电磁场课后习题ppt课件.ppt

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1、电磁场课后习题网上答疑电磁场课后习题网上答疑李宝华李宝华 东北电力大学东北电力大学电器工程学院电器工程学院 电自电自036班班学号：学号：0314619目目 录录 第第 二二 章章 恒定磁场恒定磁场 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 第第 三三 章章 恒定磁场恒定磁场 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-18第 二 章 恒定电场 2-1电导率为电导率为 的均匀、各向同性的导体球，其表面上的电位为的均

2、匀、各向同性的导体球，其表面上的电位为 ，其，其中中 是球坐标的一个变量。试决定表面上各点的电流密度是球坐标的一个变量。试决定表面上各点的电流密度 。解：解：利用利用 与与 的关系，再利用的关系，再利用 和和 的关系可以解决此问题。的关系可以解决此问题。2-2一半径为一半径为 的均匀带点球，带电总量为的均匀带点球，带电总量为Q，该球绕直径以角速度，该球绕直径以角速度 旋转。旋转。求：求：球内各处的电流密度球内各处的电流密度 ；通过半径为通过半径为 的半圆的总电流。的半圆的总电流。解：解：以球心为原点，旋转轴为以球心为原点，旋转轴为Z轴建立坐标系。球内任一点距球心轴建立坐标系。球内任一点距球心

3、处，与处，与Z轴轴 的夹角为的夹角为 ，该点运动的线速度为，该点运动的线速度为带电球的电荷体密度为带电球的电荷体密度为 利用利用 与与 的关系可得的关系可得 2-3 已知某一区域中在给定瞬间的电流密度已知某一区域中在给定瞬间的电流密度 其中其中 为常数。求：为常数。求：此瞬间点此瞬间点 处电荷密度的变化率处电荷密度的变化率 ；求此时求此时以原点为球心，以原点为球心，为半径的球内总电荷的变化率为半径的球内总电荷的变化率 。解：解：利用电荷守恒定律的微分形式利用电荷守恒定律的微分形式对点对点 ，其电荷密度的变化率为，其电荷密度的变化率为 因为因为所以所以故故解：解：在在 的范围内，选一个单位长度的

4、圆柱面，假设通过其上的漏电流的范围内，选一个单位长度的圆柱面，假设通过其上的漏电流为为 ，可以得到，可以得到2-4 同轴线内、外导体半径分别为同轴线内、外导体半径分别为 和和 ，期间充填介质的电导率为，期间充填介质的电导率为 ，内、外，内、外导体间的电压为导体间的电压为 ，求此同轴线单位长度的功率损耗。，求此同轴线单位长度的功率损耗。利用利用 ，得，得圆柱体内的功率密度圆柱体内的功率密度 由此可得由此可得 同轴线单位长度的功率损耗同轴线单位长度的功率损耗 此题也可以用建立圆柱内电位函数此题也可以用建立圆柱内电位函数 所满足的边值问题，求解出电位函数所满足的边值问题，求解出电位函数 后，利用后，

5、利用 求出圆柱内的电场强度，后面求解可与以上方法相同，求出圆柱内的电场强度，后面求解可与以上方法相同，也可以求出单位长度圆柱的电导或电阻，利用也可以求出单位长度圆柱的电导或电阻，利用 或或 去求去求解。解。2-5 内、外导体的半径分别为内、外导体的半径分别为 ，的圆柱形电容器，中间的非理想介质的导的圆柱形电容器，中间的非理想介质的导电率为电率为 ，若在内外导体间加电压，若在内外导体间加电压 ，求非理想介质中各点电位和电场强度。，求非理想介质中各点电位和电场强度。解：解：设两导体之间的楼电流为设两导体之间的楼电流为 I，由于系统的周对称性，电流密度沿径向，且只，由于系统的周对称性，电流密度沿径向

