概率与统计统计课后习题答案.pdf

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1、第一章习题解答1.解：。=(0,1,1 0 ；(2)Q=|z=0,1,1 0 0/1 ),其中“为小班人数；n(3)c=4,x Y,x x 4,x x x.，其中Y 表示击中，x表示未击中；(4)Q=(x,y)x2+,2 1 o2 .解：(1)事件A 3表示该生是三年级男生，但不是运动员；(2)当全学院运动员都是三年级学生时，关系式CuB是正确的；(3)全学院运动员都是三年级的男生，A B C=C成立；(4)当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，X=B成立。3 .解：(l)A B C；(2)ABC；(3)A B C；(4)(A O B)C ；(5)(6)ABJAC UBC；(7)AU

2、B JC；(8)A B C u A B C u A B C4 .解：因 A B C u A B,则 P (A B C)P (A B)可知 P (A B C)=0所以A、B、C至少有一个发生的概率为P (A UB UC)=P (A)+P (B)+P (C)-P (A B)-P (A C)-P (B C)+P (A B C)=3 x 1/4-1/8+0=5/85 .解：P (A UB)=P (A)+P (B)-P (A B)=0 3+0.8-0.2=0.9P(AB)=P(A)-P (A B)=0.3-0.2=0.1(2)因为 P (A UB)=P (A)+P (B)-P (A B)P (A)+P

3、(B)=a+。，所以最大值 m a x P (A UB)=m in(a+p,l)；又 P (A)P (A UB),P (B)|,0“_|所以P（A）=28 .解：设 A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件N表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取,因此久包含的基本事件数为9 4+1-1 =9 ，样本点总数为1 0、故 949 .解：设 A、B、C分别表示事件“恰有2 件次品”、“全部为正品”、“至少有1 件次品”。由题设知样本点总数.MCI，kA=C；C；,k B=C：,尸（4）=,尸（8）=球=4，而方=C,所以n 1

4、 0 n 6P（C）=1-P（5）=（1 0 .解：设 A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、5 张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。样本点总数=，各事件包含的基本事件数为=C：C 3 k B =仁=。：3。：。：8故所求各事件的概率为:b卜尸寸童，尸 rL 1 3 L 4 L 1 2 L 4F七=以/_&_ 4Cy8 C 52 C 521 1 .解：P（B）=1 P伍）=0.4,P（AB）=P（A）-P（A 万）=0.7 0.5 =0.2(2)(3AU用用黑嗤q(3)4.亦 牖1-00.5.2 -_ 851 2.解:令 人=两

5、件产品中有一件是废品,B=两件产品均为废品,C=两件产品中有一件为合格品,D=两件产品中一件是合格品，另一件是废品。则P 二，+c4-m，尸(A6)=冬,p(c)=+c”C”,p(m=Gw-,；CJ w C M CM JW所求概率为:(1)(2)皿)舟 就 M沏0啜2 mM+z 11 3.解：设A、B、C分 别 表 示 事 件 甲、乙、丙 得 病，由已知有：P (A)=0.0 5P (B|A)=0.4 P (C|A B)=0.8则甲、乙、丙均得病的概率为：P (A B C)=P (A)P (B|A)P (C|A B)=0.0 1 61 4.解：令4=从甲团中任 选 两 人，有 洛 中 国 旅

6、游 者 ,i =0,1,2B=从乙团中随机选一人是中国人，则:MA,)=,P(8|A,)=C n+m。+ia +。+22 2 L 0 2 T .由全概率公式有：P =E P(4)尸仍 IA)=宁-M M C+m a+b+215.解：令 A=天下雨 ,B=外出购物 则：P(A)=0.3 ,P(B|A)=0.2,P(B|A)=0.9(1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.6 9(2)P(A|B)=P(A)尸 A)2P(B)-2316.解：令 人=学生知道答案,B=学生不知道答案,C=学生答对P(A)=0.5 P B =0.5 P(C|A)=1 P(C|B)=0.25由全概率

