三角形与全等三角形(强化)(解析版).pdf

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1、专题1 4 三角形与全等三角形一、考向分析中考中多以填空题、选 择 题 的 形 式 考 查 三 角 形 的 边 南 关 系，通过解答题来考查全等三角形.的 性 质 及 判 定.全 等 三 角 形 在 中 考 中 常 与 平 行 四 边 形、二 次 函 数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力.二、思维导图找夹角（SAS）找直角（HL）已知两边找第三边（SSS）找已知角的另一边（SAS）找已知角的对角（AAS）边为角的邻边-找已知脚的夹角（ASA）已边为角的对边.找任意 角（AAS）找两角的夹边（ASA）_找ffiB的T（AAS）三、最新考纲1.了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形

2、的三边关系.2.理解三角形内角和定理及推论.3.理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.4.掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.四、考点强化【考点总结】一、三角形的概念及性质1.概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形.12.性 质：(1)三角形的内角和是1 8 0。；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边.【考点总结】二、三角形中的重

3、要线段1 .三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心.2 .三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高.特性：三角形的三条高线相交于一点.3 .三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.特性：三角形的三条中线交于一点.4 .三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半.【考点总结】三、全等三角形的性质与判定1 .概念

4、：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2 .性 质：全等三角形的对应边、对应角分别相等.3 .判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(S S S)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(S A S)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(A S A)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(A A S)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(H L).五、新题解析一、单选题1.(2 0 2 1 河南许昌市九年级一模)如图，在AABC中，N 8 A C=1 3 8。，将 A B C 绕点A按逆时

5、针方向旋转得到 A B C.若点8刚好落在3 c 边上，且 A8=C9,则NC的度数为()2cB/_ BxS*A.16 B.15 C.14 D.13【答案】C【分析】由旋转的性质可得N O N C,AB=AB，由等腰三角形的性质可得N O N C A B l Z B=Z A B B,由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解.【详解】解：AB=CB,/.ZC=ZCA Br,工 ZABB=ZC+ZCAB=2ZC,将 ABC绕点A 按逆时针方向旋转得到 AB C,.Z C=Z C,AB=AB,AZB=ZABB=2ZC,VZB+ZC+ZCAB=180,A3ZC=180-138,:.ZC=14,.*.

6、ZC=ZC=I4,故选：c.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键.2.（2021 湖北黄冈市九年级一模）如图所示，直线a A,Z l=30,N2=90。，则 N 3的度数为（）b3A.120 B.130 C.140 D.150【答案】A【分析】反向延长/2 的边与a 交于一点，由三角形外角性质可得N 4=N 2-/l=60。，再根据邻补角以及平行线的性质，即可得到/3 的度数.【详解】解：如图，反向延长N 2 的边与a 交于一点，由三角形外角性质，可得N4=N2-N1=6O。，.*.Z5=180-Z4=120,：ab,/.Z3=Z5=120.故

7、选：A.【点睛】考查了平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.3.（2021山东青岛市九年级一模）如图，点A,B,C 在。O 上，ZABC=26,过点C 作。的切线交OA的延长线于点。，则的大小为（）CA.26 B.52 C.28 D.38【答案】D【分析】连接O C,由切线的性质得NOCD=90。，再由圆周角定理得NCOD=52。，最后由三角形内角和定理即可求4出答案.【详解】解：连接0 C,如图所示:V C D 与。O 相切,A0C1CD,.,.ZOCD=90,由圆周角定理可知：ZCOD=2ZCBA=52,ZD=90-Z COD=90-52

8、=38,故选：D.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识：熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键.4.（2021 上海崇明区九年级一模）已知点G 是D A B C 的重心，如果连接A G,并延长A G 交边B C于点、D,那么下列说法中错误的是（）A.BD=CD B.AG =GD C.AG =2GD D.BC=2BD【答案】B【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可.【详解】解：点G 是口 4 3。的重心，:.BD=CD,AG =2G D,BC=2BD.；.A、C,D 正确，B 错误，故选B.5BDGC【点 睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心

9、是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.5.（20 21 上海松江区九年级一模）如 图，已知在MTA 8C中，NC =9（）。，点G是的重心，G E _ L A C,垂 足 为E，如 果C B =8,则 线 段GE的 长 为（)D.10T【答 案】C【分 析】因 为 点G是D A B C的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距2离与重心到对边中点的距离之比是2:1,可 知 点。为5c的中点，一=一，根 据GE L A C,可得G D 1E G A GZ A E G =90，进 而 证 得 A E GsA A C D,从而得到一=

