高等数学专项练习之无穷级数.pdf

《高等数学专项练习之无穷级数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学专项练习之无穷级数.pdf（60页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高等数学专项练习之无穷级数第一部分教学目的及要求教学目的：理解无穷级数是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的重要工具。弄清常数项级数的敛散性及其判别方法。知道函数展开成幕级数与三角级数的充要条件，懂得直接展开法，并能利用一些特殊的函数展开式将一些简单的函数间接展开。基本要求：(l)一级要求：掌握级数收敛及部分和的概念，等比级数、P级数、调和级数的敛散性，正项级数的比较判别法与极限形式、比值法，幕级数收敛半径及收敛区间的求法。(2)二级要求：掌握级数收敛的必要条件，交错级数的莱布尼兹定理，级数的绝对收敛与条件收敛，eA.、sin.x、cos.x、ln(l+x)和(l+x)”的麦克劳林展开式

2、。(3)三级要求：掌握级数的基本性质，交错级数的截断误差，函数项级数的收敛域及和函数，级数在收敛区域内的逐项微分和积分的性质，简单函数的幕级数的间接展开法，函数展开为Fourier级数的充分条件，奇函数偶函数的Fourier展开。第二部分教学重点）级数收敛的必要条件。2掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式，并能选择合适的参照级数（如P级数).3掌握正项级数的比值审敛法和根值审敛法，并能根据题型，合理选择两方法之一。4掌握交错级数的莱布尼兹审敛法。5熟悉绝对收敛与条件收敛的概念。6幕级数的收敛半径与收敛区间；函数的幕级数展开，函数的Fourier级数，函数展开正弦或余弦级数。第三部分知识要点回顾

3、l、数项级数收敛的概念及收敛的基本性质和必要条件。2、几何级数和P一级数的收敛与发散的条件。3、正项级数的比较审敛法及极限形式。4、正项级数的比值审敛法和根值审敛法。5、交错级数的莱布尼兹审敛法。6、绝对收敛与条件收敛的概念。7、函数项级数的概念（函数项级数的收敛域及和函数).8、幕级数及其收敛性（幕级数收敛半径及收敛区间的求法).9、幕级数的运算。10、幕级数的和函数的性质（级数在收敛区域内的逐项微分和积分的性质k11、函数展开成幕级数（函数展开成幕级数的充要条件、直接展开法、间接展开法k12、函数的幕级数展开式及其应用(e、sinx、COSX、ln(l+x)和（1+x)的麦克劳林展开式、近

4、似计算、欧拉公式113、傅立叶级数（周期为2冗或2l的函数展开成傅立叶级数、周期延拓、奇延拓、偶延拓）。第四部分内容提要第一节常数顶级数的概念和性质一级数的定义若给定一个数列U1,U2,U11,，由它构成的表达式u1+u产+u,？十.(1)江称之为常数项无穷级数，简称级数，记作，l1 f u,=u1+u2+u,+.亦即，1l其中第n项U,？叫做级数的一般项。上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义，它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来，因为，这一累加过程是无法完成的。为给出级数中无限多个数呈相加的数学定义，我们引入部分和概念。作级数(I)的前n项之

5、和S,=u1+u2+Un(2)称Sn为级数(1)的部分和。当叮衣次取1,2,3,时，它们构成一个新数列SI=U1 S2=U1+U2 S3=UI+U2+U3 Sn=U1+u2+u3+u,称此数列为级数(1)的部分和数列。根据部分和数列(2)是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。【定义】当n无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2)有极限S，即lims.=s“/I-OO 则称级数(I)收敛，这时极限S叫做级数()的和，并记作S=U1+u 2+U3+u11+.,如果部分和数列(2)无极限，则称及数(1)发散。当级数(I)收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差值r,=S-S1

6、1=U11+1+U11+2十十U11+k+叫做级数的余项。L uk=1.s11=l_iL伍【注明】由级数定义k=lIl.O II.0 k=l 发现，它对加法的规定是：依数列Uk的序号大小次序进行逐顶累加，因此，级数的敛散性与这种加法规定的方式有关。【著名反例】1+（1)+1+（1)+.+（l)”-l+(-l)”+(1)、若逐项相加，部分和为S,1=On为偶数ln为奇数s n无极限，故级数发散。(2)、若每两项相加之后再各项相加，有(1-1)+(1-1)+-+(-1)一I+(-1)+-.=O+O+O+=0 i叫a+aq+aq2+aq+-(a=t-0)【例1】讨论等比级数k=0的敛散性。解：若q#