6、，且只与与 有关，由此可得有关，由此可得式中式中 为圆柱的长度。为圆柱的长度。由此可以得到非理想介质中各点的电位由此可以得到非理想介质中各点的电位 已知内外导体的电压为已知内外导体的电压为 ，可得，可得 若以外导体为电位参考点，在若以外导体为电位参考点，在 内，任一点的电位内，任一点的电位 电场强度电场强度若以外导体的电位为零，在若以外导体的电位为零，在 的非理想介质内任一点的电位的非理想介质内任一点的电位 2-6 球形电容器的内外半径分别为球形电容器的内外半径分别为 ，中间理想介质的电导率为，中间理想介质的电导率为 ，已，已知内外导体间电压为知内外导体间电压为 ，求非理想介质中各点的电位和电

7、场强度。，求非理想介质中各点的电位和电场强度。解：解：设两导体球间的漏电流为设两导体球间的漏电流为 I，由于系统具有球对称性，电流密度沿径向，且，由于系统具有球对称性，电流密度沿径向，且只与只与 r 有关。由此可得有关。由此可得已知内外导体间的电压为已知内外导体间的电压为 ，可得，可得 由此可得非理想介质中任一点的电位由此可得非理想介质中任一点的电位 电场强度电场强度 2-7 有两块不同电导率薄钢片构成一导电弧片，如图所示。有两块不同电导率薄钢片构成一导电弧片，如图所示。若若 厚度为厚度为 ，电极间电压，电极间电压 且且 。求：求：弧片内的电位分布（设弧片内的电位分布（设 轴上的电极为零电位）

8、轴上的电极为零电位）;总电流总电流I和弧片电阻和弧片电阻R；在分界面上在分界面上 ，是否发生突变；是否发生突变；分界面上的电荷面密度分界面上的电荷面密度 。解：解：因为因为 ，电极表面可视为等位面，有对称性分析，电流密度线，电极表面可视为等位面，有对称性分析，电流密度线式沿图示式沿图示 方向，即垂至于电极表面，而等位线垂至于方向，即垂至于电极表面，而等位线垂至于 线（即线（即 线），因此线），因此 只与坐标只与坐标 有关，而与坐标有关，而与坐标 无关。将系统分为两个均匀的导体媒质区域，其无关。将系统分为两个均匀的导体媒质区域，其边值问题为边值问题为 其通解可写为其通解可写为利用边界条件，决定待

9、定系数可得利用边界条件，决定待定系数可得 由此可得弧片内的电位分布为由此可得弧片内的电位分布为再利用分界面上电流密度的衔接条件再利用分界面上电流密度的衔接条件 弧片内的总电流弧片内的总电流 式中式中 ，是薄钢片的厚度。，是薄钢片的厚度。弧片的电阻弧片的电阻利用分界面上的衔接条件利用分界面上的衔接条件 ，则电流密度在分界面上保持连续，则电流密度在分界面上保持连续，没有突变。没有突变。因因 ，故电场强度在分界面上不连续，有突变。又因，故电场强度在分界面上不连续，有突变。又因为两种导体媒质的介电常数均可视为，故电位矢量也不连续，有突变。为两种导体媒质的介电常数均可视为，故电位矢量也不连续，有突变。利

10、用利用 ，将，将 ，代入得代入得2-8 如将电极改置于钢片的弧边，重求上题的解。如将电极改置于钢片的弧边，重求上题的解。解：解：此时电流密度沿此时电流密度沿 方向，即垂至于电极方向，即垂至于电极表面。等位线垂至于表面。等位线垂至于 线，因此线，因此 只与只与 有有关，而与关，而与 无关。将此系统分为两个均匀的导无关。将此系统分为两个均匀的导电媒质区域，写出边值问题为电媒质区域，写出边值问题为利用边界条件决定通解中的待定系数利用边界条件决定通解中的待定系数 其通解可写为其通解可写为 由此可得弧片内的电位分布为由此可得弧片内的电位分布为 其中其中 。弧片内任一点的电流密度为。弧片内任一点的电流密度