10、，代入数值即可求解.C D A D【详 解】如 图，连 接A G并 延 长 交6C于点。.点G是 口49。的重心,6点。为BC的中点，=，GD 1 CB=8,CD=BD=-B C =4,2GEAC.ZAEG=90,ZC=90.ZAEG=NC=90，.ZEAGZCAD（公共角）,AGsAAC。，,EG AGCDAD,AG _2,G O T.AG _ 2 AD-3.EG AG _ 2,丁一罚一3.EG=*.故选：C.【点 睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重:心的性质是解题的关键.6.（2021山东泰安市九年级一模）如 图，0 A交。于 点8,A。切。

11、于 点。，点C在。上.若NA=C.30 D.357【答案】B【分析】根据切线的性质得到NOD4=90。，根据直角三角形的性质求出NOOA,根据圆周角定理计算即可.【详解】解：切口。于点）ODAD：.ZODA=90,/NA=40。，Z r）M=90o-4 0o=50/BCD=L/DOA=25。2故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解.7.（2021日喀则市教育局教育科学研究所九年级一模）已知 ABC中NA:ZB:NC=3:4:7,则 ABC一 定 是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.

12、不能确定【答案】B【分析】根据三个内角的比，利用三角形内角和定理可求出最大的角的度数，即可得答案.【详解】V ZA：ZB：ZC=3：4：7,.,.ABC中最大的角为/C,VZA+ZB+ZC=180,7/.ZC=180 x =90,14二.ABC一定是直角三角形，故选：B.【点睛】8本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为1 8 0。是解题的关键.8.（20 21 山东淄博市九年级一模）如图，在 A 钻 C 中，C O平分NA C B,已知N A =7 4,/3 =4 6,则N3OC 的度数为（）A.1 0 4 B.1 0 6 C.1 3 4 D.1 3 6【答案】A【分析】首先根据三角

13、形内角和为1 8 0。以及角平分线性质得出N A C D=/B C D=3 0。，再利用三角形内角和进一步求出答案即可.【详解】,N A=7 4,N 5 =4 6,Z A C B=1 8 0o-7 4-4 6o=6 0,8 平分 N ACB,.,.Z ACD=Z BCD=3 0,，Z B D C=1 8 0-Z B-Z BCD=1 0 4 ,故 选:A.【点睛】本题主要考查了三角形内角和性质以及角平分线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.9.（20 21.日喀则市教育局教育科学研究所九年级一模）等腰三角形的两边长分别为5 c m 和 1 0 cm,则此三角形的周长是（）A.1 5 cm

14、 B.20 cm C.25 cm D.20 cm或 25 cm【答案】C【分析】分 5 cm是腰长和底边两种情况讨论求解即可.【详解】95cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm,：5+5=10,不能组成三角形，10cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、10cm、10cm,能组成三角形，周长=5+10+10=25cm,综上所述，此三角形的周长是25cm.故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形.10.（2021.河南九年级二模）如图，在AABC中，A8=AC,AE平分NBAC,DE垂直平分

15、A B,连接CE,NB=70.则NBCE的度数为（）【答案】B【分析】连接B E,根据等腰三角形性质求出E B=E C,根据线段垂直平分线性质求出A E=B E,根据等边对等角求出N B A E=/E B A、N B C E=/E B C,即可求出答案.【详解】解：如图，连接BE,：AB=AC,AE平分NBAC,10:EB=EC,:/E B C=/E C B,V ZABC=70,AC=ABf：.ZACB=ZABC=10fA ZBAC=1800-ZABC-NAC8=40。，TAE 平分 N3ACNA4E=20。，OE垂直平分AB,:,AE=EB,：.ZABE=ZBAE=20f:/B C E=NE

16、BC=/A B C -ZABE=10-20=50,故 选&【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂宜平分线的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出/B A E:NEBA和NBCE二 NEBC是解此题的关键.11.(2021山东临沂市九年级一模)如图所示ABCD,AD与 BC相交于点E,EF是NBED的平分线,若N 1=30。，Z 2=4 0 ,贝|JNBEF=()A.70 B.40 C.35 D.30【答案】C【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质得到NBED=70。，易得NBEF.【详解】解：VAB/CD,A Z 2=Z D=40,VZBED=Z1+ZD,Z l=30,AZBED=70

