2023年高考数学大招7函数隐零点.pdf

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1、大招7 函数隐零点大招总结导函数的零点,根据其数值计算上的差异可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称 为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称为“隐零点”.此讲通过几个具体的例题来体会隐零点的处理步骤和思想方法：隐零点的虚设与代换.一般步骤如下.确定零点的存在范围.确定隐零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等；至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围.根据零点的意义进行代数式的替换，尽可能将目标式变形为整式或分式,那么就需要尽可能将指数、对数函数式用有理式替换,这是能否

2、继续深人的关键.结合前两步，确定目标式的范围.隐零点代换实际上是一种明修栈道，暗度陈仓的策略,也是数学中“设而不求”思想的体现.典型例题例 1.设函数/a)=e*o x 2.(1)求/(x)的单调区间；若。=1 次为整数，且当x0时，(x-Z)/(x)+x +L.O,求人的最大值.解(1)函数/(x)=e*-o x-2 的定义域是R,/(x)=e -a,若 4,0,则 7(x)=e 0,所以函数/(x)=e,一以-2 在(-o o,+o o)上单调递增.若 a 0,贝!当 x e (-o o,I n a)时，f(x)=e -a 0；所以，/(x)在(-0 0,I n a)单调递减,在(I n

3、a,+o o)上单调递增.由于 a =l,所以，(左)+x +l =(x-A)(e*-l)+x+l,y 1故当 x 0 时，(x-Z)/(x)+x +1 0 等价于 k 0)，ex-l令 g(x)=+x，则 g(x)=：疣+1=F 4 ,eT(ex-l)(e -l)-由知，当a =l时，函数/z(x)=e*-x-2在(0,+o o)上单调递增,而 0,所以/z(x)=ev-x-2在(0,+8)上存在唯一的零点，故,(无)在(),+)上存在唯一的零点，设此零点为a,则有c e(l,2),当 x e(0,a)时，g(x)0 ；所以g(x)在(0,+o o)上的最小值为g(a).又由g (a)=0,

4、可得e&=a +2所以g(a)=a +l e(2,3),由于式等价于左0时，f(x).2a+an.a解(1)Q =e时，/(x)=e 2x-e l n x 的定义域为(),+o o),二广=2e2j t 令尸(x)=0,则x =-x 2所以当0 xg时，f(x)o恒成立,故八幻没有零点，当a0时，y =e 2为单调递增，丁 =-旦单调递增，/(幻在(0,+o o)上单调递X增，又r(a)o,假设存在b满足。人 山 时，且bL/s)0时，导函数广。)存在唯一的零点，可设导函数广(幻在(0,+8)上的唯一零点为 0，当 xe(O,x(J 时，,r(x)(),故/(X)在(0,而)单调递减，在(玉)

5、+8)单调递增，所以当x=x0时，/(x)取得最小值，最小值为/(x0),由于 2e2x -=0,所以 f(x0 =-+2ax0+an.2a+an,故x0 2x0 a a2当 a 0 时，/(x).2+a In.a例3.已知函数A M.,其中。为常数.(1)若a =0,求函数/(x)的极值;若函数/(x)在(0,-a)上单调递增，求实数。的取值范围;若。=一1,设函数/(x)在(0,1)上的极值点为小,求证：/()0,解得0 cx 正，令/(x)y/e,则/(%)在(0,g 递增，在(人,+8)递减，故/(x)极 大 值=f(册)=,无极小值;2e函数/(x)的定义域为 x|x 0且无。一a

6、.1 9 a-(X+Q)-l nx(2x+2a)1+21nx广(幻=区(X+Q)4x(x+a)3要使函数/(x)在(0,-。)上单调递增，则a 4时，函数y递增，0 x J=时，函数y递减,yje当一凡1即-2。1r=即Hn Q /e)v e ，e1 C l I 1-2 In x 证明：a =T,则/。)=三 导 数 为f(x)=-(x_ -设函数/(x)在(0,1)上的极值点为/，可得1 -2 1 n%-L =0,即有21nxo=l-，要证玉)一2,即一 4+2 0,%K T1-X2由于+2=+2=1-44 +4%=(I-2/),2(%-1)2x0(x0 1)2x0(x0 1)2x0(x0