7、l，则部分和为/l-l/1 Sn心叫a+aq+aq2+aq n一1=a-aq k=。l-qa|q|l limq”=0 lims,l=(1)、当时，,故妞1-qa 等比级数收敛，且和为1-q;胪llimq=oo lims=OO(2)、当时，”，从而，I妞，等比级数发散；(3)、当lql=1时，s,=Ia-1 k=a+a+a+a=n a今oo(n今OO）若q=l，则k0Sn心l）人.a=a-a+a-a+(-1)-2 a+(-1y-1 a=0 n为偶数若q=1，则同a n为奇数.lims n I-中不存在。即当lq|;/;1时，等比级数发散。言aqk.=l-aqiq|1 综合有发散庐l【例2】研究下

8、列伸缩型级数的敛散性解1、2 1 l,1=1五言石2 2 n(n+2)区五百兵S,l=2 li k=1五言ak=l=（5-1)+（5-5)（五5）（m丘）已lims=lim(Jn+1-J1)钩从而，1妞“OO 因此，级数l是发散的。解2、n l n ll 1 s _=I=I:-(-)n k-:;1k(k+2)k-:;12k k+2=;卫（古6)l n l l l n l l=耽飞；言言l l l l l l l l l=-(-)+(-)+(-)+(-2 1 2 2 3 3 4 n n+l)l l l l l l l l l 十一（一）+(-)+(-)叶(-“)2 2 3 3 4 4 5 n+l

9、 n+2 1(1 111(1 1=;（i一言)+2仁勹=2_上l 4 2(n+l)2(n+2)lun s=lim(？1l尸从而nOOn noo 4 2(n+1)2(n+2)4 3 因此，级数2收敛千生二级数的基本性质【性质一】如果级数U1+U2+十UII+收敛千和s,则它的各项同乘以一个常数K所得的级数ku,+ku汁+ku.+也收敛，且和为k s.即若江，I=s I则fku,=ks,若fu,发散，则汇ku,发散(k1:-0)11=1 n=I oo oo 区U,1区k.U,tS 6【证明】设，i=I与，t=I的部分和分别为，1、，则a,=k u1+k u卢+ku11=k (u,+u2十.十u,)

10、=k Sn lim a=lim k s=k-lim s=k s 于是，”“”11”“OO/1OO fku11 故级数n=I收敛且和为ks 0 CJ.=k s 由关系式,I II，有如果S,，没有极限，且k-:t-0,那未气也没有极限。因此，我们得到如下重要结论级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的敛散性不变。【性质二】设有级数12 u.+u,+u+，和lv.+v,+v+2,分别收敛于S与6，则级数(ul士V1)+(u2士V2)+，十（u,士v,1)也收敛，且和为江er.。工00 0 即若LU11=S,江(YI则区(u,，土v)区un土区v,=s土611;1 11;1 11;1 11;1 11

11、;1 2U,l【证明】设级数，ll2 V,I 向的部分和分别为S、z11=(u1土v1)+(u2土v2)+(u,？土vJI)=(u,+u2+十U,1)土(v1+V2+Vn)limz 故，I妞=s,1土6,I=lim(s11a-11)=lims,土lima-n=s土6/？OO IIoo n妞oo 区(u,，立）这表明级数，11收敛且其和为s妇入据性质二，我们可得到几个包用的结t0 0 区u,LV,l、若，ll与，已收敛，则O3 03 03 区(u,，土Vil)=LU“心vIl=l Il=l n=1 工分配律）oo oo oo 区u,1分v，产L(u,妇，1）/t=l,1=l II=l（一种结合律

12、）oo oo 6，则部分和区u,fv,，江，I士v,)2、若收敛，l=I,而，l=I发散，则，1=I必发散。oo oo 区(uII五）L(u,江）u,反证：假设，1=1收敛，则，11亦收敛，士2V,I即11=1 收敛，这与条件相矛盾。fu,3、若，1=1、oo 凶江，卢v,)rl=!均发散，那么11=1可能收敛，也可有发散。如u=1,vn=(-1)11 oo oo 区(u,1江）区l+(-1)=2+2+2+n=l 11=1 发散u,=l vn=-1 又如，7,oo oo L(u11土v,)=L 1-1 J=o+o+.+o+.I l=l n=l 收敛【性质三】在级数中去掉，加上或改变有限项，不会

13、影晌级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。【证明】将级数佑U2十.+Uk+uk+I+uk+2+.+uk+n十的前k项去掉，得到新级数uk+I+uk+2+.十Uk+11十.新级数的部分和为(Y=u,=Uk+I+Uk+2+Uk+11=Sk+n-Sk 其中凡，是原级数前k+n项的部分和，而Sk是原级数前K项之和（它是一个常数）。故当nOO时，6,1与Sk+“具有相同的敛散性。在收敛时，其收敛的和有关系式CY=S-Skk S,_=a-=limo-s=lims II k=L U;其中，1分”,“,t=1 类似地，可以证明在级数的前面增加有限项，不会影响级数的敛散性。【性质四】收敛级数任

