理论力学动力学部分试题及答案(非课后习题).pdf

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1、1物体自地球表面以速度V。铅直上抛.试求该物体返回地面时的速度V L假定空气阻力R=mkv2,其中k是比例常量，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力.m是物体质量，v是物体速度，重力加速度认为不变.答：为%得解：阻力方向在上升与下降阶段不同(其方向与速度P相反)，故分段考虑(2)下落阶段:2.静止中心0以引力F=-妙m r吸引质量是m的质点M,其中k是比例常量，r =OM是点M的矢径.运动开始时OM o=b,初速度时即并与0M成夹角a.求质点M的运动方程.答.Vx=icosto+cosasinfeky-sin a sink解：取坐标如图，质点M在任意位置。将我万=F沿工、轴投影，得mx=

2、-F c o s 0=-kmr c4 s (p-k2mxmy=-F s in(p-k mr s i n cp=-k my即+/x=0,y+k2y=0微分方程得通解为：x =c1 c o s Ar/+c2 s i n kt ,y=c3 c o s +s i n kt(1)求导得 x =s i n kt +kc2 cos kt ,y=-kc3 s i n kt +kc c o s kt(2)已知初始条件 t=0 z x0=b ,7 o=O，x0=v0 s i n a ,yQ=v0 s i n a、v V代入方程(1),(2)得 c,=b ,c,=cos c,=0 c.=s i n a质12 R 3

3、 k点的运动方程为x =-c o s a s i n kt y =s i n a s i n kt3单摆M的悬线长/,摆重G,支点B具有水平向左的均加速度a.如将摆在6=0处静止释放，试确定悬线的张力T （表示成9的函数）.答；T =G(3s i ne+3g c o s 0-2 g)g g解：质点的相对微分方程为ma,=m g +T +Qe投彩到切线方向G 1 0 =G eos 9 Qe s in 0(1)g投影到法线方向G v2-=T Gs i n 9 Qe c o s 0(2)g/由 式(1)得=gc o s0 a s in 0分离变量并积分=|g e o s a s i n田9v2=2

4、Ag s i n 0 +a cos 0 -a)(3)由 式（2）得将 式（3）代入上式G GT=Gs i n6d a c o s 5H-v2g g?T=G|3s i n +3-c o s 6-2-|1g g)4.水平面内弯成任意形状的细管以匀角速度。绕 点0转动。光滑小球M在管内可自由运动.设初瞬时小球在MQ处，OMo=r0,相对初速度的=。，求小球相时速度大小v,与极径r的关系.答：V,=0炉 一,解：取小球为研究时象，动系固连细管，动系以匀角速度。绕点。转动，玲、佐、4如图所示.幽访=徵 亘+网+用+。（1）其 中 腔 与M沿铅直方向自行平衡.式（1）沿切线方向投彩得dvr _ 2m-=U

5、 cos O f=mro）cos a （2）dt e由图中可知?=%+生 上，且dt rdrdt=vr cos a4)cos a =4-,4代 入 式（2）得积 分得 vz 0*r|/八=3|Hr，vr=C D-5.一重量为P 的重物I A,沿与水平面成or角的棱柱的斜面下滑.棱柱沿水平面以加速度a 向右运动.试求重物相对于棱柱的加速度和重物对棱柱斜面的压力，假定重物对棱柱斜面的滑动摩擦系数为九.答:%=gisin/c o s 0 i-a ic o s 6 +/sin 9 解：取 A 为研究对冢，动系固连棱柱。ma=W+F?）+F+Q6沿 r 轴投影 一 ar=W sra 0-Qe cos 0

6、-F(1)g沿 J 轴投影 0=氐-W c o sd-Qe sin 9(2)(3)/由(2)得=W cos 6+Q sin 9 W cos 5 4-sin 6 S J由（1）得以 =gisin。一/cos6)一icose+/sin 1 0g,1 .在图示质量弹簧系统中，质量是m的物块M可以沿光滑水平导杆运动。已知：m=Ci=c：=2 N/m0求系统的固有频率。设振幅是2 c m,求 M的最大加速度。解：向右,（1）取物块M为研究对象。（2）运动分析：M 沿水平导杆自由振动，取静平衡位置为坐标原点，x轴方向水平（3）受力分析，重力与杆支持力平衡，受水平弹力A、正。（4）列方程求解：物块在任意位置

7、运动微分方程。?nx=一及一居=一（5 +c?q=-ex(1)其中 匕=%+。2=4%可见图示相当于两弹簧并联。由（1）式得物块M 振动规律x=上 siniH+Qi其中固有圆频率上$=岛=2。皿由式 得 a1m=/=0 02 x 2 02 =8%22.弹簧的上端固定，下端悬挂两个质量相等的重物Mn心当系统处于静平衡时，弹簧被拉长6,=4cm.现在突然把此除去，求以后M的振动规律.解：振动系统由重物M i和弹簧组成，在重物M i作 一f用下，弹 簧 的 静 伸 长=2。加 J ：取重物M l的静平衡位置为坐标原点0轴x铅直向下3|：由m a =F,投影x轴 m x =mxg-Fx=mxg-c 6

