椭圆-2022年（新高考）数学高频重点题型（含答案解析）.pdf

《椭圆-2022年（新高考）数学高频重点题型（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆-2022年（新高考）数学高频重点题型（含答案解析）.pdf（70页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题41椭圆-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力1 .掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2 .掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.3 .了解椭圆的简单应用.4.理解数形结合的思想.二、教学建议教学中要让学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，进而再了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.三、自主梳理知识 点 一 椭圆的定义平面内与两个定点F”尸 2 的距离之和等于常数（大于因】西D 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合尸=M|M F i|+|从同=2 ,|F i 同=2 c,其中

2、a 0,c 0,且 a c 为常数.（1）若a c,则集合P为椭圆；（2）若。=,则集合尸为线段；（3）若“Vc,则集合P为空集.知识 点 二 椭圆标准方程和几何性质标准方程l(ab0)看+营=1(6 0)图形0性质范围-axafby/?0),（3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）.2 .焦点三角形：椭圆上的点P（xo,y o）与两焦点构成的a P B 乃叫做焦点三角形，ZFIPF2=e,“尸低的面积为s,则在椭圆马+g=i（“b o）中ar br（1）当户为短轴端点时，夕最大.（2）5=）尸 1|尸2 2 卜 s i n O=Z?2 t a n ,=d y o|,当|

3、川|=力时，即点P为短轴端点时，S 取最大值，最大值为历.（3）焦点三角形的周长为2（a+c）.3 .焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长/mi n =些.4.A B 为椭圆马+哲=1(心 60)弦，A(xi,yi),B(X 2,”)，弦中点 M(xo,”),则(T O r（1）弦长/=，!不后通|=y j l+y y2 ；直 线 AB的 斜 率-亲四、高频考点+重点题型考点一.椭圆的定义及其应用题 组 一（定义法求轨迹方程）1.如图所示，圆。的半径为定长r,A 是圆。内一个定点，P 是圆上任意一点，线段A P的垂直平分线/和半径OP相交于点。，当点P 在圆上运

4、动时，点。的轨迹 是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆【答案】A【解析】【分析】连接。A.由已知得|0 4|=|Q P|,所以|QO|+|0A|=|QO|+|QP|=|OP|=r,然后由椭圆的定义进行判断即可【详解】连接Q A.由已知得|Q4|=|QP|.所以 IQO|+IQA|=IQO|+IQP|=|OP|=r.又因为点A在圆内，所以|。川|。乃，根据椭圆的定义，知点。的轨迹是以。，A为焦点，为长轴长的椭圆，故选：A.2.已知两圆Ci：（x-4）2+y2=169,C2：（x+4）2+）2=9动 圆 A/在圆G 内部且和圆G相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）2 2

5、A.L-匕=16 4 4 8B.2 2厂,I4 8 6 412 2C.二-乙=14 8 6 4D.6 4 4 8【答 案】D【解 析】【分 析】由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径 乙 消 去 乙 再 由 圆 锥 曲 线 的 定 义，可得动圆的圆心用的轨迹，进一步求出其方程.【详 解】设动圆的圆心M（x,y）,半 径 为 圆 M与 圆C ：（%4）+;/=1 6 9 内切，与 C 2：（x+4）+y?=9 外切.所以|M C；|=1 3-r，W C 2|=3+r.|MG|+|MG|=1 6|CC2|=8由椭圆的定义，M的轨迹是以G，G为焦点，长 轴 为1 6的椭圆

6、.则a=8,c=4,所 以 =8?-4?=4 82 2动圆的圆心M的轨迹方程为：工+=16 4 4 8故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.题 组 二（焦点三角形之定义使用）3.设 0,F2为 椭 圆 兰+.=1的两个焦点，点P在椭圆上，若 线 段P Fi的 中 点 在y9 5轴 上，则 需 的 值 为（）P Ft IA5 4 5 r 5A.B.-C.D.一1 4 9 1 3 9【答 案】c【解 析】【详解】由椭圆的定义可得；P F+|P F2|=2 a=6,由中位线定理可得P F2，X 轴，令 x=2,可得y=g5 1 3即有|P F2