14、意加括号所得级数仍收敛，且和不变，因而若加括号后所得级数发散，则原级数必发散。【证明】设有收敛级数l S=U,+u,+U.+2 它按照某一规律加括号后所成的级数为u1+(u2+u3)+u4+(u5+u6+u7+u8)+.用6,II表示这一新级数的前m项之和，它是由原级数中前几项之和S所构成的(m f dx=ln X尸ln(n+1)I X 当n-OO时，ln(n+1)今钩，从而，S，I+oo 心因此，调和级数，lIn发散到000 四几个重要级数的收敛性oo(I)等比级数（几何级数）Iaq一I(a丑0)当lqlO)pl时收敛，当Op 1时发散。,=l 第二节常数项级数的审敛法一正顶级数及审敛法f

15、u,.-.,.f-11.i 若级数叫中的各项都是非负的（即U,，习On=1,2,.)，则称级数u,，为正项级数。由千级数的敛散性可归结为正项级数的敛散性问题，因此，正项级数的敛散性判定就显得十分地重要。1、基本定理正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。【证明】设级数u1生+U,)十.(1)是一个正项级数，它的部分和数列SJ=U1,S2=UI+U2,S3=Ut+U2+U3,Sn=Ut+U2+Un,是单调增加的，即S1 Sz S3.Sn.若数列S，有上界M，据单调有界数列必有极限的准则级数(l)必收敛千和S，且。三s s N时，心-+-u,vn(n=1,2;)2V,2u/1(1)、右，而，I

16、收敛，则n=l亦收敛；d 0(2)、若u,:.v11(n=1,2,-)2凡，区u,1，而，4发散，则，叫亦发散。oo 2v/1 2U,I 这里，级数，l1称作级数，11的比较级数。2V,l【证明】(1)设，曰收敛千6,。由U,l三vn.（n=l,2,.)区U,1,n=l 的部分和S满足S,=U1+U2+U,V1+V2+V11(J 即单调增加的部分和数列S,，有上界。2u,1 据基本定理知，11=1收敛2 V,I(2)设，14发散，千是它的部分和CT,=V1+V2十+v,钩(nOO)由U,l凶v,(n=1,2,-)，有S11=U1+u2+U,vi+V2+.+v11=CY11 oo 从而尸钩(n五

17、），即;U,1发散。j窃你叙述得太书卷气，不就是1、大一；2、4切拉臭以3引包发散由千级数的每项同乘以个非零常数k，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式oo oo k Lu L v【推论】设为正数，N为正整数，11、n=l 均为正项级数oo oo(1)、若u,.,:;k v,(n 2:N)Z:v11 Lu,，而，1=1收敛，则，l=I亦收敛；oo(2)、若u11;:k v11(n;:N)区v,12U,l，而n=I发散，则，l=I亦发散。1 1 1 1=1+.I I.2【例1】讨论p级数n=ln 2P 3p n,的敛散性，其中p 0 0 1 l l 1 nP n仁圣区【

18、解】1、若0之一1 1 2、若p l，对于n-1:;x匀n(n:2:2),有入，pnpli dx1 dx l 几1 I 1 1 勹勹了I-pxip n l=p-1(n-1)p-l-npl l中1考虑比较级数p-l;(n-l)p-l-np-l 1 l1+1l 它的部分和S,1言；（kl)pl-=pl-ll-(n+l)p llP1-1(nOO）1 I 1 1 故p-l;(n-l)p-1-np-l收敛，由比较审敛法，,敛收l-pn oo寸己 1 2了由级数的性质，II=1n亦收敛。综上讨论，当0l时，p一级数是收敛的。p级数是一个重要的比较级数，在解题中会经常用到。比较审敛法还可用其极限形式给出，而

19、极限形式在运用中更显得方便。【比较审敛法的极限形式】OO以极限形式，正项级数2U,/，区VilI若lim芒e(v,*0)则ll一为/l=l/l=l oo oo I)当0N时，有不等式U,l l u/13l l 3l-l -_.V,1 U,vII v11 I 2 2 v,2 2 2 再据比较审敛法的推论，即获得了要证的结论。若fV,，f卡11=1 n=ln 2u,1【极限审敛法】设归为正项级数，oo limn饥l（0 l三OO,p三l)2U,I(1)、若，I也，则，1l发散；。lim心，1=/(0纠l)2U,I(2)、若，i妞，则，l=l收敛。u lim nu,=lim-=f-=1(0 l l时

