2023年高考数学总复习考点突破第5讲基本不等式讲义含解析.pdf

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1、第5讲基本不等式利用基本不等式求最值配凑法求最值考我利用基本不等式求最值|互婺与换达求最值换兀法求最值利用两次基本不等式求最值基本不等式-V.考点2:利用基本不等式证明不等式考点3:基本不建中的恒成立问题与三角函数知识的结合三超:基本不等式与其他专题综 直 至 函数方程的结合与实际应用问题相结合T走 进 教 京号 石 屋 山i.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：0，h0.(2)等号成立的条件：当且仅当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时取等号.(3)其中 称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值己知x 0，y 0，则(1)如果积犯是定

2、值p，那么当且仅当_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 时，x+y 有最小值是.(简记：积定和最小)(2)如果和x+y 是定值s，那么当且仅当_ _ _ _ _ _ _时，孙有最大值是.(简记：和定积最大)。常用结论几个重要的不等式W a2+b22ab(a，b G R)，当且仅当a=时取等号.、2(2)出方(a，6 R)，当且仅当a=h时取等号.(3)(Z?R)，当且仅当a=h时取等号.（42+食2（，6同号），当且仅当a=b时取等号.考 点 探 究 题型突破考 点 1利用基本不等式求最值 名师点睛11.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑

3、常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；（2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.2.常数代换法求最值的步骤（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值.3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式

4、求解.但应注意保留元的范围.典例1.（2022河北高三阶段练习）已知实数a,b 满足条件3+3=#叱 则M+从的最小值为（）A.8 B.6 C.4 D.22.（2022湖南湖南二模）函数y =x +（x -2）的最小值为（）A.3 B.2 C.1 D.03.（多选）（2022河北石家庄二模）设正实数相，“满足，+=2,则下列说法正确的是（）A.工+1上的最小值为2 B.“的最大值为1m nC.J 互+的最大值为4 D./+2的最小值为。4442021河南平顶山模拟 若对于任意心 0,不等式7+：+%恒成立，则实数的取值范围为（）A.卜 +oo）B.（,+=0）C.（一8,1）D.（一8,1I举

5、一反=1L（2022.山西怀仁市第一中学校二模（文）函数x+S 1臼 的 最 小 值 为（）A.8B.7C.6D.52.（2022安徽高三阶段练习（文）己知x 0,y 。，2x+y=29则+2 的最小值是（）x yA.1B.2C.4D.63.（2022全国模拟预测）已知a,6 为非负数，且满足2a+6=6,则（1 +。2）（4+）的最大值为（）A.40 B.C.42 D.4 44.（2022重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a,满足+2 -2 =0,则4 a+b 的最小值是（）A.2 B.4近-2 C.4石-2 D.65.（多选）（2022河北保定一模）下面描述正确的是（）A.已知。0,b

6、0,且 a+b=l,贝 iJlogza+logzbW-ZB.函数/（x）=|lgx|,若0 a 0,y 0）,则 3x+y 的最小值为 2+2&x+1 2x+y7D.已知f +y N-x-y-p +Z u O a。,、。），则孙的最小值为正6.（多选）（2022重庆八中高三阶段练习）设。0,b0,a+b=,则下列不等式中一定成立的是（）A.+4 B.a2+b2 a b 2C.Ja +1 +yjb+N-/6 D.Z?+1 y l,则x+y+业士 的最小值为.孙一 y9.(2022天津大港一中高三阶段练习)设机0,那么7 1的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.ym n)n10.(20

7、22天津河北一模)已知。0,b 0,且a+b =l,则，的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.a+1 b+111.(2022全国高三专题练习)已知x 0,y 0,z O,x+2y +3 z =3 ,(x +y-)2+(2y +-)2+(3 z +-)2 的4 y 6 z 2x最小值；A考点2利用基本不等式证明不等式 名师点睛证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证.先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性.典例(2022全国高三专题练习)己知”