17、,11：EF 平分/B ED,ZBEF=-ZBED=35,2故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，求出NBED的度数是解题关键.12.（2021广东阳江市九年级一模）如图，在 ABC中，CD平分NACB交 AB于点D,过点D 作 DEBC交 AC于点E,若/A=54。，Z B=48,则/C D E 的大小为（）A.44 B.40 C.39 D.38【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和得出N A C B,利用角平分线得出N D C B,再利用平行线的性质解答即可.【详解】VZA=54,NB=48,.ZACB=180-54-48。=78,：CD平分NACB交 AB于点D

18、,.ZD C B=x78=39,2VDE/7BC,NCDE=NDCB=39。，故选C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质.13.（2021山东淄博市九年级一模）已知图中的两个三角形全等，则/a 等 于（）12A.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案.【详解】解：如图，两三角形全等，A Z2=60,Zl=52,.*.Za=180o-50o-60o=70,故选：C.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相

19、等是解题的关键.14.（2021广东阳江市九年级一模）如图，在已知的 ABC中，按以下步骤作图：分别以B,C 为圆心,以大于g BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；作直线MN交 AB于点D,连接C D.若 AD=AC,NA=80。，则NACB 的度数为（）【答案】C13【分 析】根 据 作 图 过 程 可 得DM是BC的垂直平分线，所 以DC=DB,所 以N B=/D C B,再 根 据AD=AC,NA=80,可 得NADC=50。，进而求出NACB的度数.【详 解】解：根据作图过程可知：DM是BC的垂直平分线，；.DC=DB,.*.ZB=ZDCB,:.ZADC=ZB+ZDCB=2ZDC

20、B,；AD=AC,NA=80,.NADC=NACD=；(180-NA)=50。，.*.ZDCB=NADC=25。，2ZACB=ZDCB+ZACD=25+50=75.ZACB的 度 数 为75.故选：C.【点 睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.二、填空题15.(2021 上海金山区九年级一 模)已知：如 图，A A 8c的 中 线A E与3 0交 于 点G,D F/IAE交BC于F 那么患143【答案】-4【分析】根据已知条件得出G点是重心，再通过证明口 3 及7 B E D 得出比例关系即可.【详解】AABC的中线AE与 80交于点G,G

21、 为AABC的重心，,DG 1 GE AE3.BG 2：DF/AE,；2BEG ABFD,EG 2DF3.GE i,AE3,DF _ 3 7G-4 故答案为13 .4【点睛】本题考查了重心的判定和性质与相似三角形的判定与性质，找到重心和两个相似三角形是解题的关键.1 6.（2 0 2 1 上海九年级专题练习）如图，口 48。为等边三角形，点。、后分别在边BC、AC上，ZADE=60,如果8 D:Z）C=1:2,AD =2，那么。的长等于.154【答 案】-3【分 析】根据题推断出 A B D-A D C E,然后利用相似三角形的性质求解即可.【详 解】NB+NBAD=ZADC=ZADE+ZCD

22、E，ZADE=60=NB，ZBAD=ZCDE,又：NB=NC=60,/.A B D A DC E,.AB _ AD 一 ,DC DEABC为等边三角形，BD:DC=1:2,二型二，即：空二，BC 3 AB 3,/A D =2.ADUDC.2 4.DE=-=2 x=,AB 3 34故答案为：3【点 睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练根据等边三角形的性质推理出相似三角形，再运用性质求解是解题关键.1 7.（2 0 2 1 上海长宁区九年级一模）如 图，点G为 A B C的 重 心.如 果A G=C G,BG=2,A C=4,那么AB的长等于.16Gc、B【答 案】而【分 析】先 延 长B

23、G交AC与 点。，再根据重心的性质得出5=3；证AA0G岂A CD G,得 出8 0,A C,再利用勾股定理 求 出AB的长.【详 解】解：（如 图）延 长BG交4 c与 点。，:点G为A ABC的重心，8G=2,：.AD=CD,8D=3,又；AG=CG,GD=GD,/AA)G=ACDG,：./ADG=/CDG,C.BDLAC,VAC=4,：.AD=2,.L+B D2=22+32=V13 故答案为：V13.【点 睛】17本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出8。、AO的长以及证明&4OG=C D G是解决本题的关键.18.（2021.湖北黄冈市.九年级一模）

