线性代数全套教学ppt课件.ppt

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1、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。课程简介课程简介线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题问题.线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式来表达的来表达的.最简单的线性问题就是解线性方程组最简单的线性问题就是解线性方程组.行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，也推动了线性代数的发展也推动了线性代数的发展.向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空间的概念，而线性问题

2、都可以用向量空间的观点加量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论以讨论.因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加琐和技巧性很强的数

3、字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。强这些方面的训练。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算第三章第三章 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 及线性方程组及线性方程组第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性基础基础基本内容基本内容用向量的观点讨论用向量的观点讨论基本问题并介绍向基本问题并介绍向量空间的有关内容量空间的有关内容第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型矩阵理论矩阵理论严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做

4、到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一、二元线性方程组与二阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元用消元法解二元(一次一次)线性方程组线性方程组:第一章第一章 行列式行列式(1)(2)(1)a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,两式相减消去两式相减消去x2,得得(a11a22 a12a21)x1=b1a22 b2a12;1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。方程组的解为方程组

5、的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表的数表定义定义定义定义即即严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发

6、现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例例例1 1 1 1解解严格执行突发事件上报制度、校外活动报批

7、制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素

8、的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.严

9、格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。若记若记或或严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。记记即即严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。得得严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。得得严格执行突发事

10、件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例4 4 解线性方程组

11、解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪

12、行为或突发事件。思考题思考题严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。思考题解答思考题解答解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。故所求多项式为故所求多项式为严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 引例引例:用用1,

13、2,3三个数字三个数字,可以组成多少个没有重可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？这是一个大家熟知的问题这是一个大家熟知的问题,答案是答案是:3!=6.将此问题将此问题推广推广:把把n个不同的元素按先后次序排个不同的元素按先后次序排成一列成一列,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.定义定义:把把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列,叫做这叫做这 n 个个元素的元素的全排列全排列(或或排列排列).n 个不同的元素的所有排列的种数个不同的元素的所有排列的种数,通常用通常用 Pn 表表示示,称为称为排列数排列数.Pn=n (n1)(n2)2 1=n!一、全排列一、全排列

14、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二、排列的逆序数二、排列的逆序数 定义定义:在一个排列在一个排列 i1 i2 is it in 中中,若数若数 isit,则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如:排列排列32514 中中,我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序.以以 n 个不个不同的自然数为例同的自然数为例,规定规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序.3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 定义定义:一个排列中所有一个排列中所有逆序逆序的总数称为此的总数称为此排列的

15、排列的逆序数逆序数.前面的数比前面的数比后面的数大后面的数大严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0=0+1+0+3+1=5.例如例如:排列排列32514 中中,计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.方法方法1:分别计算出排在分别计算出排在1,2,n 前面比它前面比它大的数码的个数并求和大的数码的个数并求和,即先分

16、别算出即先分别算出 1,2,n 这这 n 个元素的逆序数个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数为所求排列的逆序数.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。方法方法2:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素前面比它大前面比它大的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法3:依次计算出排列中每个元素依次计算出排列中每个元素

17、后面比它小后面比它小的的数码的个数并求和数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例1:求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解:在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,则则3的逆序为的逆序为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故故2的逆序为的逆序为1;3 2 5 1 4没有比没有比5大的数大的数,故其逆序为故其逆序为0;个个,

18、故其逆序为故其逆序为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序为故逆序为1.5的前面的前面1的前面比的前面比1大的数有大的数有3即即于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为 t=0+1+0+3+1=5.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。解解:此排列为此排列为偶排列偶排列.例例2:计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性并讨论其奇偶性.(1)217986354.2 1 7 9 8 6 3 5 40 1 0 0 1 3 4 4 5于是排列于是排列217986354的逆序数为的逆序数为:t

19、=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n1)(n2)21解解:n(n1)(n2)2 1012(n1)(n2)t=0+1+2+(n2)+(n1)于是排列于是排列n(n1)(n2)21的逆序数为的逆序数为:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。此排列当此排列当 n=4k,4k+1 时为偶排列时为偶排列;当当 n=4k+2,4k+3 时为奇排列时为奇排列.(3)(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k.(2k)1(2k1)2(2k2)3(2k3)(k1)(k+1)k解解:0121233(