8、5 1+x i=-e xM i的振动方程 x=Ak t+a初始条件则相角所以t=0,x0=6S-=2 cm,x0=0 x=2 s i n I 2 2.1/+I =2 c o s 2 2.t cm3.质量m=2 000k g的重物在吊索上以匀速V=5 m/s下降.由于吊索突然嵌入滑轮的夹子内，其上端被卡住不动.试求以后重物振动时吊索的最大拉力.假定吊索上端被卡住以后，下端吊索的弹簧刚度系数c=39 2 0 k N/m,又吊索质量不计.解：取重物为研究时冢，静平衡位置为坐标原点0,x轴铅直向下mx=m g -c(d3-x)=-exx-k2x=0其中 丁辱快黑=442 m d/sx=工 s i nk

9、 E+a i因为运动初始条件R O,Jtb=O,x0=v=5所以 4=x；+=y a =a r ct g-=0因为振动方程为 X=-s i n ktk吊索最大拉力 =c，（5,+=w g +=2 000 x 9.8+-3 92-5=462.6 kNJk 44.24.在弹簧上悬挂质量m=6 k g 的物块.当无阻力时，物块的振动周期是T=0.4”s；而在有正比于速度一次方的阻力时，振动周期T i=0.5%s.现在把物块从静平衡位置下拉4 c m,然后无初速度的释放，求以后物体的振动规律.解：先求阻尼系数n.因 为 耳=k2-n2即制售）1n=3有阻尼自由振动规律是所以x=ef*j4sini/iZ

10、+a i运动初始条件t=0 时，即=0.0 4 m,=04x=0.05e5t.(A 4sin I 4/+arctg 5e sin I +arctg lew5.硅码M悬挂在弹簧CB上，弹簧的上端沿铅直方向作简谐运动，岁=2 s i n 7。c m （时间以s计，角度以ra d计）.底码质量m=0.4k g,弹簧刚度系数c=39.2 N/m.求M对固定坐标的强迫振动.答 x=4sin7t cm解：取弹簧上端不动时物块的平行位置作为固定坐标轴系的原点，令Ox轴铅直向下.在任意瞬时t物块m的坐标为x弹簧变形量：5 =%+瓦+X=瓦+X-f附方=g-（a+R一）其中 C65=w g 令k2=,则上式为m

11、光+上。=/rs i n pt 这是无阻尼强迫振动标准微方程。强迫振动部分为 3=李丁 s m ptk-p其中 k2=98尸7 ,，=2 ,代入上式得m 0.4=-9-8-x-2-s i.nr7/=4A s i n r c m9 8-726.质量m=20g的小物块，悬在刚度系数c=3.92 N/m的弹簧上，并受到干扰力5=0.0125如0t+5）和线性阻力1=0.098底的作用，其中S、R以N计，t以s计，p t和5以ra d计，v以m/s计，试间圆频率p等于何值时强迫振动获得最大振幅？该振幅是多少？解：小物块的运动方程mx=m g_ F-R+s=mg-ci S5+x i一 加+0.012si

12、n|R +=J196-2x2145、=13.6rad/sx IS共振振幅=.=-12 T炉2x2.45x4196-2.45之=0.00887 m=0.887 cm7.质量m=2kg的质点在恢复力和正弦形扰力作用下沿X轴运动。力S.=0.4cost N-已知：当t=0时，xo=O,试求质点的运动规律。解：质点运动微分方程 一wx=tng 一 F+S io恢复力0二-8工N,扰=m g-c 85+工)+0.4 cost即 x-k2x=kcosPt(1)xfwwwwvjvv=0.2 8=上=m 2 k2-p2 4-1 15式(1)通解 工=+才2 =q co s 比+勺 sin+-cos pt即 x

13、=q cos 2 +与 sin 2t+cosZ而 x=-2cy sin 2z 4-cos 2/-sin/121 5把初始条件t=o,即=0,分=0带入上两式，得得ci=-勺=0故质点的运动规律x=(cos/-cos2z m151.弹簧的刚度系数是c,其一端固连在铅直平面的圆环顶点0,另一端与可沿圆环滑动的小套环A相连.设小套环重G.弹簧的原长等于同环的半径r；试求下列各情形中重力和弹性力的功：(1)套环由4到(2)套环由4到A3；(3)套环由义到4；(4)套环由4到解：3 1 ,(1)WP=-r G,We=-cr22 2(2)Wf=G r,r2=c r2|l-/2 =-0.4c r(3)Wf=

