2023年高考数学一轮复习高中数学主干知识清单.pdf

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1、高中数学主干知识清单不 等 式知识提炼1.不等式的基本性质Q)a Z 6b,bc=传递性)；a 房加法单调性)；a 6,c心 同 向 不 等 式 相 加)；(5)a 6,c a-cb-a异向不等式相减)；(6)a 6,c0=acbcab,c G=a cbQcdG=同向不等式相乘)；fl b(8)b0,0 异向不等式相除)；1 1(9)八6,劭 0=:不(倒数关系)；乙且/71)(平方法则)；(11)60=初 (乙且”1)(开方法则).2.基本不等式(1)如果&6 凡 那 么#+厅2286,当且仅当a=b时，等号成立.后(2)如果 0力0,那 么2 ，当且仅当a=Z?时，等号成立.用基本不等式求

2、最值时注意的三个条件：一正，二定，三相等”.极值定理:已知x0,y 0,则有:理乘积勺/为定值0，则当x=y 时，和 x+y 有最小值2幅 若和万9为定值S,则 当 冷/时，乘积沙有最大值4 s2.（4）不等式链:如果a,b都 是 正 数,那 么 兄/-+b x+c(a 0)的图像一元二次方程a*+bx+c=0(a 0)的根判别式/=-Aa ca g+bx+c 0(a 0)的解集a*+bx+c 0)/0 21=0有两相异实根&及（X 10 x/x x221 0有两相等实根X 1=X 2=无实根/=0/0R)x/xi x0050的解集(1)8层“汗+0 0(*0)恒成立的条件是6 。-fa Q(

3、2)3彦+6x，c0(ar0)恒成立的条件是匕0(或 0)表示,另一部分则可用不等式/U+郎+C0)表示.(2)画二元一次不等式表示的平面区域，常常采用直线定界、特殊点(常取原点)定域的办法，画二元一次不等式组所表示的平面区域，就是画出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(3)线性规划是讨论目标函数在线性约束条件(即二元一次不等式组)下的最大值或最小值的问题.解决线性规划问题的一般步骤是：画出线性约束条件所表示的平面区域(即确定可行域)；利用目标函数的平移，在可行区域内求出使目标函数达到最大值或最小值的点.复习指导1.比较大小的常用方法(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得

4、出结果；(2)作商(对于分数指数富的代数式常用此法)；(3)分析法；(4)平方法；(5)利用函数的单调性.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.2.解含参数的一元二次不等式是一个难点，这类问题的解决思路一般为:若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再根据两根的大小对参数进行讨论;若不易分解因式，则可对判别式进行讨论;若二次项系数为参数，应先讨论二次项系数为零，及不为零时的正负情况.3.不等式的恒成立问题Q)若a*+Z?x+cO(a#O)对任意的x G R恒成立，只需a 0且J0.(2)若/+版+705,0)对任意的x e R恒成立，只需a 0且Z l0.(3)根据恒成立求参数的范围一般可采用

5、分离参数的方法.即当仆)存在最值时，O)4 a恒成立=(32伏刈ma x；仆 恒 成 立0a刈min.4.基本不等式的运用当两个正数的和一定时，其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时，其和有最小值.J-T利用 4亏(a,6W R+)求最值是极为重要的一个考点，应把握住限制条件 一正二定三相等，1 1当条件不满足时要注意应用一些转化和配凑的技巧.例如:0求x J的最值，这里可将x&转11化 为(/后 这 样 就 符 合 一 正 ；融 o,a wl,例0,/V 0,则N=ogaMogaN)oga =ogaM-ogaN,ogaMn=nogaM(nE：R).换底公式:lo g d/V 106msi(a

6、 0,dAL/V 0,/770,6W l).(3)指数函数与对数函数图像（4）幕函数一般地，形如片犷的函数称为累函数，其 中a为常数.在同一坐标系内片 片，片 凹 小 三 片的图像如下图所示：性质:所有的幕函数在（0,+2上都有定义，并且图像都通过点Q,l）;如 果a 0,则幕函数的图像过原点，并且在区间 0,+8）上为增函数，如 果a 0时，抛物线的开口向上，函数在*=五时取得最小值B；函数在区间（一 8,五 上单调递减，b b 4ac-b在 五 4r）上单调递增.当a 二五时取得最大值工 倒数在区b b间（-8,-可上单调递增，在 三+8）上单调递减.二次函数的解析式有三种形式一般式:片物