20、k1)(k1)kt=0+1+1+2+2+(k1)+(k1)+k于是排列于是排列(2k)1(2k1)2(2k2)(k1)(k+1)k的逆序数为的逆序数为:此排列当此排列当 k 为偶数时为偶排列为偶数时为偶排列,当当 k为奇数时为为奇数时为奇排列奇排列.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.n个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!个个;2.排列具有奇偶性排列具有奇偶性;3.计算排列逆序数常用的方法计算排列逆序数常用的方法.三、小结三、小结严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到

21、及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明(1)三阶行列式共有三阶行列式共有6项项,即即3!项项.说明说明(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的乘积.说明说明(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列行标为标准排列).严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例如例如 a1

22、3a21a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列312的逆序数为的逆序数为t(312)=1+1=2,偶排列偶排列.a13a21a32 的前面取的前面取+号号.例如例如 a11a23a32,将行下标标准排列将行下标标准排列,列下标排列列下标排列132的逆序数为的逆序数为t(132)=0+1=1,奇排列奇排列.a11a23a32的前面取的前面取号号.其中其中是对列下标的所有排列求和是对列下标的所有排列求和(3!项项),t 是列下标是列下标排列排列 p1p2p3 的逆序数的逆序数.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行

23、为或突发事件。二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义:设由设由 n2 个数排成一个个数排成一个 n 行行 n 列的数表列的数表作出表中位于不同行不同列的作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积个数的乘积,并冠以并冠以符号符号(1)t,得到形如得到形如 其中其中 p1p2 pn 为自然数为自然数1,2,n 的的一个排列一个排列,t为排列为排列p1p2 pn的逆序数的逆序数.的项的项,严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。所有这所有这 n!项的代数和项的代数和称为称为(由上述数表构成的由上述数表构成的)n 阶行列

24、式阶行列式.记作记作简记作简记作 det(aij).数数 aij 称为行列式称为行列式 det(aij)(第第 i 行第行第 j 列列)的元素的元素.即即严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。说明说明1.行列式是一种特定的算式行列式是一种特定的算式,它是根据求解它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的义的;说明说明2.n 阶行列式是阶行列式是 n!项的代数和项的代数和;说明说明3.n 阶行列式的每项都是位于不同行阶行列式的每项都是位于不同行,不同不同列列

25、 n 个元素的乘积个元素的乘积,的符号为的符号为(1)t;说明说明4.一阶行列式的符号一阶行列式的符号|a|=a,不要与绝对值不要与绝对值符号相混淆符号相混淆,一般不使用此符号一般不使用此符号.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例1:计算对角行列式计算对角行列式解解:分析分析.展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零从而这个项为零,同理可得同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能所以只能 p1=4;若若p1 4,则则即行列式中非零的项为即行列式中非零的项为:(1)t(4321)a14 a2

26、3 a32 a41即即严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例2:计算计算上三角行列式上三角行列式解解:分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以非零的项只可能是所以非零的项只可能是:a11 a22 ann.从最后一行开始讨论非零项从最后一行开始讨论非零项.显然显然pn=n,pn1=n1,pn2=n2,p2=2,p1=1,即即严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。显然显然=1 4 5 8同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式严格执

27、行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。对角行列式对角行列式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例5:设设证明证明:D1=D2.中中b的指数正好是的指数正好是a的行标与列标的差的行标与列标的差严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证证:由行列式定义有由行列式定义有严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。严格执

28、行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。由于由于 p1+p2+pn=1+2+n,所以所以故故严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。行列式是一种根据特殊需要而定义的行列式是一种根据特殊需要而定义的特定算式特定算式.n 阶行列式共有阶行列式共有n!项项,每项都是位于不同行每项都是位于不同行,不同列的不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定正负号由下标排列的逆序数决定.三、小结三、小结严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规

29、章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。思考题思考题已知多项式已知多项式求求 x3 的系数的系数.思考题解答思考题解答含含 x3 的项有仅两项的项有仅两项,即即对应于对应于=x3+(2x3)故故 x3 的系数为的系数为(1).(1)t(1234)a11a22a33a44+(1)t(1243)a11a22a34a43严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一、对换的定义一、对换的定义1.4 对对 换换 定义定义:在排列中在排列中,将任意两个元素对调将任意两个元素对调,其余元素其余元素不动不动,这种作出新

30、排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做对换对换 将相邻两个元素对调将相邻两个元素对调,叫做叫做相邻对换相邻对换.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bma1 a2 al a b1 bm b c1 cna1 a2 al b b1 bm a c1 cn例如例如严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二、对换与排列奇偶性的关系二、对换与排列奇偶性的关系 定理定理1:一个排列中的任意两个元素对换一个排列中的任意两个元素对换,排列改排列改变奇偶性变奇偶性.对换对换 a与与b即除即除 a,b 外外,其它

