高中数学必修一函数的应用(二)(精讲).pdf

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1、4.5函数的应用(二)(精讲)思维导图*-O-对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=O的实数x叫做函数y=f(x)的零点如果函数y=f(x)在 区 间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0,那么，函数y=f(x)在 区 间(a,b)内至少有一个零点，即存在c (a,b),使得f(c)=O,这个c也就是方程f (x)=0的解代数法：求方程f(x)=0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点几何法：与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点，画 出函数y=f(x)的

2、图象，判定它与x轴的交点个数，即判定零点的个数【结合单调性和零点存在定理，可判定y=f(x)在(a,b)上零点的个薪 转化成两个函数图象的交点个数问题.对于在区间 a,b 上图象连续不断且f(a)-f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐力步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；口 诀 八 周而复始怎么办？精确度上来判断./-/(1)确定率点4的初始区间 围 同，联 证f(由，份0/(2)求 区 间(司 的 中

3、 点c/(3)计算尸(9.并进一步确定零点所在的区间1 若/4=0砒 时4=c),JHc就是屈数的本点此时(a,c),则令 A=c1 若 f(c)d 0 且&*1）对数型函数模型=b l鸣本b,c 为 常 数，a 0 且
)基函数型模型f（6=蚊+b（a,6为 常 数，�）函数模型应用函数模型解决问题的基本过程1 .审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.2 .建模一一将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型.3.求模一一求解数学模型，得出数学模型.4.还原一一将数学结论还原为实际问题.考法一函数的零点f 2r-l r 1【例

4、 1】（2 0 2 1 全国）已知函数/（=一,则函数/的零点为（）1 +l o g 2 K x 1A.2 B.-2,0 C.1 D.0（2 0 2 1 全国高一单元测试）函数/（x）=4、-2-2 的零点是（）A.（1,0）B.1 C.1 D.-1（2 0 2 1 上海）设函数y =a*-4,（“0,。=1）,若其零点为2,则干.【答案】（1）D（2）B（3）22 1 一1 x 1【解析】（1）.函 数/（幻=一 1 +lo g2 x,x 1当工,1 时,令/）=2-1 =0,解得x =0当x l 时，令/（x）=l +lo g2 X =0,解得x =；（舍去）综上函数的零点为0.故选：D.

5、（3）由题得-4 =0,.=2 或。=一2,因为。0,a x l,所以 =2.故答案为：2【一隅三反】1.（2 0 2 1 全国）片2 1 的图象与x 轴的交点坐标及其零点分别是（）1-21-2-I),21721-2-0(0,A.aB1-21-2D【解析】在尸2 尸1 中，令，=0,得X=；，所以交点坐标为：（g,O），零点为：y，故选：B2.（2 0 2 1 全 国高一课时练习）若函数），=o r+6 0?0）经过点（2,0）,则函数y =的零点是（）A.0 2 B.0,C.0）D.2,2 2 2【答案】C【解析】：函数产依+6经过点（2,0）,2a+b=0,b=-2a,ybx2-ax-2a

6、x2-ax,令-26-公=0,则芭=0,=-1所以函数y =凉-q X 的零点是0和.故选：C.3（2 0 2 1 全 国高一专题练习）若为，%是二次函数y =/-5 x +6 的两个零点，则,+的值为（）X x2A.B.C.D.2 3 6 6【答案】D1 1 1 1 5【解析】由题意，令f 5 x +6=0,解得x=2 或3,不妨设苍=2%=3,代入可得一+=彳+=/.故选：D.4.（2 0 2 1 全 国）若函数f（x）=a l-2 a 的零点是1,则 a=.【答案】1【解析】依题意得&1）=0,即 l-2 a=0,解得a=l.故答案为：1考法二函数的零点区间【例 2】（1）（2 0 2

7、1 贵州省瓮安第二中学）函数 x）=Gj-x-2的零点所在的区间为（）A.（3,2）B.（2,1）C.（1,0）D.（0,1）（2）.（2 0 2 1 江 西抚州 高一期末）已知a是函数/2（力=2*-8 的零点，则函数/（x）=o x+ln x-5 的零点所在的区间为（）A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）【答案】(1)C(2)B【解析】(1)因为=-x-2 是连续的减函数，3 5 9/(-3)=0,/(-2)=-0,o 437/(-1)=-+1-2 0,/(0)=1-2 0,/(1)=-0,有/(-1)/(0)0,所以f(x)的零点所在的区间为(-1,0).故选：C(2