11、为 弧片内的总电流弧片内的总电流 两媒质分界面上的电场强度沿分界面的切线方向，由分界面上的衔接条件可两媒质分界面上的电场强度沿分界面的切线方向，由分界面上的衔接条件可知知 。电场强度在分界面上连续，不突变。又因为两种。电场强度在分界面上连续，不突变。又因为两种导体媒质的介电常数均为导体媒质的介电常数均为 ，故，故 。电位移矢量在分界面上业连续，不。电位移矢量在分界面上业连续，不突变。但突变。但 由于由于 ，故在分界面上电流密度，故在分界面上电流密度不连续，有突变。不连续，有突变。分界面上无自由电荷面密度分布分界面上无自由电荷面密度分布。由于在分界面上电位移矢量由于在分界面上电位移矢量 连续，不

12、突变，故连续，不突变，故 2-9 无限大平行金属板，相距为无限大平行金属板，相距为 ，板间置有两种导电媒质，分界面亦为平，板间置有两种导电媒质，分界面亦为平面。第一种媒质面。第一种媒质(电导率电导率 ，介电常数，介电常数 )厚度为厚度为 ，第二种媒质，第二种媒质(电导率电导率 ，介，介电常数电常数 )厚度为厚度为 。一只金属板的电位分别为。一只金属板的电位分别为 和和 。试求达到稳定状。试求达到稳定状态时分界面上的电位及电荷密度。态时分界面上的电位及电荷密度。解：解：无限大平行金属板可以忽略端部的无限大平行金属板可以忽略端部的 边缘效应。由对称性分析可知边缘效应。由对称性分析可知 和和 都都垂

13、至于极板，故分界面为等位面。垂至于极板，故分界面为等位面。利用在媒质分界面上的衔接条件利用在媒质分界面上的衔接条件 。由于。由于 ，因此，因此可得到可得到 分界面上的电位为分界面上的电位为 利用利用 ，可以得到，可以得到 若令若令 ，解上面两式可得，解上面两式可得 分界面上的自由电荷密度为分界面上的自由电荷密度为 2-10 球形电容器的内半径球形电容器的内半径 ，外半径，外半径 。其中设有两层。其中设有两层电介质，其分界面亦为球面，半径电介质，其分界面亦为球面，半径 。若电导率分别为。若电导率分别为 。若内外导体间施加电压。若内外导体间施加电压 ，求：，求：球面之间的球面之间的 ，和和 ；漏电

14、流。漏电流。解：设内外导体之间电压为解：设内外导体之间电压为 ，流过的电流为，流过的电流为 。有对称性分析可知，电流沿径。有对称性分析可知，电流沿径向且为球对称。向且为球对称。且且 在在 区域内区域内若以外球壳为电位参考点，则在若以外球壳为电位参考点，则在 的区域内的区域内 若若 时，时，则则球形电容器的漏电导为球形电容器的漏电导为解：由于盐水溶液的电导率要远远大于橡胶的电导率，因此电压主要降在橡胶解：由于盐水溶液的电导率要远远大于橡胶的电导率，因此电压主要降在橡胶上。设电缆的内导体半径为上。设电缆的内导体半径为 ，橡胶的外表面半径为，橡胶的外表面半径为 ，内外电压为，内外电压为 。假设橡胶内

15、的漏电流为假设橡胶内的漏电流为 ，由于电缆的轴对称性可得，由于电缆的轴对称性可得 2-11 以橡胶作为绝缘的电缆漏电阻是通过下述办法测定的。把长度为以橡胶作为绝缘的电缆漏电阻是通过下述办法测定的。把长度为 的电缆浸的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而测得电流。有一段入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而测得电流。有一段3m长长的电缆进入溶液后加电压的电缆进入溶液后加电压 ，测得电流为，测得电流为 。已知绝缘层的厚。已知绝缘层的厚度与中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。度与中心导体的半径相等，求绝缘层的电阻率。由此可得到由此可得到 其中其中 ，代入数据可得，代

16、入数据可得 解：解：根据解的唯一性定理，在保证边界条件不根据解的唯一性定理，在保证边界条件不变的情况下，利用镜像法，在距陡壁右侧变的情况下，利用镜像法，在距陡壁右侧 处处对称地引出接地半球的镜像。由于对称地引出接地半球的镜像。由于 ，可近似认为两半球之电流沿球的镜像均匀分可近似认为两半球之电流沿球的镜像均匀分布，电流终止于无限远处，由此可得布，电流终止于无限远处，由此可得 2-12 半球形电机置于一个直而深的陡壁附近，如图所示。已知半球形电机置于一个直而深的陡壁附近，如图所示。已知 ，半，半球中心距陡壁的距离球中心距陡壁的距离 ，土壤的电导率，土壤的电导率 ，求接地电阻。，求接地电阻。半球电极