7、1=；|P Fi|=y,则禺二附|1 3故选C.r2 v24.如图，椭圆二+匕=1 的焦点为小鸟，过月的直线交椭圆于M,N两点，交ya 4轴于点H.若片，是 线 段 MN的三等分点，则 的 周 长 为yNA.2 0 B.1 0 C.2,【答案】D【解析】(b2【详解】由通径公式可得：N C，且 R(-c,0)1 a)耳为 线 段 的 中 点，结合中点坐标公式可得:4 c2 人 4点M在椭圆上，则：+=1,a2 4a2b2由题意可知。2=4,贝 I：+4=2=1 +4a cr5 D.4 7 5（b2由中点坐标公式可得：o,I 2a）（b2M-2 c,+(1-0)2=0 ,所以|PA|+|P尸 I

8、,6+夜，PA+PF.6-/2 .故|PA|+|PE|的最大值为6+正，最小值为6-0.故答案为：6+6；6-V2【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与方程，关键在于利用定义转化，属于中档题.考点二.椭圆的标准方程(2 0 2 0 湖北“荆、荆、襄、宜 四地七校联考)2 28.已知椭圆C:+g =l(a 0 0)的左、右焦点分别为耳，F2,离心率为3,过 用的直线与椭圆C交于A,B 两 点.若 的 周 长 为 8,则椭圆方程为()【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义，可求解a,由椭圆的离心率求得c,即可得到b,得到结果.【详解】如图：由椭圆的定义可知，A B的周长为4 a,.,.4 a=8,a

9、=2,又离心率为g,c=l,9=3,2 2所以椭圆方程为二+，-=1,4 3故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义及简单性质的应用，属于基础题.9.如图，已知椭圆C 的中心为原点。，F(5,0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|=|。用且|P E|=6,则椭圆C 的方程为()36 16B.X2,240 15=1C.工+区=149 24D.7 2r y=1145 20+匕【答案】C【解析】【分析】设右焦点为尸，连接P尸，根据已知可推得PFLP尸,根据勾股定理可求得I PF|=8,根据椭圆的定义可求得。=7,从而可得答案.【详解】由题意可得c=5,设右焦点为尸，连接P尸，由|。?|=|

10、。目=|。尸|知，N P F F=N F P O,/O F P=/O P F,：.ZPFF+Z O F P Z F P O+ZOPF,：.ZFPO+ZOPF=90,即 PFPF,在向 PF尸中，由勾股定理，得|尸|=1|尸 发|2=&02-62=8,由椭圆的定义，得IPF1+IP用=2a=6+8=1 4,从而a=7,a2=49,2 2于是加=辟/=4 9 52=24,.椭圆C 的方程为工+匕=1,49 24故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了由a,c求椭圆的标准方程.属于基础题.1 0.己知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点则 椭 圆 方 程 为.【答案】工+工=11 0

11、 6【解析】【分析】设椭圆方程为心2+y2=1 （加（）,（）,且加工“），将两点坐标代入椭圆方程，求 出 即 可.【详解】设椭圆方程为，加+町2=1 （加0,/?0,且加。“）.（f 1椭圆经过两点（-不3 5、，（百，石），则 丁-m+彳 n=,解得 机=一:，2 2 7 3 利+5 =1 7 1=1 I 1 02 2所以所求椭圆方程为乙+=1.1 0 62 2故答案为：-F=11 0 62 2H.过点（G，6）,且 与 椭 圆 匕+土=1有相同焦点的椭圆的标准方程为2 5 99 2【答案】匕+=12 0 4【解析】2 2【分析】由题设条件设出椭圆方程4+=i,再列出关于次与的方程组即可a

12、 b作答.2 2【详解】所求椭圆与椭圆匕+二=1的焦点相同，则其焦点在），轴上，半焦距。有2 5 9c2 3 4*8=2 5-9=1 6,2 2 21上三一 1【答案】三+0=1或 2 5 2 5 -8 6 3 4【解析】【分析】分 焦 点 在 轴 上 两 种 情 况，结合基本量间的关系计算求解即可【详解】方法一.7 =近 三 I =若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为二+=i(，”o),则=，从而=2,m n m J 4 m)4z z _ 5/3m 24 3又H ,.机 2=8,=6.m n.所求椭圆的标准方程为!+4=1.8 62 2若焦点在 轴上，设椭圆的方程为乜+二=1(加(),m n2

