数学分析教案.pdf

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1、数 学 分 析 教 案（二）第三章一元函数积分学第 1 节原函数与不定积分课 时4教学环境普通教室教学目的理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式重 点基本积分公式难 点基本积分公式的应用讲授内容讲授的内容、环节、方法一、原函数与不定积分由微分学的反问题（例子：由速度求运动规律）引入原函数的概念引入不定积分的概念。二、不定积分的性质推导四个性质三、基本积分表环节1、推导基本积分公式。环节2、例题示范。环节3、课堂练习。四、小结课外作业P 1 7 3 3 (1 0)、(1 7)(1 8)、(1 9)、(2 0)参考文献数学分析讲义（上）刘 玉 链 编 P 2 7 3-2 7 1基本内容

2、备 注一、原函数与不定积分问题的提出：微分学的问题是：已知/(X)求:(X)例如已知S。)求V(0这一问题的反问题是：已知了(X),求/(X)例如已知V。)求S 这一反问题是导数不定积分一个重要因素产生。定义1.1 设 函 数 在 区 间 I 上有定义，若存在函数F(x),使得V xe l 有：F(x)=/(x)则称函数F(x)是函数/(x)在区间I 上的一个原函数。关于定义1.1 有如下问题：1、/(x)的原函数(如存在)有多少个如果尸(x)是/(x)的一个原函数，则/(x)+C也 是 的 一 个 原 函数即/(x)的原函数有无数个。2、f(x)的两个原函数尸、G(x)有何关系。如果尸(x)

3、与G(x)都是/(x)的原函数，则F(x)=G(x)+C,即它们仅相差一个常数。综上，有定理1.1定理1.1 如果f(x)是/(X)的一个原函数，则f(x)+C就表示“X)的所有原函数。定义1.2 /(x)在区间I 上的所有原函数称为/(x)的不定积分，记作 j 7(x)x。其 中 S称为积分号，/(x)称为被积函数，/(x)dx称为被积表达式，X称为积分变量。例如 j x2J x =-x3J x +c,1(cos xd x=s i n x+c二、不定积分的性质1、2、3、4、(J/(x)dx)=/(x),d J 7(x)dx=/(x)dx”(x)dx=/(x)+c,W(x)=x)+cJ (x

4、)土 g(x)dx=J 7(x)dx土 J g(x)dxkf(x)d x=u三、基本积分表1、kd x=kx+c2、x,d x=-xm+c3、j =I n I x I+c.4、l*6 fx d x=-F c,j e dx=x+cJ I n(2 J5、j s i n xdx=-cos x+c6、J cos xdx=s i n x+c7、j s e c2 xd x=t an x+c8、J cs c2 xd x=-cot x+c9、j t an xs e cx=s e c x+c1 0、(cot xcs cxr f x=-cs c+c1 1、ar cs i n x+c1 2、d x-7 =ar ct

5、 an x+c1 +x2例1求不定积分例2求不定积分-5)dx,-3 cosr dx1*x2(l+x2)课堂练习:dxJ sin2 cos2 xjsin2 A/x,j(10v+cot2x)Jxr COS2x,-dxJ sin x+cos 冗f%4 z 71 -彳 dxJl+x2C rCOS2x,2、一T dxJ sin x3、j(2r+3v)2Jx4A、f-l-4-C-O-S2-X-d.xJ1 +cos 2x四、小结：1、综述本节主要内容.2、基本积分公式只能解决简单的积分计算，那么如何计算复杂函数的定积分呢？这是下节要讲的内容。3、要求：熟记基本积分公式.第三章一元函数积分学第2节不定积分的

6、换元积分法与分部积分法课时6教学环境普通教室教学目的掌握第一换元法，第二换元法，分部积分法重 点第一换元法，第二换元法，分部积分法难点如何使用换元积分法与分部积分法讲授讲授的内容、环节、方法一、第 一 换 元 法（凑微分法）内容环节1:分别讲授六种常见的凑微分形式，例题示范环节2：课堂练习二、第二换元法环节1：分别讲授四种常见的变换，例题示范环节2：课堂练习三、分部积分法环节1：讲授分部积分法：1、何时用分部积分法？2、如何应用分部积分公式？3、有何技巧？环节2：例题示范环节3：课堂练习四、小结课外作业P 1 9 0 1 、(3)、(5)、(7)、(9)、(1 1)2、(1 1)(3)、(5)

