2019年高考真题数学(江苏卷含答案).pdf

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1、格式2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏 卷）数 学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共 4页，均 为 非 选 择 题（第1题 第2 0题，共2 0题）。本卷满分为 160分，考间 为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片 交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准 考 证 号 用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与 本 人 是 否 相 符。4.作答试题，必须用0.5亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2 B铅笔

2、绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加 粗。,式时参考公式:柱体的体积 V=-S h,其 中S是柱体的底面积,h是柱体的高.锥体的体积 1V S h,其 中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、填空题：本大题共置.上.1 4小题，每小题 5分,共计7 0分.请把答案填写在答题.卡.相.应.位.=n =+I.已知集合 A|1,0,1,6)B x|x 0,x R ,贝 必,B2.已知复数(a 2i)(li）的 实 部 为0.*巾i为 业 哉 枚.w）a a的值是 3.下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是 专业资料整理格式4.函数f 3)y=&+6x 的定义域是-5.已知一组数据 6,1,8,8,9

3、,1 0,则该组数据的方差是6.从 3名男同学和 2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 7.在平面直角坐标系xO y中，若双曲线-22丫Xb2Kb0)经 过 点（3,4）,则该双曲线的渐近线方程是 8.已 知 数 列 a.（n N 是等差数列,S8的工是其前 n 项 和.若 a2as a 0,S 9 27,则E-BCD 的410.在平面直角坐标系 xO y中，P 是 曲 v*（x线0）-Xx+y=0 的距离的最小值是 上的一个动点，则点线P 至恒11.在平面直角坐标系 xO y中，点 A 在 曲 线 y=ln x 上，且该曲线在点 A 处

4、的切线经过点（专业资料整理WORD格式-l）（e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 专业资料整理格式12.如图，在 A B C中,D是B C的中点，E 在 边A B 上，B E=2 E A,AD与CE交 于 点O .的值是-AG-413.已知则s i n14.的值是设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的 周 期 为4,g(x)的 周 期 为2,且f(x)时，是 奇 函 数.当 w(0,2 Jt(x)1)一 K 2rk(计 2),0 0.若 在 区 间(0 ,9 ,关 于x的 方 程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是二、解答题：本大题共 6小题，共 计

5、9 0分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内 作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 5.(本小题满分14分)在4 ABC中，角(1)若 a=3 c,A,B,b=2 ,C的对边分别为 a,b,c.2co sB3，求c的值；,-、什 si n A(2)若co s B,求si n(2 bB)的值.21 6.(本小题满分1 4分)如图，在直三棱柱ABC-AB1C 中，D,E 分别为 B C,AC的中点，A B=B C.求证：(1 )A B i/7平 面D E C.；(2)B E GE.专业资料整理格式17.（本小题满分 1 4 分）2 2如图，在平面直角坐标系 xO y中，椭 圆 x+

6、y二C:2 2-l（a0）a bF：（1,0）.过 Fz作 x轴 的 垂 线 1 ,在 x轴的上方，1圆 Fz：的焦点为 F（-、0）,-2+a 2(x 1)y 4a 交于点 A,与椭圆 C 交于点 D.连 结 A F i并延长交圆 R 于 点 B,连 结 BF?交椭圆 C 于 点 E,连 结 DF已 知 DF =52（I）求椭圆 C 的标准方程;（2）求 点 E 的坐标.18.（本小题满分 1 6 分）如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 1 ,湖上有桥 AB（AB是 圆 O 的直径）.规划在公路 1 上选两个点 P、Q,并修建两段直线型道路 PB、Q A.规划 要

7、 求：线 段 PB、Q A上的所有点到点 0 的距离均不.小.于.圆.O 的半径.已知点 A、B 到直 线 1的距离分别为 AC 和 B D（C、D 为垂足），测得 AB=10,AC=6,BD=12（单 位：百米）.（1）若道路 PB与 桥 A B 垂直，求道路 P B 的长;专业资料整理格式(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由:(3)对规划耍求下，若 道 路P B和QA的长度均为 d (单位：百米).求 当d最小时，PQ两点间的距离.1 9.(本小题满分 1 6分)设函数 f(x)=E a)C x b)(x c),c,b,c R、f(x)为 f(x)的导函数.(1)

8、若 a=b=c,f(4)=8,求 a 的值；(2)若aW b,b=c,且f(x)和f,(x )的零点均在集合(3,1,3)中，求 f(值；4(3)若a=0,0 v b,1 ,且f(x)的极大值为 M,一求正2 720.(本小满分 1 6分)定 义 首 项 为1且公比为正数的等比数列为“M数 列”.a2 a4ss as,a r 4a 2*4a4 ss 0 ,求证：数 列 an|U 其中 S,为 数 列(bn)的 前n项b 1和.(1)已知等比数列为”；(2)已 矢 口 数 歹Ubi(n(bn)满足 求 数 列 b.的通项公式;)的极小*0 N )满足:十=-Snnbn 设m为正整数，若存在“M-