13、设它的标准方程为5+a=1 (a b 0),于是得2-/;2=1 6,后又点(百，一石)在所求椭圆上，即 三5+本3=1,联 立 两 个 方 程 得5言 后+3言=1,即()2+财2-4 8 =0,解得加=4,则 4=2 0,2 2所以所求椭圆的标准方程为匕+L =1.2 0 42 2故答案为：-F=12 0 42 21 2.与椭圆5+三=1 有相同离心率且经过点仅，-G)的椭圆标准方程为则 三+二=1,且 n m 2解*7 J得Z B 加2-=二2 5-,2-=2 53 4y22X故 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 方 十 方=1342故答案为：8 6y9X.：_ I-=1 或 2

14、5 2 5i3 4考点三.椭圆的离线率题 组 一（离心率的值）（2 01 8全国卷H）2 21 3.已知6，鸟 是 椭 圆C*+方H-的左，右焦点，A是。的左顶点，点P在 过A且 斜 率 为 由 的 直 线 上，A PK 6为等腰三角形,6Z FtF2P =12 O,则 C 的离心率为A-1B-IC八.一31D.-4I【答 案】D【解 析】【详 解】分析:先根据条件得P Fz=2 c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.详解：因为耳玛为等腰三角形，/百后=1 2 0。，所 以PF2=FF2=2C,由 斜 率 为 立 得，t a n Z P AF.=s i nZ P AF,=/=,c o s

15、 N B 4凡=噌6一 6-V 1 3 岳P F,s i n NP AF,由正弦定理得版=；1 用，2 c所 以 二71 17 1 3-7 1 3 _2 19兀”,）飞皿.故 选 3 2 V 1 3 2 V 1 3点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于仇c的方程或不等式，再根据a,A c的关系消掉。得 到。的关系式，而建立关于a,4 c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.1 4.若椭圆上存在三 点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A/5-1 口 6&n V 6A.-.U 1J.2 3 2 3【答

16、案】D【解 析】【分 析】先设椭圆方程，再由椭圆和正方形的对称性得出顶点坐标，代入椭圆方程即可求解.【详 解】设椭圆方程为=l（a b0）,由正方形和椭圆的对称性可得：正方形的四个顶点坐标分别为O（0,0）,B（a,0）,C，将A点坐标代入椭圆2 2方程得：2T+2T=1,4 a2 4b2所 以a?=3/,故离心率为e=J二-?二.a V a V a2 3【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于常考题型.1 5.（20 1 7新课标全国卷m文 科）已知椭圆C：5+/=1（。0）的左、右顶点分 别 为4,4 2,且以线段4A 2为直径的圆与直线反-a y +2 =0相 切，则C的离心率为AV6口

17、 G3 3C.D.-3 3【答 案】A【解 析】【详解】以线段44为直径的圆的圆心为坐标原点(o,o),半径为r=。，圆的方程为 x2+y2=a2,直 线 区-强+2a b =0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即2 a h/a2+b2=a,整理可得/=3/，即。2=3(。2 一。2),即 2a 2=3,2,r2?r从而e 2=;=,则椭圆的离心率e=2a 3 a故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于。力 的方程或不等式，再根据a,c的关系消掉人得到“，c的关系式，而建立关于a,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标

18、的范围等.1 6.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为A.B B.132五 n百v.-U.2 2【答案】B【解析】【分析】根据题设条件可求椭圆的长轴长和短轴长，从而可求离心率.【详解】设圆柱的底面半径为1,则椭圆的短半轴长为1,长轴长为2 _ 4 6s i n 60 一 亍故长半轴长为3 8,所以半焦距为且，故离心率为；，故选：B.题 组 二（离心率的范围）1 7.过椭圆C:二+与=1（。人0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A,B两点，直a b线/过。的左焦点和上顶点.若以A B为直径的圆与/存在公共点，则。的离心率的取值范围是（）【答案】A【解析】【分析】根据直线/过

19、C的左焦点和上顶点写出直线的方程，再根据过椭圆的右焦点的直线与x轴垂直，交。于A,B两点，得到以A B为直径的圆的圆心和半径为，然后再根据A B为直径的圆与/存在公共点，由圆心到直线的距离不大于半径求解.【详解】由题意得:左焦点耳（-。，0）上顶点（0,。），切所 以以旦直纹线I/廿的J刀方任程力为一王十+丁y=1】，,即即次 人一一cc yy 十+“b cC -=U0,-c b因为过椭圆的右焦点的直线与X轴垂直，交。于A,B两点,所以以A B为直径的圆的圆心为右焦点鸟（G。），半径为=忙因为以A B为直径的圆与/存在公共点,所以圆心到直线的距离不大于半径,1 2b d b1即J 工 一,即2