7、、(7)、(9)、(1 1)参考文献高等数学解题法分论(闫英骥)P 3 3 3-P 3 7 4基本内容备 注一、第一换元法(凑微分法)问题：如何求J cos 2 xdx?不能直接用公式，怎样变化才能应用积分公式？j cos 2 xd x=j cos 2 xd(2 x)常见的凑微分形式1、凑出常数 d x-d(kx+b)kJyJa2-x2MJ q +厂 JJ2、凑微分后增加一次方xad x=-a例 2 j x e,d x,j x-s/l-x2d x,j d xx2-a2 d xa+l(a w-1)+1记、Ji J瑞耳；冷 8 2)3、凑出对数函数在=dlnxX例 3 -一，-空-(89.2)Jx

8、(l+21nx)xn2x4、凑出指数函数e、dx=de5、凑出三角函数。cos xdx=d sin X,sin xdx=-d cos xsec2 xdx=dtanx.esc2 xdx=二-d cot x例 5 求积分，tanxdx.jsin3 xdx.jsin2 xcos5xdxJcsc xdx,jsec6 xdx,|cos5 xsec3 xdx.6、凑出反三角函数，-=1、(2)、(4)、(6)二、第二换元法1、三角变换77,X=-asint.或=a cos tyja2+x2,X-二 tan f777,X=a sect例 1 a2-x2dx(a 0),J j-(a0)2、倒 代 换x=-t适

9、用于：当分母的次数高于分子次数一次以上的有理式或无理式。例 2 jj j-dx,J X3、指数 代 换 ex=tdxx2ja2+x24、无 理 代 换 经 例 4.1 卜 Jl+2xdx练习：P190、1、(21)、(22)三、分部积分法公式：uvdx=udv=uv-vdu(vuclx)评注：1、公式的记法：凑微分微前微后两相乘，交换位置作积分。2、准与dx凑微分:指数函数三角函数,事函数其它函数。3、何时用分部积分法;被积函数是两类不同函数乘积时，常用分部积发法,例1jxcosx6k,xexdx.|,xln xdx jjorccos xdx.例2Jesi n xdx,ecx此/_ fdx+a

10、2y例3rlnsinx,.2 dXJ sin x(98.2),1(1)2(90.2)xarctanxdx扃#(92Z练习：P191、2、(2)、(4)、(6)四、小结：1、综述三个积分法2、要求：熟练掌握三个积分法第三章一元函数积分学第3节儿类可积的初等函数课 时2教学环境普通教室教学目的掌握有理函数，三角有理函数，简单无理函数的积分法重 点有理函数，三角有理函数，简单无理函数的积分难 点三角有理函数的积分讲授内容讲授的内容、环节、方法一、f -小型积分J +4 +C 环节1:介绍方法环节2：例题示范二、J 小型积分yJaAx2+3+C 环节1:介绍方法环节2：例题示范三、J/?（c o s

11、x）s i n x d x,j R（s i n x）c o s x d x 型积分环节1：介绍方法环节2：例题示范课外作业P 2 0 K 1、(1)(2)2、(1)、(1)3、(4)、(6)参考文献数学分析讲义（上），刘玉链编，P 3 O 5-P 3 1 8基本内容备 注：几类可积的初等函数_、j +。型积分。J axx+0 X +C 方 法（1）当-4平|0时，分母因式分解后化成分项分式和的积分。（2 ）当仿2-加 1、(6)、2 (3)、(5)、3、(7)、(8)第三章一元函数积分学第4节定积分的概念与可积准则课 时2教学环境普通教室教学目的理解定积分的概念及其儿何物理意义重 点概念与儿何

12、意义难 点可积准则讲授内容讲授的内容、环节、方法一、定积分的概念环节1：由（1）求曲边梯形面积（2）求变力作功引积分和式的极限环节2：叙述定积分的概念二、函数可积准则解释三类可积函数：1、连续函数2、有界且有有限个间断点的函数3、单调函数课外作业P209、1 P215 1参考文献数学分析讲义（上），刘 玉 链 编P320P33O定积分的定义定 义4.1设函数/(x)在区间 a,切上有定义，在 出川内任意插入-1个分点(称为分法)：a=x)x x2-xk_ xk v=b.任 取&eK_1,xk作 和 式 之/)AMk=称为/(x)在a,b上的积分和，记d=m a xA xk,若极限k=l存在且与

13、无关，则称/(X)在3,6上可积，称此极限值为函数/(x)在&切上的定积分，记作f/(x)d x.即 f (x)dx=lim X f (短心k太=1几何意义：曲边梯形面积：S=f(x)dx物理意义：变力作功：W=f/(x)d x二、可积函数类定理1如果f(x)e c a,切，则/(x)e R a,切。定理2如果/(x)在 a,加上有界，且除去有限个间断点处处连续,则/(x)e Ra,b.定理3如果/(x)在 a,句上单调，贝I/(x)口。,切.y第三章一元函数积分学第5节定积分的性质课 时4教学环境普通教室教学目的掌握定积分的性质重 点线性性质，区间可加性，不等式性质，积分中值定理难 点性质的