7、1)由于 5 6(0,1),且 x0=-,21nx0=1 一-不成立，则 l n X +2 0 ,故/(%0)-22%(不一1)成立.例 4.f(x)=ax2-ax-xlnx,且/(x).().求a ；证明：/(幻存在唯一的极大值点/,且厘2 /(/)0),则/(x).0 等价于/z(x)=a x-a -In x.0,求导可知厅(x)=a-.X贝1 当0时hx)1时，(不)0.因为当0 cx L时，/。）时，（X）0,所以,4又因为(1)=4一。一1111=0,所以工=1,解得a =1 ；a(2)证明：由 可知/(x)=x2-x-xl nx,/,(x)=2x-2-l nx,令/，()=0,可得

8、 2x2 l nx=O,i己f(x)=2x-2 I n x,则x)=2工，x令f(x)-0,解得x=,2所以f(x)在区间(0,；)上单调递减，在 上 单 调 递 增，所以“x)m i n=(|=l n2-l 0,从而 心)=0有解，即/(尤)=0存在两根 如无2,且不妨设了(X)在(O,x(J上为正、在(玉),)上为负、在(工2，+)上为正，所以/(%)必存在唯一极大值点，X。，且2xo-2-l nxo=O,所以/(%)=玉；_)一%)、%)=*一%+2%)-2x；=而一片，由毛 ；可知/)(%稣=一/+：=:；由 0 口J 知 y e J e 2所以/(x)在(O,x0)上单调递增，在 0

9、，；)上单调递减，所 以 小。)/1)综上所述，/(X)存在唯一的极大值点飞,且0-2/伉)l时,若直线y =g(x)与函数y =/(x)的图象相切，求A的值;当=时,若存在xw e,e ，使得/(x)g(x)+g,求k的取值范围.解由得y =/(x)的定义域xc(0,l)5 1,M),x 0f(x)=塔 二，由 fix)=乎 匚 0 得 x e (e,物),In x In x由f(x)=空 二 0得x e。1)口 (1,e),所以y =f(x)的单调增区间为x e (e,七 ),In x单调减区间为X G(0,1)和(l,e)；设 =丘+与丫=/(x)相切于点 x0,-j(x0 l),:.k

10、=f(xn =一4 I”J n-x0且 J/4玉)一 0令 h(x)=l nx-Vx(x 1),/.hx)=-4=-e x e Jx e x由(%)0得16(1,6 2),由 hx)0 Wx e(e2,+c o),y =/i(x)在xl,e 2)单 调 递 增，在xw(e)+oo)单 调 递 减，y =(x)极 大 值=/?(e2)=0,.$方 方 程 In不：/后 在 x0e(l,+oo)上有 唯 一 解2 1 2 l ne 1 1x0=e ,：.k=f(e)=-=-.令 Q(X)=/(x)-g(x)=A-丘+(e软k e2),依题意知 (x)m i n g ,(px)-1-k=-|+一4的

11、值域为-k,-k,l n x In x 2 J 4 L.4 _ 当-D.0，即-0 时，.d(x).O,；.(x)在 e,e 单调 递 增，1I e 。(为血=9(e)=e-&(e-l)-，解 得k.,不合题意，2(e-1)当;-鼠0,即 左，时，,“(X),0,(x)在 e,e?单调递减，(*濡=小)*一 小2-1)，解 得k ，满足题意，当0 k 0,(p(x)在xe(e,x0)单 调 递 减，在xe(x0,e2)单 调 递 增，二这与0 攵 =/(尤)在x=l处的切线与直 线x+2 y-l=0垂直.求。的值,并求/(尤)的单调区间；(2)若4是整数，当x 0时，总有/(x)(3 +4)x