8、,4c都是正数，求证：(a+6)(成+(2)2 4 abe 1119(2)若 a+6+c =l,则-+-1-.a+b b+c c+a 2 举一反三1.（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）已知m b,。为正数.4 求。+二的最小值；a小#、丁be ac ab.（2）求证：一+Na+b+c.a b c2.（2022陕西西安工业大学附中高三阶段练习（文）已知。功。.1 4 若=2,求/+币 的 最 小 值;(2)求 证:a2b2+a2+b2 ab(a+b+l).3.(2022河南开封二模(文)已 知 瓦c w R*,且而c=L(1)求证：a2+b2+c2-+-+；a b c(2)若=b+c,求。

9、的最小值.4.(2022全国高三专题练习)已知正数，b,c 满足Q+Z?+C=3.(1)求a儿的最大值；(2)证明：ab+b3c+c3a 3 abc.考点3基本不等式中的恒成立问题 名师点睛1.已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有“M X）恒成立S X）m a x,4 勺（X）恒成立 勺（X）m i n.2.求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.典例9 rL（2。22全国高三专题练习）若对任意恒成立则实数 的取值范围是（）A.-1,+)B.3,+o o)C.,收)D.(-,12.（2022全国高三专题练习）设a 6 c,N ,且 一+

10、里2 工 恒 成 立，则”的最大值是（）a-b b-c a-cI举一反=1A.2B.3 C.4 D.5、1 9L （2021 重庆梁平高三阶段练习）已知正实数m 人满足一 +，=1,若不等式0+力之一/+4%+18-加对任a b意的实数尸恒成立，则实数机的取值范围是（）A.3,-BX）B.（f，3 C.（-，6 D.6,+o o）2.（2021浙江模拟预测）对任意正实数。力 不 等 式 字 久+幺 若 少 2 而 恒 成 立，则（）2 a+bA.实数；I 有最小值1 B.实数4有最大值1C.实数，有最小值g D.实数几有最大值33.（多选）（2022全国高三专题练习）当x 0,y 0,时，上+

11、*T/+2 m+z 恒成立，则攵的x 2y取值可能是（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.（2022全国高三专题练习）不等式,W l+g a-a?对任意正数x,y,z恒成立，则。的最大x-+2y+z-2值是.5.（2021重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x,九恒有9+卜2-个+丁），则实数”的最小值是.6.（2022全国高三专题练习）若不等式x+2 斥对一切正实数x,y恒成立，则实数。的最小值为.考点4 基本不等式与其他专题综合 名师点睛1有关函数最值的实际问题的解题技巧1 .根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.2 .解应用题时，一定要注意变量的实际意义及

12、其取值范围.3 .在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例1.（2022安徽安庆二模（文）若函数/（x）=g x-g s i n 2 x+a c o s x在（7,田）内单调递增，则实数”的取值范围是.2.2021湖北鄂东南联考访程（/1 8+1）（1+/+_?+.+/o i 6）=2 0 1 8 ”的 实 数 解 的 个 数 为.3.（2022广东高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5 人制足球场示意图，设球场（矩形）长B C大约为4 0 米，宽A 8大约为

13、2 0 米，球门长P Q 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线B C 上某点M 处 射 门（假设球贴地直线运行），为使得张角N P M。最大，则 8M大 约 为（）（精确到1 米）A.-,D如4匚匕J J 1 _ lcMA.8 米 B.9 米 C.10 米 D.11 米 举一反三1.（2022北京T 0 1 中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量。（单位：件）之间的关系为C =Q2+3OOO.设该产品年产量为。时的平均成本为了（。）（单位：元/件），则/（Q）的最小值 是（）A.30 B.60 C.900 D.18002.（多选）（2022重庆 模拟预测）已知AABC

14、为锐角三角形，且sinA=sin B sin C,则下列结论中正确的是（）A.t a n t a n C =tanBtanC B.tanAtanBtanC=tanA+t a n t a n C4C.l tan A 0，则(1)如果积孙是定值p，那么当且仅 当 正 上 时，x+y 有最小值是2、丘.(简记：积定和最小)2 如果和x+y 是定值s，那么当且仅当 st时，町 有最大值是.(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)次+2 2 灿3，6 G R)，当且仅当a=b 时取等号.(2)4/斤 代 号(a，b e R)，当且仅当a=b时取等号.(3)幺 铲 乂 2芝 j (a，Z?e R