20、c W匕,yjb2+c2 a所以e=a所以5故选：A【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1 8.设椭圆=1（4人 0）的左右焦点分别为片，工如果椭圆上存在点P,使N 6?人=90 ,则离心率e-的取值范围,【答案】gel2【解析】【详解】试题分析：以线段月入为直径的圆与椭圆有公共点，所以 V C?,即a2-c2c2,e2,所 以 也 e 6 0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是【答案】A【解析】【详解】如图根据对称性，点 D在直线y=x 上，可 得=+=1,即匕。2.a2 b2 a2+b-可得力2 a c,：.c

21、2+a c-a2 0,;./+e-1 0 ,解得 0 e 0,且 屏 1）与直线/：y=x+交 于 M,N 两 点,B为上顶点.若 B M=B N,则椭圆C 的离心率的取值范围是（）【答案】C【解析】【分析】由直线方程与椭圆方程联立，结合条件和判别式即求.2【详解】设 直 线 尸 x+/与椭圆3+3=1的交点为（小，y O ,N（x?,y2）,y=x+m联立.y2 得（炉+1）/+2 加 x+/z 一9=0,厂+乒=1,所 以 汨+刘=一 百 Tm2-b2XlX2=；-b2+l/=（24（6?+1）（/一 片）+1/）0.设线段的V 的中点为G,知 G 点坐标为（-Y-,粤），h +b +1因

22、为BM=B N,所以直线比垂直平分线段助,所以直线6G 的方程为y=-x+b,且经过点G,-T-z a b2 m m b+b可得力一 =+b,解 得 卯=力 一 b2+l b-+lr-因为万+1 方0,所 以 方+1 （夕,+）H o,b2-V解得o 伙 立，3因为e?=l 炉，所 以 逅 X I.3故选：C.考点四、椭圆上的点【2 0 1 9 浙江卷】2 22 1.已知椭圆二+二=1 的左焦点为尸，点P在椭圆上且在*轴的上方，若线段9 5Pb的中点在以原点。为圆心，|。目为半径的圆上，则直线尸产的斜率是.【答案】岳【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成

23、圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方 法 1：由题意可知I。同=Q M|=c =2,由中位线定理可得|耳|=2|。0|=4,设中x,y）可得（-2）2 +4=1 6,2 2联 立 方 程 上+汇=19 53 2 1可解得x=-G，x=M （舍），点P 在椭圆上且在X 轴的上方,2 2z 厂、叵求得尸 一 多 一 （所 以 =彳 一=J i 2Y方法2：焦半径公式应用解 析 1：由题意可知|0 可=|0 知|=。=2,由中位线定理可得|制=2 1 Q W|=4,即a-叼 =4 n 巧,=：（3 忖 求得尸 一 5 行-，所以k p F =；=

24、.）2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系,利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.（2 0 1 9 全国 3）2 22 2.设耳 居为椭圆C:二+汇=1 的两个焦点，M 为C上一点且在第一象限.若36 2 0为等腰三角形，则M 的坐标为.【答案】（3,J 疗）【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出|耐|、|岫|,设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.【详解】由已知可得/=3 6,尸=2 0,，/=2 沙 2=6,.=4,又M 为C 上一点且在第一象限，与鸟为等腰三角形,.|叫|=忻图=20=8.R 叫=4.设点M 的坐标为（%,%）（%0，

25、%。），则S财外=g M 用，%=4yo，又 S&Mg=1 x4 x V82-22=4/15,43；O=4715,解 得%=而，.片 （岳）=1，解得=3（%=-3 舍去），3 6 20.M的坐标为（3,拒）.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.2 223.椭圆C/三】的左右顶点分别为4,4,点 P 在 C 上且直线叫斜率的取值范围是-2,7 ,那么直线PA 斜率的取值范围是r 1 3 3 3 C r 1 3 A.旨/B.?-C.-,1J D,L-，U【答案】B【解析】【详解】设 P 点坐标为（为,%）,则 殳

26、+瓦=1,勺 沟=7，3 3kp&e-2,-l%储 e g,R.故选 B.【考点定位】直线与椭圆的位置关系224.已知椭圆M:+y2=,圆C:九 2+y2=6 一 2在第一象限有公共点p,设圆a。在 点 P 处的切线斜率为尤，椭 圆 M 在 点 P 处的切线斜率为 心，则 的取值范围为A.(1,6)B.(1,5)C,(3,6)D.(3,5)【答 案】D【解 析】【分 析】结合两个曲线在第一象限有公共点，建立不等关系，设 出 公 共 点 P 坐标，用坐标计算匕，匕，相 比,计 算 范 围，即可.【详 解】因 为 椭 圆 加：+丁=1 和 圆 C：x2+y 2 =6_/在第一象限有公共点p,所0