31、元素的逆序数不改变其它元素的逆序数不改变.证明证明:先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形.a1 a2 al a b b1 bma1 a2 al b a b1 bm例如例如因此因此,相邻对换排列改变奇偶性相邻对换排列改变奇偶性.当当 ab 时时,对换后对换后 a 的逆序数不变的逆序数不变,b 的逆序数增加的逆序数增加1;严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意

32、两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性.对一般对换的情形对一般对换的情形,例如例如a1a2alab1bmbc1cna1a2albb1bmac1cn对换对换 a与与b严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。推论推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明证明:由定理由定理1知知,对换的次数就是排列奇偶性的对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准

33、排列是偶排列(逆序数为逆序数为0),论成立论成立.因此因此,推推严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。下面讨论下面讨论行列式的另一种定义行列式的另一种定义形式形式.对于行列式的任一项对于行列式的任一项其中其中12ijn为自然排列为自然排列,其逆序数其逆序数0,t 为列标排列为列标排列p1p2pipjpn的逆序数的逆序数,对换元素对换元素严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。此时此时,行标排列行标排列12jin的逆序为奇数的逆序为奇数,而列而列标排列

34、标排列p1p2pjpipn的逆序也改变了的逆序也改变了一次奇偶性一次奇偶性.换后换后行标排列逆序与列标排列逆序之和行标排列逆序与列标排列逆序之和的的奇偶性不变奇偶性不变,即即t(1jin)+t(p1pjpipn)与与t(p1pipjpn)具有相同的奇偶性具有相同的奇偶性.因此因此,对对故故严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。一般地一般地,经过若干次对换行列式的任一项乘积元经过若干次对换行列式的任一项乘积元素的位置后得到的符号仍为素的位置后得到的符号仍为(1)t.因此因此,总可以经过总可以经过若干次对换行列式的任一项若干

35、次对换行列式的任一项,得得其中其中 s 为行下标排列为行下标排列 q1q2 qn 的逆序数的逆序数.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。定理定理2:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中s为行标排列为行标排列q1q2qn的逆序数的逆序数,并按行标排列求和并按行标排列求和.定理定理3:n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 t 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆序数之和的逆序数之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排或列标排列列)求和求和.因此因此,我们可以得到行

36、列式的另一种定义形式我们可以得到行列式的另一种定义形式:根据以上讨论根据以上讨论,还可以如下定义还可以如下定义严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例1:试判断试判断 a14a23a31a42a56a65 和和a32a43a14a51a25a66是否六阶行列式中的项是否六阶行列式中的项.解解:a14a23a31a42a56a65的行标为顺序排列的行标为顺序排列,列标排列标排列的逆序数为列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)所以所以 a14a23a31a42a56a65是六阶行列式中的项

37、是六阶行列式中的项.将将a32a43a14a51a25a66的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列,则则其列标排列的逆序数为其列标排列的逆序数为:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶数偶数)所以所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。解解:将将a23a31a42a56a14a65的行标按标准次序排列的行标按标准次序排列,则其列标排列的逆序数为则其列标排列的逆序数为:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶数偶数)

38、所以所以 a23a31a42a56a14a65 的前边应带正号的前边应带正号.例例2:在六阶行列式中在六阶行列式中,下列两项各应带什么符号下列两项各应带什么符号.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。项项a32a43a14a51a66a25的行下标与列下标的逆序数之的行下标与列下标的逆序数之和为和为 t(341562)+t(234165)=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶数偶数)所以所以 a32

39、a43a14a51a66a25的前边应带正号的前边应带正号.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例3:用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解:由于行列式由于行列式Dn每行每列中仅有一个非零元素每行每列中仅有一个非零元素,所所以以Dn=(1)t a1 n-1 a2 n-2 an-1 1 an nDn=(1)t 12(n1)n=(1)t n!即即而而t=t(n1)(n2)21 n =0+1+2+(n3)+(n2)+0=(n1)(n2)/2所以所以严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制

40、止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。三、小结三、小结1.对换排列中的任意两个元素对换排列中的任意两个元素,排列改变奇偶性排列改变奇偶性.2.行列式的三种定义方法行列式的三种定义方法:其中其中 r 为行标排列为行标排列 p1p2pn与列标排列与列标排列 q1q2qn的逆序数之和的逆序数之和.并按行标排列并按行标排列(或列标排或列标排列列)求和求和.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。思考题思考题证明在全部证明在全部 n 阶排列中阶排列中(n 2),奇偶排列各占一半奇偶排列各占一半.思考题解答思考题解答 证证:设在全部设