8、)由题意，a是函数(力=2、-8 的零点，即2 -8 =0,解得。=3,所以函数/(x)=3 x+ln x 5 ,又由/(x)=3 x+ln x 5 在(0,+8)上是增函数，且 1)=_ 2 0,可得/(1 2)0,根据零点存在性定理，可得函数f(x)=3 x+ln x-5 的零点所在的区间为(1,2).故选：B.【一隅三反】1.A.(2 0 2 1 上海高一专题练习)若与是 函 数=的零点,停 1)B.(，|)C.品)则与属于区间().【答案】C【解析】由题意，根据指数函数和基函数的性质，可得所1Mm品。卜“即 呜又/(x)=g J-1为R上的减函数，0,所以“2)/0,/(4)=-5.5

9、 0,所以 3)./(4)=/(x)必定存在零点位于区间(3,4),故方程/(=。必存在有根的一个区间是(3,4),故选：C.4.(2 0 2 1 建 国 高 一 专 题 练 习)函 数 的 一 个 零 点 在 区 间(1,3)内，则实数的取值范围是()A.(7,+o o)B.C.(7,T)U(7,+O)D.(-1,7)【答案】D3【解析】因为y =2 和y =-二在(0,+8)上是增函数，x所以/(x)=2*-a在(),+)上是增函数，所以只需/f(3)0 即可，BP(-l-a)(7-a)0,解得 l a 若函数g(x)=/(x)-机 有 3个零点，则实数加的取值范围-x-2 x,x 0，若

10、关于*的方程 x)=a 有四个实数根，则实数。的取值范围为()A.(-8,4)B.(0,31 C.3,4)D.(0,4)【答案】C【解析】作 出 函 数 的 图 象，关于x 的方程=a 有四个实数根，则函数y=/(x)与 y=a 有四个交点，则3 4”4,故选：C.4.(2。21 广东潮州)已知函数力仁逮的图象与直线一有三个不同的交点，则的取值 范 围 是()A.(4,3)B.-4,3)C.-4,-3 D.(-4,3【答案】D【解析】作函数/(万卜卜二丝一 户:0和丫:左的图象，如图所示，可知人的取值范围是-4 05(2021 全国高一专题练习)已知函数则方程g(x)F-3g(x)+2=O的根

11、的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】I)【解析】令 g(x)=f,则方程g(x)F-3g(x)+2=0 化为3r+2=0,解得f=l 或f=2,作出函数g(x)=：+八的图象，如图所示，4,x0由图可知，方程g(x)F-3g(x)+2=0 的根的个数为6.故 选：D.考法四二分法【例 4】(2021 浙江高一单元测试)根据已给数据：X1.51.531251.56251.6251.753,的近似值5.1965.3785.5655.9616.839在精确度为0.1 的要求下，方程3，=x+4 的一个近似解可以为()A.-1 B.1.5 C.1.562 D.1.7【答案】C【解析】y

12、=x+4,即30,令/(x)=3 x 4,贝 ij 41.5)=315 1.5-4,5.1 9 6-1.5-4,-0.3040,/(1.53 1 2 5)=3L 53I2 5-1.53 1 2 5-4 5.3 78-1.53 1 2 5-4-0.1 53 2 5 0,/(1.62 5)=31 62 5-1.62 5-4 5.9 61 -1.62 5-4 0.3 3 6 0,/(1.75)=3l 75-1.75-4 6.83 9-1.75-4 1.0 89 0,根据零点存在性定理可知：土 1.53 1 2 5,1.562 5),使/(x 0)=0,X-,|1.53 1 2 5-1.562 5|=

13、0.0 3 1 2 5 0.1,故3=x+4 的一个近似解可以为：1.562.故选：C.【一隅三反】1.(2 0 2 1 全国高一课时练习)若函数/(x)=V+x 2-2 x-2 的一个零点附近的函数值如下表:/(1)=-2/(1.5)=0.62 5/(1.2 5)-0.9 84/(1.3 75)-0.2 607(1.4 3 75)0.1 62/(1.4 0 62 5)-0.0 54则用二分法可求得方程X3+X2-2X-2=0的一个近似解(精确度为0.0 4)为()A.1.5 B.1.3 75 C.1.4 3 75 D.1.2 5【答案】C【解析】由表格中的数据，/(1.4 0 62 5)-0