14、Gr,明=c/i 夜-=0.4c/畋=0,勺=02.图(a)(b)(c)中的各句质物体分别绕定轴0转动，图(d)中的勺质圆盘在水平上流动而不滑动.设各物体的质量都是M,物体的角速度是。.杆子的长度是,扇盘的半径是r;试分别计算物体的动能.(2)T=g(切/(3)TZ =1 L7 1 I 1 2 .2 I 2 3 2 20a)=I mr +r ma)=(4)T =+/卜43.质细杆AB的质量是m,长度是/,放在铅直平面内，杆的一端A靠墙壁，另一端沿地面运动.已知当杆对水平面的颐角。=60时B端的速度为丫或求杆在该瞬时动能答：T=解：匀质细杆作平面运动，尸为速度瞬心v5 2以=方=而也S 1,2

15、1T=_ wv?1.。北2 2=左 僧%+得加耳=也可以用下面方法计算：T=T2V=14.长为人质量为m的句质杆以球银链0固定，并以匀角速度。绕铅直线转动,示.如杆与铅直线的夹角为8,求杆的动能.答：T=-m l2a2 sin2 56解：先计算杆对轴z的转动惯量.如图所x sin J)?dx=g 活尸 sin*杆的动能叫纭/犷一呐65.托架ABC缓慢地绕水平轴B转动，当角比=15”时，托架停止转动，质量m=6kg的物块D开始沿斜面CB下滑，下滑距离s=250mm时压到刚度系数c=1.6N/m的弹簧上.已测得弹簧最大变形4=50施利.试求物块与斜面间的静摩擦因数和动摩擦因数.答；/=0,268/

16、(=0,151解：1、求静摩擦系数.当a=15时，物块开始下滑，所以/=吆。=坦15=0.2682、求动摩擦系数。取物块D为研究对象，ri=T2=0.%=wg s+/l*sin 15Wn=一用is+41=-/is+N)=-/%g co sl5(s+N)Wc=-1 c 2,力N不作功.由 冬-4=取得 0-0=mg(s+处sin 15-/gcosl5s+i-c2尹 1 f.1 S.c；l 1 1 fn _ 1600 x 0,05,1J =-sin 15-=-0.259-cosl5(0,6g)0.9601 0.6x6x9 8)=0.1516.滑轮的质量为m 1，半径为r,可绕光滑水平轴。转动，它对

17、转轴的回转半径为Q.滑轮上套着不可伸长的柔绳，绳的一端挂着质量为5 2的重A,而另一端则用刚度为k的铅直弹簧B D系在固定点D.假设绳与滑轮之间无相时滑动，绳和弹簧的质量忽略不计，试求物块A的运动微分方程.答：（的 刍+的）元+日=0r解：设滑轮顺时针转过的角度为防系统的动能+w2r V =1(?1-+?M2)rV (1)2 2 2 r用微分形式的动能定理d T =/印（或机械能守恒定理）求解.由 式（1）可得 祀又 d W=w2g -k 6t 4-r-kr2cpdcp根据微分形式的动能定理，得（n=+次2）户加0=-兀户/中r化简后即得（%冬+加2）产。一 二 -kP（p,（2）r即：（加1

18、与-+加2）+京=07,在曲柄滑杆机构中，曲 柄 0A 受常值转 矩 作 用.初 瞄 时 机 构 处 于 静 止 且 角=物；试求曲柄转过一整转时的角度。假设曲柄长r,对轴。的 转 动 惯 量 是 滑 块 A 的重量是5；滑道杆的重量是G2；滑块与滑槽间的摩擦力可认为是常力并等于F.K J（7 0-2 F r）gW og+G1户+5户 sin?用解：取整体为研究对象，只有转矩和滑动摩爆力作功.曲柄转动一周，角位移为2 n,滑块在滑道中行程为s=2rx2=4r2开一?4r初 瞬 时 Zi=0末瞬时，曲柄角速度为s 滑块4 速度=rs.滑道速度 v=p=PASin=r sinT2=Ztf z 2+

19、-r22+r2“T=T71=0乙 乙，乙/乙 乙=7-%户+31/0 印=也+加2 gx 2r由 4一方二 取得 凉 胸/2O +31,1=2阻 僧1+防2 I613rgi加1+的)0=2 I-A-y的,+31。9.椭圆规机构由曲柄0A、规 尺B D以及滑块B、D组成。已知曲柄长八质量是m1；规尺长2,，质 量 是2加1，且两者都可以看成句质细杆；两滑块的质量都是活y整个机构被放在水平面上，并在曲柄上作用着常值转矩试求曲柄的角加速度，各处的摩爆不计.（3%+4%）?解：取整体为研究对象，只有转矩作功。形式动能定理。d T=d W（1）系统动能 7 =T 0A+T曲+4+7 ）1 1 0 0%二