7、公式：P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.5+0.5 x 0.25=0.6 25所求概率为：P(A|C)=-=0.80.6 2517.解：令事件A,=第i 次取到的零件是一等品,i =1,2用=取 到 第 i 箱 ,i =1,2 则 P（B）=P ）=0.5 P（A）=P ）P（A 田）+p（%）P（A I 层）=0.5 X *0.5 X *0.4（2）p（A,二 P（；）P（B j P（A&I 雨+尸 可 川 向 I B j0.4O Sxg +O Sx1 805 0 x 4 90.43 0 x 29=0.4 8 5 618 .证明：因P（4|5）=P（A|可则P（A B

8、）P（A）-P（A B）尸仍）一 尸侬）P 经整理得：P（A B）=P（A）P（B）即事件A 与 B 相互独立。19 .解：由 己 知 有 P（A B）=P（A 5）=1,又 A、B相互独立，所以A 与否相互独立；,与B相互独立。则可从上式解得：P（A）=P（B）=1/220.解：设 A “密码被译出”，A,=第 i 个人能译出密码”，i =1,2,3则 P（A）=（,P（A2）=；,P（4）=（P（A）=P（At U A2U A3）又 A,A2,A3 相互独立，因此 P（A）=1 P（A|A2 A 3）=1-P（A）P（月）P（4）=-（1-J。-；）。-；）=0。621.解：设 A,=第i

9、 次试验中A 出现，i=1,2,3,4 则此4个事件相互独立。由题设有:P（4 U 4 U A3 U A ）=1 -P（4 兄 1 用）=1-（1-尸），=0.5 9解得 P（A）=0.222.解：设 A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D表示敌机被击落。于 是 有 D=A 8CUA BCUA BCUA BC故敌机被击落的概率为:P（）=P（4 B C）+尸（4 8 e）+P（A B C）+P（A B C）=P（A）尸（8）尸（C）+P（A）P（8）P 0）+P（A）P（司P（C）+P 0）P（B）尸（C）=0.7 x 0.8 x 0.9 +0.7 x 0.8 x 0.14-0

10、.7 x 0.2 x 0.9 +0.3 x 0,8 x 0.9=0.9 0223 .解：设 A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则P（A）=0.4,P（B）=0.6,P（C）=0.9（1）三人中恰有一人钓到鱼的概率为：P（A 5 C U A B C U A 5 C）=P（4 否司+P（A S C）+P（A B C）=0.4 x 04 x 0.1+0.6X0.6X0.1+0.6X0.4X0.9=0.26 8（2）三人中至少有人钓到鱼的概率为：P（A U 8 U C）=1 P（A B C）=1-P（A）P（S）P（C）=1-0.6 x 04 x 0.1=0.9 7 624 .解：设。=甲

11、最终获胜”，A=第一、二回合甲取胜”；B=第一、二回合乙取胜”;C=第一、二回合甲、乙各取胜一次”。贝 l j：P（A）=舒,P =俨,P =2即P（。|A）=1,P（O|8）=0,P（D|C）=P（D）.由全概率公式得：P p=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P P（D|C）=Z2+2XO+2C P（D）a2所 以 P(D)=-l-2 aj 32 5 .解：山题设5 00个错字出现在每页上的机会均为1/5 0,对给定的一页，5 00个错字是否出现在上面，相当于做5 00次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为：k=3（斤=1-。（斤（舒=。

12、-9974k=026 .解：设 A=厂长作出正确决策”。每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因 此 5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5次重复试验，则所求概率为：P(A)0.6*0.4 5-*=03 17 4k=3第二章习题解答1.设 (x)与工(x)分别是随机变量x 与 y 的分布函数，为使。耳(x)-b K(x)是某个随机变量的分布函数，则 的 值 可 取 为(A).A.a=,b B.a=,/?=5 5 3 31 ,3 1 ,3C.a ,b D.a ,b 2 2 2 22.一批产品20个，其中有5 个次品，从这批产品中随意抽取4 个，求这4 个产品中的次品数 X 的分布律.解：因为随机变量