12、 X A J/mx +l/,求之的最大2 4值.答案：函数/(x)的定义域是(0,+o o),(x)=(x+l)l n x+(2 a +；卜+1,依题意可得，/XI)=,2a+-+=2,:.a=-,f(x)=(x+1)I n x+(x+1)=(x+1),2 4令/(x)=0,即(x+l)(l n x+l)=(),V x 0,x -,x e ,+o o 时,尸(%)0,%(0,1)时，./(工)-x2l n x+l x2,化简得 x i n x3 x A.2 4 x+1设 心)=x EI x,只需x+1，/、,.(l +l n x-3)(x+l)-(xl n x-3 x)x-2 +l n x.八

13、、2。).令 w(x)=x-2 +l n x,:./(x)=1 +0,可得“(x)在(0,+8)上为单调递增函数，x(1)=一1 0,即(尤)0,当 xe(O,x(J时，w(x)0,BP hx)0,(x)在x=/时取最小值,且h(x)min=i o%。+1又,:“(%)=0,；.1 1 1与=2 Xo，(x)m i n =但/)3Ao=一/X。+1V 2 0,.-.(f-2)-y =0,即产3 r +4 =0,.=9-1 6=-7 (),.方程/一 3 f+4 =()无解，,无论。取何值，函数/(x)的图象都不与x轴相切.(2)记g(x)=(x2)e*-炉+2%,由题意得g，(x).O在R上恒

14、成立，由g，=a +2.0,得g，(x).0的必要条件是2,若 a =2,则 g，(x)=(x-l)e*-2 x+2 =(x-1)(e*-2),当 I n 2cx 1 时，g (x)0,故a -1 时，H(x)0,H(x)单调递增且“(x)1,e当无 一1时，Hx)0,H(x)单调递减且一,1 H(x)0,e=9 _ l 0 M l)=e l0.存在唯一的X。e ,1),使得“(玉)=0,且当X G(-8,/)时，(X)0,/1(%)单调递增，/0)疝|1=(%0)=($一1)。一元0+2,1 1，1 、V /(xo)=O,.=/z(x0)=(x0-l)-x0+2 =3-+x0.X。X。k “

15、0 J XQ 1,.,.2 -F XQ 0,(x-l)cx-x+2.0 f旦成乂,2 x0 2.。能取得的最大整数值为1 .3.设函数/(x)=l n M g(x)=xe、一 九 一 1 .关于x的方程/=/;+m在区间 1,3 上有解，求加的取值范围;当 x 0 时，g(x)-a.J(x)值成立,求实数a 的取值范围.答案：方程/(x)=-号即Inx-x?+/=相，令(x)=Inx f +3(x0),则 h(x)=-2 x =-0,xel,3,3 x x7 17故以x)在1,3上单调递减，而=,(3)=ln3-17 7-1 7 7故当xel,3时，/(X)G In3-，故 的 取 值 范 围

16、 是 In3-._ 3 3j L 3 3.由题意得，当x 0 时，g(x)-/(x).a恒成立,令/(无)=g(x)-f(x)=xex-ln x-x-l(x 0),贝 U F(x)=一 1),G(x)=xe,-1,则当x0 时，G,(x)0,故函数 G(x)在(0,-H)单调递增，G(0)=1 0,G(x)存在唯一的零点 c e(0,1),且 x e(0,c)时，G(x)0,当 xe(0,c)时，/(x)0,r./(x)在(0,c)上单调递减，在(c,+8)上 单 调 递 增，从而有 F(x).F(c)=cec-ln c-c-l,由 G(c)=0,得eec-1=(),即cec=1 ,两 边 取

17、 对 数 得 lnc+c=0,故F(c)=0,/.F(x)JlF(c)=0,.-.a 0,故a 的取值范围是(9,0.4.设函数/(x)=x+axlnx(aeR).讨论函数/(x)的单调性；若函数/(x)的极大值点为1,证明：/U)e+x2.答案：（1）根据题意，/川+加 心 必 有 无 八 网/的 定 义 域 为 门 其导 数/（尤）=l+a ln x+a,当a=0 时，/（x）=x,则函数/（龙）在区间（0,+）上单调递增;a+o+l当a 0时，由 f(x)0 Mx e a,由 /(x)0得0cx e a.a+所以，/(x)在区间0,e “上单调递减,在区间 7a+1、e ,+8上单调递增

