2023学年上海市宝山区市级名校高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角 条形码粘贴处o2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1,函 数/（力=卜-；405%4且XH0）的图象可能为（）2.如图，在平行四边形A B C D中，。为对角线的交点，点P为平行四边形外一点，且AP|。8,则 而=_ 3 一A.D A +2 D C B.D A +D C_ 3 一 1 一C.2 D A+D C D.D A +-DC3.在中，A 8=3,A C =2,A B A C=6 0,点。，E分别在线段A 3,C D上,且B O =2A D,C E =2 E D,则 丽 丽=().A.-3 B.-6 C.4 D.94.在中，B

3、 D =-DC,则 明=()A.-A B +-AC B.-A B+-A C4 4 3 31 2 1 2 C.-A B+-A C D.-A B A C3 3 3 35.下列函数中，在区间(0,+8)上为减函数的是()A.y=y/x+l B.y=x2-l C.)=(3)D-=l og2 x6.一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为()A.甲7件，乙3件 B.甲9件，乙2件 C.甲4件，乙5件 D.甲2件，乙6件7.一个正三角形的三个

4、顶点都在双曲线f+2=i的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数。的取值范 围 是()A.(3,+o o)B.(V,+o c)C.卜0,-石)D.(-00,3)8.已知正三棱锥A 的所有顶点都在球。的球面上，其底面边长为4,E、F、G分别为侧棱AB，A C,A D的中点.若。在三棱锥A-8 8内，且 三 棱 锥 的 体 积 是 三 棱 锥。-5 c o体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O-E F G体积的比值为()A.6岳 B.8岳 C.12岳 D.24后9.已知 a=(c o s a,s i n a),b=(c o s(-6Z),s i n(-6Z),TT那么 a*b=0 是 a

5、=k兀 H (k Z)的(4)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件/(2)1210.已知函数7(*)=/+加+0 其中。沙 4?c ,记函数/(x)满足条件：_2)4为事件A,则事件A发生的概率为_45B.-838211.执行如图所示的程序框图，若输入a =In 10,b =l g e,则输出的值为()开始/输 入a,b/是,1.aQb=a一r aQ b-a b/输 出QG)6/A.0 B.1 C.2 Ig e D.21g l 012.若向量而=(0,2),3=(百,1),则与2正+7 共线的向量可以是()A.(73,-1)B.(-1,73)C.(-73,-

6、1)D.(-1,-73)二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.设函数/(x)=x|x-a|,若对于任意的/，X2G2,+O O),x x2,不等式】-。恒成立,则实数aX X2的 取 值 范 围 是.14.函数,/(%)=|/一1|+/+丘+9在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数Z的取值范围是.15.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4 道题中随机抽取2 道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2 道题小 李 都 会 的 概 率 为.16.已知抛物线C：V=4 x的焦点为尸，过点尸且斜率为1 的直线/交抛物线C 于 M,N两点，=幽 土 幽，-2若线段MN的垂直平

7、分线与x轴交点的横坐标为“，则力的值为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生10()人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6 人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4 人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.(1)设事件A 为“选出的这4 个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有“，求事件A 发生的概率；(2)用 X 表示

8、抽取的4 人中文科女生的人数，求 X 的分布列和数学期望.18.(12分)有 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4 元；乙公司无底薪，4 0 单以内(含4 0 单)的部分送餐员每单抽成6 元，超过4 0 单的部分送餐员每单抽成7 元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50 天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的50 天送餐单数中随机抽取3 天，求这3 天的送餐单数都不小于4 0 单的概率；(2)假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率

9、视为概率，回答下列两个问题：求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.19.(12分)在四棱锥P ABCD中，底面ABC。是平行四边形，底面ABCD,PD=AD=1,AB=sin ZABD=-(1)证明：PABDt(2)求二面角A 心 一。的正弦值.20.(12分)选 修 4-4：坐标系与参数方程x =2c o s 在平面直角坐标系x O y 中，已知曲线C 的参数方程为 （a为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x 轴的y=sma正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为夕c o s（

10、e-工）=2 0,点 P为曲线C 上的动点，求点P到直线14距离的最大值.21.（12分）为提供市民的健身素质，某市把A B,C,O 四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从A 民 C,。四场馆的使用场数中依次抽取4,4,4，%共 25场，在生,出，。3，。4 中随机取两数，求这两数和自的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x,其相应维修费用为丁 元，根据统计，得到如下表的数据:X10152025303540y100001176113010139 80147711544016020yZ=0.1/343+22.9

