高中数学选择性必修二导数的概念及其几何意义讲义.pdf

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1、5.L2导数的概念及其几何意义共 同 基 础 系统落实 课 前 自 主 学 习，基 稳 才 能 楼 高GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI要 点 一 导 数 的 概 念1.平均变化率：对 于 函 数y=/(x),设 自 变 量X从 沏 变 化 到x o+/x,则 把 祭=空 吐 答以叫 做 函 数y=/u)从 检 到x o+/x的平均变化率.2.导 数：如 果/x-0时，平均变化率务无限趋近于一个确定的值，即务有极限，则 称=/(；0在X=沏处可导，并把这个确定的值叫做 =於)在 =的处的导数(也称瞬时变化率)，记 作/%)或y I-，即/(X 0)一片王)=limzh-0生1-

2、&-0凡刈)+工)一八刈)Ax【重点小结】(1)当A x#0时，比值吸的极限存在，则f(x)在x =x 0处可导；若裴的极限不存在,则f(x)在x =x o处不可导或无导数.(2)在x=x o处的导数的定义可变形为，/、/.f(x o-A x)-f(x o).f(x)-f(x o)f (x0)=h m-T-或 f (x o)=h m .A x-0 A X X-X o X X o要 点 二 导 数的几何意义对 于 曲 线y=/W上的点尸0(刈，於0)和P(X，火X)，当 点P o趋 近 于 点P时，割 线P o P趋近于确定的位置，这个 确 定 位 置 的 直 线P o T称为点P o处 的 切

3、 线.割 线P o P的 斜 率 是k=、x)二 X 当 点P无 限 趋 近 于 点 此 时，X XQk无 限 趋 近 于 切 线P0T的 斜 率.因 此，函 数/U)在x=m处 的 导 数 就 是 切 线P0T的 斜 率k,即Z=l i mA x O/(X o+Z i x)/(X o)Ax【重点总结】曲箍的切线与割线曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线.曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想.(2)曲线的切线与导数 函 数f(x)在x=x o处有导数，则 在 该 点 处 函 数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率.函 数

4、f(x)表示的曲线在点(x o,f(x o)处有切线，但 函 数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)=E x=O处有切 线，但不可导.曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多 个.与 曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.要 点 三 导 函 数对 于 函 数y=/U)，当 尤=利 时，/(x o)是一个确定的数，当x变化时，/(x)便是 一 个 关 于x的函数，我们称它为函数y=/(x)的导函数(简称为导数)，即(x)=y =l i m煞十笑二空)Ax-Q【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数.(2)

5、函数f(x)在 X。处的导数就是导函数f (x)在 x=x 0处的函数值.【基础自测】1.判断正误(正确的画“J”，错误的画“X”)(1)函数兀：)在尸=松处有意义，则，(X 0)存在.()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.()(3)导函数/(x)的定义域与函数4 x)的定义域相等.()(4)曲线兀0=/在原点(0,0)处的切线方程为)，=0.()【答案】(1)X(2)X(3)X(4)J2.若函数/(x)=-3x l,则/(x)=()A.0 B.3xC.3 D.-3【答案】D,.-3(x+Jx)1 (3x 1)角牛析】k=h m -加-=3.3.设曲线在点M 处的切线斜率为

6、3,则点M 的 坐 标 为()A.(0,-2)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)【答案】B【解析】设点M(x o,y o),/(XO+AX)2+(XO+/1X)2(+XO-2).k=hn-2XO+9/x-0令 为+1=3,x o-1,则 y o=O.故选 B.4.如图，函数y=7(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则5)+/(5)=【答案】2【解析】点(5,犬5)在切线y=-x+8上,r.y(5)=-5+8=3.且，(5)=-1,.4 5)+/(5)=2.题型一求函数在某点处的导数【例 1】(1)已知函数共处二源+，则r)=.【答案】(1)1 6【解析】(l M y=2(3+

7、/x)2+4(3+/x)-(2 X3 2+4 X3)=12Ax+2(/x)2+4/x=2(zf x)2+1 6 J x,J v 2(Z/X)2+1 6 JX,.h=-z-=2 J x+1 6.Ax Ax：.f(3)=l i m (2 J x+1 6)=1 6.Jx-0(2)已知函数y(x)=2 x 2+4 x,若/(x o)=1 2,贝 i jx o=.【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义生 r +/x)/(x o)f(x o)=h m/x=h m 4Jx-O Jx-02(X0+/x)2+4(沏+/x)(2 高+4 x o)=l i m -;-Axzfx-04Q/X+2(J x)2+4