18、;7a+当a0得0 x e ，由/(x)e所以，函数/(x)在 区 间0,_ a+l、e a/上单调递增,在区间4+1、e ,+8上单调递减./综上所述，当a =0时，函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增;/0+!/当a 0时，函数/(幻在区间0,屋工 上单调递减,在区间e 7 +1、,+0 07上单调递增;当a 0时，函数/(x)在区间0,e一 丁 上单调递增,在区间e 1,+o o上单调递减 7 I J当a 0),则 P(x)=+-z-+1 =-X XX X令g(X)=X-b(X 0),易见函数g(x)在区间(0,+8)上单调递增,而g =1 一 0,g(O)=一1 0,所以在区间(0

19、,1)上存在唯一的实数X。，使得eg(x o)=x()-ef =0,即 =e-*。，且X G(O,X()时，g(x)().故/(x)在(0,%)上递减，在伍,+o o)上递增.F(x)n i i n=尸伍)In H-F XQ-1.工0_e-Ab又：=x0,.F(x)m i n=In x0+/一 1 =一/+1 +5-1 =0.F(x).F(x0)=0成立,即 f(x)e-x+x2成立.叵工5.已知函数/*)=1-ln x +1.(1)讨论/(x)零点的个数;x-证明：/5),ek.答案：/(幻=一 埠+，一-X4Vx x 2J x4-&(ln x+2)4x设g(x)=&(ln x +2),则

20、g(x)=m尤:4,当无=二 时，g，(x)=(),2yJ x e当时，g(x)O,g(x)单调递增，所以 g(x).g(5)=,又当 卜寸，g(x)0,g(l)=2 4,所以存在唯一 x。e(l,e),使 得(x。)=呵叫+2)=0,当 X(O,Xo)时，r(x)()J(x)单调递增，当X (%0,+c o)时，(无)O,又1。，/付)=4 :10,-埠 0,le?,所以(x)(),(x)单调递增,x 2 v x !x当 x e(1,+)时，0,。0,1 e 2 ,所以 h(x)0,A(x)单调递减,X y/x 2Tx sixx-l所以 /z(x)釉(1)=0,/(x)ev 得证.6.已知

21、f(x)=2 e g V-i,g a)=(x+a)2.若/(x).g(x),求a的所有可能整数值；证明：，f(x)存在唯一极小值点x =t且-1 r -0.8 5 ；记函数H 3)等于直线丁=依+。伏是常数)与/(x),g(九)的交点个数之和，若当a=l时R(。)的值域是0,2,4,求左的全体可能值.答案：令 心)一(止2叫门_”)2,则(x)=2ex-x2-2x-2a,h(x)=2 e 2 x 2 =2(ev-%-l),(x)=2(e*-1),令/?(x)=0,解得x =0,当x 0时，(x)0时，/f(x)0,此时函数y=/i (x)单调递增.所以厅(x)m m =(。)=0，则 ,所以，

22、函数=h(x)在R上单调递增,当 无 f-00 时，(X)-8,当 X 4OO时，(x)f+00,2所以存在/G R，使得(%)=2e-片一2a=0,则/+a=e*，且当x /时，hx)/时，(无)0,函数产人单调递增.1 (2 所以：h(x)mia=A(x0)=2ev -1 -(x0+a)2=2ev -1 -e 与 一，J,I r YY构造函数力(x)=2ex3-1 e*-，0(x0),令人(x)=2e -F ,则力，(x)=2(e*x).2(x+1 x)=2 0,所以函数、=人0)在R上单调递增，当x.O时，人。).人(0)=20,止 匕 时，/(x),0,即函数y=/(x)在0,+8)上