11、 93.494.054.504.9 95.495.9 9用最小二乘法求2与x的回归直线方程;缶 叫 做 篮 球 馆 月 惠 值，根据的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时，的值_ 7 7 (X；X)(Zj-Z)参考数据和公式：z =4.5,Z(七一x)2=700,Z(%x)(z L z)=70,e?=20 5=-=，a=1=122.(10 分)已 知/(x)=|2x +5|-（1）求不等式/（X）.的解集;4 4（2）记.f（x）的最小值为加，且 正 实 数 人 满 足-+-=a +6.证明：a+b.2.a-inh b-ma参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出

12、的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】因为/(一x)=(x +L)c o s x =(x-1)c o s x =-/(x),故函数是奇函数，所以排除A,B；取1=万，贝|X Xf(7 T)=(-)CO S 7 t-(7 1-)=1,由余弦定理求得。C的值，由BEAB (B D+D E)A B =B D-A B+D E-A B =BDAB 可得结果.【详解】根据题意，A8=3,8O=2A。，则 A=1在AAOC中，又AC=2,44C=60则。C?=AD?+AC2-2A。.occos ZR4C=3则 D C =6则。，45则 丽 丽=(而+诙)南=丽 丽+诙 丽=丽 丽 =3x2x

13、cosl80=6故选：B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.4.B【解析】在AB,AC上分别取点石、八 使 得 荏=2丽,/=工 方，2可知AEI不为平行四边形，从 而 可 得 到 而=立+而=而+上 恁，即可得到答案.3 3【详解】如下图，B D =-D C,在A8,AC上 分 别 取 点 区 产,使 得 荏=2而，=!户3,2 2_ _ _ _ 9 _ _ _则A E D F为平行四边形，故4方=斯+4户=44+二 抚，故答案为B.3 3【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题.5.C【解析】利用基本初等函数

14、的单调性判断各选项中函数在区间(0,+8)上的单调性，进而可得出结果.【详解】对 于A选项，函数y =J 7 T T在区间（0,+。）上为增函数；对 于B选项，函数.丫=/一1在区间（0,+8）上为增函数；对 于C选项，函 数y =在区间（0,+8）上为减函数；对 于D选项，函数y =l o g2 x在区间（0,+8）上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.6.D【解析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.【详解】4%+7y 50,设购买甲、乙两种商品的件数应分别X,y利润为z元，由题意.z =x

15、+1.8y,、x,yeN ,画出可行域如图所示，【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x,）是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.7.D【解析】因为双曲线分左右支，所以。0,根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1+7,也3将其代入双曲线可解得.【详解】因为双曲线分左右支，所以。0,根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1+/,弓，)(f0),将其代入双曲线方程得：(1+。2 =19 2即 1 ，由，0得 a v 3.3故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.D

16、【解析】如图，平面截球。所得截面的图形为圆面，计算=40”,由勾股定理解得尺=逐，此外接球的体积为如 反 万，三棱锥O-E F G 体 积 为 立，得到答案.3 3【详解】如图，平 面 瓦 G 截球。所得截面的图形为圆面.正三棱锥4-8 8 中，过 A 作底面的垂线A”，垂足为H,与平面EF G交点记为K,连接“、H D.依题意VA_BCD=4V_B8,所以A =4 0 ,设球的半径为R,在 R t Q H D 中,O D=R,H D=&BC =正,O H=1 O A=0,3 3 3 3由勾股定理：R 2=述,解得R =a,此外接球的体积为生色不，I 3 J 3由于平面EF G H平面BC D

17、,所以A H，平面E F G,球心。到平面EF G的距离为K O,则 KO=Q A-必=。4-以=/?-2/?=0 =如，2 3 3 3所 以 三 棱 锥。一EFG体 积 为L x，x x 4 2 x =也，3 4 4 3 3所以此外接球的体积与三棱锥O -EF G体 积 比 值 为24后.故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球 体 积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.B【解 析】由。石=0,可 得cos2a=0,解出即可判断出结论.【详 解】1-解：因为 a=(cosa,sina),匕=(8 5(。)2亩(一。)且 石=0/.coso cos(-a)+sin