20、，nln 收敛，故，iI收敛；1 区2U,l(2)、当尸1时，lln发散，故，11发散；limn饥oo(p三l)旷u,ll（当nN时）(3)、“OOl OO 1 UnLUn发散（因区P发散）n),l=1 II=I n limnu,=O(p 1)旷U11泗寸）(4)、“OO1 1 u Iu收敛（因2收敛）np np ll=I ll=I oo 区sin【例2】判别级数，ln 1 区ln(l寸/l=l n 的敛散性。解：l l sint limn sin-=t(tO)lim=1/1妞nn1分0t fsin丿故级数，1n发散；l 1 limn2-In(+）-=t(tO)lim ln(l+t)2=l n

21、“n壮，0t oo l Lln(l寸故级数，ln 收敛。若取出效膛铁i V,l=:aq，有n=I n=I【比值审敛法】2U,lhmU,l+l=p 若正项级数，=I适合,l n今心u 则当p 1（也包括p=+oo)时，级数发散；当p=l时，级数的敛散性不详。【证明】当pl时，可取一适合小的正数，使得p+&=rN时，u n+I p+&=r u 11 有UN+I f U/u 11+1 2 UN+2 rUN+I r-UN ru II 2_,3 UN+3 r.UN+2 r-uN+I r.UN I 级数UN+1+UN+2+UN+2N+3+的各项小千收敛的等比级数cOrl时，存在充分小的正数8，使得p-Bl

22、，据极限定义，当nN时，有u n+I p-6 1 u u n+I u“因此，当nN时，级数的一般项是逐渐增大的，它不趋向千零，由级数收敛的必要条件，立111=1 发散。当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。1 2了例如，对于p一级数，1ln，不论p取何值，总有u lim型l l n p 产u,，卫(n+1)PI石叶，叶工=l 但是，级数在pl时收敛，而当pl时，它是发散。【根值审敛法】fu,若正项级数，1.=1适合，严lim五p则当pl（也包括p扛0）时，级数发散；当p=l时，级数的敛散性不详。【证明】当pl时，可取一适合小的正数8，使得p+6=rN时，扣p+6=r u,r ,2 r,2U,l

23、 等比级数，,;-+IcOr 1时，存妇飞分小的正数8，使得p-61，据极限定义，当nN时，有五p飞1u,1 2U,1 因此，级数的般项不趋向于零，由级数收敛的必要条件，n=I发散。当p=l时，级数可能收敛，也可能发散。2上沪例如，级数n=ln是收敛，级数，lln是发散的，而三=1毗三（古）21四五！畴！五）1对于比值法与根值法失效的情形(p=1），其级数的敛散性应加另寻它法加以判定，通常是构造更精细的比较级数。【例3】判定下列级数的敛散性1 1 1 1 l+.+-=-+.、1-1 l 2 l 2 3 l 2 3 (n1)2、1 1 1 1 1+.+.2233扩n3言(2n-l)2n解：l、一

24、般项为U=1 1-2 3(n-1)u l 2 3 (n-l)1 lim =lim =lim.:.=0 1 卢“U,?OOl 2 3 (n-l)n n五n由比值审敛法知，级数1是收敛的。1 u=2 一般项为/1 n 1 1 曰石国三凹了O 2n-1 咋今(2n-1)2n,亡-0)满足：11:I i)u11 u11+1(n=I,2,3.)ii)limu,.=0 OO 则级数收敛，且和S:-;U1,余项绝对值Ir,1:-;u11+1 所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其形式如下u1-u2叽U产+(-1)-I U,+(1)或U1+u2U3+U4一.+(l)u11+其中U1,u2,u3,

25、U4 ,U11均为正数。【证明】lims 1、先证，！心2“存在。将(1)式的前2n项的部分和乌，写成如下两种形式S2,=(ul-U2)+(u3-U4)+(u2,一I-U2,)及江u1-(u2-u3)-(u4-u)(u庄2-u吵1)-u切由条件(1u:U 仇习立11+1 可知所有括号内的差均非负，第一个表达式表明：数列岛是单调增加的；而第二个表达式表明：Sz,U1，数列鸟，l有上界。由单调有界数列必有极限准则，当n无限增大时，s2,，趋向于某值sI并且s幻UI lims211=s:-:;佑即1OOlims切1=S2、再证，lOO因岛，z+I=S 2n+U2n+I limu=0 2n+I 由条件