41、在全部 n阶排列中有阶排列中有s个奇排列个奇排列,t 个偶排列个偶排列,则则 s+t=n！现来证！现来证 s=t.若若将所有将所有 s个奇排列的前两个数作对换个奇排列的前两个数作对换,则这则这 s 个个奇排列全变成偶排列奇排列全变成偶排列,故必有故必有s=t=若若将所有将所有 t 个偶排列的前两个数作对换个偶排列的前两个数作对换,则这则这 t 个偶排列全变成奇排列个偶排列全变成奇排列,如此产生的如此产生的 s 个偶排列不会超个偶排列不会超过所有的过所有的 s 个奇排列个奇排列,所以所以 t s.过所有的过所有的 t 个偶排列个偶排列,所以所以 s t.如此产生的如此产生的 t 个奇排列不会超个

42、奇排列不会超严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1.5 行列式的性质行列式的性质 一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式DT称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式.记记将将D的行列互换就得到的行列互换就得到严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证明证明:记行列式记行列式 D=det(aij)的转置行列式为的转置行列式为:性质性质性质性质1:1:行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即DT=D.按定义按定义即即 bi

43、j=aji(i,j=1,2,n),严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。又由行列式的另一种表示得又由行列式的另一种表示得,所以所以,DT=D,结论成立结论成立 说明说明:性质性质1行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因因此行列式的性质凡是对行成立的结论此行列式的性质凡是对行成立的结论,对列也同样成对列也同样成立立.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。性质性质性质性质2:2:互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),行列式变号

44、行列式变号.证明证明证明证明:设行列式设行列式严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。是由行列式是由行列式互换互换 i,j(i j)两列得到两列得到.即即,当当 k i,j 时时,bpk=apk;当当 k=i,j 时时,bpi=apj,bpj=api;严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。于是于是其中其中 t 为排列为排列 p1 pi pj pn的逆序数的逆序数,设设 s 为排列为排列p1 pj pi pn的逆序数的逆序数.显然显然 t 与与 s 的

45、奇偶性不同的奇偶性不同,即即(1)t=(1)s,所以所以,严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例如例如严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。推论推论:如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)完全相同完全相同,则此行则此行列式为零列式为零.证明证明:互换互换相同的两行相同的两行,则有则有D=D,所以所以D=0.性质性质性质性质3:3:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一数同一数k,等于用数等于用数k乘此行列式

46、乘此行列式.即即严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。推论推论推论推论:行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素的公因子中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面.性质性质4:行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例元素成比例,则则此行列式为零此行列式为零证明证明:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。性质性质5:若行列式的某一列若行列式的某一列(行行)的元素都是两数的元素都是两数之和之和,例如例如则则D

47、等于下列两个行列式之和等于下列两个行列式之和:严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证明证明:故结论成立故结论成立.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。性质性质6:把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去对应的元素上去,行列式不变行列式不变.例如例如严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。引

48、入记号引入记号:用用 ri 表示第表示第 i 行行,ci 表示第表示第 i 列列.在计算行列式时在计算行列式时,我们经常利用我们经常利用性质性质2,3,6对行列对行列式进行变换式进行变换.利用利用性质性质2交换行列式的第交换行列式的第 i,j 两行两行(列列),记作记作ri rj (ci cj);利用利用性质性质6把行列式的第把行列式的第 j 行行(列列)的各元素乘以同的各元素乘以同一数一数 k 然后加到第然后加到第 i 行行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,记作记作ri+rj k(ci+cj k);利用利用性质性质3行列式的第行列式的第 i 行行(列列)乘以数乘以数k,记记作作ri k(

49、ci k);严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。二、行列式计算二、行列式计算 计算行列式常用方法计算行列式常用方法:利用性质利用性质2,3,6,特别是性质特别是性质6把行列式化为把行列式化为上上(下下)三角形行列式三角形行列式,从而从而,得到行列得到行列式的值式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值结论：上（下）三角行列式、主对角线行列式的值 等于其主对角元的乘积等于其主对角元的乘积.严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。例例1:计算计

50、算5阶行列式阶行列式解解:Dr2+3r1严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。r3 2r1r4 3r1严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。r5 4r1r2 r3严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。r4+r2r4+r3严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。r5+2r3r5+2r4严格执行突发事件上报制