8、 J x=l i m -=H m (4M+2/X+4)=4XO+4,Jx-0 4L0 二，(0)=4 4()+4=出 解得沏=2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤(1)作差/y=/(x o+/x)/(%).，、在小2,AA-O+JX)-/(XO)(2)作比五=-五-(3)取极限r U o)=l i m 祭.简记为一差、二比、三极限.【跟踪训练1】已知函数兀r)=x+q，则/(1)=.【答案】0【解析】/人)Jx-0(1+加+金 卜(1 +1)(4 x 十eT)=l i m -3-=l i m -;-JA-0题型二求曲线的切线方程【例 2】已知曲线)，=*,求曲线在点P(3

9、,9)处的切线方程.【解析】由y1 _ 1 ,小，/+/x)-#何 丫 =lim比=l i m 不1 3 X2J x+3 x(J x)2+(zf x)3 1 9 0 9=gl i m -不-=1 l i m 3 X2+3xAx+(J x)2 =x2,dxONxOy 3=32=9,即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y 9=9(x 3),即 9x y 1 8=0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M(l,0)的切线方程.【解析】设切点坐标为(妆)，；焉)，由例2知切线方程为：y|X=AB(Ax o)1 切线过点(1,0),1 2 3，一次=器(1 X

10、o)即 加 一器=0,解得x o=o 或x o=5，切点坐标为(0,0)或g,5)，.,.切线方程为：y=0或 一 =脑 一|).即y=0或 9_ r-4 y-9=0.设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点.【方法归纳】1.求曲线上某点切线方程的三个步骤2.过曲线外的点P ，)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x o,y o).(2)求出函数y=/(x)在点x o 处的导数f/U o).(3)利用0在曲线上和/(X()=&P Q,解出x(),y o 及/(x o).(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y)“=/(x o)(x-x o).【跟踪训练2】已知曲线C：尸 3(1)求曲线C

11、 上横坐标为1 的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由.【解析】将 x=l代入曲线C 的方程得y=l,所以切点为(1,1).(l+/x)3-1 3 3/X+3(/X)2+(/X)3Ax Ax-Ax=3+3/X+(/X)2,当/X 趋近于0时，光 趋近于3,所以y 1,7 =3.故所求切线方程为y l=3(x 1),即 3 尤 一y 2=0.f 3 x-y2 0,(2)由 J?可得(x 1)2(X+2)=0,解得 XI=1,%2=-2.从而求得公共点为(1,1),(2,8).故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1

12、)外，还有点(-2,-8).题型三导数几何意义的应用探 究 1 求切点坐标【例 3】已知曲线y=d+6的切线分别符合下列条件，求切点.(1)平行于直线y=4 x 3；(2)垂直于直线2 x y+5=0.【解析】设切点坐标为(x o,比).a /、.A%+zi x)-y(x)f 3=hm 不Jx-0a+/x)2+6(f+6)=l i mJx-*OAx=l i m (2%+/x)=2 x.Jx-0.过(M),y o)的切线的斜率为2 x o.(1).,切线与直线 y=4 x 3 平行，.,.2 x o=4,xo2,比=高+6=1 0,即过曲线y=+6上点(2/0)的切线与直线y=4 x 3平行.(

13、2)；切线与直线2 x y+5=0 垂直，.,.2 x o X2=-l,得 即=一1,泗=瑞，求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(Xo,y o);(2)求导函数f (x);(3)求切线的斜率/(x o);(4)由斜率间的关系列出关于x o 的方程，解方程求x o；(5)点(x o,y o)在曲线7(x)上，将(x o,y o)代入求y o 得切点坐标.探究2 与曲线的切点相关的问题【例 4】已知直线八为曲线y=/+x-2在(1,0)处的切线，已为该曲线的另一条切线，且/及(1)求直线/2 的方程；(2)求由直线/i，办和 x轴围成的三角形面积._ (X+z l x)2+(x+