20、 2（可 知）。，%二g .2的（，0尸 1&TB=W2（2Z COS cp ）,T=（尸02（3 利1+4 m 2）应用微分、以人x 2 w i(2?)2 0,535在FN=O的极限情况下，有mg=w r匕=病2,再应用机械能守恒定理求解.取弹簧不变形位置为弹性力场的零点位置，取A点为重力场的零点位置。&=。，匕1=5箫;方=5 mT =m gx3r乙 乙由 普+嗫=%+%得 0+-c=g mv+mg x 3rc=3661.已知条件和动能定理题1相同，试分别计算各物体的动量。(a)a/2,(b)K=m u o=0(c)K=mv c=mr a ,(d)K=mv c=mr a 2,试求下列各物体

21、系的动量：(1)物体A和B各重 和GB,GAGB,滑轮重G,并可看作半径为r的勺质圆盘.不计绳索的质量，试求物体A的速度是v时整个系统的动量.正方形框架A B C D的 质 量 是 边 长 为L以角速度电绕定轴转动；而勺质圆盘的质量是取“半径是r，以角速度町绕重合于框架的对角线B D的中心轴转动.试求这物体系的动量BV 工n _解：(1)K=KAKB,K=V-gI I,(2)K.=掰，电+Wa 万=5方向为垂直框架平面，顺着a马 上9厂GB 方向向下.g g5+%d。”前进方向。3.物体A和B的质量分别是酒i和a 2,借一绕过滑轮C的不可伸长的绳索相连，这两个物体可沿直角三棱柱的光滑斜面滑动，

22、而三棱柱的底面DE则放在光滑水平面上,试求当物体A落下高度h=10cm时，三棱柱沿水平面的位移。设三棱柱的质量搐=16根2，绳索和滑轮的质量都不计。初瞄时系统处于静止。答：向右移动3.77m解：取整个系统为研究对象.系统的外力只有铅直方向的重力mig、igg、m g和法向反力N.又因系统在初瞬时处于静止，故整个系统的质心在水平方向x的位置守恒，即三棱柱移动前系统质心的横坐标mlx1+m2x2+mxxc=-=-,羽+加？+也设三棱柱沿水平面的位移是s,则移动后系统质心的横坐标冽151 一%cot 300+s 1+冽J X】-sin 30+s+wix+sij _ sin 30)=啊+用2+也由 得

23、 三 棱 柱 沿 水 平 面 向 右 的 位 移岛l+f2 x 4 +ls=-!-=-xlO=3.17cm孙+咻+根 4=1+164.图示机构中，鼓轮A质量为加J转轴0为其质心.重物B的质量为徵“重物C的质量为切3斜面光滑，倾角为6.已知B物的加速度为如求轴承。处的约束反力.R答：M*=%一acsd+啊gcosdsin 6rr2R%.=伽+加2+w3)g-w3gcos 6+冽3 asm 6-m a解；取系统为研究对冢.所以ac=a气 r=a R由质心运动定理二昭 3=Rmzac cos 9-JVsin 9,其中 2 v n g co sem3ac sin Q-m a-N0y(也1+也2 +)g

24、 +Nc4sBR解得 Nx-叫 一a cos 0=m3g cos 6sin 9r2RN0y=伽+加2 +切3)-w?gcos 9-mz asin 9-m a5.匀质圆盘质量是n半 径是r,可绕通过边缘。点且垂直于盘面的水平轴转动.设国盘从最高位苴无初速地开始绕轴。转动,试求当圆盘中心C和 轴。的连线经过水平位置的随时,轴 承0的总反力的大小.胶 而答:No=t ng解一：设圆盘的中心C 与 轴。的连线与铅垂线成任意角度/,园盘所受的外力和质心的加速度如图(b).由质心运动定理，有ma 0 =mr q =Nx+mgcos(p(1)由积分形式的动能定理，有*-。=mgr i 1 -c o s qi

25、即mgr l-cos (p)(0 s8)故/=g g tl-COS 0把上时两端对时间t求 导.得(3)故也可由微分形式的动能定理求出。，通过积分得。.当e=工时，把 式(3)和(4)分 别 代 入 式(1)和(2),得2“4M=J g，1 1r 2 1Jv2=m g -mg=-mgo总反力N的大小为N=+咫=w g 解二：可由刚体定轴转动微分方程1,0=Z也,(2 0求。和0(5用户+w r2J=w g rs i n(p，.2 g故p=s i n p,3 r因为。=丝.竺=史 空，积分有dt dt p d(p(和。二,1：smR。福02 =1-COS I把 式(5)和(6)分别代 入 式(1