26、(2)”OO可知，lims.211+1=lims 2n+limu nOO/1节n一心2n+I=s+O=s 由于级数的偶数项之和与奇数项之和都趋向于同一极限，故级数(1)的部分和当nOO时具有极限S。这就证明了级数(I)收敛于s,且S;:S;U1 0 3、最后证明h;:S;Un+I 余项可以写成r,l=(u11+1-u11+2+),;,I=u11+1-u,+2+.其绝对值为1,此式的右端也是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，故其和应小于它的首项，即Ir.,I:s;u,+J rl;:S;u 区(l)n一l1 1 1=l-+-+(-1)”一）十.【例4】试证明交错级数，1=1n 2 3 4 n 是

27、收敛的【证明】1 1 U.=u l n n+l lim u,=lim.:.=0 n n+l 故此交错级数收敛，并且和s10 三绝对收敛与条件收敛且1oonOOn【定义】设有级数U1+U 2+.+U,+.(2)其中从,(n=1,2,.）为任意实数，该级数称为任意项级数。o o l)若21比，I收敛，则区u,i绝对收敛11=1 11=1 OO O3 OO 2)若LIU17 I发散，但2u,1收敛，则2u,l条件收敛11=1 11=1 11=1【定理一】如果级数(3)收敛，则级数(2)亦收敛。江，,I【证明】设级数，曰收敛1 v,=(u,+lu11 l)(n=1,2,-)令2显然忱之0，且卢忆，I

28、I江，l|2V,I 而，l=I收敛，由比较审敛法，正项级数，1=）收敛，立，I从而，曰亦收敛，另一方面，u,=2v11-lu11I LU,）区2vII|U,II由级数性质，级数n=l收敛。定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。2sm(?a)（a为实数）【例6】判定任意项级数，1=1n-sin(na)I _ 1 解：因I矿亨立2sm(?a)而，ln收敛，故，;lI亦收敛，的收敛性。2sin(na)据定理一，级数，;:jn2 收敛。oo 2(l)i-l l【例7】讨论级数，l1n的收敛性。o.l 区解：因调和级数，11n发散，f(-1)-)而交错级数，lln收敛，工(l)”一l

29、故级数，1ln非绝对收敛，仅仅是条件收敛的。由定理一与例三，可总结出绝对收敛、条件收敛与收敛之间的关系。妇畛条件收敛I叫j收敛收敛有限项相加的重要性质之是其和与相加的次序无关（即加法具有交换律、结合律）。这样的性质可否搬到无穷级数呢？无穷级数一般不具备这样的性质，即使是条件收敛的级数也不具备有这样的性质。但如果级数绝对收敛，则级数中的各项可任意地改变位置（即交换律成立入可任意地添加括号（即结合律成立1定理二】如果级数f u11=u1+u2+十u+Il=l 绝对收敛，其和为S，那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数江u,+u;+u,：十.=l 仍绝对收敛，且其和仍为义叩区(1)”-I1.l l

30、 l=1-+.+(l)”-I.l+.【典型例子】交错级数n=ln 2 3 4 n 条件收敛，设它的收敛和为s 下面讨论它的几种新组合oo 区(-1)-I1 _111 1 1 一一l-+-+-+.1.11=1 n 2 3 4 2n-1 2n、II S2,=L(1 1-)它的前2n项所作成的部分和为k=l 2K-l 2K 11111 1 1 1 l-+-+I-+对级数的项作如下重排2 4 3 6 8 2k-1 4k-2 4k(4)它的前3n项所作成的部分和为“斗区（1 1 1-)炉,2k-1 4k-2 4k 心(1-）屯(.l 一上2)-4k-2 4k.2t:i2k-1 2k 1=-S 2 211

31、 1 1 S,.=311一1S+211 2 4n 忒，1一2=寸，1一1+1 4n-2 1 1 l lims;,一1=lim(s+)=-S IIOO 2 2n,iOO 4n 2 s 1-2 _ 2 s.1-2 Jrn-ln _ f,*3 s Jrn-lfl lims*.l l 3/1+2=lim(s 311-+)=-S IIOO IIOO 4n-2 2 1-s 这表明，重排之后的新级数收敛于20 2、对级数的项作如下重排1 1 1 1 1 1-飞飞勹飞飞点分点点古于亡卢古它的前4n项部分和为II s;,区（1 1 1 1-)2k-1 4k-2 8k-4 8k“1 区（l 1-)妇14K-2 8