7、2+b x+a H0）;顶点式:y=a(x-/7)2+a wO);零点式:y=a(x-xi)(x-X 2)(a 0).3.函数的单调性（1）定义及用定义证单调性 定 义:设 函 数 的 定 义 域 为/如 果 对 于 定 义 域/内 的 某 个 区 间。内的任意两个自变量M,也 当A1O0时，都有仆1）4及）（外i）X财），那么就说4才在区间。上是增函数（减函数）.如 果 函 数 在 某 个 区 间 上 是 增 函 数 或 是 减 函 数，那 么 就 说 函 数 在 这 一 区 间 具 有（严格的）单调性，区间。叫 做 的 单 调 区 间.利用定义证明函数 用在给定的区间。上的单调性的一般步骤

8、：（i）任取 且 MOTS;（i i）作差 KM）-芥*2）；（i i i）变形（通常是因式分解和配方）；（i i i i）定号（即判断差。1）-小的正负）；（i i i i i）下结论（即指出函数 6在给定的区间。上的单调性）.（2）简单性质奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性相同；囱禺函数在其关于原点对称的区间上的单调性相反；在公共定义域内:增函数增函数/用是增函数;减函数*才+减函数/即是减函数;增函数4吊-减函数用是增函数;减函数4%-增 函 数 是 减 函 数.（理）（3）设复合函数y=/p（刈，其 中=g（.如果y=4）和”二虱月的单调性相同，那么卜二检（刈是增函数;如果p=4）

9、和 二/4的单调性相反，那么y=以初是减函数.4.函数的奇偶性(1)定义:如果对于函数外)定义域内的任意x都 有4-=-仆),则称仆)为奇函数;如果对于函数制)定义域内的任意x都 有4/=仆),则称伪为偶函数;如果函数0)不具有上述性质，则仆)不具有奇偶性;如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数,又是偶函数.(2)利用定义判断函数奇偶性首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确 定 与4 m的关系；作出相应结论：若(用=*才或*W-心)=0,则制)是偶函数，若-8=-4K或则 心是奇函数.5.函数的周期性(1)定义:如果存在一个非零常数7；使得对于函数定义域内的任意%都有4

10、x+7)=4 M，则称人力为周期函数,7为一个周期.(2)类比 三角函数图像 判断沸片4 M图像有两条对称轴”设=次分功,则片心)必是周期函数，且周期为T=2a-b i，含 喈 图 像 有 两 个 对 称 中 心4&。),仅6,0)(a r6),则 是 周 期 函 数，且周期为T=2la-b f,如果函数_ y=4 M的图像有一个对称中心Z(a,0)和一条对称轴x=Z X a t b),则 函 数 必 是 周期函数，且周期为T=/a-b k(3)由 周 期 函 数 的 定 义 函 数 满 足*M=*a+M(a 0)贝J0)是周期为a的周期函数 得:&涵1数4 M满足-*M=4 a+A),贝i

11、j 4 M是周期为2a的周期函数;渊 x+a)衣(a/0)恒成立，贝ij办)的周 期7=2a;若*x+a)=4.)(a H0)恒成立，贝i j 4 m的 周 期T=2a.6.函数的对称性s-f-J b莆足条件。+团二和刃的函数的图像关于直线X=G-对称，满足条件依+8）=-e 得的函数的图像关于点（三,0）对称；如已知二次函数O）=a*+6M a/0）满足条件 5*=依-3）,且方程制）=x有两相等实根，则_ _ _ _ _ _ _1【答案】-3*+x点（力关于y 轴的对称点为（-%勿，函数关于y 轴的对称曲线方程为 片 小 孙点（X历关于x 轴的对称点为（x-州,函数/二仆）关于x 轴的对称

12、曲线方程为y=-/U）;点（%必关于原点的对称点为（-x,y,函 数 关 于 原 点 的 对 称 曲 线 方 程 为y=-4M.crl-【注】满足条件心+a）=e/的函数的图像关于直线X尸 对 称，两 函 数 片 仆 词，片 和 3）的图 像 关 于 直 线 对 称.提醒:（1）证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在原图像上；O MH-IId（2）形 如 片*（e 0,初。6。的图像是双曲线,对称中心是点（不）.7.常见导数公式及运算性质（1）常见函数的导数公式:U=O（C为常数）,（*）=/7/-i,（sin A）-cos x,（cos A）-sinX(的