26、)和(2),可求出反力N1和Nm解 三 可分别应用动能定理由式(3)求出角速度。，应用刚体定轴转动微分方程由式(5)求出角加速度“，再根据质心运动定理由式(1)和(2)求反力Ni和N?.解四：根据达朗伯原理，在质心C 上加惯性力0=一网先，6=一J火 以 及 矩 为 的 惯 性 力 偶(图0,有E F*=O,N、=-t ngcos g%=0,忆=mr ip-mg s i n(p,Z m0(F)=0,Zc?+mr cfr -mgr s in 0=0,即-2 gr0=s i n 6显然，以上三式分别 与 式(l)s (2)s (4)相同.也可以在点。上加惯性力0%=一 池 上 和。,=一 切 以

27、及 矩 为一/源的惯性力偶(图4,仍可得到相同的结果.6.匀质曲柄0 A重 5,长r,受力偶作用以角度。转动，并带动总重色的滑槽、连杆和活 塞B作水平往复运动。已知机构在铅直面内，在活塞上作用着水平常力F.试求作用在曲柄0上的最大水平分力。滑块质量和摩擦都不计.2答：叫=尸+受(G+2 G?)2 g解一:取整个系统为研究对象,受力如图a所示。将质心运动定理的方程投影到水平轴x上,可得(1)其中二 mx _ GJ0.5/CQS a)t)4-G2+r c oG+G.?叵+2弓2(G1+Gf2rr c o s 0r 4-2 G2Z 故 xc=-5 +2 G2 02 c o s (D t,(2)2 i

28、 G+G?):寸.c c o s 魏(r 2 ,2)COS ak 尔=-I G g+G2aA)-=-G x a r+G2 x r(D-1 g I 2 )g1.=+2 G2 1 rccr c o s wt(3)2 g把 式(2)或 式(3)代 入 式(1),得2凡=尸-竺，5+2 G2死。5或(4)2 g当COS 3t=-1时，作用在曲柄轴0上的最大水平力2一二尸+目5+25)(5)B-：用动量定理求解,有其中质点系的动量K在轴丫上的投影K*=yfnvx=(-vi s i n V 2=V e=V j i s i nw f 故MX=GI+2Gdsm st。2 g代 入 式(6),可得作用在曲柄轴。

29、上的水平力&=F-&+2 Gjc o s a,2 g结 果 与 式(4)相同.7.勺质杆。A长2?,重P,绕通过0端的水平轴在竖直水平面内转动.设杆0 A转动到与水平成9角时，其角速度与角加速度分别为。及，试 求 该 时 杆。端的反力.P l P l答：此*-(0?c o s?+,s i n 喻,N=尸 +一(02 s i n(p-e c o s)ggg解：应用质心运动定理，M c i二二一 m*c o s (p _ ma s i n 0 =ma s i n cp .ma c o s (p -Noy-P解得,r P l/2 .忆X=一(C0S*+2 S i n 0gN”二产+丝(。2 s i

30、n 0-a c o s g1.已知条件和动能定理题1相同，试分别计算各物体对通过点。并与图面垂直的轴的动量矩。设图d中圆盘和水平面的接触点是点0.(b)R 0 =I=m r2a)顺时针13(c)H.=H.+k r =mr2-mr w-r -加/e 逆时针 。，2 213或 H.=%0=(-mr2+活尸)。2 =加r2。，,2 2I 3(d)=J 0 s =(僧户+活户)凉-MPS 顺时针2.轮子的质量m=1 00k g,半径a l m,可以看成勺质圆盘.当轮子以转速n=1 2 0rpm绕定轴C转动时，在 杆A点垂直地施加常力尸，经 过1 0秒轮子停止.设轮与闸块间的动摩擦因数了，=0.1,试求

31、力尸的大小.轴承摩擦和闸块的厚度都忽略不计.答：尸=2 7 02/解：取O A为研究对冢工 叫=。1.5J-3.5P=0(1)再取轮子为研究对象，/*=-劭 (2)积分得 _阻=_与 工,4=-空(3)4fr t式(3)代 入 式(1),并考虑,乙=1加户得30 2_ 1,5 1.0).3 m P 加 3x l 00 x l2 X T T X1 2 0一 式 加 一 亍 2/R 30-7 x 2 x 0.1 x 1 x 1 0 x 30=2 69曾3.鼓轮的质量q=1 800彷，半径r=0.2 5M，对转轴0的转动惯量2。=85.3幅冽、现 在 鼓 轮 上 作 用 驱 动 转 矩=l.A3kN