32、k-4 8k 心（1 一上k=1 8k-4 8k 1”=2(1 1.1-=-S 4）加k=l 2K-l 2K 4 1 1 s=-+4,1一1s 2”而48n 1 1 s钮2=S2,+上4 8n-4 8n 1 1 1 1 S4II-3=-S2n+4,4n-2 8n-4 8n*lims.4n-3=lims 411-2=lims 411-l=lims 4n n,OCJ n切n幻n切s 1_4 _ 1 I 2 s m i ln 1-4=-s 故，重排之后的新级数收敛于40 由1、2可知，级数重排后，改变了级数的收敛和。因此，非绝对收敛的级数不能进行项的重排。第三节幕级数一函数项级数的一般概念设有定义在

33、区间上的函数列l u1(x),u2(x),.,u,(x),.oo Lun(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)+由此函数列构成的表达式，1=1(1)称作函数项级数。x El 对于确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数fun(x。)=u,(x。)u2(x0)+u，心。）+.n=)(2)若(2)收敛，则称点X。是函数项级数(1)的收敛点；若(2)发散，则称点X。是函数项级数(1)的发散点；函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；函数项级数的所有发散点的全体称为它的发散域。对于函数项级数收敛域内任意一点x,(1)收敛，其收敛和自然应依赖于X的取值，故其收敛和应为X的函数，即为s(x)。通常

34、称s(x)为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域，并记s(x)佑(x)+u2(x)+u,(x)+s(x)limsII(x)=s(x)若将函数项级数(1)的前n项之和（即部分和）记作，1，则在收敛域上有，IOO若把r,(x)=s(x)-s,(x)叫做函数项级数的余项（这里 X在收敛域上），则四凹,(x)=O.二幕级数及其收敛域函数项级数中最常见的一类级数是所谓幕级数，它的形式是2.-_ I a+a x+a x+a x+0 1 2 (3)或化飞(x-X。)吵飞）2+an(x-X。)i+.(4)其中常数a。,a,a2,.,a11称作幕级数系数。(4)式是幕级数的一般形式，作变量代换t=X-

35、X。可以把它化为(3)的形式。因此，在下述讨论中，如不作特殊说明，我们用幕级数(3)式作为讨论的对象。1、写级数的收敛域、发散域的构造先看个著名的例子，考察等比级数（显然也是幕级数）l+x+x2+.+x+.的收敛性。1 当|x|l 时，该级数收敛千和1-x;当中1时，该级数发散。因此，该幕级数的收敛域是开区间(1,1)，发散域是（勺汒l)及(1,+oo)，如果在开区间仁l,I)内取值，1 则1+x+x2十+x+=言s(x)由此例，我们观察到，这个寡级数的收敛域是一个区间。事实上，这一结论对一般的幕级数也是成立的。L-【定理一】（阿贝尔定理）oo 若X=X。仔0)时，幕级数;a,，x1收敛，则适

36、合不等式讨|X。1的一切X均使幕级数发散。co【证明】先设Ia11x X=X0(i:-0)。是幕级数，1=0的收敛点，即级数a。+aIX。+a心+a，忒.lima，对0收敛，则，t妞。于是存在一个正数M，使得la,x。n M(n=0,L2,.)从而la,xI=la,，对X XI _.I X 对=la,x。|M.(n=0,1,2,-)X。X。X 心X lxl lxol 1 当xl lxoJ。使级数收敛。据定理一的第一部分，级数当x=x。伊0)时应收敛，这与定理的条件相矛盾，故定理的第二部分应成 旦。阿贝尔定理揭示了幕级数的收敛域与发散域的结构fa,x 对千幕级数，1=0若在x=x。仔0)处收敛，

37、则在开区间门对，因）之内，它亦收敛，若在x=x。(,t:.0)处发散，则在开区间（|对，I蚧）之外，它亦发散，这表明，幕级数的发散点不可能位千原点与收敛点之间。于是，我们可以这样来寻找写级数的收敛域与发散域八.n P。p g p,.。会XFX fa,xn 设幕级数，动在数轴上既有收敛点（不仅仅只是原点，原点肯定是个收敛点），也有发散点。0从原点出发，沿数轴向右方搜寻，最初只遇到收敛点，然后就只遇到发散点，设这两部分的界点为P，点P可能是收敛点，也可能是发散点；从原点出发，沿数轴向左方搜寻，情形也是如此，也可找到一个界点P，两个界点在原点的两侧，由定理一知，它们到原点的距离是一样的0位千点P与P