13、 二ex人力三#In a,(ln A)M(loga，上(2)两个函数的和、差、积、商的求导法f W则:的士 刈 =尸 土 伪 刈=外仇刈M M g U),丽=汨 且久说0.特别地:画刈=(M，c为常数.8.(理)复合函数的求导设函数”二9(用在点x处有导数函数y=)在点x的对应点”处有导数yu=f i J)复合函数_ y=4 a功 在 点x处也有导数，且yx=yi f ux或 f kp3)=f(uy(p(K.9.函数图像的变换图像变换法是由一个熟知的函数图像，经过适当的变换，得到我们所要的函数图像，其中常用的图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.函数y x,a)(a/O)的 图 像 可 以

14、通 过 把 函 数 的 图 像 向 左(a 0)或向右(a 0)或向下0,91)的图像可以通过把函数 片办)的图像上各点的纵坐标伸长(/1)或缩短(020,3#1)的图像可以通过把函数1的图像上各点的横坐标伸长(031)到原来的士倍，纵坐标不变而得到.函数y=-。)的图像可以通过作函数卜=0)的图像关于x轴对称的图形而得到;函数p=4-M的图像 可 以 通 过 作 函 数 的 图 像 关 于y轴对称的图形而得到;函数y=-4-M的图像可以通过作函数 的 图 像 关 于 原 点 对 称 的 图 形 而 得 到.10.函数与方程(1)对于函数片制)，使 心)力 的 实 数x叫做函数片外)的零点.事

15、实上，函数片外)的零点就是方 程4 M=0的实数根.（2）方 程A M=O有实根=函 数 的 图 像 与y=0有交点o 函 数 用 有 零 点.（3）如果函数片伪在区间 a,句上的图像是一条连续曲线，且有*团0）0,那么函数片外）在区间 句 内 有 零 点,即 存 在 无 仇 使 得 此 时 这 个c就是方程仆）=0的根.反之不成立.（4）对于在区间 a,句上连续不断，且4 a川6）0）,利用基本不等式来求值域（最值），此法应在x J成立时使用;单调性法:若函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域(最值)；极形结合:根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域(最值).4.求函数解析式的常用

16、方法：(1)待定系数法已知所求函数的类型，求出函数的解析式.近如已知心)为二次函数，且。-2)=4-*-2),且 0)=1,图像在x轴上截得的线段长为2，求 碗的解析式.1【答案】+2x+l(2)代换(配凑)法已知形如4 P(M)的表达式，求4 6的表达式，这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性.如已知41YOS M=sin 2%求穴解)的解析式.【答案】4 4)=8+2底 板 卜 q1 14*-工)=炉尸,则函数 x-l)=.【答案】*2 x+3霞 函 数 办)是 定 义 在R上的奇函数，且当*金(0,+3)时,4切=4 1+而),那么当xe(-8,0)时,.【答案】Ml-b)(3)方

17、程的思想对已知等式进行赋值，从而得到关于4 M及另外一个函数的方程组.如已知制)+24+)=3x-2,求仆)的解析式.2【答案】办)=-3xW已知*月是奇函数，仇M是偶函数，且贝iJ例=.X【答案】5.函数模型类比借鉴模型函数对一些抽象函数进行类比探究：。正比例函数型:*A）=kx（kt 0）一 xy）士 皿、Q）函数型:仆）二A J 心切=4才心4）凡）；疝）指数函数型:4M=/T“x+M=*M（0*x-川=K对数函数型：=lo gaL 切=*心+心=心）-；侬仲）三角函数型:A）=tan尸汗丫沙=141frl6.求曲线的切线方程导数的几何意义是曲线卜=*用在点（胞，的）处的切线的斜率.如果

18、 片 仙）在（您心加处可导，则曲线 片4M在点（府,4灿）处的切线方程为:齐十&）=外网）（丫-3）.7.利用导数求函数单调区间求可导函数的单调区间的步骤：确定函数4M的定义域；求导数片才；由八的0（或片 o时，仆）在相应的区间上是单调递增函数;当彳切 0 是函数A%在区间/上单调递增的充分不必要条件，并不是充要条件.事实上：*M 在/上递增=对任意的x w/有外必20（但这里满足外用力的点应只是在个别点处,也就是外M不能恒等于零）.8.利用导数求函数的极值求可导函数4M的极值的步骤：洲定函数的定义区间，求导数f（K,求方程外切力的根，用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区