32、 m,来提升质量活义=2 7 00馆 的 物 体A.试求物体A上升的加速度，绳索的拉力以及轴承。的反力。绳索的质量和轴承的摩瘵都忽略不计.答：a=0.80m/s2,T=2 8.6k N,F0=46.3kN解：(1)、求物体A上升的加速度。取系统为研究对象，受力如图，应用质点系动量矩定理色|根m F1d X J 一，二%J掰 丸=1,3+加 产 广，三 绳|了|=此 一 的g rd.一|/+啊”|=也 一 啊g rdt义工 公由十 v=rat,=adt则a嗯场 一 叫gr _ 7.43X103-2700X9.8X0.25生+r05 2+2 7 00 x 0.2 50.2 50.8T(2)、求绳索

33、的拉力。取A为 研 究 对 象啊。=丁 一%gmzgT =w2a +g i=2 7 00 x(9.8+0,8=2 8.6(3)、求轴承。的反力.由质心运动定理 F。-的g -叱g=的以1 +啊%=m2aF0=冽 g +n g+幽2 a =活1 g +也2匕+g =46.2 AJ74物 体D被装在转动惯型测定器的水平轴A B上，该轴上还固连着半径是r的鼓轮E；缠在鼓轮上细绳的下端挂着质量为M的物体C.已知物体C被无初速地释放后，经过时间丁秒落下的距离是h；试求被测物体对转轴的转动惯量.已知轴A B连同鼓轮对自身轴线的转动惯量是4 .物 体D的质心在轴线A B上，摩擦和空气阻力都忽略不计.D次 M

34、grV答：1=-K-M r2hA E-mX TBV7777解：对整个系统应用动量矩定理，设被测物体对转轴z的转动惯量为Z等=二 代 加Hz=1。+/g+,2。，(1,+/+跖2 *=姆r,因为是常量，且3o=0，Po=0,所 以=且有h =y 解：根据刚体平面运动微分方程，得-?c o s a -F,(1)0=N-Mg+产 s i n a,(2)Mp2 后=Fr-P。(3)又ac-re(4)把 式（1）和 式（4）代入代入式（3）,可得加速度P r（r c o s a-r0 I /.a.=-5-5-漫而不滑的脩件是，F -F-=-P-,P-2-c-o-s-a-+-r-r-0-1-oN Mg-p

35、sn a P2+r2）8.句质杆AB长 八 质 量 是Mo杆的一端系在绳索B D上，另一端搁在光滑水平面上。当绳沿铅直而杆静止时杆对水平面的倾角0=4 5 现在绳索突然断掉，求在刚断后的蹊时杆端2A的约束反力。答:Nr 3 M g杆AB作平面运动，可用刚体平面运动微分方程求解.取坐标轴Ox y如图，有M y.=NA-M g,a=_*c o s o2又%二2 s i n(pf(3)yc-p cos(p,yc-c o s -s i n cp 当t=0时，0=0,故 其=；0c o s 0,考虑到式(2)的 S有 _ Z f 6M c o s。脑c o s 0 =-3-N-A-c-o-g-M代 入

36、式(1),得A端的约束反力NA=M gl +3c o s2 cp=与=21+3 2解二：设杆的角加速度w 为顺时针方向，坐标系3如图，有M a a=0,xc=常 数=0,故小工厂常数肱%=M g,=即=9铲(6)由 式(4)知，质 心C的加速度/与轴平行，取A为基点，有(5)(4)aC aA+城4+峪4因初角速度是零,故 二=ACX.C D0,加速度关系如图c,有x1a。=-a c o s p=-s-c o s 0,57 7解：圆柱作平面运动。其质心沿半径等于6”的圆弧运动；受力如图所示。质心加速度投影到质心轨迹的法线和切线方向得尤=勺-r 科注意：（3）式 中 3和对质心力矩以顺时针为正，但

37、、0、。以逆时针为正。圆柱滚而不滑，A为速度瞄心，有 匕=勺-0 =厂。（4）1 尸一尸式（4）代 入（3）得 用尸（2 _）0=-用，BP -m y=0.57 710勺质房住体的质空是m,在其中福族有细竭.堤的上端B固定不动.现在把圆住体由静止程放.试求下落高度h时.病心的速度、加速度以及绳索的拉力S.把 式(2)、(3)代入式(1)得(a)故加速度=j g =常量速度 vt=J2ad=I J3gA把生代入式(D得拉力f =a(g _ 1 g)=；6g解二，用动能定理虑一看=次 季 也 和 如 其 中 五=0,而尔=耀的代人得mvf-0=mgh(4)故匕=把 式(4)对时间求导，得解三：用对

38、速度做心轴4的动罐矩定理誓=用“(F)也 可 求&和,其中HA=/，0=(；如2+枚2)殳=(.加，(&)=wgr解闪：应用达朗伯原理b),加惯性力Q-咻和矩为一的惯性力儡后，有解五应用动力学普通方程您。，给一组虑位移生和6勿，根据?+。，6=0 用解除婚对圆柱的约束，把约束力S者为主动力，仅给圆柱向下的平项虚位移坛有mg-ma(-s&=Q故 S=m（1）小球到达点B时圆环的角速度I+mr当小球由A运动到B的过程中，对整个系统应用动能定理，有-mv+2。；=mgr（2）把 5 的值代入式（2）,求得小球到达点B时小球的绝对速度2mgr-1a)产(Z+wr2)m：21+加户Il+mr2 P用同样