24、如图，在RtAABC中，ZACB=90,N A=50。，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交A B于点D,连接C D,则/A C D的度数是.【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解.【详解】解：.在 RtAABC 中，NACB=90,ZA=50.ZB=40,.BC=BD，/BCD=ZBDC=；（180-40）=70,.-.ZACD=90-70=20.故答案为：20。【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键.19.（2021内蒙古呼和浩特市九年级一模）在正方形ABCQ中，点、E,F分别为8 c和A 8的中点，CE和FC交于点,M,连接A

25、M.若B C=5,则AM的长度为一.【答案】5【分析】延长CF和D4,相交于G点，通过证明 F8C丝ECD证得NEMC=90。，再通过证明 AFG-ABFC可得点A为GD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.【详解】分别延长CF和D4,相交于G点，18 ,正方形ABCD中，点色尸分别为8C和 的 中 点,:.FB=EC,NFBC=NECD=9()o,BC=CD,.*.FBCAECD(SAS).：.ZBFC=ZCED.VZ5FC+ZBCF=90,.NCED+/BCF=90。,：.ZEMC=90,：.EDCF.V/GAF=NCBF,AF=BF,NAFG=NBFC,/.AFGAB

26、FC(ASA),：.AG=BC=AD.点A为GO的中点.在 RtA GMD 中/M=4O=8C=5.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，掌握上述基本性质定理是解题的关键.20.(2021内蒙古呼和浩特市九年级三模)如图，在正方形ABCD中，BE平分NCBD,EFLBD于点F,若DE二五，则BC的长为DEC19【答案】7 2+1【分析】根据正方形的性质，角平分线的性质可得到4D E F 为等腰直角三角形，然后设BC=CD=x,利用勾股定理解答即可.【详解】解：四边形ABCD为正方形，.,.ZC=90,/CDB=45。，BC=CD.:.ECCB.又；BE 平分/C B

27、D,EFJ_BD,；.EC=EF.V ZCDB=45,EF_LBD,.DEF为等腰直角三角形，DF=EF,设 BC=CD=x,D E=0,：.EC=x-V2-即 DE=EF=X-y/2，在 RtA DEF 中，D E2=DF-+E F2 .(X 2+1一 2 =(0)2解得x=Q +l.B C=0 +1故答案为：V2+1-【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键.21.(2021广东阳江市九年级一模)如图，在菱形ABCD中，A B=4,按以下步骤作图：分别以点C 和点 D 为圆心，大于工 CD的长为半径画弧，两弧交于点M,N；作直线M N,且

28、 MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接B E,则 B E的值为.20【答案】2 s【分析】利用基本作法得到得MN垂直平分CD,即CE=DE,AE1CD,再利用菱形的性质得到AD=CD=AB=4,CDA B,则利用勾股定理先计算出A E,然后计算出BE.【详解】解：由作法得MN垂直平分C D,即CE=DE,AE1CD,四边形ABCD为菱形，；.AD=CD=AB=4,CDAB,；.DE=2,AE1AB,在 RlA ADE 中，AE=/42.22=273，在 R s ABE 中，BE=/4?+(2百=2 五.故答案为2 a.【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于己知线段

29、；作一个角等于已知角；作己知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).三、解答题22.(202卜湖北黄冈市 九年级一模)如图，点乂4分别是正五边形八8口的边呢口上的点,且8?44MAM交BN于点P.(1)求证：ABM之BCN；(2)求NAPN的度数.21A(2)ZA PN 的度数为108.【分析】(1)利用正五边形的性质得出AB=BC,N A B M=/C,再利用全等三角形的判定得出即可；(2)利用全等三角形的性质得出NBAM+NABP=/APN,进而得出NCBN+NABP=NAPN=NABC即可得出答案.【详解】(1).,正五边形ABCDE,，AB=BC,ZABM=ZC

30、,.在4BCN中-AB=BC、E分别在边CA,C 8上且CD=3,C E=4,连接AE,BD,尸为AE的中点，连接C尸交BO于点G,则线段CG所在直线与线段8。所 在 直 线 的 位 置 关 系 是.(提示：延长CF到点M,使尸M=C F,连接AM)22(2)将ADCE绕 点 C逆时针旋转至图2 所示位置时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.(3)将 OCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B,D,E 三点在同一条直线上时，CF的长为.【答案】(1)C G B D.理由见详解；(2)成 立,理由见详解；(3)4收+6或4亚-65 5【分析】(1)延长