14、.0 52 0 ,K1.4 3 75-1.4 0 62 5=0.0 3 1 2 5 。，/(1.4 0 65)-0.0 52 0,所以方程Y+犬-2 x-2 =0的一个近似根所在区间为(1 4 0 65,1.4 3 8)所以符合条件的解为1.4故选：C3.(2 0 2 1 定远县育才学校高一期中(理)设函数/(X)=4X3 +X-8,用二分法求方程4 V+x-8 =0 近似解的过程中，计-算得到/0,则方程的近似解落在区间()A.(1,1.5)B.(1.5,2)C.(2,2.5)1).(2.5,3)【答案】A【解析】取 =2,因为”2)=4 x 8+2-8=2 6 0,所以方程近似解飞 1,2

15、),tx2=|,因为f(|)=4x*|-8=7 0,所以方程近似解与 用，故选：A.4.(2 0 2 1 全国高一单元测试)用二分法求函数F(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0,*0.72)0,A 0.68)0,则函数的一个精确度为0.1 的正实数零点的近似值为()A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4【答案】B【解析】依题意，函数的零点在(0.68,0.72)内，四个选项中只有0.76(0.68,0.72),且满足|0.72-0.681 0.1,所以所求的符合条件的近似值为0.7.故选：B考法五函数应用模型【例 5-1】(2 0 2 1 全国)2 0 1 9年某开发区一家

16、汽车生产企业计划引进-一 批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3 0 0 0 万元，生产工(百辆)，需另投入成本C(x)万元，且1 0 x2+2 OOx,O x 5 0；x销售完.（1）求出2 0 1 9年的利润L（x）（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）2 0 1 9年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？-10X2+400X-3000,0X 5 0,x利润为5 8 0 0 万元.【解析】(1)当0 c x 5 0 时,L(x)=6 x 1 0 0 x-1 0 x2-2 0 0 x-3 0 0 0 =-1 0 x2+4 0 0 x-3 0 0 0

17、,当x N 5 0 时，L(x)=6 xl 0 0 x-6 0 1 x-纳 她+90 0 0 -3 0 0 0 =6 0 0 0-(x+纳 竺).XX-1 0 x2+4 0 0 x-3 0 0 0,0 x 5 0、x(2)当0 x 1 0 0 0.所以当 =1 0 0,即2 0 1 9年年产量为1 0 0 百辆时，该企业所获利润最大，目.最大利润为5 8 0 0 万元.【例 5-2】（2 0 2 1 河北高一期末）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量）（毫克）与时间r（小时）成正比；药物释放完毕后，y与r的函数关系式根据图中提供的信息，

18、求:（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间f （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2 5 毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始,至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.1 0/,(0 /0.1)a【答案】（I）y =，0.6【解析】（1）由图可知直线的斜率为k =、j =1 0.所以图像中线段的方程为y =1 0 r（0 V YQ1），因为点（0.1,1）在曲线y =6 上，所以1 =已，解得a =0.1,所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量）（毫克）与时间“小时）之间的函数关系式为1 0/,（0 /0.1）（2）

19、因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.2 5 毫克，学生也不能进入教室，所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.2 5 毫克以下时，学生方可进入教室，即（七）0.6,所以从药物释放开始，至少需要经过0.6 小时，学生才能回到教室【一隅三反】1.（2 0 2 1 湖南省邵东市第三中学高一月考）邵东市某宾馆有5 0 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每 天 1 8 0 元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加1 0 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出2 0 元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于3 4 0 元.设每个房间的房价每天增

20、加x 元（x为 1 0 的正整数倍）.（1）设一天订住的房间数为 直接写出V与的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若一天要保证利润不低于1 0 8 0 0 元，则提高的价格应该是多少？；（3）在（2）情况下订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1），=5 0-，（其中03160目 3 为1 0 的整数倍）；（2）价格为1 4 0,1 5 0,1 6 0；一天订住3 4 个房间时，最大利润是1 0 8 8 0 元.【解析】（1）由题意，宾馆有5 0 个房间供游客住宿，房价每增加1 0 元时，就会有一个房间空闲，可得与x的函数关系式为），=5 0-x（其中0 4 x 4