13、X=这4 个产品中的次品数的所有可能的取值为：0,1,2,3,4.C4 C0 91且 PX=0 =-V-=*0.2817；C；o 323C3 cl 455PX=1=2220.4696；969C2 c 2 70=2=-=-0.2167；G 323c C3 10PX=3=-4 =0.0310；C；o 323r c4 1PX=4=0.0010.C：0 969因此所求X 的分布律为：X|0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.00103.如果X 服从0-1分布，又知X 取 1 的概率为它取0 的概率的两倍，写出X 的分布律和分布函数.解：设Px=l=p,则

14、Px=0=l p.2由已知，p=2(1 p),所以p=X 的分布律为：X01P1/32/3当x 0 时，F(x)=PX x=0；当 O W x l 时，F(x)=PX x=PX=0=当 x 2 1 时，F(x)=PX x=PX=0 +PX=1 =1.的分布函数为：F(x)=01/3x 00 x l4.一 批零件中有7个合格品,3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布.解：设乂=在取出合格品以前，已取出不合格品数.则 X的所有可能的取值为0,1,2,3.7p x =0 =一 ；1 0

15、p x =l =33 ,7 =，7；1 0 9 3 03 2 7 7PX=2=3.W；1 0 9 8 1 2 0nr 3 2 17 1Px=3=-=-.1 0 9 8 7 1 2 0所以X的概率分布为：5.从一副扑克牌(5 2 张)中 发 出 5 张，求其中黑桃张数的概率分布.解：设丫=其中黑桃张数.则 X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.X0123p7/1 07/3 07/1 2 01/1 2 0用=。卜警:畿。如5；2 7 4 1 7 八，Px=1 =1 1 1 1P X=3 =x x -=一；2 2 2 8所以X的概率分布为XP0 11/2 1/4 1/831/828.一家大型工

16、厂聘用了 1 0 0 名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务.求：(1)恰有6个人不能完成培训的概率;(2)不多于4个的概率.解：设乂=不能完成培训的人数.则X 5(1 0 0,0.0 4),(1)P X=6 =C oO.O46-0.9 69 4=0.1 0 5 2;4(2)P X 4 =XCiAo o0-044 -0.9 61 0 0-*=0.6 2 9.k=09.一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接 受 批产品的概率.假设你是使用方，允许次品率不超过p=0.0 5,你方的验收标准为从这批产品中任取1 0 0 个进

17、行检验,若次品不超过3 个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？(假设这批产品实际次品率为0.0 6).解：设 X=1 0 0 个产品中的次品数,则X 5(1 0 0,0.0 6),所求概率为 P X 3 =XC：o o(0-0 6)“0.9 4)i T=0.1 4 3 0.k31 0.甲、乙两人各有赌本3 0 元和2 0 元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面,则甲赢10元，乙 输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元.分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设X r p=投掷一次后甲的赌本,X4=投掷一次后乙的赌本.贝IJX甲的取值为20,4 0,

18、且P X甲=20)=P X印=40 =；，P X乙=10)=P X乙=3 0=；，所以X”,与X乙的分布律分别为：X单2040X乙103 0P1/21/2P1/21/20,x 200,x 10(X)=,20 x 40,Fx(x)=2乙1 0 x 4 01,x 3 01 1.设离散型随机变量X的概率分布为：(1)PX=k=a 2，左=1,2,100；(2)P X =k =a 2-k,k=l,2,-,分 别 求(1)、(2)中常数a的值.100 100解：(1)因为 PX=k =Z a 2 =1,k=k=即a.二=】所以“2(2100-I),18 00(2)因为 ZPX=%=W=I,k=lk=_即

19、a 丁 =1，所以 a=.1-21 2.已知一电话交换台服从2 =4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次传唤的概率；(2)每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设*=每分钟接到的传唤次数,则X 尸(2)，查泊松分布表得(1)P X=8 =P X 8 -P X 9 =0.0511-0.0214=0.0297 ；(2)P X 2 8 =0.0213 6.13.-口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5,从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X 的概率分布.解：X的所有可能的取值为1,2,3.px=i=M=?=2C/10 5C2 3尸 x =2 =T=cj 10c2 1PX=3=N =LCf