27、2 6 /丫 2以 j 6-a2 1，解 得 3/。a y0-=a2 e（3,5）,故选 D.2【点睛】本题以椭圆为背景，考查圆和椭圆的相关知识，考查化简求解能力，考查数学运算素养，本道题考查了圆与椭圆的性质以及过曲线一点计算切线斜率问题，属于中档题.V22 5.已知椭圆A +a 2=Ua h 0),A,B为椭圆上的两点，线 段 AB的垂直平分线 交 x 轴 于 点 M(1,0),则椭圆的离心率e的取值范围是【答 案】(2,1)【解 析】【分析】设4（芯,凹）,8（马,%）,玉二工2，则2d/?2 2(xj -x2)=x 一 元 2 +y一%一2 1 2 u/7 22y=b 一-2xia2 1

28、2 t)2丫2=b-2X2a,整2Q3理可得7 7 =x（+x2,又一心为奇，a x.a,玉*入2，从而可得5（。-b）匕&,从而可得答案.a2 5【详解】解:设 4（芭,%）,8（孙 力）,%产9，1贝2XF迂/+2a/?2 2 2(%1-%2)=-x2+x -y2即 y；=b?_x；a2 1 2 2y2=ba所 以 母（X X 2）=M（X U）,所 以 谭 =i 2.又一-a x2 a,x2,2 a 3所以一2 V xx+%2 2 a,则 2 7 TT La2 5又 0 e。0）的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一6 r b点，过原点的直线/与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、P N 的

29、斜率分别为Kp M，Kp N，当K p/K pN=-；时，则椭圆方程为（）2 2AX V 1A.-1-=116 47 2B,工+二=14 2c.光2+2 1 =i4D.+/=14 -【答案】D【解析】【分析】设。（与,%）,则4为2=4 一从/2,设直线/方程为丁=丘，例（七,后,），N（f,-处），由KM-KPN=-（得4%2=（4公+1居2 一/2，联立可得4/=（4&2+1）%2+9 2 _ 1）与2,由点P的任意性知 _ 二0,即可求得椭圆方程.【详解】由长轴长为4得2 a =4,解得4 =2,设。（多）,%）,直线/方程为y=依，”（看,依），N（-x”一烟）,mil K一 K _%

30、+3则 Kp M -,Kp N-,X。一 万 玉+不由 Kp M ,Kp N=一；得，0-1 Vo+l.1 刖 为2一物2 _ 1%玉 毛+玉 4x02-x,2 4所以4%2=（4公+1居2 _年,2 2又P在椭圆上，所以西-+乌=1,即4 y（/二 破-从 婚，4 b代入式得劭2 一心针=（4左2 +1居2 一/2 ,即4）2 =（4炉+1）%2 +,2 -1）与2 ,因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与与无关，所以/2一1 =0,解得方=1,所以所求椭圆方程为三+y2 =i.4故选：D.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确

31、定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.(2019衡水调研)2 22 7.已知椭圆C：+六=1(。匕 0)的左、右焦点分别为Fi(c,0),F2(C,Ic c0),斜 率 为 的 直 线/与 椭 圆 C 交于4,B 两 点.若AABFi的重心为G Q,；),则2 6 3椭圆C 的离心率为.【答案】逅3【解析】【分析】设A(xi,yi),B g y2),带入椭圆方程作差，利用重心坐标公式，求得菁+，X+%，代入上式，即可求解.【详解】设 A(xi,yi),B(X2,y2),则+4 _1 X；y；_x2a

32、两 式 相 减 得 吐 父 山 +(产)=().(*)a b-因为AABa的重心为G(,),6 3所以X|+x2-C _ C3 6.故-3,3c内+无2=彳，2.y+%=c,代入(*)式得 3(石 一+()=0,2a b所以上二比=竺=一 1，即 辟=3。2,占一 2a2 2所以椭圆C 的离心率e=Y 5.3故答案为：逅3考点五.椭圆中的范围与最值问题题组一(不等式求范围)2 22 8.(2 0 1 7 新课标全国卷I 文 科)设 A,3是椭圆C：+匕=1 长轴的两个端3 m点，若 C上存在点M满足N A M B=1 2 0。，则加的取值范围是A.(0,l U 9,+c o)B.(0,V3 U