31、CF到点M,使得FM=CF,连接A M,先证明 AMF/ECF(SAS),然后证明 MACsaDCB,再根据余角的性质，即可得到结论成立；(2)延长CF到点M,使得MF=CF,连接A M,证明方法与(I)相同，先证明 AMFg/ECF(SAS),然后证明 MACS/X D C B,再根据余角的性质，即可得到结论成立；(3)由题意可知，当点B、D、E 三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论：当点E在线段BD上时；当点E 在线段BD的延长线上时；分别求出CF的长度，即可得到答案.【详解】解：(1)延长CF到点M,使得FM=CF,连接A M,如 图 1,23图1 点F 是 AE的中点，:.AF

32、=EF,VCF=FM,ZAFM=ZEFC,AAAM FAECF(SAS),AAM=CE=4,ZAMF=ZECF,AAM/7CE,/.ZMAC=ZDCB=90；.AM AC记 一 百 一 3/.MACADCB,.ZDBC=ZACM；VZACM+ZGCB=90,ZDBC+ZGCB=90,ZCGB=90,ACG1BD.故答案为：CGBD.(2)(1)中的结论仍然成立；理由如下：延长CF到点M,使得M F=CF,连接A M,如图2,24，:MAAF=EF,VZAFM=ZEFC,.FAM0 FEC(SAS)；AAM=CE=4,ZMAF=ZCEF,，AMCE；A ZMAC+ZACE=180,.*.ZMAC

33、=180-ZACE；V ZDCB=ZDCE+ZACB-ZACE=90+90-ZACE=180-ZACE,AZMAC=ZDCB,AM _ AC 4而一而一屋AAM ACADCB,.ZDBC=ZACM；VZACM+ZGCB=90,ZDBC+ZGCB=90,ZCGB=90,ACG1BD.(3)由题意可知，当点B、D、E 三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论:当点E 在线段BD上时，延长CF到点M,使得MF=C F,连接A M,如图3,25由（2）可知，C G B D,=一，BD 3在 RtZkDCE 中，：CD=3,CE=4,，DE=5,.“CDCE 3x4 12CG=-=-=；DE 5 5

34、12在 R sC G B 中，CB=6,CG=,5:.BG=yjBC2-C G2=；在 RtA DCG 中，DG=JCD2-C G2=-,5BD=BG+DG=!+9，5 CM&皿，x 否 2=e +i 23 3 5 5,r r 1 R A/4V2T+6 CF=CM=-；25当点E 在线段BD的延长线上时，延长CF到点M,使得M F=CF,连接A M,如图4,26：,BD=BG-DG=1.CM=与。=8直二123 5CF=-CM24 -65综上所述，CF的 长 为 或誓9故答案为:个或空.【点 睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的内角

35、和定理，以及余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，运用分类讨论的思想进行分析.24.(2021内蒙古呼和浩特市九 年 级 一 模)如 图，四 边 形ABC。中，NB=60。，AC=BC,点E在AB上，将CE绕 点C顺 时 针 旋 转60。得C F,且 点F在AZ)上.(1)求 证：A F=B E；(2)若A E=D F,求 证：四 边 形4BCO是菱形;27(3)若 B C=2 j 5,求四边形A F C E 的面积.【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)四边形A F C E 的面积=36.【分析】(1)由题意可得 B C E 丝4ACF,从而得到A F=BE

36、；(2)首先证明四边形A B C D 是平行四边形，再由A B=B C 得到四边形AB CD是菱形；(3)由图可知，四边形A F C E 的面积=AB C的面积，根据 AB C的边长及形状即可得到解答.【详解】(1)证明:；A C=BC,Z B=6 0,A B C 是等边三角形，.*.A B=BC=A C,Z A C B=6 0o.:N E C F=6 0。,，Z A C B=Z E C F,:.Z E C B=Z A C F.BCAC,在 BC E 和 A C F 中,，NECB=ZACF,EC=FC,.*.BC E 丝A C F(S A S),，A F=BE.(2)i i E 明:由(1)