20、10所以x的概率分布为:X123P6/103/101/1014.已知每天去图书馆的人数服从参数为4(7 10)的泊松分布.若去图书馆的读者中每个人借书的概率为p(0 p J.p 尸=立k 金(i k)!k!k!即 x的概率分布为PX=k=出 力-e ,k =0,1,2,.kax+h,15.设随机变量X的密度函数为八%)=(0 x l其它且p；,试求常数4和b.解：p j x|fL a b=；3+8岫 二 衣+；pI；=ax +b)dx =-+-由,-a-1 b =-4-a-1-2-b-=-1 得zn，=-1.5.,b.=一718 3 9 3 2 41 6.服从柯西分布的随机变量f的分布函数是尸

21、(x)=4+Barctanx,求常数A,优P|X|1以及概率密度丸x).解：由，F(-oo)=lim(A+B arctan x)=A-B =0.2 得F(+co)=lim(A+8 arctan x)=A+8=13*0 2ABJ21所 以 F(x)=+arctan x；2 7 CP|x|1=P-1 x 1=F(l)-F(-l)=0.5；/一 士.1 7.设连续型随机变量X的分布函数为尸(x)=0,Tlx2,1 ,x 00 x l求：(1)常数A的值；(2)X的概率密度函数/(x)；(3)PX 2.解：由尸(x)的连续性得尸(1-0)=7(1+0)=尸(1)=1B P lim Ax2=1,所以 A

22、=l,F(x)=0,1,x 00 x l(2)f(x)=F x)=2x,0 x lo,其 他；(3)PX 2=F(2)=1.18.设随机变量X的分布密度函数为/(x)当W 1其它试求：(1)系数4；(2)p g X 2,(3)X的分布函数尸(x).(2)喟 X 2解：W 1-A ar cs i n x f,=ATTi-i所以 A =,，/(x)兀其它_ Jx =-ar cs i n x2 T T yjl-X2 冗1 1i 32(3)当 1 时，f(x)=P X x=Q,r1 1 1当 Ox l 时，/(x)=P X x =,d t-ar cs i n x +,4 局1 3 兀 2当xl时，f(

23、x)=P X x=d t =,所 以F(x)=0,1 1+ar cs i n x,2 n1,x -l-1 X19.假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 m i n你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 m i n之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为10 s,从11层电梯口到达会议室需要2 0秒.如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设*=在任意一层等待电梯的时间，则X U(0/0),由题意，若能准时到达会场，则 在10等电梯的时间不能超过4.5 min,所求概率为 P X 10=1-尸 乂410=1-7()公=1($臣=-2所以

24、y的分布为Py=曾=以 pk(1-p)5T=C；，)k(1-e-2 产,也=0,1,2,3,4,5)；(2)P r l=l-P r=0=l-C(e-2)0(l-e-2)5=0.5167.2 1.设随机变量X N(5,4),求a使：(1)PX a=0.01.X-5解：由 X N(5,4)得F N(0,l)(1)尸X a=p V a=0.01 得，尸|X-5|a =0.99所以尸|X-5|a=P a X 5a f a X-5 a不,a、不,a、c 不，&、1 八 八 八=P,一 (卜()_(D()=2(不)1 =0.99I 乙 乙 乙 J 乙 乙 乙a a即 中 年=0.9 9 5,查标准正态分布

25、表得掾=2.5 8,所以a =5.1622.设X N(10,22),求 P10X13,P|X-10|2.v _ 1 n解:由 X N(10,2?)得 一 -N(o,1)P10X 13=P|O X1Q =(1.5)-(0)=0.9932-0.5=0.4932；P|X-10|2=P-2 X-10 2V _ 1 A=P-1 产 250=P-=1-(2.32)=1-0.9898=0.010228 2824.测量某一目标的距离时，产生的随机误差X(cm)服从正态分布N(0,4 0 0),求 在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm的概率.V解：由 X N(0,400)得 茄 N(0,l)设丫=

26、在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm的次数,则丫 8(3,p)其中 P=P|X|3O=P-30X 30=P 1.5X 1)=l-P r=0=l-C,0.8664-0.13323=0.997625.己知测量误差X N(7.5,IO?),x的单位是m m,问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于0.9.解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 m m的概率大于0.9.由已知 X N(7.5,102),p 2 V(0,l)设y=”次测量中，绝对误差不超过10 m m的次数,则丫y 7 5其中 P=PX 10=P 1 0 1 0.9,即