23、单调递减，则工。),工(0)=0；2 力(-1)=一一10,e由零点存在定理知，存在西e(-1,0),使得力a)=2e”-x；=0,且当X 当时，力3)0,此时函数y=/(无)单调递增；当x,x 0,则工3 0,此时,函数y=/(x)单调递减.当x/(0)=0,(幻=与-4-；0，e e 3.存在七w(-2,-1)使得工(&)=o,则不等式(天).0的解集为冈0,即天7 不，0仁(一2,0.2 2又a=e须-x0,构造函数力(x)=e*-土一x,则/(x)=e*,所以函数y=_/；(x)在R上单调递增,/e(-2,0,4 1,因此，a的所有可能整数值为1.e-(2)证明：/(%)=2e-x3-

24、l,贝 U T(x)=2e，,函数 丁 =/，(的在 R 上单调递增,由(1)知，当 x.O时，/(幻 0,2 2当 x0 时，/X-1)=-1 0,e e-由零点存在定理知，存在r e(-1,-0.85),使得()=0,当x r时，/(力/时，八幻 0,所以函数=/(x)存在唯一极小值点x=r 且-lr-0.85.当。=1时，由知，/(x).g(x)恒成立,当且仅当=0 时等号成立,如图所示，若2,0,当直线y=履+人过点(0,1)时，则R(b)=3,不合乎题意；考查直线y=k x+h与两个函数同时相切于点(0,1)时，则攵=/，(0)=g，(0)=2,此时，R(b)=1,不合乎题意；若0

25、女 =1 时，直线y=过 点(0,1),直 线=辰+。在y 轴左侧必然会与两个函数的图象各有一个交点，此时RS)=3,不合乎题意；若人 2 时，当6=1时，直线y=过 点(0,1),直线 在y 轴右侧必然会与两个函数的图象各有一个交点，此时RS)=3,不合乎题意.综上所述,符合条件的实数k不存在.7.已 知 函 数 幻=生 上.X若函数/(X)的图象在x=l 处的切线为y=l,求/(X)的极值；若/(x)e、+女-1,求。的取值范围.x答案：尸(为=1一 ；/八 1)=4=0,。=1,X X此时 函 数/(l)=a=l,函数/(x)的图象在x =l处的切线为y=l,成立，所以尸(x)=二 学，

26、此时/(%)在(0,1)上单调递增,在(1,物)上单调递减,厂所以/(X)的极大值为/=1,不存在极小值；(2)由 f(x)eA H-1,x化简可得6,x(e 1)l n x+2(x 0),令 F(x)=x(e、I)一 I n x+2(x 0),则 Fx)=(尤 +1)(e*-,x 0 ,令(x)=e 0,则(x)=e*+-V0,x x所 以 (无)在。+o o)上单调递增，又/?=Ve-2 0,存在唯一的 X o e(g,l ,使得/?(x0)=e 一 =0,故F(x)在(0,工)上单调递减，在(%+8)上单调递增，b(x)m i n=X o e -X o l n x o +2,由 /z(x

27、0)=e1*-=0,得 xoe =1,x()+I n x0=0 ,-xoR(x)m i n =x()e。一%-I n%+2 =3，所以 a,3,即实数a的取值范围是(-0 0,3,8.已知函数/(x)=o x +l n x+l,若对任意的X0,/(尤),x e”.恒成立，求a的取值范围.答案:方法1 ：设g(x)=屁2*-a x-I n x-l(x 0),对任意的x 0,f(x)x e 恒成立,等 价 于 g(X).O在(0,+8)上恒成立，则只需g(X)minO即可.因为 gf(x)=(2x+l)e2-6 z-,X令 h(x)=(2x 4-l)e2x (%0),x则(1)=4。+1产+4 0

28、,x所以7z(x)=g x)在(0,+oo)上单调递增，因为当 0时，/i(x)f-o o,当x +oo时，/z(x)f+00,所以以幻=g x)在(0,+oo)上存在唯一的零点,满足(2x0+l)eA ci-=0,xo所以=(2玉)+3 2%-乙 且 8(乃在(0,题)上单调递减,在(占,+00)上单调递增,*0所以 g(x)m in =g(x()=%)e av()Inx。_ 1 =_2x()e In x0,则由 g(%)m in .0,得 2xe2x+In x0 0,此时一生学，2片所以2M+ln(2),如(-ln/)+(-ln4),设 5(x)=x+lnx(%0),则 9(幻=1 +1