21、 1 6 0 且x 为1 0 的整数倍）.由可得订住的房间数为y=5 0 -x,所以宾馆的利润为卬=(1 8 0-2 0 +)(5 0 2 为=-/+3 4 +8 0 0 0,要使得一天要保证利润不低于1 0 8 0 0 元，令W 2 1 0 8 0 0,B P-%2+3 4 x +8 0 0 0 1 0 8 0 0 ,整理得/-3 4 0 x+2 8 0 0 0 4 0，解得 1 4 0 V x V 2 0 0,又由0 4 x V 1 6 0 目 3 为1 0 的整数倍，所以提高的价格应1 4 0,1 5 0,1 6 0 元.由 知，宾馆的利润为W=V+3 4 x+8 0 0 0 =一奈(x

22、-1 7 0 尸+j0 8 9 0,可得抛物线的对称轴为x =1 7 0,且开口向卜，因为0 4 x 4 1 6 0,可得当x e 0,1 6 0 时，函数单调递增，所以当x =1 6 0 时，此时房间的价格为1 8 0+1 6 0 =3 4 0 元，利润取得最大值，最大值叱皿=1 0 8 8 0 元，此时订出的房间数为5 0 -七 x 1 6 0 =3 4 间.2.(2 0 2 1 乌鲁木齐市第三十一中学高一月考)随着 国家宝藏 的热播，人们对文物考古的兴趣日益高涨，越来越多的人走进博物馆.某市博物馆为了保护一件文物，需要在馆内一种透明且密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体，该博物馆需要支付

23、的总费用由两部分组成：需支付保护液体的费用，已知罩内该液体的体积比保护罩的容积少05/,且每立方米液体的费用为5 0 0 元；需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2 m 3 时，支付的保险费用为4 0 0 0 元.(1)求该博物馆支付的总费用y(元)与保护罩容积x(m )之间的函数关系式；(2)求该博物馆支付的总费用的最小值.【答案】(1)y=5 0 0 x +-2 5 0(x 0.5)(2)3 7 5 0 x【解析】(D 设需支付的保险费用为人k(左 0)元，x当x =2 时，-=4 0 0 0,得=8 0 0 0,Xrri u8 0 0 0 8 0 0 0 “

24、、所以 y =50 0(x -0.5)+-=5Q0 x+-2 50(x 0.5)；x x(2)y =50 0 x+-2 50 2.500 x-2 50 =3 7 50 ,x v x当且仅当50 0 x=幽，即x =4 时等号成立，X所以该博物馆支付的总费用的最小值为3 7 50 元.3.(2 0 2 1 昭通市昭阳区第二中学高一期末)黑颈鹤是国家一级保护动物，主要在青藏高原繁殖，云贵高原过冬，是世界上1 5种鹤类中唯一在高原上繁殖和越冬的鹤类，数量十分稀少.截止2 0 2 0 年 1 1 月 3 0 日，大山包保护区黑颈鹤迁徙数据再破纪录，达 1 9 3 8 只，是至今为止历年来大山包监测到黑

25、颈鹤数量的最高纪录.研究鸟类的专家发现，黑颈鹤的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量。之间的关系为v =a +l o g 3 (其中“，人是实数).据统计，黑颈鹤在静止时其耗氧量为3 0 个单位，而其耗氧量为9 0 个单位时，其飞行速度为 1 m/s .(1)求出。，方的值;(2)若黑颈鹤为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(l)a =-l,6=1；(2)2 7 0.【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s,此时耗氧量为3 0 个单位，故有a+6 1 0 g即 a+6=0；当耗氧量为9 0 个单位时，速度为1 m/s,故有a+6 1 0 g 3-=1,整理得a+2b=l.解方程组a+b=Oa+2b=山 知，-一 1 +l o g 系.所以要使飞行速度不低于2 m/s,则 有 y 2 2,即一l +l o g 3 2 2,即 l o g：；马 3,解 得 0/2 7 0,所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s,则其耗氧量至少要2 7 0 个单位.