18、 a sin(-a)=cos2 cr-sin2 a=cos2a=0 T T 7 T;.2a=2k兀土一,解 得a=A7?(%wZ).2 4乃；石=0是a =%+一(左e Z)的必要不充分条件.4故选：B.【点 睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.D【解 析】/(2)12 4+2Z?+c12由 得*/(-2)4 4-2+c l lge,所以由程序框图知，输出的值为 a-?=lnlO-；=lnlO-lnlO=O.b Ige故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.12.B【解析】先利用向

19、量坐标运算求出向量2比+H,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】.1m=(0,-2),n=(V3,l)2玩+万=(省,一3)卜1,=一 今 以 一3)故 选 B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定，属于基础题，在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应，切不可错位.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.a2 时/0)=耳-4在 。,+8)上单调递增；在 2,a)上单调递减，因此实数a的取值范围是a 2考点：函数单调性【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数/(x)=|/-1 1+/+丘+9在区间(0

20、,3)内有且仅有两个零点,1 0 小 X2+|X2-1|+9 7”(0，1-k=!-!=%,X 2 x +(1,3).X1 0-,X G (0,1 等价于函数y =-h g(x)=1 *恰有两个公共点，2 x +,X G (1,3)作出大致图象:要有两个交点，即一左8,学所 以%6（-事，-8）.故答案为：,-8 j【点 睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.11 5.-2【解 析】从四道题中随机抽取两道共6种 情 况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详 解】由题：从 从4道 题 中 随 机 抽 取2道

21、 作 答，共 有 仁=6种，小李会其中的三道题，则 抽 到 的2道题小李都会的情况共有C；=3种,C2 1所以其概率为C；2故答案为：!【点 睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.1 6.1【解 析】设M（西,y）,N（X 2，%）,写 出 直 线 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 后 应 用 韦 达 定 理 求 得%+%,由抛物线定义得焦点弦长，求得，再 写 出MN的垂直平分线方程，得 a,从而可得结论.【详 解】抛 物 线C:/=4x的焦点坐标为（1,0）,直 线/的 方 程 为y=x-l,V =x-l /、/x据 2 （得V

22、一6 x +l =0.设y=4 xE MF +NF 1 z 贝！J%1 +x2=6,X +%=4,h-=(%)+l +x2+1)=4.线段MN垂直平分线方程为y2 =l x(x 3),令 y =0,则 x =5,所以a=5,所以。一方=1.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。41 7.(1)(2)见解析【解析】(1)按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1 人，女生3人，再利用古典概型求解即可(2)由超几何分布求解即可【详解】(1)因为学生总数为1 0 0 0

23、 人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取1 0 人，则抽取了理科男生4人，女生2 人,文科男生1 人，女生3人.所以P(A)=Cc卜C _ 4 04,2 1 0(2)X 的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=_ 16,P(X=1)=1-2 ,P(X=2)=3P(X=3)=G 1)J _一 方X的分布列为X0123P6231 0130E,C 1 ,1c 3 c l 6E X=0 x F l x I-2 x-F 3 x =一6 2 1 0 3 0 5【点 睛】本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题2 91 8.(D (2)分 布 列 见 解 析,E(X)=2 3

24、8.6；小张应选择甲公司应聘.【解 析】(1)记 抽 取 的3天 送 餐 单 数 都 不 小 于40为 事 件A，可 得P(A)的值.(2)设乙公司送餐员送餐单数为“，可 得 当。=3 8时，X=3 8 x 6,以此类推可得：当。=3 9时，当。=4 0时，X的 值.当a =4 1时，X的值，同理可得：当a =42时，X .X的 所 有 可 能 取 值.可 得X的分布列及其数学期望.依 题 意，甲公司送餐员日平均送餐单数.可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出.【详 解】解：(1)由表知，50天 送 餐 单 数 中 有30天 的 送 餐单数不小于40单，记 抽 取 的3天 送 餐