29、0,x所以函数S(x)在(0,+oo)上单调递增，因为 S(2xo),S(-In/),所以 2%,In xQ B|J e-,%所以 a=(2%+1)e _,(2x0+1)-=2,七 不而所以实数a 的取值范围为(-双2.方法2：因为/(%)=6+111+1,所以对任意的 0 (尤),沈 2,恒成立,等价于4,e 2，-3 2 在(0,+o o)上恒成立.X令皿x)=e2 v-(x 0),贝U 只需 4,m(x)min 即可，则加(x)=2表：+1。,X再令 g(x)=2x2e2x+I n x(x 0),则 g (x)=4(/+x)e 2 +,o,所以 g(x)在(0,+o o)上单调递增，因为

30、邛_ 2 1 n 2 0,所以g(x)有唯一的零点小,且;飞1,所以当0 c x x()时，加(%)0,所以制x)在(0,%)上单调递减,在(为,”)上单调递增，因为2天 熊2 +I n x0=0,所以 l n 2+2 1 n/+2 Ao=l n(-l n x0),即 l n(2/)+2/=l n(-l n)+(-l n),设 s(x)=l n x+x(x 0),则 sf(x)=-4-1 0,x所以函数5(%)在(0,+0 0)上单调递增，因为S(2毛)=5(一出/)，所以 2%=-l n x 0,即 e2 x =,为所以皿x).2(x 0)=e 2&-3里=一 屿 一 工=2,则有q,2,%

31、)入0%尤。所以实数。的取值范围为(-8,2 .9.已知函数/(x)=x er+.X(1)证明：函 数f(x)有唯一零点;若 对 任 意x e (0,4-0 0),xex-I n x.1 +,求k的取值范围.答案：(1)证明：(九)=(x +l)e*+z ,x e(0,+o o),X易知当O v x v l时,r(x)0,所以“X)在区间(0,1)上为增函数，e 1 _ 已2又 因 为/出=弋 一 0,八1)=60,所以/0,即/(X)在区间(0,1)上恰有一个零点，由题可知/(幻0在(1,+w)上恒成立,即在(1,4W)上无零点，所以/(x)在(0,+8)上有唯一零点.(2)设f(x)的零点

32、为与，即/小+皿 =0.%原不等式可化为x e-ln x-l.&,XxI n xx i i 无e H-令g(x)=上 T n x-l,则 g,(*)=匚，X X由(1)可知g(x)在(0,%)上单调递减，在(如长。)上单调递增，故g(8)为g(x)的最小值下面分析玉片“+爪=0,%设x e 贝|g =T,可 得 卜。=；即飞(1-)=1/,I n x0 4-x0=I n t,若，1,等式左负右正不相等；若，1,等式左正右负不相等,只能f=l.因此g(x 0)=正 二 g二l =g=l,所以七1.X。X 0即实数人的取值范围为（-0 0,1 .1 0.已知函数/(X)=-x I n X-(m-l

33、)x,/(x)为 f(x)的导函数.(1)若 m =l,证明：对任意 XG(0,+Q O),/,(x).O ;若/(x)有两个极值点，求m的取值范围.答案：m -1 时，/(x)=ev-1-x l n x,/(x)=ev-l n x-1令 G(x)=e*T x,则 G (x)=ei1,当 x l 时，G (x)0当x l时，G (x)0),则 j(x)=,当 0 x l 时，jx)l时，jx)Q,故j(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4W)上单调递增，所 以J(x).y(l)=0,即x.l n x+l (当且仅当x=时取等号).当/(x)=eJ-1-l n x-l v-(l n x+l)0