33、 9,+o o)C.(0,1U4,4W)D.(0,K U 4,+8)【答案】A【解析】【详解】当0 /t a n 6 0 =7 3 ,即bV mV3，得0加 3 时.，焦点在y 轴上，要使c 上存在点满足N 4 W 5 =1 2 0。，则:N t a n 6 0 =百，即坐得加之9,故加的bV3取值范围为(O J U 9,+o o),选 A.点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题.解答问题的关键是利用条件确定。，力 的关系，求解时充分借助题设条件N A B =1 2 0。转化为：2 t a n 6 O =/,这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进

34、行逐一讨论.2 22 9.如图，椭圆三+01(ab0),顶点分别为A i,A 2,BI,Bi,左右焦点分a2 b2别为F i,F 2,延长B 1 F 2 与 A 2 B 2 交于P点，若N B F A 2 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为.【解 析】【详 解】试 题 分 析：M=kB F,=2 k2=kA B=-X由于NB1PA2为 钝 角，可得1 Z c J 2 tanNBFA2#：*0,化简整理即可得出.l+/k 2解：kl-kB.F=-k2-kA2B =-1 c a.NBFA2为钝角，_ _ b _ b/.tanZBiPA2=-0,1+klk2 1+（-也）上a c化 为:ac-b2

35、0,/.c2+ac-a20,Ae2+e-l 0,0 e l,解 得 亚 二 e 6 0),A,B为椭圆上的两点，线 段A 8的垂直平分a b线 交x轴 于 点M(1,0),则椭圆的离心率e的取值范围是【答 案】,1）【解 析】2 a /2 2 2 2(%1 -x2)=x,-x2+必-y2【分析】设4（芯,凹）,8（马,%）,玉二工2，则2 1 2 uh 22必=b 一 一 玉a,整2 k 2 b2必=6-2X2a2 a 理可得7;=x,+x2,又 一a SX0,a x,a,x2,从而可得5(a -b)匕&,从而可得答案.a2 5【详解】解:设4（芭,%）,8（孙 力）,%产9，1贝2XF迂/+

36、2 a /?2 2 2(%1-%2)=-x2+x -y2即 y；=b?_x；a 2 1 22y2=ba所 以 告（XX2）=M（XU）,所 以 爱 药=花+，又一-a x2 a,x,x2,2 a 3所以-2 a V%V 2”，则 La2 5又0 e 1，解得3/?0）,则椭圆在其瓦上一点%）处的切线方程为学+爷=1,试运用该性质解决以下问题：椭圆G：+方其焦距为2,且过点1，41.点8 为G在第一象限中的2）任意一点，过B 作G的切线/,/分别与X 轴和），轴 的 正 半 轴 交 于 两 点，则 OC D 面积的最小值为（）A.巫 B.41 C.G D.22【答案】B【解析】【分析】丫 2先根

37、据题意得椭圆的方程为5+2 =1,进而设8（%,%）,故切线/的方程为:W+%y=i，进而得OCD的面积为5 =一，由1=日+公，结合基本不等式2%先 2.即 可 得 直 之 后 进 而 得 女。面 积 的 最 小 值 为 1【详解】解：根据题意得c=i,根 据待 定 系数 法 得1解得从=1,西I2所以椭圆的方程为三+丁=1,2设点8（%,%），由题知过点B与椭圆相切的切线/的方程为：若+%y =l,（2 （1所以。-,0 ,00,xo J y（）j1 2 1 1所以AOC。的面积为S =7 x x =-,2%为因为1 =1+港2 聘.尤=信 先，当且仅当%=1,%=日时等号成立；所以一 N

38、正,所以Q C D面积的最小值为血.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据已知给定的椭圆性质得/的方程为：殍+%y =i，进而表示出AOCD面积s =一，再结合基本不等式即可求得.考查2工 0%运算求解能力，是中档题.题 组 三（数形结合求范围）r2 v23 5.P 为椭圆二+匕=1 上任意一点，为圆义:（兀-1）+产=4的任意一条直1 6 1 5径，贝IJ屋.乔 的取值范围是A.0,1 5 B.5,1 5 C.5,2 1 D.（5,2 1）【答案】C【解析】详 解 试 题 分 析：西 评=回+叫.回+殖=廊+殖 回-雨）=PN-NE=|丽 一4.因为丽卜a +j即两卜5,所 以 屋.而 的