15、)，当且仅当a=b时取等号.(4)与+京2(b同号)当且仅当a=b时取等号,考 点 探 究 与 题 型 突 破考 点1利用基本不等式求最值 名师点睛1 .通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.2 .常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式

16、与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的范围.典例1.(2022河北高三阶段练习)已知实数小 人满足条件3+3=#”则不+从 的最小值为()A.8 B.6 C.4 D.2【答案】D【解析】因为3+3=&+%2 所，当且仅当3 =3 J即a =6 时取等号，所以所以224，a+b 2,a*1 2+b2 a +b=2,当且仅当a =6 =l 时等号成立，所以6+从 的最小值为2故选：

17、D.2.(2022湖南湖南二模)函数y =x+士(x -2)的最小值为()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】因为x -2,所以x+20,一 二 0,利用基本不等式可得x+2x+!=x +2 +!-2 2,l（x+2）.-2 =0,x+2 x+2 V x+2当且仅当x+2 =1即x =T 时等号成立.1+2故选：D.3.（多选）（2022河北石家庄二模）设正实数?，满足“+=2,则下列说法正确的是（）A.上的最小值为2 B.的最大值为1m nC.J 浣+6 的最大值为4 D.的最小值为。4【答案】A B【解析】*m 0,7 2 0,+7 2 =2 ,1 -Fm（7+）n 2V）当且

18、仅当巴=,即m=1时等号成立，故 A正确；m nm +n=2 2y/nm,/.mn 1 ,当且仅当m=1 时，等号成立，故 B正确；（五+6）K 2 （右）+（6）=4,y rn+fn 0,不等式+1+&恒 成 立,则 实 数。的取值范围为（）A.卜 +oo）B.（,+8）C.（一8,1）D.（一8,IX I 答案 A 解析 由x 0,3 +3（+=j ，戈+一+3x令 r=x+p 则仑2 J =2,当且仅当x=l时，取得最小值2.x 1 X取得最大值：，所以对于任意的x 0,不等式J+；V+%恒 成 立,则 有.举一反三1.（2 02 2 山西怀仁市第一中学校二模（文）函数、=3 X+三 工

19、 X 9 的最小值为（）3%-11 3 ）A.8 B.7 C.6 D,5【答案】D【解析】因为xg,所以3 x 1 0,4 4所以 y =3 x +-=（3 x-l）+-+1 23 x-l ）3 x-l4-1=5,4当且仅当3 x-1 =即x =l 时等号成立,3 x-故函数y =3x+3 卜 的最小值为5.3 x-H 3）故选：D.1 22.（2 02 2 安徽 高三阶段 练 习（文）已知x 0,y 0,2 x+y =2,则一+一的最小值是（A.1 B.2 C.4 D.6）【答案】C【解析】解：因为x 0,y 0,2x+y=2f所以取等号;当且仅当v上 4下x 即 户1屋 1 时故选：c3.

20、（2 02 2 全国模拟预测）已知m 为非负数，且满足2 4+b=6,则（1 +）（4 +从）的最大值为（）A.4 0 B.C,4 2 D.4 4【答案】D【解析】（1 +4 2）（4+%2）=4+4.2 +h2+2 方 2 =4 4 2 +/2+tz V +4 =（2 +Z ）2+（a Z?-2）2=3 6+（a/?-2）2,又04 a b =1-2 a 8 4l（）2=2,当且仅当a =之方=3 时取“=，则3 6 +（。6-2）2 4 3 6 +（2-2）?=&,2 2 2 2 2 2 4所以当a =|力=3 时，（1 +乂4 +好 的 最大值为 詈.故选：D4.(2022重庆巴蜀中学高

21、三阶段练习)己知正实数。，人满足他+须-2 =0,则4 a+b 的最小值是()A.2 B.4 0-2 C.4 -2 D.6【答案】B2【解析】由 +2?2=0,0,b 0,且a+/?=l,则log?a+log?6 4-2B.函数/(x)=|lgx|,若0 a 0,y 0),贝 Ij3x+y 的最小值为2+2&x+I 2尤+y7D.已知d +y?-x-y-孙,+2=0(x 0,y 0),则孙的最小值为五【答案】AC【解析】对于选项 A,/0,b0,a+b=,=a+h2sjah,；.ab 4；,当且仅当 a=b=g 时取等号，；.log?a+log*=log2abMlog?=-2,；.A 正确；2