37、得 N F A C=Z E BC=Z A C B=6 0,，A F BC.：A F=BE,A E=D F,，A D=A B.，A D=BC,二四边形A B C D 是平行四边形.V A B=BC,A B C D 是菱形.(3);BC E 也 A C F,四边形A F C E 的面积=A F C 的面积+A C E 的面积=B E C 的面积+A C E 的面积=AB C的面积,28:AABC是一个等边三角形且BC=2 6,四 边 形AFCE的面积=；X2 号2出【点 睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握菱形的判定、三角形全等的判定及性质、等边三角形面积的求法是解题关键.25.（2021山东泰

38、安市九年级一模）已知在 ABC中，A B=A C,过 点B引一条 射 线BM,D是BM上一点.(1)如图 1,ZABC=60,射线 BM 在NABC 内，Z A D B=6 0,求 证：ZBDC=60.请根据以下思维框图，写出证明过程.图1(2)如图 2,已知NABC=NADB=30.当 射 线BM在/A B C内，求/B D C的度数.当 射 线BM在BC下方，请 问NBDC的度数会变吗？若不变,请说明理由；若改变，请直接写出/B D C29的度数.（3）在 第（2）题的条件下，作 AFLBD于点F,连接C F,已知BD=6,C D=2,求 CDF的面积.备用图【答案】（I）证明见解析；（2

39、）NBDC的度数为120。；改变，/B D C 的度数60。；（3）6 或 26【分析】（1）在 BM 上取一点E,使 AE=AD；根据等边三角形的性质分析，得N B A E=/C A D；再根据全等三角形的性质，证明ABAEW/XCAD,从而得/A D C,经计算即可得到答案；（2）在 BM 上取一点E,使 AE=AD；根据等腰三角形性质分析，得NAEB以及NBAE=NCAD；再根据全等三角形的性质，证明4BAE丝ZXCAD,从而得/A D C,经计算即可得到答案；在BM 上取一点E,使 AE=AD；根据等腰三角形性质分析，得/A E B 以及NBAE=NCAD；再根据全等三角形的性质，证明

40、B A E gaC A D,从而得Z A D C,经计算即可得到答案；（3）根据题意，分射线BM在NABC内和在BC下方两种情况分析；结 合（2）结论及全等三角形性质，得 B E =C D,从而得DE、DF；再根据等腰三角形和三角函数的性质计算，得 C G,通过计算即可得到答案.【详解】（1）在 BM 上取一点E,使 AE=AD；图1VZADB=60.ADE是等边三角形Z AEB=180-Z A E D=120VAB=AC,ZABC=6030.ABC是正三角形J ZBA E=60-ZEA C=ZCADAABAEACAD(SAS).ZADC=ZAEB=120 NBDC=ZADC-ZADB=60；

41、(2)在BM上取一点E,使 AE=AD；V ZADB=30 ZAED=ZADB=30 .ZDAE=180-2ZADB=120 .Z AEB=180-ZAED=150VAB=AC,NABC=30。.ZACB=30 ABAC=180-2ZABC=120 .ABAC=ZDAE=120：.ZBAE=120-ZEAC=ZCADA ABAE ACAD(SAS)AZADC=ZAEB=150 ZBDC=ZADC-ZADB=120；如图，在 BM上取一点E,使 AE=AD；VZADB=3031/.ZAEO=ZAD3=30。，NDAE=180-2ZADB=120；AB=AC,NABC=30。/.ZACB=30。/

42、.ABAC=180 2ZABC=120 ABAC=ZDAE=120.,.ZBAE=120-ZEAC=ZCAD/.BAEACAD(SAS)，NADC=NAEB=30.,.ZBDC=ZADC+ZADB=60；(3)根据题意，分射线BM在/A B C内和在BC下方两种情况分析当射线BM在NABC内时，如图，作AFJ_BD于 点F,连接C F,作CGJ_BD于点G,在BM上取一点E,使AE=ADVABAEACAD,CD=2,BE=CD=2VBD=6DE=BD-BE=4；AE=AD,AFBDDF=-D E =22：ZB)C=120NCDG=180。ZBDC=60二 CG=sinNCDGxCD=x2=V3

43、2S&cDF=；DFxCG=g 2 x g =g32当射线BM在BC下方时，如图，作AF_LBDF点F,连接C F,作CG_LBD于点G,在BM上取一点E,使 AE=ADVABAEACAD,CD=2二 BE=CD=2：BD=6DE=BD+BE=8：AE=AD,AF1BDDF=LDE=42:ZBDC=6d0 CG=sin NBDC x CD=2 x 2 =也2SM D F=g DF x CG=；x 4 x J3-23.【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、三角形内角和、全等三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、等边三角形、三角函数的性质，从而完成求解.26.（2021山东临