19、间（可列成表格），判断力用在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那 么 4月在这个根处取得极大值;如果左负右正，那 么 4%在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号，那 么 4M在这个根处无极值.【注】函数n 二仆）在X=M）处取极值的充要条件应为：外次）=0 且在*=的左右两侧的导数值的符号相反.9.利用导数求函数的最值在 区 间 切 上 连 续 的 函 数 在 a,6 上必有最大值与最小值.求最值的步骤如下：求函数4M在（a,/?）内的极值；求 函 数 在 区 间 端 点 的 值屿、彳 6）;将函数%的各极值与嫡、切比较,其中最大的是最大值，最小的是最小值.10.（理淀积分广（理）运 用

20、微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 值 的 关 键 是 用 求 导 公 式 反 方 向 求 出 4M的原函数，应熟练掌握以下几个公式：f 空fJ*sin xdx=-coscla la.、x=In x*L(0,d0),(理)定积分在几何上的应用:(1)%4Mdx表示由x=a,x=6,x轴 和 用 所 围 成 图 形 面 积 的 代 数 和(x轴上方部分面积记为正,下方记为负值);(2)由x=a,x=b,x轴和_/=*用所围成图形的面积为(3)由x=a,x=b,_y=4M和y=g(M所围成图形的面积为C典祝以初战数 列知识提炼1.等差数列的通项，前 项和公式an=3i+(n-l)d,Sn=

21、2=nai+2 d.2.等差数列的性质设等差数列a ,公差为d前项和为S,则有如下的性质:(1)若 m+/i=p+虱m,n,p,qeN),则 am+an=ap+aq,Q)a m=a n+m-n)d,d=M若 2 WN*,则.；(4)&,SkS,SkS%u-S,也成等差数列；(5)在等差数列中下标成等差的项组成的新数列仍为等差数列；a ,6 都为等差数列，则/77而+妫 也为等差数列(其中m,攵均为常数);(7)若项数为偶数，设为2n(22),则S2n=2=2=/Xa+a+i)(即等于中间两项和的倍)，1S S偶=32+34+.+1S2n+l=2=2=(2/7+1),劣+1(即等于中间项的2/7

22、/1倍)，1S 5奇=&+明+.+力”+1,5偶=力+朋+d ln,则S奇-S偶=a i +(电-力)+(况-即 士.伽-力 )=&+/7d=a+i(即等于中间项),s-白 2=口(即等于项数之比).3.等比数列的通项，前 项和公式*4值=1).a n=a i-C fn l,Sn I I(q#D4.等比数列的性质若数列 a 是以力为首项国为公比的等比数列，前 项和为多,则有如下的性质：(1)3/7=amC fn m(Z 7 7,N);(2)若 m+n=k+/m,n,kG N),则 am-an=aicaf,11(3)4%(/1#0)是公比为q 的等比数列,是公比为 的等比数列，。前是公比为/油等

23、比数列，若 a,d 是项数相同的等比数列，则 a也 也为等比数列；(4)在 中取出的下标成等差的项组成的新数列仍为等比数歹(例如在 a 中取出仇,血,力，&o,.它仍为等比数列；s(5)当 a 的项数为偶数时,*=0 当 尹-1 时仍成等比数列.复习指导1.证明数列为等差数列的方法判定或证明一个数列 a 为等差数列的常用方法有：。定义法,a 为等差数列q 对 任 意 的 有 a+i-a=d d 为常数)；等差中项法,%为等差数列o对任意的2 2 7 G N 密 2a=aq+a*i成立；从a 和 5,的形式上进行判定，若 通 项 公 式 可 写 成 为 的 形 式，则可判定 8 为等差数列,若

24、a 的 前 项 和 可 写 成 的 形 式，则也可判定 a 为等差数列.2.证明数列为等比数列的方法判定或证明一个数列 a 为等比数列的常用方法有：。定义法,加 为等比数列0 对任意的n e N W*二 a g 为常数且qwO);W比中项法,为等比数列0对任意的（右 1=即1a*1成立5层0,论2）;还可以从a和S的形式上进行判定，若通项公式可写成为=。7（0 0夕为常数且q wO）的形式，则可判定 a 为等比数列，若%的前项和可写成为常数且q rO,q#l）的形式，则也可判定 a 为公比不等于1的等比数列.3.求通项公式的方法数 列 通 项 公 式 的 求 法:谈 推 公 式 形 如=4）时