39、的方法写出方程（1）和（2）,可以求得小球到达点C时的对应值%V,=2gr.1 2.跨过定滑轮B的绳索，两端分别系在滚A的中心和物块C上.滚 子A和 定 滑 轮B郃是半径r是的勾质圆盘，各重G；物 块C重5.流子沿帧角是&的斜面向下作纯滚动。绳的侦斜段与斜面平行，绳与轮B不打滑，不计绳重和轴承摩原。试求：（1）海 子A的质心加速度；（2）绳 索A B段的拉力；（3）轴 承0的反力。答 a =Gs i n a-G-i 3 G l+(2 G1 +G)s i n C i2 G+5 8”一2(2 G )-GG eos a2(2 G+5)3G+(2 Gi+G)s i n a%=2(2二 严+6 5 +5

40、G+(2 +G)s i n a s i n a)解：为求滚子质心的加速度,可对这个系统应用微分形式的动能定理.有%d T=d W(1)其中T =2 gD G+G j;dW=Gs i n a x d s-Glds=Gs i n a-Gx ds故 式(1)写成v dv cc r c .c ds 2 G G =i Gs i n ex-gdt-dt从而求得流子质心的加速度dv G s i n a 5a =-adt 2G+Q a取漆子A为研究对象，以照心轴E为矩轴应用动重矩定理，有3 Gi Gs i n a-F&v =1泼=-r2 g故绳索AB段的拉力1.3G Gs i n a-G,Gs i n a-x

41、 -g2 g 2 G+G_3G+（2 Gi+G）s i n&=2（2G+.）取 物 块C为研究对象，由动力学方程求得a Gs i n G i%=G +J G小药葭)2 G+G(2 +s i n a i取滑轮B为研究对象，由质心运动定理可得轴承0的反力F =FA cos a=2空;展)筠 +2 G1+G，s i n a G，G%=G+/+七s m a =G +赤石，2 +s i na，+笔常”a黑4；4 G+6G+55+-2 G1+Gs i n a s i n a)1 3.勺质杆A B和C D,质量均为m,长度都为1,垂直的固接成T字型，且D为A B杆的中点，置于铅垂平面内，该T字杆可绕光滑固定

42、轴0转动，如图所示.开始时系统静止，0D2 0杆铅垂.现在一力偶M=mgl的常值力偶作用下转动.求O D杆至水平位置时，（1）OD7 T杆角速度和角加速度；（2）支座。处的反力.答：=2杵,=舞(40-3)，N x-l&n g,解：应用动能定理看=0,芍=；(装网尸)/y,T J7 N#穴/?1 7 J2 W=N x 万 一 mg-5 -mgi=mgl代入 TT、=W得 0=W g Z2 4 2应用动量矩定理，当O D杆在水平位置时=M-mg-；-mgl上1 7 加o%二 旦R0-3幻1 2 2开2 =（40-37f）177t系统质心在图示C点处。*31 2 cac=-a)=9 g,W=空(4

43、0-3 幻4 34开应用质心运动定理得-2加用=Mx，2mde=此-2mg解得 以=-1 8咋,纥，=2 a g +幽（40-3由17TF1 5.跨过定滑轮D的细缝，一端缠烧在句质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物块AMBr*o*i).优 利BTmwftvcsx)*AKB.牛 髭.，厂 ae4S4B上.已知圆任A的半径是r,质量是加厂物块B的质量阳”武求物次B的加速度a“国柱质心C的加速度a。以及弱索的拉力义滑轮和细照的质整,以及轴承摩瘵都忽略不计.“禹，工3)。(!“卜 卜 k/o “抵-M、”出W&d W工界0 卬4*与。1aaws *).*q.N-eMlMM-n Z A*C *-.-

44、5 T。)-(；v；c 启 kV ),4,-0.9(f -g-e I-n-.(f i t -+MG-f，)&0,e*htouIo.M KXf Mi A-f q-f i o()f g f M i-f M i-F Q.O ZU 12K QAmst i)!.IM c -*6fa es ns.WRife?ME 拉 能 Bf 不H-3 ，)0.盅*&WS*-M/n 4/4 q，r 2 Kv n.力S iffig 苗ttx q两 个(1曲 度.取 轮 A&B 的w*,：fo*r乂 .(9%4 上 阴 里 切 力 制IF 力.WMRKKITf!.K B r 4v?,r 6，4”K B W y-f s，&+，