14、z l x)-2-JC2x+2 解析(W=i i m 1-2 7-Jx-02 x z f x+(J x)2+J x=l i m -五-=l i m (2 x+J x+l)=2 x+1.Jj-0 4L0所以 y IX=I=2 X 1 +1=3,所以直线/I的方程为y=3(x l),即y=3x 3.设直线/2 过曲线y=/+x 2上的点B(b,b2+b-2),则，2 的方程为y=(2 b+l)x 庐一2.因为l/2,则有 2+=-；,h=-I，6(一|，一空)，所以直线/2 的 方 程 为 尸 一%一等y=3x3,(2)解方程组；1 2 2 得y 3x9所 以 直 线 和/2 的交点坐标为G，一芬

15、1,/2 与X轴交点的坐标分别为(1,0),(一当，0).所以所求三角形的面积5=|xyx|=.(1)先由已知求出h的斜率，再由h _ L 1 2,求出1 2 的斜率，进而求出切点坐标，得出1 2 的方程.(2)求出h与 1 2 的交点坐标，h，b与 X 轴的交点，求出直线1 1,1 2 和 X 轴围成的三角形的面积.【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求

16、切点，切点的坐标是常设的未知量.【跟踪训练3】(1)已知)，=%)的 图 象 如 图所示，则/(X A)与/(%)的大小关系是()A.f (xB-)B.f (XA)=f(XB)c.f (XA)kB,根据导数的几何意义有，(X A)7(期).故选A.(2)曲线段)=好在点伍，苏)(启0)处的切线与x轴，直线围成的三角形的面积为/，则,【答案】(2)1【解析】(2)因为/(a)=l i m 卷土誓二Q=34 2,Jx-0所以曲线在点(小苏)处的切线方程为y t/3=32(X ).令 y=0,得切线与x轴的交点为停a,0),由题意知三角形面积 为:4 多f-|a3|X 1 1 1-|(73|=|4=

17、1-a4=l,即“=1.【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例 5】已知抛物线y=e+x+l,则过抛物线 原 点 的 切 线 方 程 为.【答案】3x y=0 或 x+y=0【解析】设切点坐标为(沏，yo)9则，、(x o+4 x)2+(x o+z l x)+1 -(x o+x o+1)f(x o)=l i m=l i m (2X O+1+/X)=2M)+1,所以斜率Z=2X O+1,&-0故所求的切线方程为y y o=(2%o+l)(x 九 o),将(0,0)及 刈=焉+演)+1 代入上式得：一(高+乂)+1)=x o(2 x o+l),解得x o=l 或必=1,所 以k=

18、3或k ,所以切线方 程 为 丫=3丫或丫=一即 3x y=0 或 x+y=O.【易错警示】1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程.2.纠错心得看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线.(2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x o，泗).一、单选题1.设“6 在x =x。处可导，则1而 。+卜/(/)=().2hA.2 7,(x0)B.7 (4)c.f M【答 案】C【分 析】D.”（x。）根据导数的定义即可求解.【解 析】解：回f(x)在X。处可导,W i m小 吐 止 以 包 刊2h=f xa）,故 选：C.2.函 数y =/(x)在x=x0处的导数可表示 为

19、 此 ，即().A./（毛）=/（七+八）-/（%）C.f M =l im /（/+&）-/（”。）-A xB./（%）=典（+词-/（玉）D.r（%）/（）二/【答 案】C【分 析】结合导数定义直接选择即可.【解 析】是ra）的另一种记法，根据导数的定义可知c正确.故 选：C3.若 函 数 x）在x=%处 可 导，贝（J l im/i-0/（天+）-/（/）的 结 果（）.A.与%,/）均无关B.仅与与有关，而 与 h 无关C.仅 与 h 有 关，而 与.%无关D.与 看,力均有关h【答 案】B【分 析】根据导数的定义即可求解.【解 析】解：因 为l im工力 一 0=/(xo)，h所以结果

20、仅与M有 关，而 与h无关,故 选：B.4.设f（x）为可导函数，且 满 足 理/(l)-/(l-2 x)=_1 则/为()2xC.2【答 案】B【分 析】利用导数的定义进行求解.【解 析】因 为l im WX TO所 以 其/(l)-/(l-2 x)_ 12x/(l)-/(l-2 x)_-12x即Hm加 一2外-川）=_|-2.7 -2x所 以 八1）=7.故 选:B.5.已知函数/（x）可 导，且 满 足l im&t-0A.-1B.-2B.-1D.-2/一/(3 +斓A x=2,则 函 数 y=f（x）在 x=3处 的 导 数 为（）C.1D.2【答案】B【分析】根据导数的定义即可得到答案