25、月叠加法;潼推公式形如1=4）时，用叠乘法;嫡推公式形如3=而 一1+仇48均为非零常数，且 加1）时，用构造法（事实上，存在一个BX使得为士*=4而-1+必成立，显 然 这 时*声）；对给定的递推关系式进行适当的变形（取倒数、产（n=l）取对数等），从而构造出特殊的数列;已知5,求的时，利 用a =ls M n 2rliWN）来解，注意对n=l时的情况的验证；（理）先猜后证:一般是根据给定的前几项，通过不完全归纳法得到数列的通项公式，然后利用数学归纳法来进行证明.4.数列求和法数列求和的方法:公式法，即运用等差数列、等比数列的求和公式;分组求和法;倒序相加1 1 1.1 1 1法;端位相减法

26、;理项相消法,常见裂项公式:石而 1斯,而 词,（*）.5.等差数列前项和最值求解（1）利用仇+丁d和二次函数求最值方法.件2 0.件 三。.（2）利用由S 定出再求S的最值;由UM之0定出再求S最值.6.裂项求和的几种常见类型()/+*).(2)后 如 _ j(V n +A 沂)(3)(1)、+)A+l、l);J i%+；口 Y-Dg+i)；(4方 J.三角函数与平面向量知识提炼1.扇形弧长与面积公式弧度制下,扇形弧长公式/=；扇形面积公式sl/rf/2a其中/为扇形的半径,a为弧所对圆心角的弧度数，且0a 0,且才60是8为锐角的必要非充分条件;当6为钝角时,孑60,且a b),即平移的量

27、是对x 而言的.余弦函数和正切函数的图像平移变换也类似.复习指导1.用五点法作出y=/4sin(w)的图像 3w(1)当画函数片Zsin(w)在 xw R 上的图像时,一般令3X+9=0,TI,2,2TT,即可得到所画图像的特殊点坐标，然后用平滑的曲线将这些点连接起来即可.(2)当画函数y=Zsin(3x+Q)在某个指定区间上的图像时，一 般 先 求 出 力+9 的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表.(3)由y=s in x的图像变换到y=/lsin(3x+G)，b 的图像时，-般先作相位变换,后做周期变换，即先平移后伸缩：y=sin x-y=s in(x)-y=s

28、in(w夕)y-Z ls i n(a)x+(fi 1 T T gy-/4sin(a)x+(p)+br如果先做周期变换,后做相位变换(即先伸缩后平移)，则左右平移时不是/个单位,而是出 单位,即由y=sin o z L y=s in(W Q)是左右平移/7 个单位.2.根据图像确定函数 片/s in(3 x )+。的解析式的步骤N N-Hn(1)求 2 0 确定函数的最大值例和最小值6,则2a(2)求以确定函数的周期7；则 J.(3)求夕常用的方法有:。代入法，五点法:确定夕值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(金。)作为突破口.具体如下：第一点(即图像上升时与x 轴的交点)为 第二个点”(

29、即图像的 峰点)为3 X ；第三点(即图像下降时与x 轴的交点)为3X+(P K,3V 第四个点(即图像的 谷点)为 w=3;第五点”为3X+(P=2N.3.化简与求值(1)求 sin a、cos a 的齐次式的值已知tan a=/n 的条件下,求关于sin a、cos a 的齐次式的值:由tan a=/77知 cos诉 0,因此将分子分母同除以cosa(W N),这样可以利用商数关系将所求式化为关于tan a 的表达式，从而可以整体代入tan a=m 的值进行求解.(2)化简求值注意事项意 1 的各种形式变换:l=sin2a+cos2a=tan 45=2cos2a-cos 2a=2sin2a

30、+cos 2a.注意变换的两大方向:一是化成同角函数,二是化成同名函数.由三角函数值求角或求别的三角式子的值时，要考虑角的范围及周期，时刻提醒自己是否漏解或增解.4.三角函数求最值问题(l)y-asin x+bcos x+c型函数的最值：y=asn x+bcos x+c=sin(x+Q)+a其中ta n 9=),这样通过引入辅助角。可将此类函数的最值问题转化为y=sin(x，Q)/c 的最值，然后利用三角函数的图像和性质来求即可.(2)y=asxzx+bsv xcos x+aos2x型函数的最值：l-eosSx 14-eos2x可利用降幕公式(sir)2x=2,cos2x=2 p=asin2x

31、+/jsin ACOS x+(xos2x整理转化为y=/sin Zx+Bcos 2x+C这样就可将其转化为上一种类型来求最值.片 asin2x+Z)sin x+c型函数的最值：可将y=3sin2x+2?sin x+c中的sin x 看 作 f,即 令 f=sin x,则 这 样 就 转 化 为 二 次 函数的最值问题.但这里应注意换元前后,变量的取值范围要保持不变，即 令 f=sin%要根据给定的x 的取值范围，求 出 f 的范围.另外y=acosx+bcos x+c等形式函数的最值都可归为此类.O 5M X I型函数的最值:此类题目的特点是分子或分母中含有sin x 或 cos x 的一次式