9、列”C n(n N ),对任意正整数 k,当 km时，值.k k k 1数 学1 1(附 加 题)2 1.咽 搬 棒 据A、B、C三小题，请 选 定 其 中.两 小 题，.并 在 相 应 的 答 题.域 兀 内 作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步都 有c殁i j b c成立，求m的最大专业资料整理格式骤.A.选修生2：矩阵与变换(本 小 题 满 分 10分)己 知 矩 阵 A f2 1 -=f 2J(1)求 A2(2)求 矩 阵 A 的 特 征 值.B.选修生4：坐标系与参数方程 (本 小 题 满 分 1 0 分)在极坐标系中，已知两点、f 3n d

10、 pJ 2 J ，直线1 的方程为加 I )34 2 4(1)求 人，B两点间的距离；(2)求 点 B到直线1的距离.C.选修4-5：不等式选讲(本 小 题 满 分 1 0 分)一设 x R ,解不等式|x|+|2 x 1|2.【，必 做题】第2 2 题、第2 3 题，每 题 1 0 分，共计2)分.请 在 答.题.卡.指.定,域 区 内 作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.+n =+222.(本 小 题 满 分 1 0 分)n x)a ax a x设N .已 知=0 1 22 7+=+a3 2 a 2 a.4、n a b ，其 二中a,l中求(2 俨n 的值：(2 上 设(1

11、 3)J u 323(本小题用:分 9分)1 步平面直角坐标系 x O y 中，设点集B n (0,l),(n,l),C n (0,2),(1 ,2),(2,2),(令 M A B C.从 集 合 M“中任取两个不同的点，8E n n n n离.(1)当 n=l时，求 X的概率分布；t|+n *a x,n?4,nn _*2b N ,a 3 b M值.e An(0,0),(1,0),(2,0),(n,O)J1 1,2),n N .用随机变量X表示它们之间的专业资料整理格 式2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（江 苏 卷）数 学【答 案一、填 空 题：本 题 考 杳

12、 基 础 知 识、基本运算和基本思想方法51.1,6 2.2 3.5 4.1,75.38.16 9.10 10.4 11.（e,1）313.每 小 题5分，共计70分.76.To正10二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余 弦 定 理、同角三角函数关系、诱导公式 等 基 础 知 识，考查运算 求 解 能 力.满 分14分.解：（1）因为a c b B 3由余弦定理 cos B一 匚+-一=-2-2-得 2、x得 2(3c)c(2 )3 2 3c c所 以c3_（2）因为sin A cos B-a=，由正弦定理sin A sinB从而 cos B(2sin B),即-=cos B sin B

13、得，所以 cosB 2sin B.2b=(b.)=因 为sin B 0.所 以 c6B 2sin B0.从 而 cos 2 5=-B5因此 sin B n cosB 2 5.所以 A,B ED.专 业 贺(9 I6 H)又因为 ED?平面 DEG,A B.才面 DEC,所 以 A,B 平 面 DEC.（2）因为 AB=BC,E 为 AC 的中点，所以 BE AC.因为三棱柱 ABC-A,B1C是直棱柱，所以 CG_L平 面 ABC.又因为 BE?平 面 A B C,所以 CC（BE.因为 C C?平面 AIACC,AC?平面 A,ACC,GCCAC=C,所 以 BE _L平 面A.ACCK因

14、为 C E?平 面 A1ACC,所 以 BE CiE.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满 分 1 4 分.解：（1）设椭圆 C 的 焦 距 为 2c.因为 0),F；(l,0),所以 Fi 2=2,c=l.又因为 DF,=5,AF：1 x 轴，所以 DF：=2-D F-F F2，I1因此 2a=DF.+DF 2=4,从而 a=2.:2 2 2=a-c,得 b=3.由 b2 2因此，椭圆 C 的 标 准 方 程 为 x y 1十 ，=4 3（2）解法一：2 2由（1）知，椭圆 C：

15、x y 1 ,a=2,4 3因 为 AF2_L x 轴，所以点 A 的横坐标为 1.将 存 1 弋入圜F 2的 方 程（x-2+y=1 6,解得 尸土 4.1）+E F=2 a,所以 ER=EB,从而 Z BF,E=Z B.因为 F：A=F2B,所以 Z A=Z B,所以 N A=Z B E E,耳而：E F,F A因 为AFx轴，所 攻/母L弟.I -x 13因为 Fi(-1,0),由 2 2 v=一一J,x y，得 214 3又 因 为E是 线 段BF2与椭圆的交点，所以 y 3.2因此 E(1,3).218.本小题主要考查三 角 碘(的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学