17、的接地电阻为半球电极的接地电阻为式中式中 和和 分别为接地器中心和它的镜像的中心到土壤内任意一点的距离；分别为接地器中心和它的镜像的中心到土壤内任意一点的距离；、分别为该距离连线上的单位矢量。若以无限远处为电位的参考点，半球的电位为分别为该距离连线上的单位矢量。若以无限远处为电位的参考点，半球的电位为 解：解：半球形接地器沿地面的电流密度为半球形接地器沿地面的电流密度为土壤中电场强度的分布为土壤中电场强度的分布为 2-13 一个电钢条组成的接地体系统，已知其接地电阻为一个电钢条组成的接地体系统，已知其接地电阻为100 ，土壤的电导率，土壤的电导率 。设有短路电流。设有短路电流 从钢条流入地中，

18、有人正以从钢条流入地中，有人正以 的步距的步距向此接地体系统前进，前足距钢条中心向此接地体系统前进，前足距钢条中心2m，试求跨步电压。，试求跨步电压。(解题时可将接地系解题时可将接地系统用一等效的半球形接地器代替之。统用一等效的半球形接地器代替之。)设人的两脚与地的接触点为则设人的两脚与地的接触点为则第 三 章 恒定磁场3-1四条平行的载流四条平行的载流 无限长直导体垂直地通过一边长为无限长直导体垂直地通过一边长为 的正方形定点，求正的正方形定点，求正 方形中心点方形中心点P处的磁感应强度值。处的磁感应强度值。解：利用无限长直导线，若有线电流解：利用无限长直导线，若有线电流 通过，在真空中产通

19、过，在真空中产生的磁感应强度为生的磁感应强度为由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示垂直向下，大小为垂直向下，大小为 再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载 P点所产生的点所产生的磁感应强度。磁感应强度。3-2 真空中，在真空中，在 平面上的平面上的 和和 范围内，有以线密度范围内，有以线密度 均匀分布的电流，求在点均匀分布的电流，求在点(0,0,5)所产生的磁场感应强度。所产生的磁场感应强度。解：解：如图所示，选择如图所示，选择 ，视为半无，视为半无线长直导线，它在线长直导线，它在P点产生的磁感应强度的点

20、产生的磁感应强度的大小为大小为利用叠加定理，利用叠加定理，P点的磁感应强度的点的磁感应强度的x分量和分量和z分量分别为分量分别为 其中其中 。由右手螺旋法则可判断。由右手螺旋法则可判断 的方向，并将分解为的方向，并将分解为x方向和方向和z方向两个分量方向两个分量 3-3 真空中一通有电流真空中一通有电流(密度密度 )、半径为、半径为 的无限长圆柱内，有一半径的无限长圆柱内，有一半径为为 的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距 ，如图所示。求空洞内任一点的，如图所示。求空洞内任一点的 解：解：若假设空洞处有一大小同为若假设空洞处有一大小同为 ，但流向，但流向分别为分别为

21、 方向和方向和 方向的电流，这样方向的电流，这样可将此问题视为半径为可将此问题视为半径为 的无限长圆柱内整的无限长圆柱内整体载有电流体载有电流 和半径为和半径为 的无限长圆柱内的无限长圆柱内载有电流载有电流 的两个圆柱在的两个圆柱在P点产生的点产生的磁感应强度的叠加。磁感应强度的叠加。利用安培环路定律，半径为利用安培环路定律，半径为 的大圆柱在空洞内的大圆柱在空洞内P点产生的磁感应强度大小为点产生的磁感应强度大小为其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心，其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心，为半径圆环的切线方为半径圆环的切线方向。对半径为向。对半径为 的小圆柱，在空洞内的小圆