34、 (当且仅当 x =l 时取等号)所以，VXG(0,+o o),/(x).0 ;/(%)有两个极值点，即f(x)=ex-,n-n x-m有两个变号零点.当 1 时，/(x)=ex-m-nx-m.ex -l n x-1,由 知/(x).O,则f(x)在(0,+8)上是增函数，无极值点；当 m 时，令 g(x)=7(x),则 g (x)=e*r ，Xg =em l 0,且 gx)在(0,+O O)上单增，m.,.3x0 G(l,w),使 g (x(J =0.当 x e(O,xo)时，g (x)0.所以，g(x)在(0,不)上单调递减，在(天,口)上单调递增.则g(x)在X=XQ处取得极小值，也即最

35、 小 值g(x(J.由 g (N)=O 得 m =%0+l n x0)则(x0)=-x0-2 1 n x0)I1 2令 h(x)=x-2 1 n x(l x m)则 h(x)=z-1 0,h(x)在(l,m)上单x x x调递减，所 以(x)=0.即g(为)0 时，g(x)+0 0,X +o o 时，g(x)40 0,故 g(x)在(0,+8)上有两个变号零点，从 而/(X)有两个极值点.所以，m l满足题意.综上所述，/(%)有两个极值点时，加 的取值范围是(l,+o o).1 1.已知函数/(%)=I n x-x eA+ax(a e R).(1)若 函 数/(x)在 l,+o o)上单调递

36、减，求实数 的取值范围;(2)若a=l,求/(%)的最大值.答案：(1)由题意知，/(%)=-(e1+x ev)+a =-(x+l)ev+,0 在 l,4w)X X上恒成立，所 以a,(x +l)ev-在 l,4w)上恒成立.X令 g(x)=(x+l)el 贝(I g (x)=(x+2)ev+-40,X X所 以g(x)在 口 收)上单调递增，所 以g(x)min=g(l)=2 e-l,所 以 2 e 1.(2)当 a=时，f(x)=I n x x ev+x(x 0).则/()=-U+l)ex+1 =(x 4-l)f -ev j,X yX J令 m(x)=-eA,则 m(x)=-y eA 0,

37、x x所 以m(x)在(0,+o o)上单调递减.由于阳。满足小伉)=0,即e.当 x e(O,xo)时，机(x)0,/(x)0 ;当 x w伍，+o o)时，/(%)0,/(%)0.答案：/(x)=0、+l nx的定义域是(0,e)，X +X/，2(2 元+1)1 3 x 2f(x)=-(-r2 +-=-o，X仁+4所 以/(1)=-1,又/(1)=1,则切线方程为x+2y-3 =0.(2)令 h(x)x3+2x2-3 x-2,贝！J li(x)=3 x2+4 x-3,设hx)=0的两根为王,工2，由 于xx2=-1 0,不妨 设x 0,则(x)在(。,)上是单调递减的，在(%,+o o)上

38、是单调递增的.而/2(0)0,/;(1)0,所 以h(x)在(0,+o o)上 存 在 唯 一 零 点 且/e(L 2),所 以/（x）在（0,不）上单调递减，在（天,小）上单调递增.,2所以/(x)./(x0)=-.+lnx0,%+玉)2%+因为x0 e (l,2),ln x0 0,f(x)0,所以/(x)0.1 3.已知函数 f(x)=ex-2a-lnx.当a =；时，求f(x)的单调区间；当4,1时，证明：f(x)0.答案：当 a=-时，/(x)=e-I n x,f(x)=ev-(x 0),2x因 为,(1)=0,故当 0 x l 时，/(x)l 时,/(x)0,所 以/(x)在(0,1)上单调递减，在(l,+o o)上单调递增.(2)当 a,1 时，x-2 a J S r_ 2,/(x)et-2-I n x,令(px)-e1-2-I n x,x 0,则(/)(x)=exz,x显 然s(x)在(0,+o o)上单调递增，且 0,所 以而(x)在(0,+o o)上存在唯一零点x0,x0 e (1,2),又当 O x X o 时，(p(x)x0 时，(尤)0,所以当 X G(0,+O O)时，奴=一 n不，由 0(4=0,得 eW=L x()=e 2 f,所以 (入0)=-I n e 2 7 b=(2 x0)=+x0 2 2 2 =0,X。七%综上，当q,1时，/(x)0.