39、 范 围 是5,2 1 .故 选C.考点：椭圆和定义及性质、圆的性质、向量运算.2 23 6.已知椭圆：?+/=1（0 人2）,左右焦点分别为F i,F 2,过R的 直 线1交椭 圆 于A,B两点，若IB F 2 I+IA F 2 I的最大值为5,则b的值是.【答 案】7 3【解 析】【详解】试 题 分 析:由 题 意：忸 闾+|M|+|A B|=4 a =8,.忸用+|A周的最大值为5 ,.lA B l的 最 小 值 为3 ,当 且 仅 当A B _ L x轴 时，取 得 最 小 值，此 时c,|）,代 入 椭 圆 方 程 可 得 /磊=1,./=4一 从，4-/72 0 厂-F-=1 A/

40、3,故答案为6.考点：1、椭圆的简单性质；2、椭圆的定义及几何意义.2 23 7.已知点P是 椭 圆 二+匕=1上非顶点的动点，耳，居分别是椭圆的左、右焦16 8点，。是坐标原点，若“是/耳。鸟的平分线上一点，且丽 痔=0,贝”加|的取 值 范 围 是（）A.0,3）B.（0,27 2）C.27 2,3）D.（0,4【答 案】B【解 析】【分 析】采用数形结合，通过延长耳M结 合 角 平 分 线 以 及 丽 丽=0,利用中位线定理以及椭圆的定义，得至“的|=J 2a-2|厄 卜 卜-|阿 卜 然后根据归国 的 范围，可得结果.【详 解】如图,X延长耳M交P F 2的延长线于点G ，：FM MP

41、O,：.FM IM P.又曾为6的平分线，./所|=|所卜且M为 的 中 点.0为E月的中点，.丽卜司.丽H匹H阿 卜 同 一 阿I，.|西=非”2|阿 卜 卜 一|阿，.4-2&朋 卜4 +2夜，且 愿 卜4,.|O M|e（0,2V 2）.故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的应用，属中档题.考点六、焦点三角形3 8.过椭圆靛+5=1(a b 0)的中心做一直线交椭圆于P,。两点，F是椭圆的一个焦点，则P F。的周长的最小值为【答案】2 a+2 b【解析】【分析】利用椭圆的对称性把 P F Q的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离及过原点的线段的长度问题，则答案可求.【详解】如图，y由椭圆的定义

42、知|PF|+|PB|=2a由椭圆的对称性知|。目=P F x,.有|PH+IQH=2a,而|PQ|的最小值是24：./P F Q的周长的最小值为2 a+2 b.故答案为：2 a+2 b.3 9.已知尸z是 椭 圆 三+汇=1的焦点，P在椭圆上，且/大。凡=,则 点P到x轴的距离为.【答案】亚6【解析】【分析】根据椭圆的定义和余弦定理可求得答案.2 2 _【详解】解：由椭圆5 +1 =1可得：。=3,b=亚,c y a2-b2=2.J I设|PFI|=/2,P F 2=n.贝I 加+=2=6,(2x2)2=nr+n2-2m/icos,可得：m n_ 20,3/.S邮/=x 2c.=m/isin,

43、.2x2|yp|=x,解得|yp|二 .2 2 3 3 2 6故答案为：巫.64 0.已知F是椭圆二+=l(a b 0)的一个焦点，若直线丁 =依与椭圆相交于a bA,B 两 点,且/AFB=120。，则椭圆离心率的取值范围是()c.；/)D.叫【答案】C【解析】【分析】根据已知结合椭圆对称性有AEBk为平行四边形且NE4F=60。，由余弦定理可得(AF+AFV-FF2=3AF-AF,应用基本不等式有(AF+AF)2 FF2,即可求椭圆离心率的范围.4【详解】连接A，8与左右焦点F,F 的连线，由ZAF8=120。，由椭圆及直线的对称性知：四边形AEBk为平行四边形，且NE4F=60。，在?中

44、，FF2=AF2+AF2-2AF-AFcos ZFAF=(AF+AF)2-3AF-AF,AF+AF 1/.(AF+AF)2-FF2=3AF-AF 3(-)2,可得一(AF+A尸产 b 0)的左、右焦点分别为耳，F2,过 工直线a b与椭圆。交于M,N两点，设 线 段 的 中 点。，若 加.NE=0,且布 /方可，则椭圆。的离心率为()A.-B.立C.1 D.3 3 2 2【答案】B【解析】【分析】由 而 砥=0 得结合。是中点，得等腰三角形，由平行线可得B 是M N 中 点,从而M N _ L x 轴，利用勾股定理可得，的关系得离心率.【详解】因 为 丽 丽=0,所以又。是M F；中点，所以M