22、柱，在空洞内P点所产生的磁感应强度大小为点所产生的磁感应强度大小为其方向也由右手螺旋法则判断，只是电流沿其方向也由右手螺旋法则判断，只是电流沿 方向。若设大圆柱与小圆柱中方向。若设大圆柱与小圆柱中心连线为心连线为x的正方向，则的正方向，则P点的磁感应强度应为两圆柱各自在点的磁感应强度应为两圆柱各自在P点产生的磁感应强点产生的磁感应强度的矢量和度的矢量和式中为式中为P点到点到x轴的垂直距离，轴的垂直距离，为为 到到x轴上的投影，轴上的投影，为为 在在x轴上的投影，轴上的投影，为两圆柱轴线的距离。为两圆柱轴线的距离。3-4 真空中由一厚度为真空中由一厚度为 的无限大载流的无限大载流(均匀密度均匀密

23、度 )平板，在其中心位置由平板，在其中心位置由一半径等于一半径等于 的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。解：解：与上题思路相同，假设空洞中存在与上题思路相同，假设空洞中存在 和和 的电流，求各点处的磁感应强度可视为的电流，求各点处的磁感应强度可视为一个无限大均匀载流一个无限大均匀载流 的平板与一个载流为的平板与一个载流为 的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感应强度的矢量和。应强度的矢量和。的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出有有

24、 的无限长直圆柱产生的磁感应强度，也可利用安培环路定律求出的无限长直圆柱产生的磁感应强度，也可利用安培环路定律求出各处的场强为它们的矢量和各处的场强为它们的矢量和3-5 一电流密度为一电流密度为 的无限大电流片，置于的无限大电流片，置于 平面，如取平面，如取 平面上半径为平面上半径为 的一个圆为积分回路，求的一个圆为积分回路，求 解：解：利用安培环路定律利用安培环路定律3-6 如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域、中的中的 ,。设已知：设已知：所有区域中所有区域中 ；区域区域中中 ，区域，区域、中中 。解：解：由于两个无限大电流片的电流方由于两个

25、无限大电流片的电流方向相反，因此在区域向相反，因此在区域，内内 在区域在区域内内在区域在区域，内与上面的结论一致，在区域内与上面的结论一致，在区域内内3-7半径为半径为 ，长度为，长度为 的圆柱，被永久磁化到磁化强度为的圆柱，被永久磁化到磁化强度为 (轴轴就是圆柱的轴线就是圆柱的轴线)。求沿轴各处的求沿轴各处的 及及 ;求远离圆柱求远离圆柱 处的磁场强度。处的磁场强度。解：解：先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁化，化，是常数。在圆柱内部磁化电流面密度为是常数。在圆柱内部磁化电流面密度为磁化电流线密度为磁化电流线密度为 其其 为表面的法向方向。在圆柱的两个端

26、面其外法线方向分别为为表面的法向方向。在圆柱的两个端面其外法线方向分别为 ，代入上，代入上式可知端面上式可知端面上 ，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面 ，故侧，故侧面上的磁化电流线密度为面上的磁化电流线密度为由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度 在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电流，每个小圆环电流为流，每个小圆环电流为式中式中 是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产

27、生磁感应强度。利是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产生磁感应强度。利用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出 在轴线上产在轴线上产生沿轴线方向的磁感应强度为生沿轴线方向的磁感应强度为磁感应强度的方向沿磁感应强度的方向沿 的方向，故的方向，故当当 时时当当 或或 时，时，当远离圆柱时，即当远离圆柱时，即 ，时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁偶极矩偶极矩它在空间中产生的磁场可用磁矩它在空间中产生的磁场可用磁矩 表示为表示为若仍求轴线上若仍求轴线上 上的磁感应强度，由于上的磁感应强度，

28、由于 ，则，则 3-8 有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为 与与 ，铁环的，铁环的 环上绕有环上绕有50匝通有匝通有2A电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度(忽略漏忽略漏磁，且环外的磁导率为磁，且环外的磁导率为 )。解：解：从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即 及及 处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则所以环的截面以外各处所以环的截面以外各处 ，。在环的截面内可认为磁场分布均匀，选。