14、应用讲授内容讲授的内容、环节、方法环节1:论证定积分的性质1、两个约定 2、线性性质 3、区间可加性4、不等式性质及推论 5、取绝对值性质6、积分中值定理环节2例题示范环节3课堂练习小结：1、综述6个性质及推论2、问题：如何应用上述性质？下次再讲，课外作业P223.2、3、4参考文献数学分析讲义(上)刘玉链编P336-P347基 本内 容备 注定积分的性质性质1若/(x)w R a,切，则,/(x)J x =O性质2 (线性性质),若工(x),(x)e R a,切,则对任意勺，右，函数占/*)+左2启乃成4力,且f 化工(x)+k2f2(x)d x =匕 f 工(x)d x+k2 f2(x)d

15、 x证法利用定积分定义性质3 (积分区间可加性)设I为一个有限闭区间，a,b,c l,若/(x)在/上可积，则有 f/(x)J x=f(x)d x+f/(x M x.性 质4 (不 等 式 性 质)，若/(x),g(x)e R a,切，且V x e a,b J(x)4 g(x)/i J f(x)d x f g(x)d x推 论1 若m,M是/(x)在他,加上的最小最大值，则m(b-a)f(x)d x 0(0(0)性质5 (取绝对值性质),若f(x)/?,则(x)k R a,加且I j f(x)d x l (x)I d x.性质6 (积分第一中值定理)，若/(x)e C a,b ,(x)e R

16、a,b,且g(x)在 a/上不变号，则在他力 上至少存在一点J,使f /(x)g (x)d x =/C)f g (x)d x例1估计积分j e-2 d x的值。分析/(%)=0 7 2在0,；上单调减少1例2设/(x)e c O,l ,在(0,1)可微，且/=224口心，求证：存在 w (0,1),使/()+/()=0.分析作辅助函数F(x)=#(x),应用积分中值定理和洛尔定理。/(x)+#0分 析 取 一 区 间(%-匹/+6),利用区间可加性及不等式性质评注：此结论应作为定理记住小结：1、综述上述性质2、如何深入利用性质解题？下次课再讲第三章一元函数积分学第-A-A-6/T节+定积分性质

17、的应用课 时2教学环境普通教室教学目的掌握定积分性质的一些重要应用重 点比较积分值的大小，证明积分不等式，证明含尸)的等式难 点思路与方法讲授内容讲授的内容、环节、方法一、如何比较积分值的大小环节1：介绍方法环节2：例题示范，突出思路二、如何证明积分不等式环节1：介绍方法：(1)具体函数(2)抽象函数环节2：例题示范，突出思路三、如何证明含广片)的等式环节1：方法介绍环节2：例题示范，突出思路四、小结课外作业P 2 2 3 1(1)、(2)6、8参考文献数学分析(刘玉链编)P 3 3 6-P 3 4 7基 本 内 容备 注一、如何比较积分值的在大小方法：利用不等式性质例1比较大小(1)|I n

18、 xd x J xd x,(2)j s i n x d x 与 s i n xd x分 析(1)在 1,2 上(2)s i n xd x-s i nxd x+j s i nxd x.二、如何证明积分不等式1、具体函数的积分不等式方法：利用积分中值定理例 1 证明 0 W F s i n向 xd x f s i n xd x分析 在 0,勺上 0 W s i n x W1 n s i n ”x 0.应用：设/(X)在他，加上连续，则1/2(幻公=0的充要条件是x)三 0方法2利用积分区间可加性。例1证明若/(x)在 a,加上满足李普希茨条件：V x,y e 0,l W1 m x-y,其中 M 为

19、一常数，则f f(x)d x-f()l 0 A x AX-0 A x一般地：(；/力)=/【仍(x)】9；(x)-/屹(x)(x)分析性质的应用1、求变限积分的导数例 1 已知尸(x)=e d t,求F(x)例 2 函数y =g(x)由方程 er力+f co s JFd f =0确定求，l例 1 求极限lim-e2,2d t3、证明积分不等式例 1 设/(x)、y(x)在 凡加上连续，求证柯而不等式f /(x)g(x)Jx fJ aJag21-2例 2 设/(x)在口向上连续，证明(f/(x)d x )F 0)-F()-解不定积分 代入上下限例1求定积分rd x1 1 +产.71-a r ct