22、 2对于选项B：因为必=1,所以a+2 =a+7，又0 a 3,故 B 不正确；对于选项C,根据题意，已知3x+y=(x+l)+(2x+y)l,则口+1)+(2中)岛+熹=3+。+萼23+2立 当 且 仅 当 生 4件x+1 2x+y x+1 2x+y即x=，y=l 时，等号成立，所以3x+”2+2忘，故 C 正确;对于选项 D,f+/一 x-y-A y+2=0 n(x+y)-(x+y)=3Ay-2,令 x+y=r 0,所以 J-r z-；,所17以 3xy 2 N =xy N ,止 匕 时 4 121x+y=j，7 无解，所以选项D 不正确,xy=12故选：AC.6.（多选）（2022重庆八

23、中高三阶段练习）设。0,fo 0,。+力=1,则下列不等式中一定成立的是（）1 19 91A.-+-4 B.a +b -a b2C.J a +1+/?+1 N Y/G D .Z?+1 0,b 0,a+b=l,所以工+,=(2+口(+与=1+2 +且+12 2 +2、&*0=4,a b ya b)a b a b当且仅当e =1,即a =6 =1 时取等号，所以成立.故A正确；a b 2 a b对于B：因为。0,b 0,a+b=,所 以 必 生W)=1,当且仅当a =b =4时取等号.I 2 J 4 2所以a2+b2=(。+6)-2 a b =l-2 Z?2；成立.故 B 正确；对于 C：因为a

24、0,b 0,a+b=l,所以(a +l)+(Z;+l)=3,所以3 =(a +l)+(b +l)2 2 j(a +l)伍+1).记 =+l +J +l ,则u 0,所以2 =a +l +l +2 ja +J z?+l K 3 +3 =6 ,所以0 w 0,所以b+l 0.故D 错误.故选：A B7.（2022天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知“，匕为正实数，且。+匕=2,则 七 2+&-a b+的最小值为,此时a=.【答案】6-3 夜 ”还3【解析】4 力为正实数,且a+b =2,-a-2-+-2+-b-2 =Q+2+-b-2-+-l =2+。+力,-1d+1 =1,+2+-1-a

25、b+1 a b+1 a b +1 a Z?+l=14 介 友（“十0,+l)、)、=l +1 (3 +J2(h+)、a+-Z?+1,l +l(3 +2/2)=|2 修+1)=a当且仅当,a =7 T即a =6-3&，6=3&-4时取a +6=2故答案为：6-3&,短38.（2022浙江镇海中学模拟预测）已知x y l,则x+y+至士 的最小值为孙一 y【答案】9【解析】x+y+*x l+=x+y+孙一y4(x-l)+y (x-l)y1)+1+卜+；卜 1，9,当且仅当时等号成立，取等条件满足x y i,所以x+y+皿*的最小值为9.y=2 y-y故答案为：99.（2022天津大港一中高三阶段练

26、习）设?0,那么1 +n?4的最小值是m-n)n【答案】8【解析】解:Q m n 0,所以m-n)+n=,当且仅当帆一=，即帆=2 时取等号;421 4所以所以l+/n42(1+加 4)x 2 =3+4，27 tn m=8,当且仅当3=4 ，即”=1m时取等号，所以(6一 )产当且仅当2、”轲 取 等号;m-n)n1 +/故答案为：81 0-&。22天津河北一模）已知。，且+），则 羔+念 的 最 大 值 为【答案】I【解析】a b-1-=。+1 1。+1 1 b+1-l-+-a+1 b+1=1-F 1-=2 a+1 b+11 1a+b+1因为。0,b0,且+Z?=l,二+二+二-1 =-1。

27、+1b+)31、。+1 b+pc 12+皿12+2,ETHI所以4+1 Z?+l)号急=2-(31 V +l h+1 1 c 4。+1 /?+1)3故答案为：Ia+1 +8+1)h+l a+i_ 4-I2+2）=,当 且 仅 当+l匕+1 即=匕=；时取等.!,即 言?+白 的 最 大值为3I1a+h=211.22.全国高三专题练习)已知x 2 0,z 0,x+2 y +3z=3,.+#+(2)4)2 +(3z+?)2 的最小值:27【答案】v4【解析】由(x +；)2+(2y+3)2+(3 z +4)2 (l2+l2+l2)a +-)x l +(2y+-)x l +(3 z +-!-)x l