29、在环的截面内可认为磁场分布均匀，选 为半径，作一安培环路为半径，作一安培环路 ，方向均沿安培环路的切线方向。方向均沿安培环路的切线方向。3-9 已知在已知在 的区域中，的区域中，在，在 的区域中的区域中 ，设在，设在 处处 是均的，其方向为是均的，其方向为 ，量值为，量值为 ，试求，试求 处的处的 和和 。解：解：利用媒质分界面上的衔接条件，因为利用媒质分界面上的衔接条件，因为 ，则，则 ，。利用。利用 由此可得由此可得由于入射面与折射面共面，故由于入射面与折射面共面，故3-10 对真空中下列电流分布求对真空中下列电流分布求 当当 空间内距中心空间内距中心 处处()选对称的两薄板，其电流线密度

30、分选对称的两薄板，其电流线密度分别为别为 ，。该两个薄平板在。该两个薄平板在 的空间内产生的磁感应强度为的空间内产生的磁感应强度为解解 处处 ，处处 沿沿 方向，方向，处处 沿沿 方向，由对称性分析，可视为一组组流向反向的无限大平板电流产生的磁场问方向，由对称性分析，可视为一组组流向反向的无限大平板电流产生的磁场问题，由此可知在题，由此可知在 及及 的空间内，的空间内，。该两个薄平板在处的磁感应强度均为零。由此可知，凡该两个薄平板在处的磁感应强度均为零。由此可知，凡 的电流片对的电流片对 的的磁场有贡献。磁场有贡献。因此因此 所以磁场的分布为所以磁场的分布为这是轴对称的电流分布，可直接用安培环

31、路定律求解。当时这是轴对称的电流分布，可直接用安培环路定律求解。当时方向也是沿安培环路的切线方向。方向也是沿安培环路的切线方向。3-11 对于真空中的下列电流分布，求磁矢位及磁感应强度：对于真空中的下列电流分布，求磁矢位及磁感应强度：半径为半径为 的无限长圆柱通有电流，其电流线密度的无限长圆柱通有电流，其电流线密度厚度位厚度位 的无限长电流片通有电流，其电流面密度的无限长电流片通有电流，其电流面密度解：解：由题意，圆柱侧面通有沿轴线方向的由题意，圆柱侧面通有沿轴线方向的现密度为现密度为 的电流。由对称性分析，它产生的电流。由对称性分析，它产生的磁场为平行平面场，且磁矢位也沿的磁场为平行平面场，

32、且磁矢位也沿 方方向，仅为圆柱坐标系中向，仅为圆柱坐标系中 的函数的函数将研究区域分为圆柱内和圆柱外，由此写出圆柱坐标系下磁矢位所满足的边值问题。将研究区域分为圆柱内和圆柱外，由此写出圆柱坐标系下磁矢位所满足的边值问题。即即 有限值，令有限值，令 (参考点参考点)方程的通解为方程的通解为由边界条件决定待定系数由边界条件决定待定系数由此可知由此可知如图所示，建立坐标系。由对称性分析，沿如图所示，建立坐标系。由对称性分析，沿 轴和轴和 轴方向都是平行平面场，轴方向都是平行平面场，因此因此 仅与仅与 有关。所以有关。所以将研究的区域分不为三部分，分别写出将研究的区域分不为三部分，分别写出 满足的边值

33、问题满足的边值问题(参考点参考点)方程通解为方程通解为 利用边界条件决定解的待定系数利用边界条件决定解的待定系数磁矢位为磁矢位为磁感应强度为磁感应强度为3-12 点出如图所示各种情况下的镜像电流，注明电流的方向、量值及有效的计点出如图所示各种情况下的镜像电流，注明电流的方向、量值及有效的计算区域。算区域。3-13 在磁导率为在磁导率为 的媒质中，由载流直导线与两种媒质分界面平行，垂直距离的媒质中，由载流直导线与两种媒质分界面平行，垂直距离为为 ，如图所示，求两种媒质中的磁场强度和载流导线每，如图所示，求两种媒质中的磁场强度和载流导线每单位长度所受的力，并回答对于单位长度所受的力，并回答对于 媒