20、a n x L=a r cta n x 一 a r cta n 0 =2 4解备n n 1 1 J tsin2 d x=d x=(x-sin x)I 三 吟-S呜)-0 =兀72题型1求分段函数的定积分方法：利用积分区间可加性例1设/(x)=25x,01 K x 2 1,.求 If2解)f(x)d x-f/(x)d x+1 f(x)d x-2 xd x+j xd x例252计算定积分 X I X -1 I Jx.解 令x-l=0得分段点x =l于是有/(X)=X I x l 1=2X-X,9X-x0%1l x 2从而j x x-l d x=(尤-)d x+j (x2-x)d x=(#一3 3)

21、|；+(33-9)|；=(昼+(IW)W)=L例3计算定积分 m a x x,x2 Jx解 令x =f得分段点x =0,x =l于是x,0 x 1,/(x)=m a x x,x =？,-x2,1 X o o J n x解.r+i sinx,r+*dxlim-=dxhmsinm“T8 Jn x n-o o J n /=lim sin In x I:=lim sin ln(+2)-In/?n o o “T o o=lim ln(l+)sin=limsin=0.n oo 几 一 8 M题型3求和式极限方法：改写和式极限为lim之 乃 777 n n则原极限=lim V/(-)-=f fM dx.例1

22、求极限limYn解lim X)=limV 换与为x,“-8署+匕 W j+(与 n nn为dxnf I 1 2 dx-arctan x I(；=717例2 求极限lim-.(p 0)“T8 YV解 1+2+.S kplfim-：=lim)r“+f P=lim()p.=f xpd x=-xp+1 I g =-T0 n n p +1 p +1练习1、求不定积分j；m in l,x d x2、求极限 lim f d x 7 8 J o i +x3、求极限lim(+?)-8 +l +2 n+n小结：1、综述以上题型及方法2、如何在定积分中应用换元积分法与分部积分法？下次课再讲。第三章一元函数积分学第8

23、节定积分的换元和分部积分法课时4教学环境普通教室教学目的掌握定积分的换元和分部积分法重 点第二换元法难 点第二换元法讲授内容讲授的内容、环节、方法一、定积分的第一换元法环节1：解释公式环节2：例题示范环节3：课堂练习二、定积分的分部积分法环节1：解释公式环节2：例题示范环节3：课堂练习三、定积分的第二换元法环节1：推导公式环节2：例题示范环节3：课堂练习四、小结课外作业P2 4 4 1(2)(4)(6)5、(1)(3)(5)6参考文献数学分析讲义（上）、刘玉链编，P3 4 7-P3 6 6基 本 内 容备 注一、定积分的第一换元法公式：I 凑微分 f (p(x)d(p(x)-F pM =F p

24、(b)-F a ,/（x）在口,切上连续，规定/（X）在 a,+8）上的广义积分为P/(x)J x=l i m (f(x)d x.(1)J t i +o c J a若（1）式极限存在，则称/（x M x收敛，否则称之为发散。类似地可定义：ai f(x)d x=l i m f f (x)d xJ 4-一 J u 00 K O f(x)d x=l i m f f(x)d xf l i m f f xylxJ a -+s J r 0例1讨论 当的敛散性解 当P1时，有当p W1时有,产dx hI =lim In x I)=+ooJl x b+oo当P1时，有司1.X n b.1 时收敛。例2(0 6

25、.2)广一义积分r _、二=小(1+x2)2解 原式 1 +厂)=_ 1 _!|+8=1八 2，)(1+/)2 21+/0 2例 3(0 4.2)-产 二 .3尤 7 7=例4（2）二号丁-解令x-2=r,x=/2+2,J x=2 td tx 2+81 0+oo盾-e _ 产 2 td t _ 2 t M _ 兀原式=I-=-a rc ta n -10=一上 f(f +9)3 3 0 3练习：P250、(4)二、无界函数的广义积分定义2设函数在点。附近无界(。称为瑕点)，且V OJ(x)在也+，切上连续，规定无界函数/(x)在&们上的广义积分为：f f(x)dx-lim f f (x)dx(2

26、)若(2)式右端极限存在，则称收敛，否则称为发散。类似地可以定义：若/(x)在b 附近无界，规定ei eb-f(x)dx=lim f(x)dx若/(x)在力都无界，规定(ac 0 时，讨 论 广 义 积 分 的 敛 散 性。解当q=l 时，(虫=lnxl(J=oo旬xa1当 小 时 谓 二 匕=尸0q i故广义积分在0 q l时收敛，当qN l时发散3 _例 6(98.2)计算积 gdxjlx-x2|2解7x-x ,IX-%21=*-X122原 式=d x,+*2 X-X7Ta rc si n 2(x-)I:2 2I n I n-+J x，-x I H=l n(V3+2)2故原式=K +l n