16、建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力=.逆 分 分.=解：解法一：(1)过A作AE BD,垂 足 为E.N =N =由已知条件得，四边形 ACDE为矩形，DE BE AC 6,AE CD 8;因为PB1 AB,所以8 4cos PBD sin ABE10 5+业资料整理格 式所以 12 15.=-BB-=PB N _4因此道路5（2）若 P 在 D 处，由（1）可 得 E 在圆上，则线段BE上 的 点（除 B,E）到 点 0 的距离均小 于 圆 0的半径，所以 P 选 在 D 处不满足规防要求+连结A D,由（+1）如 2 2 10=-TO=-AE ED，从而 AD 2 AB 2 BD

17、2 7,蒯 N BADWftcos BAD 2AD AB 25 0所以线段AD上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的 半径.因此，Q 选 在 D 处也不满足规划要求综上，P 和 Q均不能选在 D 处.（3）先 讨 论 点 P 的位置.当NOBP =3EBA 15 9；5PiB 15.=设P 为 1 上一点，且 RB AB,由（PBD PB cos1 1 PPB 中，PBPD PB sin1 1当NOBP90。时 ，在由上可知 dN 1再讨论A Q 的位置.由（2）知，要使得QA2 1 5,点 Q2 2 15z 62CQ QA AC只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15时,3

18、21.此时，线段QA上所有点到点 O 的距离均不小于专 业 资 料 恪 理W ORD1各 式圆O的半径.专业资料整理KA综上，当P B _L A B,点Q位 于 点C右侧，且C Q=3J _7 I M.d最小，此时 P,Q两点间的距离P Q=P D+C D+C Q=1 7+3 牙-因此，d最小时，P ,Q两点间的距离为 1 7+y T-2 1 (.解法二：(1)如图，过 0作O H _L 1,垂 足 为H.以O为坐标原点，直线 O H为y轴，建立平面直角坐标系因为B D=1 2,A C=6,所 以O H=9,直 线1的方程为y=9 ,点、A,B的纵坐标分别为 3,-3.因为A B为圆y2=25

19、.O的直径，A B=1 0,所 以 圆。的 方 程 为x从而为因为4A (4,P B A B,所以直线P B直线所以9),-3),直 线AB的斜率作4P B的方程为P (-1 3,的斜率为1 5.因 此 道 路P B的长为1 5 (百米).3),B (-4 ,(2)若P在D处，取线段 B D上 一 点E (-4 ,0),则E O=4 5,所 以P选 在D处不满足规划 要 求.若Q在D处,连结 KD,由(1)知 D (-4 ,9),又 A (4,3),所以线段A D：6(4 毅ij x4).在线 段AD上取 点M (3,1 5 ),因为4 O M22 1 53所以线段AD上存在点到点O的距离小于

20、圆y3 x4+32 24 5 ,4O的 半 径.因 此Q选 在D处也不满足规划要求专业资料假理W ORD1各 式综上，P和Q均不能选在 D处.专业资料整理（3）先 讨 论 点P的位置.当N O B P B1A B ,由(1)知,P.B=15,此时 P i (-13 ,9)；当N O BP 90 时，在P P B 中，PB R B 15.1由上可知，d N 15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得丁寸吁空点学右侧，才修 产 腰 求.*尸k 1 5时，设Q (a,9),由 A Q4)2(9 3)2 15(a 4),得 a=4 3 2 1,所以 Q (4 321,9）,此时，线段QA上所有点到点综

21、上,=+9),Q.4。的距离均不小于圆O的半径.3 21.9）时，d最小，此时P,Q两点间的距离=+当 P (-13 ,P Q4 3 21“3 21.因此,d最小时，P,Q两点间的距离为17 3 21（百米）1 9.本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法以及逻辑推理能力.满分 1 6分.解：（1 ）因 为a b c ,所 以(4)8，所以(4=-2r3a)f(x)a)8,解得（2；区 地c .(x a)(xa*b)(x3c)(x所以f(x)a bI 22x a)(x b)322b)x*b(2 a b)x从 而+x2ab2a bb.令x)0 ,得xa bb或)2a33()