27、PY=00.1C,0.5987-0.4013 3必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 m m的概率大于0.9.26.参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分.设学生的得分X N(A，某教授根据得分x将学生分成五个等级：A级:得分X N(+cr)；B级：/X (/+cr)；C 级:(-cr)X ：D 级:(一 2cr)W X (一 cr)；F 级:X (-2 b).已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分，贝 小(1)和o 是多少？(2)多少个学生得8级？解：（1）由已知，=400。=48X-(2)P/d X /z+cr=P 0 1=0(1)-

28、(0)=0.8413-0.5=0.3413由于0.3413x380=129.66,故应有130名学生得B 级。27.已知随机变量X 的概率分布如下，X-1|0 1 2_P 0.2 0.25 0.30 0.25求 y=-3 x +i 及 z =x2 +i 的概率分布.解：Y=-3 X+1 的所有可能的取值为4,1,-2,-5.且 p =4=PX=-1=0.2；Py=l=PX=0=0.25；Py=_2=PX=1=0.3；%丫 =_ 5=尸X=2=0.25.所以y=3X+i 的分布律为y=-3x+10.25 0.3 0.25 0.2Z=X 2+1 的所有可能的取值为1,2,5且 PZ=1=PX=0=

29、0.25；PZ=2=PX=1+PX=1=0.5；PZ=5=PX=2=0.25.所以Z=x?+1 的分布律为Z=X2+12 5P 0.25 0.5 0.2528.设随机变量X N（0,l）,求 y=1 -2|x|的密度函数.1 上解：由X N（0），得 P x（x）=7 e 2,设 y=1-2 区|的分布函数为尸4）,则F y(y)=P Y y =P l-2|X|三.当 心1时,FY(y)=P Y =P Q =1 ；当y l时，4(y)=P y y =P 凶 2=1-P|X|=i-P _ k iZ x .P y(y)=Fy(y)i /y、i /I y、1TPX(z-)+P x(z-)yl.l邛

30、,=戏 5 o,y!.29.随机变量X的概率密度为/(x)=j 乃(2+l)0,x )=P x(e)(e)2 ey-7；-,(-c oy+oo).7r e y+3 0.设通过点（0,1）的直线与x轴的交角夕在 0,而上服从均匀分布，求这直线在x 轴上截距X的密度函数.解：以 a表 示 过（0,1）点的直线与x轴的交角，见 图 1。山题意知：随机变量a在（0,兀）内服从均匀分布，故得a的概率密度为P“(x)=M o,0 c xe 肛其它.设随机变量X表示直线在X 轴上的截矩，易知-X=etga,即X=-aga,其分布函数为:Fx(x)=PX x=P-ctga -x=Pa arcctg(-x)=F

31、arcctg(-x)。其密度函数为P x (x)=Fx(x)=Farcctg-xy17T(1+X)(-00 x 4-00).第三章习题解答1.设随机变量(x,y)的联合分布为1231V 6V91/182ab若x,y 相互独立，贝 U(A).C.a=,b=D.ci=.h=一3 3 3 3解：根据离散型随机变量独立性的定义，px=ly=2=px=lpy=2即：1/9=(1/6+1/9+1/18)(l/9+a)得：a=2/9px=ly=3=px=lpy=3 得：b=l/92.同时掷两颗质体均匀的骰子，以X,丫分别表示第1颗和第2 颗骰子出现的点数，则(A).A.PX=i,Y=j=-,i,j=l,2,

32、-6 B.PX=Y=36 36c.p x”=；D.pxy=；解：根据离散型随机变量独立性的定义，Px=i,y=J=pX=ipy=力=:、：=上，i,/=l,2,66 6 36因为所有的样本点为(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)一直到(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共 36 个X=Y共 6 个，故B选项px=y=L 则c 选项产区力丫 =96 671XWY的样本点数为21个，PXY=363.若 X N(2，。；),且 X,丫相互独立，贝 lj(C).A.X+y-N(M+2，(b|+%