27、(G+2)2练习：P 250、(6)、(8)小结：综述无穷限广义积分和无界函数广义积分的牛顿莱布尼兹公式第三章一元函数积分学第10节定积分的应用课 时4教学环境普通教室教学目的掌握用定积分求平面图形面积，旋转体体积，弧长、旋转体侧面积重 点平面图形的面积，旋转体的体积难 点微元法的应用讲授内容讲授的内容、环节、方法一、微元法讲述微元法二、平面图形的面积环节1:用微元法推导平面图形面积公式 1、直角坐标 2、极坐标L 3、参数式环节2：例题示范环节3：课堂练习三、平面曲线的弧长环节1：用微元法推导弧长公式 1、直角坐标 2、参数式、3、极坐标环节2：例题示范环节3：课堂练习四、旋转体体积及侧面积

28、环节1：用微元法推导公式 J 体积公式1侧向积公式环节2：例题示范环节3：课堂练习课外作业P2 6 9 1、(1)、(2)、(4)、(6)3、(1)、(2)、5、(1)、(6)、(1)参考文献数学分析讲义(上)刘玉链编P3 6 6-P3 9 1基 本 内 容备 注一、微元法原理：是求定积的过程：分割、作和、求极限的简化步骤：1、在口,回上任取一点工 ,给自变量以增量d x,将欲求量S的微元d s用/(x)和d x 表示。2、积分 S=f(x)d x o二、平面图形的面积：1、边界曲线由y=/(x)和y=/(x)围成：S=f (x)-y(x)l d x例 1 求由抛物线 =1 -与直线y=x所围

29、成的平面图形的面积。解解方程组卜=1 一 2/得 交 点 坐 标(_ L,1)y=x 2 2J 。9于是 S=(l-2 y2-y)力=LI 82、极坐标下平面图形的面积S=g (e w e兀1=43-(1+COS4)J=83、边界曲线由参数方程表示x=x(t)7 at0,0 t 2/r,与x 轴所围成图形的面积。解 S=a2(i-cost)2 dt=f 4a2 sin4 JrJo J)2n=16a2 f sin4 M dM =3兀a1练习：P269、1、(3)、(5)三、求平面曲线的弧长1、曲线由直角坐标确定y-/(x),axb,S=Jl+(y)2dx例 4求曲线V =%2 从=_ 1到 =i

30、的弧长S=2#+2解=2 1(|)(1+部局(13叵8)2、曲线参数方程确定X=x(t)y=y(0at/3S=ylx(t)2+y(t)2dt例 5求旋轮线x=a(t-sint)0,0 t27r.的一拱张。解 S=yja2(l-cost)2+a2 sin2 tdt=a ,2(1-cos/)力=2a j ”ssiinn ；dt=8a3、曲线由极坐标表示r-r(6),a 0 )(4 +，2)i?2 2 /2=-(4+)i-(i+r-i 2 3 3 l o练习：3、(4)四、求旋转体的体积与侧面积1、求旋转体的体积匕=f /2(%Mx vy=I g 2(y)办 2 2例1 求由曲线2 y +2=1(%

31、之0,丁之0)及工=0,丁 =0 所围的a b曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体体积解.=小P 等)力2、求旋转体的侧面积例 8 求圆产+(-勿2 4 (0。=1 环节2：推导三个命题，一个推论环节3：例题示范环节4：课堂练习三、小结课外作业P6、2、(3)(5)3、(1)(2)6参考文献数学分析讲义（下）刘 玉 链 编 P1-P9基 本 内 容备 注一、收敛与发用的概念问题的提出：求无穷多个数的和1 1 H 1 H-1-1=2 （能加出一个确定的结果）2 2-22、1 +2 +3 +/+-=?（不能加出一个确定的结果）设给定一个数列将其依次用“加号”形式地连结起来的表达式称为级数，记 为 其

32、中/称 为 级 数的一般项，n=ISn=M,+w2 H-un（2）称为级数的项部分和数列。定义1若级数（1）的项部分和数列,收敛，则称级数（1）收敛，并称极限值l i m Sn=s为(1)的 和，记 为s=“n=l例1讨论几何级数51aq=a+aq+aq2+aq+(。，0)的 敛 散 性。n=O解 按 定 义Sn=Q+aq+aqn=。(1一/)日下 当l q l l时。na,q=T,limS =lim 1)=-，级数收敛T8 T8 q J 4当l q l l时，lim%不 存 在，故 级 数 发 散，当lq l oo发 散，当q=-1时.Sn=a-a +a+.+(-1)-1 a+(-1)-1