44、沂市九年级一模）已知：如 图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的玲8重合，连接AN、CM,E是AN的中点，连接BE.图1图2（观察猜想）（1）CM与BE的 数 量 关 系 是；CM与BE的位置关系是33(探究证明)(2)如图2 所示，把三角板BMN绕点B 逆时针旋转a(0 a 9 0),其他条件不变，线段CM与 BE的关系是否仍然成立，并说明理由；(拓展延伸)(3)若旋转角a =45，且NNBE=2 N A B E,求的值.BN【答案】(1)CM =2 B E；C M B E,(2)成立，理由见解析；(3)如 二2【分析】(1)【观察猜想】根据正方形A B C D,得至l A B

45、=C B,由等腰三角形B M N,得至lj BM=BN,可证明RtA BAN也R S BCM(HL),又根据E 是AN的中点，即可证明CM=2BE,根据等边对等角得到NABE=NBCM,ZABE+ZBMC=900 即可证明 CMBE.(2)【探究证明】延长BE至 F 使 E F=B E,连接A F,先证明 AEFZZXNEB,再证明 FA BgM BC,得至ljCM=BF=2BE,/BCM=NABF,得到NABF+NFBC=90。,进而求得NBCM+NEBC=90。,即可证明 EB J_CM；(3)拓展延伸由 a=45。得到/ABE=1 5,由前面可得NBMC=30。，过 C 作 CG M B

46、于 G,设 CG为 m,B e则MG=6 m,所以MB=B N=6 m-m,最后求得-的值.BN【详解】解：【观察猜想】(1)CM=2BE；CM 1BE；如 图 1所示图 1,正方形ABCD,AAB=CB,等腰三角形BMN,BM=BN,/.RtA BANRtA BCM(HL),34AZBAN=ZBCM,又Y E 是 AN的中点，ABE=AE=NE=AN,2 CM=2BE,VBE=AE,AZBAN=ZABE,AZABE=ZBCM,Z ABE+ZBMC=Z BCM+ZBMC=90，ZBPM=90A CM BE.【探究证明】(2)CM=2BE,CM _L BE 仍然成立.如图2 所示，延长BE至 F

47、 使 E F=B E,连接AF,图2AE=EN,ZAEF=ZNEB,EF=BE,AAAEFANEBAAF=BN,ZF=ZEBN,AAF/BN,AF=BM,NFAB+/ABN=180,ZMBN=ZABC=90,/.ZNBC+ZABN=90,NNBA+NFAD=90,ZCBN=ZFAD35.ZFAB=ZMBC,：AB=BC,/.FABMBC,；.CM=BF=2BE,ZBCM=ZABF,VZABF+ZFBC=90.NBCM+NEBC=90。，AEB1CM；拓展延伸(3)由a=45。得 ZMBA=ZABN=45,；NNBE=2NABE,ZABE=15,由前面可得/M CB=/ABE=15,/M BC=

48、135,Z BMC=18O-I5-135=30,如图3 所示，过 C 作 CGLM B于 G,图 3设 CG为 m贝 ijB C=0m,MG=Vm,所以 MB=B N=&m-m,.BC 6 m _ 屈-0BM V3m m 2【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题.27.（2021陕西九年级零模）如图，在菱形A 8C D 中，分别过点B作 BW _L A D 于点M,BN LCD于点36N,BM,BN分别交AC于E、F两点.求证：AE=CF.【答案】答案见解析；【分析】根据菱形的四条边都相等可得A8=B

49、C,对角相等可得/84M=NBCN,对角线平分一组对角线可得/8AE=NDAE=NDCA=/BCF,再根据等角的余角相等求出NA8E=NC8R然后利用“角边角”证明 A8E和 CBF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可.【详解】证明：四边形A8CD是菱形，AB=BC,ZBAM=NBCN,二 ZBAE=ZDAE=ZDCA=/BCF,又,:BM AD,BN CD,：.?AMB 2 CNB 90?./.ZABE=900-ZBAM=90。一 NBCN=ZCBF.在ABE 和 VCB77 中，NBAE=NBCF,AB=BC,NABE=NCBF：.GABECBF（ASA）,：.AECF.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键.37