25、 单 数 都 不 小 于40为 事 件A,生=至G 1 4 0则 P(A)=(2)设乙公司送餐员的送餐单数为，?，日 工 资 为X元，则当=3 8时，X=38x6=2 2 8；当=3 9时，X=3 9 x 6 =2 3 4；当=4 0时，X=4 0 x 6 =2 4 0；当=4 1 时，X =4 0 x 6 +7 =2 4 7；当“=4 2 时，X =4 0 x 6+1 4 =2 5 4 .所 以X的分布列为X228234240247254P_531 0551W(X)=2 2 8 x l +2 3 4 x +2 4 0 x 1 +2 4 7 x l +2 5 4 x =2 3 8.6.5 1

26、0 5 5 1 0 依 题 意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为3 8 x 0.2 +3 9 x 0.2 +4 0 x 0.3 +4 1 x 0.2 +4 2 x 0.1 =3 9.8,所以甲公司送餐员的日平均工资为8 0 +4 x 3 9.8 =2 3 9.2元，因 为2 3 8.6 8 0,A。，结合证得50,平面尸AD，由此证得Q4 J _ 8。.(2)建立空间直角坐标系，利用平面A B P和平面P B C的法向量，计算出二面角A依-C的余弦值，再转化为正弦值.【详解】(1)在A 3。中，由正弦定理可得:ABADsin ZADB sin ZABDsin ZADB=-B sin/4/),ZA

27、DB=90。.BD L A D,ADPD 底面 ABCD,P D LB D,.班)，平面P AD，:.P A B D；(2)以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，；PD=AD=1,AB=5：.BD=2,A(l,0,0),8(0,2,0),C(-1,2,0),P(0,0,1),A B =(-1,2,0),CB=(1,0,0),PB=(0,2,-1)设平面4 5 P的法向量为3=(x,%z),由n-AB Q可得：n-PB-0-x+2y =0 _一。令 日,则-2)，设平面P 8 C的法向量为诟=(X，y,z J,由，m_ -C一B =0可得:fn-PB=0%,=0 _,令y=l,则加=(o,

28、i,2),2y 4=0设二面角Ac的平面角为e,由图可知。为钝角,m-n则 c o s =|c o s|-=53#)石Vsin =Vl-c o s2 =j,故二面角A心 一。的正弦值为g.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.(1)+y2=1,x+y =4(2)d=2 7 2+4 J max v 2【解析】试题分析：利用夕C OS。=x,Qsin 0=y将极坐标方程化为直角坐标方程：c o s(。一2)=2 7 2 化简为pc o sO+psin O4=1,即为x+y=l.再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为(2c

29、 o sa,sin a),得 P 到直线1的距离/12c o sa+sin c-4 0,g(x)递增，当 x e 20,+,g(x)0,g(x)递减所以约惠值最大值时的x 值为20【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.f 13 722.(1)|尤|石，一 万 或 工.一.；2)见解析【解析】(1)根据/(x)=|2x+5|-x-g ,利用零点分段法解不等式，或作出函数f(x)的图像，利用函数的图像解不等式；4 4(2)由(1)作出的函数图像求出f(x)的最小值为-3,可知，篦=3,代入-+-=+。中，然后给等式a m b b-

30、m a两边同乘以G+人 再将4 a+4。写成(。+3份+(3。+加 后，化简变形，再用均值不等式可证明.【详解】(1)解法一：1%,一大时，f(x).A,E P x .1,解得及，；2 2 25 1 9 7 12 x 一时，f(x).1,即 3XH.1 9 解得,x ；2 2 2 6 23。.1时，即X+U.1,解得2 2 2综上可得，不等式/(X)，的解集为 尤1%,或x1 9 5 1解法二：由/(x)=|2x+5|-x-二=3x+二，一二x二，作出 f(x)图象如下:11 2 2 2 2由图象可得不等式/W.1的 解 集 为x I%,兰 或 .一7611252(2)由/(x)=|2x+5|

31、一3%+|，-11%451x H-,x.-,2 2%,2 21所以/(X)在、8,一g上单调递减，在 6,+可上单调递增,正实数。力满足4所以Z n in(X)=m =/4-1-Q+3力 b+3 a=a+b,则44-1-。+3Z 7 0+3。(Q+。)=(+力2 ,Bn(1 1 Y,0八 ,0、c a+3b b+3a/ft?+3/?Yb+3a即|-+-|(a+3份+3 +3a)=2+-+-.2+2J-=4,a+3b b+3a)b+3a a+3b 丫(6+3。+(当且仅当段改即a=人时取等号)故a+心2,得证.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质和均值不等式的运用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于中档题.