2)通过勾股定理证明A C _ L 8 c A e _ L 8,进而通过线面垂直的判定定理得到结论;（3）先通过等体积法求出点C 到平面 般 的 距离，进而根据线面角的定义求出线面角的正弦值.【步步为营】（1）由题意，8 8 是以C 为宜角，直角边边长为2 的等腰三角形，A8）是边长为2&的正三角形.如图，取5

45、。的中点E,连接AE,CE,由 AB=AO,C5=C）,得：AE 工 BD,CE 上 BDNACE就是二面角A-3）-C 的平面角，,.r-.cos Z.AEC=.3在A4CE中，易得AE=&,CE=4 2,由余弦定理：AC2=AE2+CE2-2AE CE-cos ZAED=4cosZAC=,:.AC=2.3（2）由 A8=A）=8O=2&，AC=CD=BC=2,AC2+BC2=AB2,AC2+CD2=AD2,ZACB=90,ZACD=90，,AC J.BC,ACLC D,又 BC cC D =C.ACL平面 BCD.（3）设点C 到平面 曲 的距离为，C-ABD=A-BCD.-xlx2/2x

46、2/2sin60o-/j=-x lx 2 x 2 x 2,/j=.3 2 3 2 3于是AC与平面 他 所成角。的正弦为sin，=4-=走.AC 32 5.如图，在四棱锥中，AABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，AB=2,ZABC=1 2 0,点 E 是 8 s 的中点.DS（1）求证：S。/平面ACE；（2）若平面A8S_L平面ABC。，求点E到平面AS。的距离.【正确答案】（1）证明见解析；（2）巫.5【思路点拨】（1）连接5。交AC于F,利用中位线易得EFS,进而利用线面平行的判定定理即可证明；（2）取A8中点0,利用面面垂直得OO1平面A3S,从而可求得力_A E S，利用等体积法

47、即可求解点E到平面A S D的距离.【步步为营】（1）在四棱锥S-48CO中，连接瓦）交AC于F,则F为3。中点，连接E F,又E为B S中点，；.EF/S D,又 S。工平面 ACE,EF u平面 ACE,S D H 平面 ACE.（2）：四边形A 8 8是菱形，且Z A B C=120,为正三角形，取A3中点的。,连接。，O S,则：平面平面ABCD,平面ABSfl平面=,r.Of)_L 平面 ABS,：AA B O,AA B S均是正三角形，A B=2,易得0。=6，S.A S F=S.A S H=VuD AAcF.So =3 x 2 x 6 =2.易得OS=G，由QD_LOS,A D S =/O S2+O D2=76,取OS的中点M,连接A M,因为A=AS=2,AM_LOS,/.AM =可得S ADS=XV 6X,zi/it/o 2 2 2设点 1到平面 ASZ)的距离为。VLDf nAtEiSO =VEE,nAUDoS =3 X5ZAAAnDU5o x/z=3 2 2,解得=姮，即点E到平面AS。的距离为 姮5 5