32、，一般可将其化为？t0=sin(3x+e)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值;当然此类题有时也可用数形结合来解.(5)y-a(sin XCQS 於+bsin ACOS x+u型函数的最值：百 6对于 y=a(sin x+cos 为+dsin ACOS x+c,令 sin x/cos x=右 后卜,:(sin x+cost2-1 t2-1A)2=l+2sin ACOS xj.sin ACOS X=之，则函数就变为y=at+b 2 的形式，因此此类函数也可通已知条件一边和两角（如两边和夹角（如a,b,C）三边（a,b，0两边和其中一边的对角（如a,b,A）过换元转化为二次函数的最值问题.对于

33、形如片式sinxYosM+bsin ACOS x+c的函数也可采用同样的方法.另外此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同.应用定理 一般解法正弦定理 由/+8+C=180,求角4由正弦定理求出b和C,有解时只有一解.余弦定理由余弦定理求第三边;由正弦定理求出小边所对的角;再由正 弦 定 理/+8+0180。求出另一个角.有解时只有一解.人 由余弦定理求出角4及再利用/+8+0180,求出角C有解时只有一余 弦 定 理“解.正弦定理 由正弦定理求出角8;由/+8+0=180,求出角C再利用正弦定理或余余弦定理弦定理求C,可有两解、一解或无解.6.平面向量应注意的问题x D（1）注意向量

34、方向及 夹 角.如 在 比中，若N8=60,则 与 的 夹 角 为120而不是60.（2）向量的投影（射影）有正、负、零，而不是全为正值.解 析 几 何知识提炼1.直线方程及方程适用条件名称 方程说明适用条件斜截y=kx+b式 斜率。一纵截距倾斜角为90的直线不能用此式（的,次）一点斜一 片 次=外府）式直线上已一 倾斜角为90的直线不能用此式知点，斜率两点式=（方丛）,（及，%）是直；与两坐标轴平行或重合的直线不能用此式线上两个已知点截距式+=1a-横截距,d 纵 过（0,0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式截距A C Cw 痴 工一般Ax+By+C=Q式 分别为斜宓1 f t挣 4 8不能

35、同时为零率、横截距和纵截距2.两条直线位置关系的判定两条直线4/二阮从生则h b=ki=k2h*b z；卜 1/2=如 1 0）;圆心坐标为（3,3）泮 径 为r=%一.特别地:圆的直径式方程:刈刈*/小）。/。,其中/（M J 1）,次应腥）是圆的一条直径的两个端点.5.点和圆的位置关系设点打刖,次）及圆的方程（x-a）2+（y-b）2=N,则（胞-团2+（加-/?）2户=点 P在圆外；（2）（前-a）2+U b-b）2 乙则两圆相离=/?+/;外切ad=/?+z；相交qR-rdR+r,(4)内切=/=/?-/;(5)内含=d/?v8.圆锥曲线的定义(1)椭圆定义:平面内与两个定点R、月的距

36、离和等于常数(大于当方力的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(2)双曲线定义:我们把平面内与两个定点R、历的距离的差的绝对值等于常数(小于/后方力的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.(3)抛物线定义:平面内到一定点尸和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点尸叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.注意:在抛物线的定义中，焦点厂不在准线上.9.圆锥曲线的标准方程与几何性质（续表）椭圆双曲线范围Ma,法 且lyRb冈4 bj/e R那R顶点（坨0）（0,劝）（地0）（h a。）（0,1a）关于坐标轴轴关于

37、坐标轴轴对称对称，关于原点对称，关于原点中心对称中心对称离心率0e l,e越大，双椭圆越扁,e越曲线开口越开小，椭圆越圆阔抛物线方程/=2 px（夕0）/=-2 px（P0）=2 py（P0）二2 py（夕 0）图形r f0,z 0,户o,y 0）的焦点厂的直线交抛物线于48两点，设4尺8）,仇加人）,8为直线的倾斜角，则有下列性质:劭生二-四而改二七/4 9=刖+.+夕 通 径 长 为j 1 122理/.二；声画；以2 8为直径的圆与抛物线的准线相切.复习指导1.圆的切线问题（1）求过圆上一点（胞，次）的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率Z,则由垂直关系，切线斜率1为工,由点斜式方程可求