33、a+0a为偶数为奇数故 当4=1时,也 发 散。例2判断级数念(+1)1.2 1.3+一+的敛散性+1)解 按 定 义:S1 _(几+1)_ i_ j_ j_11 2 2 3 n +1 +1lim sn=.“T8练 习：P6、2、(2)(4)二、敛散性的判别 及 收 敛 级数 的 性 质定 理1级数的柯而收敛准则级数“收敛的O对 任 意 0,存在M当N时，不论p=1是任何自然数，总有1 Un+1+n+2+”+p 卜 成立证明：由数列收敛的柯而准则自然得到推论：若去样，增添或改变级数的有限项，不改变级数的敛散性例3证 明 调 和 级 数 发 散，1 证明：不论N如何大，只要取P=N,便有1 1

34、1 N 1+一N +1 N +2 2 N 2 N 2命 题1级 数 收 敛 的 必 要 条 件 是nl-i omo“=0=1证 明 设l i m s“=S,TOO则 l i m un=l i m（s 一%_）=s-s =0T8 TOO利用数列极限的性质，易证下面命题命 题2设则=|=1（4 土 b“）=%”土 力”=a+bn=l =1 n=lPC 8（2）工 吗，=。Z为=他=1=1（3）若。a 则n n=l命 题3若级数“收敛，则改变它的各项的次序任意加入括号=1后所得到的新级数收敛，并且和不变。产 1例4判别级数J s in，的敛散性=i 解 因为limsin=lim,=l故原级数发散 T

35、8 T O O 例5：若级数“：1 =誉7 F2，求级S数 的1和.8 1 1 00 1 _ 2解 因为z 工 与=之士(2)2 4 占2 24所以8 1 00 1 00 1yJ=y_y!占(2-1)2 金2 (2)22 2 r 2 2_ 71 _ 3万 _乃练习：P6 3、(3)(4)三、小结：1、简述级数收敛与发散的定义及性质2、用定义判断级数敛散性显然是困难的，那么有什么好的办法呢？下一次课再讲。第四章级数第2节正项级数课 时4教学环境普通教室教学目的掌握正项级数敛散性的判别法重 点比较判别法的极限形式，比值与根值判别法难 点比较判别法一般形式的应用讲授内容讲授的内容、环节、方法一、正项

36、级数引入正项级数，给出正项级数收敛的充要条件二、正项级数的比较判别法环节1：推导正项级数收敛的比较判别法一般形式环节2：例题示范环节3：推导比较判别法的极限形式环节4：例题示范环节5：课堂练习三、积分、比值、根值判别法环节1：推导积分判别法，例题示范环节2：推导比值判别法，例题示范环节3：推导根值判别法，例题示范环节4：课堂练习四、小结课外作业P13 1、（1）、（3）、（5）2、3、4参考文献高等数学解题法分论（阎英骥）P820-P832基 本 内 容备 注一、正项级数设有级数“，若/NO,则称其为正项级数n=定理1（正项级数收敛的充要条件）正 级 数 收 敛 O 部份和数列 7 有界。n=

37、l二、正项级数的比较判别法定理2（比较判别法的一般形式）设f%与 是 两 个 正 项 级 数，且存在自然数M 当N 时，n=n=a,。”CO 00（1）若收敛，则,收 敛M=1 M=1（2）若 可 收敛，则 “发散.“=1 =1证 明 由4 W 瓦有.Sn=at+a2+-+al l k 有 上 界=为收敛.n=1若 豆%发散=s“无 上 界=$无 上 界=冗b,发散n=ln=评注：此定理可简记为：大的收敛小的也收敛，小的发散大的也发散.例1 讨论P级 数(广 义 调 和 级 数)之 L1+J-+L+L 的敛散性.T 3 P np1 1 刃 1解当p w i时 有 二/，而二发散.n n M 当

38、p l时一 1 lx.1 1 1 1、，1 1 .1 +(1)+(1-1-1)+(F H-)2 P 3 P 4 p 5P 6P 7 8 1 5 O C 1y(O p-ln=0乙由于(3)收敛，故工；收敛：n=0 2 w=|九例2讨论下列正项级数的敛散性(1)2 sin (2)1念 3 念出(+1)邓心解 因2 sin勺4(2)”,而 (知乃收敛，3 3 =1 3故 2 sin 收敛.n=3(2 )因-1-2寸 (+1)中 M n+n)啦q而 一二发散，故/1 发散士 正/犯(+1)(3)因 0 =1d x 3 。n一而1收敛，故 之 上7d x 收敛.=1 3 T/i=l)1 +Xn2推论(比