33、)2)B.X y N(从一 2，b：-O-；)C.X-2y N(2 2，b；+4苏)D.2X Y N(2 -M2,2b；+b；)参看课本69页推论2：随机变量X,N 3，b：)(i=l,2)，且X”X2,X.相互独立，常数4,a?，%不全为零，则有N 生 从，i=i=i=1 74.已 知 X N(3,l),yN(2,l),且 X,y 相 互 独 立，记 Z=X 2Y+7,则z(A).A.N(0,5)B.N(0,12)C.N(0,54)D.N(-l,2)5 .已知(X,K)的密度函数为jrCsin(x+y),0 x,y-/(x,y)=J 40,其它则C的值为(D).A.-B.C.V2-1 D.V

34、2+12 2解：根据二维随机变量密度函数的性质：r r f(x,y)d xd y=lJ-0 0 J-0 0即T：c sin(x+y)dxdy=1 解得：c=V2+14-(2 x+3 y)n6.为使x,y)=广 ,x,y u为二维随机向量(x,y)的联合密度，-0,其他则A 必为(B).A.0 B.6 C.10 D.16解：同上题类似3 27.设(X,y)的密度函数为/(x,y)=5 盯 4 2,0 3 4 1,则区 冷在以。，其他(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为(C).A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8解：以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三

35、角形内，密度函数解析式不唯一。以(0,0),(0,1),(2,1)为顶点的三角形内，f(x,y)=-xy2以(0,1),(2,1),(0,2)为顶点的三角形内，f(x,y)=0所以，p=xy2d y=0.68.设（X,r）的联合密度函数为1 ,1-,1 x +00,一 y xf（x,y）=2x2y x0,其它判断x与y是否相互独立.解:根据课本62页定理1,先求（x）J y（y）,然后看（x）4（y）=/（x,y）是否成立。经判断，不独立9.一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3,从袋中随机取出2个球，令X、y分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（X,y）的联合分布列.解：根据实际意

36、义得：p x=ly=l=0 p x=3 y=3 =0其它概率直接求即可。X123101/61/1 221/61/61/631/1 21/6010.设随机变量x和y的分布如下:X-1 0 1 Y0 1Pj_4 2 4 Pj_ j_2 2又已知P x y =0 =1,试求（X,丫）的联合分布，并判断x和y是否独立.解：由尸 X y =0 =l得:p x=-ly=l=0,p x=ly=l=0根据联合分布和边缘分布的关系，p y=l=l/2,得p x=0y=4 =l/2p x=0=l/2,得 p x=0y=0=0,p x=l=l/4,得 p x=ly=0=l/4p x=-l=l/4,得 p x=-l尸

37、0=l/4 联合分布为：因为 p x=0y=l=l/2,而 p x=0 p y=l=l/4,所以 X,Y 不独立11.设（x,y）的分布列如下，写出x与y的边缘分布.（x,y）(0,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)p1/61/31/1 25/1 212.设二维随机变量（X,的密度函数为解:木艮据联合分布和边缘分布的关系得：X-1 0 2Y0 1 3Pi.5/1 2 1/6 5/1 2P.,7/1 2 1/3 1/1 2/(x,y)=0,y 0其它求常数c及边缘分布密度函数.解：考查二维随机变量密度函数的性质及密度函数与边缘密度函数的关系由 r/（X，y）dx dy =l得:r C x e

38、-%x dy =lJ-00 J_8 J。JO所以C=1边缘密度公式：/y（y）=J：（x，y）dx /x（x）=J：（x，）dy带入得：/x U）=?.I：,A（,）=（7+1 F ,v01 u ,x-u o ,y 013.设二维随机变量（x ,y ）的密度函数为x2+x y ,0 x l,0 l =J：（x2+j x y）d y d x =6 5/7 214.独立投掷一枚均匀的骰子两次，记B、C为两次中各出现的点数，求一元二次方程X2+BX+C=0有实根的概率和有重根的概率.解：方程有实根即l-CN O o）N 4C,参看选择第二题，样本点数为1 9,故P=1 9/3 6.方程有重根即B?4