38、得切线方程优才时单独考虑）；（2）求过圆外一点（演，次）的圆的切线方程：几何方法:设切线方程为力4）=*-此）,即而沙-依）+次=0,然后由圆心到直线的距离等于半径，可求得左切线方程即可求出；代数方法:设切线方程为广加=*-的）,即卜二依-依）+乂），代入圆的方程得到一个关于x的一元二次方程，由 求 得 左 切 线 方 程 即 可 求 出.注:以上方法只能求存在斜率的切线，斜率不存在的切线可结合图形求得;过圆(x-a)2+(y-匕)2=上一点 卬(?),次)的切线方程为(x-a)(Ab-a)+(7-6)(次-=/2.(3)直线截圆所得弦长的计算方法:利用由弦心距、圆的半径、弦的一半所构成的直角

39、三角形结合勾股定理来解.2.圆锥曲线的标准方程的求法(1)定义法.若动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由圆锥曲线的定义易求得其方程中的关键量,则常用定义法求解.(2)待定系数法.若题设中已告知此曲线为哪种圆锥曲线，则常设出曲线方程，再由题设求得待定系数.此法是求圆锥曲线标准方程的最基本方法，但一定要注意直线与圆锥曲线是否有交点.注意:用定义法求双曲线方程时，若动点到两定点距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数时，此时曲线不是完整的双曲线,而是双曲线的一支.3.设而不求 的思想若直线/与圆锥曲线C有两个交点力一般地，首先设出交点坐标4M人)，以及，女)，其中有四个参数刖必,至，性，它们的作用只是

40、过渡性符号,通常是不需要求出的，而用韦达定理来解决问题，这是研究直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法.4.圆锥曲线方程的巧设方法(1)椭圆和双曲线：当椭圆或双曲线焦点位置不明确，无法确定其标准方程形式时，可分类讨论，也可设方程为二，二二1或2彦+=1,再用待定系数法求解；椭圆X足=l(a b0)共焦点的椭圆方程可以设为或X _?=i（a o,6o供渐近线的双曲线方程可以设为X P u./r O）,渐近线为ax b y=G的双曲线方程可以设为用层-砂=/1仅，0）;等轴双曲线可设为*V=（/I#O）的形式.（2）抛物线焦点位置不明确时，可分类讨论，也可利用统一设法:焦点在x轴上的抛物线方程设为/=

41、2加 六0）,焦点在y轴上的抛物线设为*=2孙（办0）.5.直线与圆锥曲线相交的弦长问题Q）直线/与圆锥曲线C有两个交点4尺丛），仇至山），直线/的斜率为k则：/8/1 T定 匕-旬4。+好）k+x期 啕或/6/户可小3/1）心 +.）2+5（2）对于一些特殊的弦长问题要注意总结：魂物线的焦点弦长公式:直线过抛物线尸=2夕4夕0）的焦点与抛物线交于两点4M M，氏 *2,办,则/A B/=xi +X 2+p圆锥曲线的通径问题:过圆锥曲线的焦点作曲线对称轴的垂线，交曲线于48两点，则线段A B就是曲线的通径，通径的长是曲线焦点弦中长度最小的.对于抛物线y=2p*夕0）,其通径长为12 yz /，

42、丝2?对于椭圆宠+于=1和 双 曲 线 其 通 径 长 为 二.6.（理）求轨迹方程的基本方法Q）直译法.即直接将题目译成或等价转化成几何条件，再具体坐标化并等价化简.（2）定义法.将题目等价转化,使其恰好符合某类特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，然后用待定系数法求出相应的参数.（3）相关点法（转移法）.若所求的动点P的轨迹与一已知曲线上的点Q相关，则可先设出乂）,再寻找P、Q间关系，把的，次 用xjz表示，最后代入点Q满足的方程，化简即得所求.注意:求出曲线的方程之后不要忽视检验，要仔细检查有无不法分子”掺杂其中,并将其剔除;另一方面也要注意有无漏网之鱼逍遥法外，并将其找回.7.