39、较判别法的极限形式)没有两个正项级数，与 3,尸。)，且=1=1h m =k.8 b1、若0左“同时收敛或同时发散.=1 11=2、若4=0,则从“收 敛 可 断 定 收 敛.n=l n=l3、若上=+8,则从“发散可断定%发散.n=l 7i=l评注：此推论简记为：1、同阶无穷小同敛散.2、低阶收敛，高阶也收敛.3、高阶发散低阶也发散.例 3判别下列正项级数的敛散性.(1)sin (2)(1-c o s-)/：=1 M=1 三、积分、比值、极值判别法c o定理3 (积分判别法)设“是正项级数，函数/(x)在区间n=l口,句上连续，非负，单调下降，且/()=“，则级数为“与广义n=l积分f(x)

40、d x敛散性相同.证 明 由于/(x)d x =/(x)d x =f 乙，n=l=1而%+i=/(+1)1时收敛，当0 pWl时发散.证 明 因为当pwl时00 p 1l p-l当p =1时.r 八=n(l n x)I+：=+8乱 x nx故当p l时原级数收敛，当p 4 1时原级数发散.定理4(比值判别法)设 “为正项级数，若n=ll i m L=pM 00 1 1un则当P“为正项级数，若w=llim 疯=P则P1时级数发散.例 5判断下列级数的敛散性.O P II P G 一（x0）（2）之:急！急 .解（1）由比值判别法.+1 r x+i linm-“f 8 Un“T8（M+1）!x=

41、0 1知原级数发散.（历评注：1、当 “含疝时常用比值判别法.2、当p=l 时，比值判别法与根值判别法失效，需改用其它判别法.例 6利用收敛级数性质证明lim二=0.“T 8 （!）证明：只需证明级数M悬 收 敛，k V 5 +1严（加）2由于 lim=li m-i s%+lim(+?(+与=0 8（!）-练习：P13 1、（2）、（4）四、小结：1、简述比较判别法两种形式并进行难易分析.2、总正项级数敛散性判别法的步骤。3、一般项级数的敛散性如何判别呢，下次课再讲.第四章级数第3节一般项级数的绝对与条件收敛课时4教学环境普通教室教学目的掌握绝对收敛与条件收敛的概念，掌握交错级数收敛的判别法重

42、点绝对收敛与条件收敛，莱布尼兹定理难点绝对收敛与条件收敛的关系讲授内容讲授的内容、环节、方法一、条件收敛与绝对收敛环 节1：引入绝对收敛与条件收敛的概念环 节2：绝对收敛与条件收敛的关系二、交错级数的敛散性环 节1：引入交错级数的概念环 节2：推导莱布尼兹定理环 节3：例题示范环 节4：课堂练习三、小结课外作业P21 2、（1）、（3）、（5）、3、4参考文献数学分析讲义（下）刘 玉 链 编P22-P23基本内容备 注一、条件收敛与绝对收敛我们已经知道如何判断正项级数的敛散性，那么对于一般项级数，我们如何判断它的敛散性呢？可否将它转化为正项级数加以判断呢？两 者 之 间 有 何 关 系 呢？我

43、 们 从 一 个 重 要 定 理 开 始 讨 论。定 理1如 果 级 数|以1收 敛，则级数“必 收 敛。“=1”=1证 明 因 1/1收 敛，由柯 西 收 敛 准 则nVOJN,当N时,k=n+1V自 然 数P,有n=由三角不等式得1E%攵=+1l Z I uk“条 件 收 敛=n=l8发敛,n=lE ,.发敛二、交错级数的敛散性.形如（一1）“+3+J1）+（）=1的级数称为交错级数.定理2 （莱布尼兹定理）如果对所有的有乙2 “+1，且 吧un=0,则交错级数（-1尸Un收敛M=!证明项部分和数列 浦的偶子列$2*；s2 k=（_ 2）+（“3 _”4）-（w2u-l _ U2 k）或（

44、1）S 2 k U _（2 _3）-（4 _5）-（W2M-2 U2 k-U2 k（2）由（1）可看出%单调增加，由（2）看出 5 有上界%故%收敛，设l i m%=s,-oo于是 J m s2 k+l=l i m （s2 k+uk+）=sK-00 AT+OO8从而 l i m s“=s,即收敛.n=例1讨论下列级数的敛散性，若收敛指明是条件收敛还是绝对收敛.（1）2-,x G（-OO,+OO）（2）（-l）T l n（l +-）.”=,n=l例2证 明 若 级 数“绝对收敛，数列 2有界，则级数=|co ,也,绝对收敛.n=l证 明 因 2有界，故存在0,使 以K V,于是I。也14 M 1