22、3+b,都 在 集 合 3,1,3)中,H a b.学 业 资 料 整 理W ORD格式防，3所 以 2a bl,a 3,b3 3.此时 f(x)(x 3)(x 2 3),f(x)3(x3)(x 1).专业资料整理格式令 f (x)=0.mx _ _ 3 1列 入 加 人X(3 -3)3_(3,1)1出1，)f*(X)+0-0+f(x)极大值极小值所 以f(X)的极小值2“i (i)=I J-为32.(3)因为 a 0,c 1,所 hl=f(x)=x(A b)J x-1)_ x+(b+l)x以bx,=2 +f (x)3x 2(b l)x b.=+=+因 为。b L 所以*/12b(2b I)3

23、0,(0.因为 C k W b k W c k+i,所以q?kqk,其 中k=l,2,3,当k=l时，有七2 1；当 k=2，3,?m时,设 f(x)1令 f (x)因为 r n V-l n 82，m.一4I n kk有I n q-l ak 11 I n x0，则M 2,X,得x=e.歹 眨加 下：_ H _e(e f+0 c)l n 9KI n 3f W+0极大值,所以-I n 3F6m a x633取q时,当 k=l ,2,3,4,51 n kI n q,即3kkq93q k 1 k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若 m2 6,216,分 别 取k=3,6,得3 W q1 5，且q6,

24、从 而q 2 24,3且q W所 以q不 存 在.因此所求 m的最大值小于6.专业资料抠理W ORD1各 式综上，所求 m的 最 大 值 为5.数 学11(附加题)参考答案专业资料整理2 1.【选做题】A.I选 修4-2：矩 阵 与 变 换 本小题主要考杳矩阵的运算、特征值等基础知识，考杳运算求解能力.满分1 0分.解:(1)因为F3A =iI2所以2:3A，=iX3 +1 X2X3 +2 X 23 X 1 +I X 2 1 1 12X 1 +2X 2 j l O56(2)矩 阵A的特征多项式为2f()I+54.2令f(值)0,解 得A的特征14 .1,B.选 修4 -4：坐标系与参数方程 本

25、小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,n l k考 查 运 算 求 解 能 满 分1 0分.由余弦定理，得AB=32 p(52个+d=32 c o s(24则 直 线1咏3xB(为2,)，2(2)因为直线32,),倾斜角为2 4所 以 点B到 直 线1的距离C.选 修4 -5：不 等 式 选 讲)，-V-X(3 22n32)s i n()4 2本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1 0分.解：当x 0时，原不等式可化为11 2x 2,解得x3专业资料整理格式1当0 2,即x 2,解 得x Lx 2综上，原不等式的解集为或 x 1).322.【必做题】本小题主要考

26、查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析 问酸助演漱解能力，满分 i o分/=+I M +n 0 1 2 2 n n解：(1 :为(工 x)-C=C x_ C x C x，n 4 ,n n n n所以 2 R(n 3 n(n l)(n 2)a C ,aC,2 一 n 3 n2 63)4n(n l)(n 2)(na 4 C-n =x；)242因3 2a2 a4，=所 加 町）（，）n(n 1)n(n1)(n 2)(n，解 得n(2)由（1 ）如.5.+245(I3)n3屋(1+0c5_1C35C2.3)5X2C=-3(3 22).53C43)54 5C (3)55解法一:从 而a2解法二:3三+

27、*N ,所以3 b 2 _76?+a0*476,5bX50223C 3 C53孑业资料整理39 C554 4 ,54455W ORD格式(13)C C(3)C(3)5 5 5C(3)C(3)5 5C(3)50 1C C 35 52C(3)52 3C(3)53 4C(3)54 5C(3)55*5因加b N,所以(1 3)3.因此 2 3*(3)(32a b3)(13)5(1 3)2)a ba bab专业资料整理格式2 3.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识,考查逻辑思维能力和推理论证能力.满分1 0分.解：(I 1学X的 所 行 可 能 取 值 是1,2,

28、2,5 12)27 7P(X=1)=,P(X=X 的概率分布为 244C 6 1 52P(X2)22,P(X2 25)2C 61 5C 6 1 5(2)实A(a,b)和g(c ,d)是 从M 4取出的两个点.P(Xn)1 P(X4n),所以仅需考虑X n的情况.若bn的取法：若0,d1 ,则A Bd,则 A B n .不 存 在X1.所 以X n当且仅当因为此 时a0,cn或n ,c0 ,有2种取法:4Bn _b0,d2(n1)4.所 以X0 ,有2种取法;则A B则厂 ,=V -n 当it.仅即 A B 若为当n或若此时种取法;a的 而 可 硒 珈 是综 上,当Xn时.,且2224n1 .所 以X n当且仅当0,c n 或4 .此 时a 0 cA BP(X1)4)因此,P(Xn)P(X1)P(X4)62C n24N22n2C n240 ,有2,P(X2C n2422学业资料整理