28、 24 y 6z 2x 4 y o z 2xr z个 、/I 1 13 s l/X +2y+3 z x +2y+3 z x+2y+3 z、_p4 y oz 2x 6 x 2y 3 z1 2y x 3 z x 3 z 2y 2 3x 2 8 1=3 +-(3 +)(3 +-)=.6 x 2y x 3 z 2y 3 z 2 4所以(X +11 )-9 +(2y+1h)-+(3 z +不1 )72 工：77，当且仅当x =2y=3 z =l 时等号成立,4 y 6z 2x 4综上，。+丁1 )29+(2+1丁“)2+(3 2+丁1 )92 的最小值 为27一.4 y o z 2x 4考 点2利用基本

29、不等式证明不等式 名师点睛证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证.先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加（有时相乘）综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性.典例(2022全国高三专题练习)已 知 都 是 正 数，求证：(l)(a +b)(ab+c2)4 abc；1119(2)若 a+6+c =l,则-+-+-.a+b b+c c+a 2【解】(a +。)(岫+c?)-4 abe=a2b+ac2+ab2+be2-4 abc-ba1-lac+c2+ab2-2bc+c2=ba-c+a(b-c,：a,E

30、c 都是正数，b(a -c P+a 伍-c l?2 0,当且仅当a =b =c”时等号成立，.(4+3(+。2)24“比.(2)-+!+=-r(6Z +f e)+(/?+c)+(c +a)l f +!+a+b b+c c+a 2LV，+b b+c c+a)_ 1 3 +(a +Z?+Z?+c+(6+。+仃 +。+(c+a+2 _ (Z?+C a+b)(c +a b+c)a+b c+a)、1 J c a-b b+c 八 b+c c+a 八a+b、-3+2,-+2 J-+2 J-2 1 v h+c a+h c+a h+c v a+b c+a iQ=5(3 +2 +2 +2)=5，当且仅当 a =6

31、 =c=!时等号成立，；.+一+一 小3 a+b b+c c+a 2 举一反三1.（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）已知m b,c 为正数.求a+方4的最小值;/c 4、-r be ac ab、.(2)求证：一+一a+b+c.a b c【解】（1）因为QH2 +x x =1 当且仅当、。=2 时等号成立，4所以当。=2 时，。+二 的最小值为3.erdi以 b e ac _ be ac _ 1-T工 用 收 ab(2)因为一+2 J-=2c,H3 4-2 afa b a b b cbe ab+2b,bba c所以三式相加 得 唁+*分2（7+0,所以+华+%Za+b +c,当且仅当 a

32、=8 =c”时等号成立a b c2.（2022陕西西安工业大学附中高三阶段练习（文）已知4 0,人 0.1 4 右+=2求 才+巧 的 最 小 值;(2)求证：a2b2+a2+b2 ab(a+A +1).【解】（1）因为 0,力。，所以4 +1 0 力+1 （）,乂a+b=2,所以 +l+b+l =4,所以1 4 1 1 4、1/一 山 川 人 +1 八 9;+-r =-(:+)(a +D +S+l)=：5 +-+-(5 +4)=-1 +。+b 4 1 +a 1 +b 4 a +1 b+l 4 4,1f +1 4(+1)a-当且仅 当-+-1 =b-+-,即；3 时取等号，所以丁二1 +三4

33、的最小值 为9:J c,5 1+b 41 a+b=2 h=-3(2)因为，/+廿 22 a b，a2h2+h22ab21所以，由，同向不等式相加可得:2a2b2+2a2+2/?2 2a2b+2ab2+2ab,当且仅当 ab=a=b,即 =b =l 时取等号.即 a2b2+a2+h2 ah(a+h+l)成立.3.(2022河南开封二 模(文)已知。也且。c=l.求证：cr+b2+-+-+-,a h c 若 a=b+c,求 a 的最小值.【解】(1)11H1 abc abc abc f,F =-+-1-=be+ac+ababc a b c b2+c2 a2+c2 a2+Z?2)/22 2 2当且仅