21、.【解析】由题意，lim 3)-3 +A x)=_ 而 3 +)-3)=_ 所 以=-2.A S O Ax mT。AX故选：B.6.已知函数x)的图像如图所示，/(x)是/(x)的导函数，则下列结论正确的是(c.o r r J 0）。）B.0 /D.0/（3）”1）/（1）广（3）【答案】B【分析】结合图象，判断出0,尸 ,/;/,广 的大小关系.【解析】由题图可知函数/(x)的图像在x=l处的切线的斜率比在x=3处的切线的斜率大，且均为正数，所以o r(3)r(i).A 3的斜率为其比在=1处的切线的斜率小，但比在x=3处的切线的斜率大，所以3-10 八3)/(3)”1)0 2 Ax 7对于

22、 B,lim x o+A H(f ):2 Hm/(4A x+2 A r)-/(.%):2/Q ),B 不满足；-Ax 2 2 0 2 Ar v 7对于 c,lim (-v +2M)-/(-)+M=fXoy c 满足；A s o AX 7对于 D,Hmf也+.)二 二二 2-)=3 Hm仁 2AX+3 匕”*=2-)=3 口 不满足.TO AX 3Ar-o 3Ax故选：AC第 I I 卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题1 3.某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合Q（f）=孚 1.给出下列四个结论：该生物种群的数量不会超过10；该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变

23、小；该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；该生物种群数量的增长速度最大的时间f。（2,3）.根据上述关系式，其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【分析】对解析式上下同时除以e,结合反比例函数模型可判断正确；对 Q（f）=*求导，QQ）即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模e+9型可判断 错，正确【解析】。=7而=尸，因为do,故1+劣。,+8),二万/),故该生物种群的数量不会超过i o,l+7 e 1 +7正确；10d,90 d 90由。=3 7?=蕊 显 然 该 生 物 种 群 数 量 的 增 长 速 度 与 种 群 数 量 不 成

24、正 比，e1o.X 190错；因为+W 为对勾函数模型，故e +：N 2 病，当且仅当d=9 时取到等号，故 整体先增加eeCH-+1 o后减小，当f0=l n 9e(2,3)时，。最大,故正确,综上所述，正 确，故答案为：1 4.若/(%)=2,则 l i m .2 A%【答案】-1【分析】利用导数的定义进行求解.【解析】l i m f(x)-f(xo+A x)-T O 2 Ax1.：m/(x0+Ar)-/(x0)2 -Ar故答案为-1.1 5 .已知函数Hx)=,则/(1)=.【答案】【分析】根据导数的定义即可得到答案.【解析】r(1)=/O)-/(i)=1.mVT-i=lim 1 =iM

25、 Ax NTOJI+I 2故答案为：.16.函数/(X)在 R 上可导，且 r(0)=2,Vx，y e R,若函数/(x+y)=f(x)y)成立，则 0)=.【答案】1【分析】令):0,则有/(x)=f(x)/(O),再根据条件即可求出答案.【解析】解：令)=0,则有 x)=x)0),(0)=2，./(A)不恒为0,.0)=1，故答案为：L四、解答题17.已知f(x)=x 2,利用/=P=1，/=2,Ar=0.0 3,求 J(L03)的近似值.【答案】1.06【分析】将/(D =1,/(1)=2,=0.03代入 f(xn+Ax)=f(x0)+/(x0)M 中计算即可得到答案.【解析】由 /(x

26、0+Ar)f(x0)+f (x0)-Ax,可知/(1.03)=/+f x0.03=l+2x0.03=1.06.18.已知某产品的总成本函数为C=Q2+2 Q,总成本函数在。处导数尸(Q J称为在。处的边际成本，用MC(g)表示求边际成本MC(500)并说明它的实际意义.【答案】MC(500)=1 0 0 2,其实际意义是：此时多生产1 件产品，成本要增加1002.【分析】利用导数的定义计算即可.【解析】设。=500时，产量的改变量为AQ,C(500+。尸 +2(500+)-(5(X)2 500)而 一 A2=0 +1002,则 MC(500)=依Q(AQ+1002)=1002,即产量为500时的边际成本为1 0 0 2,其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.