38、之间的点，就是幕级数的收敛域；位于这两点之外的点，就是幕级数的发散域。借助上述几何解释，我们就得到如下重要推论2 a,ixl【推论】如果幕级数，1=0不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有个确定的正数R存在，它具有下列性质0当lxlR时，幕级数发散；0当x土R时，幕级数可能收敛，也可能发散。正数R通常称作幕级数的收敛半径。-R R P。p 由幕级数在x士R处的敛散性就可决定它在区间(-R,R),-R,R),(-R,R或-R,R上收敛，这区间叫做幕级数的收敛区间。特别地，如果幕级数只在x=O处收敛，则规定收敛半径R=O，如果幕级数对一切X都收敛，则规定收敛半径R位3.2、霉级数的收敛

39、半径的求法fa,x【定理二】设有幕级数，动，且lim华!_l=pnOO a a.a 11+1 I 是幕级数的相邻两项的系数）1 R=如果oP丑0，则P;eP=O，则R=+oo;o P=OO，则R=O0【证明】考察幕级数的各项取绝对值所成的级数la。|+|a,xl+la2x2I+.+扣，,xJ+(*)a,+1X 该级数相邻两项之比为l|ax:：三上lxllim a n+I=p伊0)O若n-001 a 存在，据比值审敛法，a.x 11+1 lim 0当;,;la11xI-OOa,1|,!+l|=hm竺囚p|斗l 1斗 1 snlx|丿Iaxi+l,O当，即气，级数（）从某个n开始有a+IX11+l

40、1la,xI I arlx1|axi 从而不趋向千零，进而，？也不趋向千零，因此原幕级数发散。1 R=-于是，收敛半径P;若p=O，则对任何x,有a入卢1I lllTII n+1|=hman+1 nOO Ia xII nOO a _区|p-lxl=O从而级数（）收敛，原幕级数绝对收敛。千是，收敛半径R=+OO;|a,1+lxt+1|a lim 若p=OO，则对任何X丑0，有f1。忆，x1|畸了囚 OOla11+1x+1 1 依极限理论知，从某个n开始有la,xI-la11+1x+1 I la11x I -n 叫,l,，x，1士0hmanx#0 因此，曰OO，从而n心原幕级数发散。千是，收敛半径

41、R=O0【例1】求下列幕级数的收敛半径与收敛区间2 3 II x x x/l-l x-+-+(-1)+.l、23 n 2n-l 区x2一22 n=I 2n=n-曰四ln=l-n I,)d(I l-曰I I、，.(叶ln=a叫一0n畔.n=p 里这 1 解R=l 1 1 1 1 1-在左端点x=-1，幕级数成为2 3 4 n 它是发散的；1 1 1 1+-+(-1)”-l-+在右端点x=l，幕级数成为2 3 4 n 它是收敛的。收敛区间为(-1,1。解2此幕级数缺少奇次幕项，可据比值审敛法的原理来求收敛半径u,+/x)I,_J2n+l _ 2,/2nl 2n+1 2 1 2 四U，心）皿21+l

42、x2/II 2i x征2气，吧4n2冈lxl1 忙1enl习F当2，即 1 enl 配，即心5时，幕级数发散；匀2n12 心2n-1 _._,.;=.2n1(丘）征2区2n-l区对千左端点x=J，幕级数成为，l12”,1=l 21”=l 2 它是发散的，F i2n-l忑）2n-2心2n-l2I li2n-l 对千右端点x=2，幕级数成为，l12”,l=1 2n n=l 2 它也是发散的。故收敛区间为(-2,五5)。fn2气1-x)”x1【例2】求函数项级数的收敛域，l10()I:n22t 解：作变量替换t=(1-x)x，则函数项级数变成了幕级数，叫p=li叶(n+1)；：（11+l)=lim4

43、(n+l)=4 l 11-001 n2-I 11-00 n R=.:.因故收敛半径为40 t=-fn22(-11=i 在左端点4，幕级数成为，l1(区（l）“n11=1 它是发散的；1 1l OO t=-Ln22n 在右端点4，平级数成为，i1(=I n n=I 它也是发散的。1 I t 故收敛区间为4 4 l l l-l+1 l 一一(1-x)x XE(,）且X-:/=一即4 4，亦即2 2 20 三幕级数的运算性质对下述性质，我们均不予以证明1加，减运算oo 区a,1x“2b/1x”设幕级数庐1及，白的收敛区间分别为(R1,R1)与(凡，凡），记R=minR1,R2,lxl-R+O II=

44、()若幕级数在敛区的右端点x=R处收敛，则其和函数s(x)在x=R处左连续，即戊lim s(x)=）区a,(R)xR-0 II=()注：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非常有用。3逐项求导2a,x,幕级数，11的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内可导，且有s(x)=（ia,lx1)江，x”)，心nanx1一1/l=0 n=0/1=l 4逐项求积分fa,x 哀级数，ll的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内可积，且有I s(x)dx懿勹三扣，x“心归X11+lo o,i=0,i=0 o,，动i+l苯点处是否收敛呢？我仔细观察、观察.:幕级数通过逐项求导，逐项求积之后所得到的新幕级数在