34、当。=人=。=1时等号成立.(2)依题意。，c R,abc=,bc=,a所以a=b+cN 2/=2,当且仅当b=c时等号成立.32所以 522,0 2 2)，2 2所以。的最小值为2品 此时 =2=2c=2弓.4.(2022全国高三专题练习)已知正数。，b,。满足a+0+c=3.(1)求必?的最大值；(2)证明：a,b+b3c+c3a 3abe.【解】(1)由 +U+c 231abc,当且仅当。=。时，取得等号.又 a+力+c=3,丹f 以=1.故当且仅当。=/?=c=l时，出?c取得最大值1.(2)证明：要证 03b+b%+c3a 3abc,需证+3.cabN2 标 +2 后 +2 晤=2(

35、a+b+c)=6,2 12 2即 幺+3,当且仅当a=b=c=l时取得等号.故a3b+b3c+c3a 3abc.cab考 点3基本不等式中的恒成立问题 名师点睛1.已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有。如）恒成立C7X）max,。勺5）恒成立 0 勺（X）m in.2.求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.1典例1.（2022全国高三专题练习）若对任意x 0,a2xx2+X+1恒成立，则实数。的取值范围是（）A.-1,400)B.3,+00)C.D.(-,1【答案】c2x2,犯2【解析】解：因为x 0,所以/+尤+1C+l+lX 3,

36、当且仅当工=一即九=1时取等号，+1X因?r2为之二7 恒成立，所以。之；，即x-+x+l 3泗故选：C2.（2022全国高三专题练习）设a b G,n e N,且一a-b+/2 _ 2 恒成立，则的最大值是（b-c a-c)A.2 B.3C.4D.5【答案】c 襟析施.1 4 1 /筌价干（一1，八 kJ W H I J J Ml Ja-b b-c a-cb b-c)pu 里()/，+至a-h hc)a h h c)卜 b-c)=11+匕+处 上 也 11+小 0.匕.i=1 1 +2质a-b b-c a-b b-c故得到11+2屈2 2,%则的最大值是4.故选：C.举一反三1.（2021重

37、庆梁平高三阶段练习）已知正实数。_ 1 Q。满足一+y=I,若不等式a+之 一 f+4 x+1 8 z对任a b意的实数X恒成立，则实数，的取值范围是（)A.3,+oo)B.(-oo,3C.(-oo,6D.6,+oo)【答案】D1 Q【解析】因为。0,b 0,-+-=1,a b所以 a+b=（4+。）b 9Q=104-+10+2a b1 9一+一a b1 6,当且仅当2 =也，即a=4,6=12时取等号.a b由题意，得 16之 一 f +4x+18 m,即x2 一41一2 之一相对任意的实数x 恒成立，又f -4 x-2 =（x-2）2-6 -6 ,所以-6 2-tn，B|J m 6.故选：

38、D.2.（2021浙江模拟预测）对任意正实数“为 不 等 式 字 义+幽 守 2/区恒成立，则（）2 a+bA.实数之有最小值1B.实数4 有最大值1C.实数，有最小值3【答案】C n u ”a+b 1 2ab（l-2）【解析】三a+b 2ab _（一 人）2 a+b 2（a+b）0,实数几有最大值3a+b当。=匕时、不等式恒成立;lab/a b+b _ 2 友当标 b时，2a+b 2ab m+刷2 a+b2/ab j 2ab 1 ,n,口 小,_、,2ab 2*jab I,.1（6 +历 2 V砺=5,“=时等弓成立 b，故（&+历 2。，y 0,2 时，苧会-+2利+%恒成立，则人的取值可

39、能是（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】AB【解析】因为x 0,y o,所以2+f z 2 j 型-f =2,x 2y V%2y当旦仅当x=2 y 时，等号成立.因为 一 /+2m+%=（zn 1）+&+I-苏+2恒成 立,贝必+1 0,y 0,则d-孙+/=(x-y)2+孙 0,2 2则八+力，即 7M,x2+y2又无2 _ 肛+y211 _ _0 9x+y因为/+/2 2孙，所以1 一冷 5,所以7-0,y0/.x+y 0 x+2yjx2y.x+2y x+yx+yx+2j%2y、x+yx+2”2y、x+y Jmax=2,二.a 的最小值为2max故答案为：2考点4 基本不等式与其他专题