39、C=0O8 2=4 C,样本点为2个，P=2/3 6.15.证明二维正态随机变量（x,y）相互独立的充要条件是夕=o.证明：参见教材6 1页例3.16.设G是由直线y =0,x +y =8及x =0所围成的三角形区域，二维随机变量（x,y）在G上服从均匀分布，求：（1）（x,y）的联合概率密度；（2）x,y的边缘分布密度函数；(3)条件密度 fYi X(y|X)和 y (x I y)解：(1)由均匀分布的定义(6 4页例6),D 为平面上面积为A的有界区域.L (x,y)e。A x，y)=0,其它求区域的面积A=32,所以/(x,y)=宜 50 其他(2)边缘密度公式：fY(y)=f(x,y)

40、dx fx(x)=f f(x,y)dy,将密度函J-8J D C数带入得/、-0 c x 8/、:/x(x)=32,4(y)=320 其他 00 y 8其他(3)条件密度公式:源(小 人 常1 7.设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为4和%的泊松分布，求Z=X+Y的概率分布.解:P(X=O=?-4,P(Y=A)=军 乜，k=l,2,PZ=k=PX+Y=k=PX=i,Y=ji+j=k=E P X=iP y=j=吟eM/+j=k i+j=k J 一十4 二空-_ 十(M比廿上九乜h i!伙 i)!)k=中)e+2/k!=(4+4)1 i=ok!即Z服从参数为4+4的泊松分布.1 8.设(x,

41、y)的概率分布为：X-112-15/202/206/2023/203/201/20求：Z1=x+丫利z2=x y的分布歹！J.解：考查离散型随机变量函数的分布，参看课本6 7页例1Z=X+Y-2 0 1 3 4P5/20 2/20 9/20 3/20 1/20Z2=XY-1-2 1 2 4P2/20 9/20 5/20 3/20 1/201 9.(系统管理)设某系统乙由两个相互独立的子系统乙与心连接而成，已知乙与4的寿命(单位：年)分别为随机变量x与y,它们的分布密度为/x(x)=0 x 0fY(y)=00,y 10.解：(1)串联的情况。由于当匕和J中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时

42、L的寿命为Z=min(X,Y)不难求得X与分布函数分别为J l-e-,x 0 y 0o,x 0 o,y 0于是Z=min(X,K)的分布函数B Q)=P Z z=Pm i n(X,y)z=1-P X z,Y z=i-P X zP Y z1 _e-(a+fi)z=1-(l-&(z)(f(z)=u，z 0z 0Z=min(X,K)的密度函数卜。+夕)6-3叱zo Z)o,z wo(2)并联的情况。由于当且仅当L和心都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)其分布函数Fz(z)=P Z z=P m a x(X,Y)z=P X zP Y 00,z 0时Z的密度函数为/z（z）=

43、fx（z-y）fY（y）d y=ae-az-y）/3eyd y=a/3e-az 屋 时/，d y=_ d肌）当Z W O时&（力=0,所以a+/30,（e-a z _ e“）z 0第四章习题解答1.设随机变量X B(3 0,-),则 E(X)=(D).6E(X)=30 x，=52.已知随机变量X 和 y 相互独立，且它们分别在区间-1,3 和 2,4 上服从均匀分布，则E(XY)=(A).A.3；B.6；C.10；D.12.E(X)=IE(Y)=3因为随机变量X和Y相互独立所以E(XY)=(%)(/)=33.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望

44、E(X 2)=18.4X B(10,0.4)E(X)=4Q(X)=2.4E(X2)=(E(X)2+D(X)=18.44.某射手有3 发子弹，射一次命中的概率为：，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽.设表示X耗用的子弹数.求E(X).解：_3_1/9-X_ 1 2 P 2/3 2/92 2 1 13E(X)=-+-x 2 +-x3=3 9 9 95.设X 的概率密度函数为求E(X),E(X2).x,0 x 1/(x)=2-x,1%20,其它解：E(X)=xf(x)dx=x1 dx+j x(2-x)dx=1,E(X2)=x 2/*)dx=f%3dx+f f(2 x)dx=(.6.设随机向量