45、FMN,因 为 丽 1/方耳，所以 2是MN中点，则I周=|N 周，因此M N _ L x 轴，设I闾=加，贝“巾|=2根，MFl+MF23 m2 a,/n =y,在中，由勾股定理得（粤）2+（M）2=QC）2,变形可得0 =走.3 3 a 3故选：B.【点睛】关键点点睛:：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定。，,c 的等式.解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得AMN的性质（实质上它是等边三角形），特别是轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得.2 24 2.椭 圆 C：+方=1（。0,%0）的左、右焦点分别是耳，鸟离心率为立，过耳且垂直于*轴的直线被椭圆C截得的线段长为L2

46、（1）求椭圆。的方程；（2）点P是椭圆。上除长轴端点外的任一点，连接PK，PF2,设/片P 外的角平分线PM交。的长轴于点M（加,0）,求阳的取值范围；【答案】+/=1；（2），沿）.4k 2 2；【解析】【分析】（1）把x=-c 代入椭圆方程得 =土h幺2，进而可得2 b=21,再由e =以及a 2=+c 2求出a 1,。的值即可求解；a 2（2）设归用=/,|上周=，由角平分线以及正弦定理可得t PF.MF.+G一=岛=占2=万 一，再根据a c a+c，即可得m的取值范围.n PF,F2M y/3-m 7 2 丫2 A-【详解】（1）把x=-c代入椭圆方程得+当=1,解得y =土幺，a

47、b a因为过耳且垂直于X轴的直线被椭圆。截得的线段长为1,所 以 1 =1,又e =立，联立得九 V 3-m V3因为a-c v鹿v a+c,艮|1 2 6 =丘+1与椭圆工+匕=1总有公共点，则机的取值范围是（）5 mA.ml B.mQC.0m且 m*5【答案】D【解析】【分析】求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.2 2【详解】由于直线y=A x+1恒过定点（0,1）,且直线），=履+1与 椭 圆 工+上=15 m总有公共点,所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，贝 i JO v V l 且 g 解 得 论 1 且 M 5

48、.m故选：D(2 02 0模拟)龙 2 v24 4.已知直线/：y=2 x+m,椭圆C：二+匕=1.试问当加取何值时，直线/与椭4 2圆C：(I)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.【答案】(1)3 5/5 /3 及(2)m -3 /2(3)?3 近【解析】【分析】先联立直线/与椭圆C的方程得到9 必+8/蛆+2-4=0,将公共点的个数转化为方程解的个数问题，利 用/与。的关系进行处理即可y-2 x+m【详解】将直线/的方程与椭圆C的方程联立，得 方 程 组/2 ，消去y,整理得+=1 4 29X1+Sm x+2 m2-4 =0,A =(8 机J-4 x 9x(2

49、 m2-4)=-Si n2+1 4 4,(1)当 0,即-30 m 3 V 2 时,方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实解，这时直线/与椭圆C有两个不重合的公共点；(2)当 =0,即m=3 旅 时,方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线/与椭圆。有两个互相重合的公共点，即直线/与椭圆C有且只有一个公共点；(3)当/0，即m 3 加 时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线/与椭圆。没有公共点【点睛】本题考查已知直线与椭圆的位置关系求参数问题，考查转化思想2 24 5.已 知 椭 圆 工+乙=1,直线4x-5y+40=0,椭圆上是否存在一点，到

50、直线/25 9的距离最小?最小距离是多少？【分析】设出平行线方程，利用直线与圆相切，求出切线方程，然后求解平行线距离即可【详解】在椭圆上存在一点，使得它到直线/的距离最小；设直线加平行于直线/,则直线/可写成：4x-5y+Z=(),4x-5y+k.=0由方程组y2，消去九 整理得2 5 f+8 依+公 _ 225=0,+=1125 9由 =(),得64公 4 x 2 5,2 225)=0,解得匕=25,毛=一 25,左=25时直线与椭圆的交点到直线的距离最近，%+5 2 41所 以 in=考 点 八 弦 长无24 6.己知斜率为1 的直线/过椭圆上+丁=1的右焦点凡 交椭圆于4 5 两点，求4