40、综合 名师点睛有关函数最值的实际问题的解题技巧1.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.2.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.3.在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.故答案为:逑4夜丁，亍2.2021湖北鄂东南联考 方程(/i8+l)(l+f+短+.+/016)=2 018”的实数解的个数为 答案 1 解析 由题意知x0,.,.(x2OI8+1)(1+x*2+3x4+.+x20,6)2Vx2 0,8-lx|(2A/l-.r0lf+典例1.(2022安徽安庆二 模(文)若函数/(x)=g x-；sin2x+acosx在(f

41、o,g o)内单一调递增，则实数”的取值范围是.【答案】-殍，华【解析】因函数/(x)在(-8,+2。)内单调递增，则V xeR,/(x)=-|co s2 x-asin x 0 ,4 2 4 c 2即 asinx 0时，tz4-V r2 ,3 3sinx 3 3sinx 3 sinx 3当且仅当2sinx=一,即sinx=比时取则有逑，sin x 2 34 7 4 2 2 1 4 r-当sinx-sin x +-,而一sinx+-=(-2sinx)+-J2,3 3sinx 3 3sinx 3-sinx 3当且仅当-2sinx=一，即sinx=-受 时取=”,则有Z 2-迪，-sinx 2 3综

42、上得，一逑谑3 3所以实数。的取值范围是-半，半 .2后即+2叱呵)=2 0 1 8/3 7,当且仅当工=1 时等号成立，因此实数解的个数为1.3.（2022广东高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5 人制足球场示意图，设球场（矩形）长8 c 大约为40米，宽 A 8大约为20米，球门长尸。大约为4 米.在某场比赛中有一位球员欲在边线8 c 上某点M 处 射 门（假设球贴地直线运行），为使得张角NPMQ最大，则 BM大 约 为（）（精确到1米）DMA.8 米B.9 米C.10 米 D.11

43、米【答案】C【解析】由题意知，P B =8,QB =12,Q 1O设乙P M B =a,/Q M B =f3,B M =x,则 tana=2,lan =匕，所以XX12 _ 84x 4 4 1 QZLtanZPMe=t a n(/?-).-=7-=-当且仅当、=工，即 片 廊 时取X*2.1 X-X X X V V等号，又因 为 回”1 0,所以BM大约为10米.故选：C.举一反三1.（2022北京 0 1 中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量。（单位：件）之间的关系为C =讪Q 2+3O O（）.设该产品年产量为。时的平均成本为/（Q）（单位：元/件），则/（Q）的最小

44、值 是（）A.30 B.60 C.900 D.1800【答案】BI 解析】/*二然吧靠+等22可且仅当检警即当。=100时等号成立.所以/（。）的最小值是60.故选：B.2.（多选）（2022重庆模拟预测）己知AA 8 C为锐角三角形，且sinA=sin 3 sin C,则下列结论中正确的是（）A.tan B+tan C=tan Stan CB.tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC4C.1 tan A 2VtanBtanC 解得 tanBtanC4 当且仅当 tan8=tanC=2 时取等号，tan A=-tan（+C）=-ta n +3 n l,所以tanA+tanB+ta

45、nC=tan A tan 8 tan C,故 B 正确；）1-tantanC,tan B tan C 1 ,八 八，,一“八 1 1tanA=-=1+-,由 tan B tan C N 4,所以0 -,所以得tan Btan C-1 tan Btan C-1 tan BtanC-1 31 4l在 4 V 上，且对角线MN过点C,已知A8=4,AD=3,那么当8M=时，矩形花坛的AMPN面积最小，最 小 面 积 为.【答案】4 48【解析】解：设=x，则x=二3三，则 AN=3+1上2,4+x AN x则=(x+4“3+J =3x+、+24.2,3x-、+24=48,48当且仅当3/=一,即x=4 时等号成立，故矩形花坛的4M PN面积最小值为48.x即当5M=4 时，矩形花坛的4 0P N 面积最小，最小面积为48.故答案为：4：48.