43、直线系问题（1）与直线A x+B y+C=Q平 行 的 直 线 系 方 程 为 句（2）过点/的,乂）且与直线A x+B y+C=Q平行的直线方程为：4尸的）+仇匕p b）=O.（3）与直线A x+B y+C=Q垂直的直线系方程为:耿（4）过点次）且与直线A x+B y+C=G垂直的直线方程为:8（*-园）-/1（片次）=0.（5）过两直线/i：a i x+b i y+c i=0,h：a 2X+b 2y+C 2=0的交点的直线系方程为:仇*+d 7+0+/（氏*+左7+0）=0（/1旦才为参数，且不包含直线a 2X+b 2y+C 2=Q）.8.对称问题（1）点关于点的对称:求点P关于点M 2

44、6）的对称点Q的问题，主要依据例是线段PQ的中点，即XP+XQ=2 a,yp+yQ=2 b.（2）直线关于点的对称:求直线/关于点M%,）的对称直线/的问题，主要依据/上的任一点R x,y）关 于M 6，）的对称点八2/77-X,2-9必在/上.(3)点关于直线的对称:求已知点(777,)关于已知直线力/=依+6 的 对 称 点 次，次)的坐标的一般方法是依据/是线段力力的垂直平分线，列出关于覆、次的方程组，由“垂直”得一方程，由平%七=LM-一.小不.分得一方程，即(2酢 2十匹(4)直线关于直线的对称:求直线/关于直线g 的对称直线/：主要依据/上任一点例关于直线g的对称点必在/上.立 体

45、 几 何知识提炼1.空间几何体的表面积与体积1(1)棱柱的体积匕S0,其中S 表示棱柱的底面积力表示棱柱的高，棱锥的体积1/金S0,其中$h分别表示棱锥的底面积和高.(2)圆柱的表面积S=2T I/(/V/7)、体 积 I/KT八力，其中/;分别为圆柱底面的半径和高.1(3)圆锥的表面积S=nz(/+/)、体 积 1/品/7,其 中/;/、/?分别为圆锥底面的半径、母线长、锥高.圆台的表面积$5(户+/?+/?、体 积1/=-反3(S+S)/z,其 中 八R、/、/;分别为圆台上底面的半径、下底面的半径、母线长、圆台的高,5 和 5 分别为上、下底面的面积.4(5)球的表面积S=4n型、体 积

46、I/JT T郎，其 中/?为球的半径.2.平面的基本性质公 理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:过两条平行直线,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.3.空间点、线、面的位置关系和判定、性质(1)空间两直线有相交、平行、异面三种位置关系.(2)线面平行判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.线面平行性质定理

47、:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(3)线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.(4)面面平行判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行.面面平行性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.(5)面面垂直判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.面面垂直性质定理:两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.4.空间直角坐标系Q)在给定的空间直角坐标系中，空间点例与有序数组(尺卜幻建

48、立了一一对应关系，因此，有序数组(用 才叫做点例在此空间直角坐标系的坐标，记 作M x y Z,其中X叫做点例的横坐标,y叫做点例的纵坐标,z叫做点例的竖坐标.(2)空间任意两点储1(吊,用21)、%(及,外力)之间的距离/%喝=匹 后 诟 产 E了1+2一 为2空间中两点巧(的,心，久及北,方),线段自三的中点例的坐标是(丁,-1-,-1-).5.球与两种几何体之间的关系(1)球与正方体的组合体：加内切于正方体:此时球半径/?与正方体棱长a 有关系式2 R=a 成立.有含冰外接于正方体:2/?=a朝 与 正 方 体 的 12条棱相切,2/?=a.(2)球与正四面体的组合体：1加内切于正四面体

49、:球半径/?与正四面体的高力有关系式/?,/?(可以用分割法).3渊外接于正四面体,/?,八即一个正四面体的内切球与外接球的半径之比为1:3.6.几个重要结论(1)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线为/则2民河 河 艰(2)正四面体棱长为a,高为力,内切球半径为乙外接球半径为尺则h Va/a,RCa.复习指导1.面积和体积的计算问题Q)在计算面积时，面积的比等于对应边比的平方 这一性质经常被用到;棱锥中，平行于底面的截面截得的棱锥的体积与已知棱锥的体积比等于它们高的立方比.(2)求几何体体积的常用方法有公式法、分割法、补形法、等积法和求差法(即整体减去局部).2 .空间的平行和垂直关

50、系：3.(理)空间角的计算步骤:一作、二证、三算异面直线所成的角:范围:0 比 90;方法:平移法;补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系,转化为相交两直线的夹角.直线与平面所成的角:范围：0*/90;方法:关键是作垂线，找射影.二面角:(1)平面角的三要素:顶点在棱上;角的两边分别在两个半平面内;角的两边与棱都垂直.(2)作平面角的主要方法：定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；垂线法:过其中一个面内一点作另一个面的垂线，线面垂直的判定或性质