45、原收敛区问内仍收敛；.：但在收敛区间的端点处其敛散性会发生改变，因此，应予以重新判定。l l l 1 l-+-+(l)1一1-+【例3】求数项级数2 3 4 n 之和。1 1+x+x2+-+x一1十=(-1 X 1)解：1-xX X 1 f ldx+f xdx+f x2 dx+f xn一1dx+寸一心0 0 0 0 0 1-x 1.2.1.3.1.11 x+-x+-X+-X+.=-ln(l-x)2 3 n 当x=-1时，幕级数成为l l l l l l(-1)+(-l)2+(-l)3十.十(-lj+=-1-+一+(-l)”-l+.2 3 n 2 3 n 是收敛的交错级数。1 1 1 l+-+-

46、+十一十.当x=l时，幕级数成为2 3 n 是发散的调和级数。l 2 1 3 1 x+x+-X+十x+=ln(l-x)(lsxl)故23 n l l 1-l-一一.+(-1)？一1+.=-In 2 且有2 3 n l l l 1-+.+(l)，一l+.=ln2 2 3 n oo X,1+1 区(-1)+1【例4】求，尸ln(n+l)的和函数。p=hmIa,1+1=lim(-l)”+2 1,1+l 解：分OOan1-OO(n+l)(n+2)/(-l)n(n+1).n=lim _:_:_=1 II00n+2 R=l。X n+I s(x)=L(-l)+I-1 X 001 a.I 1100 n R=l

47、+nxn+设s(x)=x+2x2+3 x3+气-nx+x 1)s(x)=x-(1+2x+3 x2+nx-1+)=x(x+x2+x3+-+x+)=x(1-xx1=x(l-x)2 X x+2x2+3入:3十+nx+=故，当1 x 1时，有(1-x)21 1,2,3,n丘1-+.+=2 令x=i，得222232-(1片）2第四节函数展开成幕级数一泰勒级数(1)泰勒级数：如果f(x)在x=x。处具有任意阶的导数，我们把级数f(x。)f(x。)f(n)(x。)f(x。)+（xX。)（xX。)2+.+(xX。)”+l!2!n!(l),oo尸(x。)2 (x-x。)”即1=0n!称之为函数f(x)在x=x。

48、处的泰勒级数。,f(k)（x。)s s,.+1(x)区(X-X。)k它的前n+l项部分和用+1(X)记之，且k=0 k!这里：0!=l,f(0)（x。)=f凶）根据泰勒中值定理，有f(x)=s11十i(x)+R,(x)R(x)R,(x)=尸飞）(xX。)”+I(;在x与x之间）当然，这里，是拉格朗日余项，且(n+l)!由凡(x)=f(x)s,+1(x)有皿凡(x)=0叫皿s,+1(x)=f(x)。limR,(x)=0 因此，当心时，函数f(x)的泰勒级数f(x。)f”(x。)f(x。)/(xo)+(x-X。)+(x-X。)+.十l!2!II!(x-X Xo)+.,-就是它的另一种精确的表达式。

49、即f（入。）f”(X。)f(，“(x。)f(x)=f伈）+一(x-x。)(x-x矿+（x 心”+l!2!n!这时，我们称函数J(x)在X=X 0处可展开成泰勒级数。x=0 特别地，当时，f(0)j.(0)2尸(0)，If(x)=f(O)+x+x+x+oo尸(0)l!2!n!，即邑n!X 这时，我们称函数f(x)可展开成麦克劳林级数。将函数f(x)在X=X。处展开成泰勒级数，可通过变量替换t=x-x。，化归为函数f(x)=f(t+x。)F(t)tr t=0=在处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的证明：设f(x)在x=O的某邻域(-R,R)内

50、可展开X成的幕级数f(x)=a。+a1x+a2x2+a11x+据幕级数在收敛区间内可逐项求导，有J(x)=1 a1+2-a2x+na,x-1+f(x)=2la2十+n (n-l)a11x11-2+f(J(x)=n (n-1)la11+(n+1)n-2a,+,x+把x=O代入上式，有f(O)=a。J(O)=1 a,r(0)=2 l a2 f l(0)=n (n-1)-l a11 an=f(O)从而a1=f(O)1!a2=三2!f(I/)(0)a,1=n!于是，函数f(x)在x=O处的幕级数展开式其形式为f(0)f”(0)2 f(x)=f(0)+x+x+.f()(Q)-I X+1!2!n!这就是函