45、(X,的联合分布律为:求 E(X),E(Y),E(XY).解：X|-1 2-P 065 035(X)=-0.65+0.35x2=0.05.Y|-1 1 2-P 04 025 035(/)=-0.4+0.25x1+0.35x 2=0.55E(Xy)=(-l)x(-l)xO.25+(-l)xlxO.l+(-l)x 2x0.3+2x(-l)x 0.15+2x1x0.15+2x2x0.05=-0.257.设二维随机向量(X,7)的联合概率密度为f(x,y)=0,0 xy其它求(1)E(X+Y);(2)E(XY).解：(X+Y)=(x+y)f(x,y)dxdy=(J(x+y)eydy)dx=3E(XY)

46、=(盯)/(x,y)dxdy=(xyvdy)dx=38.设随机变量X 与 Y相互独立，且。(X尸1,D(Y)=2,则ZXX-r)=3.o(x-y)=o(x)+o(y)=39.设正方形的边长在区间0,2 服从均匀分布，则正方形面积A=x2的方差为64/45_.4 1 必”、1/2,0 x(%)=-=-,X 的密度函数 x)=12 3 0,其他7)1 4E(X2)=(X)2+)(X)=l+-=-.E(X，)=Z x*4*7f(x)dx=x4dr=yD(X2)=(X4)-E(X2)2=y-(1)2=|10.设随机变量X的分布律为X I -1 0 1 2P 1/5 1/2 1/5 17 10求 D(X

47、).解：O(X)=E(X 2)_(E(X)2,(X)=-l x|+0+l x|+2 x=l,i i i 4(X2)=(-l)2x-+0+l2x-+22x 5 5 10 5,4 1 19D(X)=(X2)-(X)2.11.设随机变量X的概率密度函数为/(x)=g e T H,求。(X).解：(X)-xf(x)d x-X d x -0,E(X2)=x2f(x)d x=21x2e-xd x=2,O(X)=E(X 2)(E(X)y =2.12.设随机变量x,y相互独立，其概率密度函数分别为l x 2其它/y ()=，X,fx(x)=00,其它c o v（x,r）=p x y j o（x）z）（y）=i

48、14 .设二维随机变量(X,丫)的联合密度函数为|TTTT上,、-s i n(x+y),0 x,0 y /(x,y)=(2 2-20,其它求 c o v(x,y),PXY,解:E(X)=xf(x,y)d xd y=g f f x s i n(x +y)d xd y=?,E(X2)=f/a,y)d xd y=-j x2 s i n(x +y)d xd y(c o s x+s i n x)d x=2+/-2,1 j rD(X)=E(X2)-E(X)2=；7/+2.16 2r r I j r由对称性 E(y)=E(X)=j,D(y)=D(X)=2+-2.E(XY)=匚(xy)f(x,y)d xd y

49、=g f f 3)s i n(”+y)d xd y=，c o v(X,y )=E(XY)-E(X)E(Y)=()2=-O.O4 61,PXYc o v(x,y)V b(x)o(y)=丁 -()2 J I、/+一 为=-0.24 54.15.设二维随机变量(X,Y)有联合概率密度函数1(x +y),0 x2,0 4y4 2f(x,y)=(y)=9,cov(x,z)1P x z/D(X)D(Z)317.设随机变量X N(5,3),丫在0,6上服从均匀分布，相关系数0 xy=g，求(1)E(X-2Y)；(2)D(X-2Y).解：E(X-2Y)=E(X)-2E(y)=5-2x3=7,D(X-2r)=D

50、(X)+4D(y)-4cov(X,r)=O(X)+4O(y)-4Pxy yD(X)D(Y)6 2 i=3+4x-4x x V3 x V3=9.12 21 8.设二维随机向量(X,K)的概率密度为2,0 xl,0y =，。(丫)=E(Y 2)_(E(y)=J_1 o 1 ocov(x,z)_ 1Pxz JO(X)O(Z)2第五章习题解答1.设随机变量小的方差为2,则根据车比雪夫不等式有估计P|X-（%）|2）6=p|（x+r）-E（x）+（y）|69030=l-PX 9030)_ _ 尸 X-9000 9030-9000一 V900-V900=1 一(1)=1-0.8413=0.1587设发电量