45、%I,又 因 团 1收敛.n=l故 也绝对收敛.n=l练习：P 21、2、（2）、（4）三、小结1、条件收敛与绝对收敛的关系2、变号级数的莱布尼兹判别定理第四章级数第4节基级数课 时4教学环境普通教室教学目的掌握收敛半径收敛区间的求法，掌握幕级数和函数的分析性质.重 点收敛半径、区间、收敛或、累级数和函数的分析性质.难 点和函数分析性质的应用.讲授内容讲授的内容、环节、方法一、嘉级数的收敛半径和收敛区间.环节1：论证定理1环节2：由定理引收敛半径的概念，收敛区间的概念幽收敛半径的求法.环节3：例题示范：求收敛区间，收敛域.二、嘉级数的分析性质.察级数作为一个新形式的函数，它有何性质呢？环节1：

46、论证定理2（连续性，可微性、可积性）环节2：例题示范：求和函数.环节3：课堂练习三、小结.课外作业P39 1、(3)2、(2)7、(2)参考文献数学分析讲义（下）刘玉链P25-P76基 本 内 容备 注形如8Z aHxn=ao+aix+a2x2 H +anxn (1)n=0或（X%0）=Q（）+Q（九 一 天）+（X%0）+的函数项级数n=0称为基级数，其中叫做幕级数的系数，显然（1）在x =0处收敛，若（1）在。收敛，则称与是 a x”的=】收敛点，收敛点的集合称为收敛域.一、募级数的收敛半径和收敛区间.基级数的收敛域有一个非常好的结构，我们从下而的定理开始讨论.定理1 如果察级数 a,x

47、在玉）处收敛，xo*O,l x l 吊 收 敛，故。“与”有界，设于是/,=1Xanxnanx；-小 的收敛域由一个对称区间构成.对称区间的半径收称n=l为收敛半径.定理2对 于 幕 级 数 若M=ll i m I%11=/（或 l i m 板7 =/）0 0 。-8 V则收敛半径是：f 1 c ,0 Z +00,R +o o,I Q,0,/=+o o证明:l i m =l i m I l l x l=Z-l x lT8 f8 a“(1)0 /+o o.当Ll x l c l 即I x l ；级数发散，于是收敛半径R =；.(2)2=0,对任何xjl x 1=0 0,71=0(1)S(X)在(

48、-R,+R)连续;(2)5(%)在(-R,R)内可积，并且可逐项积分，即V xe(-R,R),力 二。/，力 可 悬 尸 n=0=0 十 1(3)s(x)在(H,R)内有连续导数，并且可逐项求导，即00 O0s(x)(2)n=0 w=0(4)级 数(1)与(2)与原级数有相同的收敛半径.例 2 求下列塞级数的和函数.(1)S c-i r1 (+1)尤 n=l n=0解：(1)易知收敛半径为1.设s(x)=(T 严 或 xe(-l,l)“=1 几则“x)=理 一 1尸(马，=1 n=1=1 x+x2,-+(1)，-IX，I+-=-,故1 +X：s(x)d t=-=l n(l +x)即 5(x)-

49、5(0)=l n(l +x)s(x)=l n(l +x)(2)收敛半径为1,设/(x)=(n +l)x”=0则(/)力=(+1)力=山”=0 R n=0.X.xe(-l,l)xe(-l,l)1练习：1 (3)3小结：1、简述收敛半径，收敛区间，收敛域的求法，注意区别收敛区间与收敛域.2、简述和函数的分析性质及和函数的求法.讲第四章级数第5节函数的幕级数展开及应用课 时4教学环境普通教室教学目的掌握将函数展成基级数的方法重 点间接展开法难 点间接展开法讲授的内容、环节、方法授内容一、函数的幕级数展开复习台劳公式及马克劳林公式引台劳级数及马克劳林级数啃/（%）能展式台劳级数或马克劳林级数的充要条件

50、照系数公式.二、初等函数的基级数展开环节1：推导5个常用的展开式环节2：例题示范间接展开法 J 初等变换法1 微分积分法环节3：课堂练习三、小结课外作业P 4 9 1、(1)、(3)3、(2)参考文献数学分析讲义（下）刘玉链编 P 9 0-9 4基 本 内 容备 注一、函数的幕级数展开一些概念级数小。）+牛（x.x。）+野（一 切+勺！1!2!n（X -X。）H-（1）称 为/（X）在/处 的 台 劳 级 数，当 升 二 时，称/（O）+S x+改一小人（2）1!2!！为/（x）的马克劳林级数.级 数（1）或（2）未必收敛于/（x）,如果级数（1）（或（2）在须）（或X 0=0）附近收敛于，并