45、:6，z r-y 3 21V s”，卜必由 虫*，r，m ，,言 .,iA“冷，”篇.W i.隹g v ifA*v，q+S h 亳 f6.湍“。答”Eg，%=晋+3 m2 飞+5m）物i&=W j g -S1s?=g冽/,即解一：分别取物块B和圆柱体A为研究时象趣b）.又把 式（1）、（2）、（4）代 入 式 得丑+字，mi S-w3af故的d k由 式（4）、（2）,得由 式（1）得W j +3利 2 W jm.+2加2z =-g飞+3 m2s=刀瓯g解二:应席动力学普遍方程，对整个系统加惯性力r一加潍B，&一加4以及矩为/卢的惯性力偶.然后给系统一组虚位移和州（图C）,根据 t F+Q 行

46、=0,有-M2a 包-&r内%+re 1*B+r b 0=0目 1 -m2as+w1g -掰/j +r e+-g因为加岸0,J杵0,故有-m2a+mlg-m a6+r =0-m r e+myg-m a+rf i=0联立解式(5)和(6),得又mx+2 m 2次 i +3 m2欲求拉力S,可取物块B为研究对象，给一平动虚位移及幽d）,有(一 啊 ”)*=0,ts w a c ”L MAM|.IDa 1，解得 S2=J=6.4改.22aB2.句质细杆AB由铅直静止位置绕下端的轴A倒下.杆上的一点K击中固定口子I,碰撞后回到水平位置。(1)求碰撞时的恢复因数e；(2)证明这个结果与钉子到轴承A的距离

47、无关.解：对碰撞前阶段应用动能定理一 0=w g：i l +c o s 60 I解得即123对碰撞后阶段应用动能定理123-w g c o s 60 解得 0=由碰撞时的恢复系数公式e =组=巴=巴=皂vk Q%3可见，恢复系数e与钉子到轴承A的距离无关.3质量为加i的物块A置于水平面上，它与质量为掰2,长为，的均质杆A B相较接.系统初始静止AB铅垂，mx=2m今有一冲量为/的水平碰撞力作用于杆的B端，求碰撞结束时物块A的速度.答v，=2-,方向向左9啊解：设杆撞后角速度为3,质心速度为玄，对系统应应用动量定理活1匕1 +的 咤=取杆为研究对象3=(1+)；题2为=1 一 a由运动学可知,=

48、丫 乂 +g。上 2 1 2 1解传 VA=-=_-4%+叫 9叫负号表不以向左.L小轿车重G,轮胎与路面间的静摩擦因数是f.设 b:c:h=3:2:l,试求当四轮一起紧急刹车时汽车的最大激速度和前后轮对地面的正压力.答：a=龙；玛 般=一 G,%=解：取小轿车为研究对冢，受力分析如图.小轿车平动，惯性力大小Q=3ag列平衡方程F/=F 痴/、解得 =龙R 2 7FNA=G _ 3+FNB-GQT-%+%一 仃=077As 3 +a|G b-Q h =0F 2 =2.质量是m,半径是r的勺质图球放在粗糙水平面上.在球的铅直中心面上一点A作用看水平向右的力P.使球无流动地向右滑动，已知球心加速度

49、a =0 2g.设动摩擦因数尸=0.3.试 求 力P的大小；(2)点A的高度.解：取圆球为研究对冢，小球作平动，受力分析如图.惯性力大小 Q =ma列平衡方程二 凡=0,P-F-Q=0(1)二%=0,m g-N=0(2)二 z =0，Q r-P h=0(3)又 F =f 由 式（2）得 N=m g代 入 式（1）得 P =fx m g +ma =0.5/ng由 式（3）得 h=0.4r3.水平句质细杆A B长/=1用，质量m=1 2 k g,A端用钱旗支承，B端用铅直绳吊住。现在把绳子突然割断，求刚割断时杆A B的角加速度2和校链的动反力N”答:,=1 4.7 ra d/s2,NA=2 9.4

50、2/将惯性力系向质心C简化，有。二掰万仁 Q c=9 第=心列平衡方程Z 肛=0，+Q：,一搐 g 0(1)工 鼻=。，%+级=0(2)W，国1+&-即 g =o(3)解得 S=T 鼠=-*8 =9 g绳子刚割断时有0 =0，所 以&=14.7r%,%=0,%=2 9.4N.注意：惯性力若向较畦A蔺化，则惯性力应该画在A处，且工广窿.4.图示曲柄0 A质量为也,长 为r,以匀角速度。绕水平的0轴逆时针方向转动。曲柄的A端推动水平板B,使质量为加2的 滑杆C沿铅直方向运动.忽略摩擦，求当曲柄与水平方向夹角为3。时的力偶矩M及轴承。的反力。答:(?1 +2 w2)g r-w2r2(?J24 44%