34、质中的磁场，由于媒质中的磁场，由于 的存在，磁场强度比的存在，磁场强度比全部为均匀媒质全部为均匀媒质()时变大还是变小。时变大还是变小。解：解：有区域为有区域为 所分布所分布的区域时，采用镜像法，镜像电流的区域时，采用镜像法，镜像电流 为为 载流导线单位长度所受之力为载流导线单位长度所受之力为其所在位置如图所示。这时有效区内其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁感应强度为点的磁感应强度为磁场强度为磁场强度为上式中负号表示斥力。当有效区为上式中负号表示斥力。当有效区为 所分布的区域时，镜像电流所分布的区域时，镜像电流 为为其所在位置如图所示。这时有效区内其所在位置如图所示。这时有效区内 点的磁

35、感应强度为点的磁感应强度为磁场强度为磁场强度为 对对 媒质中的磁场，若电流媒质中的磁场，若电流 不变，而全部充满不变，而全部充满 的媒质，则它在的媒质，则它在 点点产生的磁感应强度为产生的磁感应强度为磁场强度为磁场强度为 由此可以看出，存在由此可以看出，存在 媒质时使媒质时使 媒质内的磁场比全部为均匀媒质媒质内的磁场比全部为均匀媒质 时变大了时变大了 当当 时时3-14 求如图所示两同轴导体壳系统中储存的磁场能量及自感。求如图所示两同轴导体壳系统中储存的磁场能量及自感。解：解：设同轴导体壳长为设同轴导体壳长为 ，内部于外部通有大，内部于外部通有大小相等、方向相反的电流小相等、方向相反的电流 。

36、采用安培环路定。采用安培环路定律，可分别求出导体壳内外各部分的磁感应强律，可分别求出导体壳内外各部分的磁感应强度和磁场强度度和磁场强度 当当 时时当当 时时当当 时时当当 时时由此可求出储存于导体壳系统的磁场能量由此可求出储存于导体壳系统的磁场能量解：解：如图所示的电流如图所示的电流 ，它在线框处距左，它在线框处距左方导线中心线方导线中心线 处的磁感应强度为处的磁感应强度为3-15 如图所示，计算两平行长直导线对中如图所示，计算两平行长直导线对中间线框的忽感；当线框为不变性刚体时，求间线框的忽感；当线框为不变性刚体时，求长导线对它的作用力。长导线对它的作用力。该磁场在中间线框产生的磁通和磁通链

37、为该磁场在中间线框产生的磁通和磁通链为平行长直导线于中间线框的互感为平行长直导线于中间线框的互感为平行通电导线对通有电流的线框的作用力为平行通电导线对通有电流的线框的作用力为当中间西安矿的电流当中间西安矿的电流 的方向为图中所示方向时，的方向为图中所示方向时，与与 在线框中产生的磁场在线框中产生的磁场方向一致，互有能为正。此时互有能为方向一致，互有能为正。此时互有能为解：解：由于有由于有 的无限大导磁媒质在导的无限大导磁媒质在导线的左侧，此题要用镜像法求解。镜像电流线的左侧，此题要用镜像法求解。镜像电流在所研究区域之外，位于媒质分界面左侧距在所研究区域之外，位于媒质分界面左侧距分界面分界面 处

38、，镜像电流处，镜像电流 ，且与所设导，且与所设导线上的电流方向一致。这样，电流线上的电流方向一致。这样，电流 与镜像与镜像电流电流 在线框中距导线在线框中距导线 处的磁感应强度为处的磁感应强度为3-16 计算如图所示的长直导线与线框之间的互感。请给出所需镜像电流的大计算如图所示的长直导线与线框之间的互感。请给出所需镜像电流的大小、方向及位置，并给出此时导线与线框的互感。小、方向及位置，并给出此时导线与线框的互感。导线与线框的互感为导线与线框的互感为电流电流 与镜像电流在线框中产生的磁通和交链的磁通链为与镜像电流在线框中产生的磁通和交链的磁通链为解：解：由于铁磁物质的磁导率由于铁磁物质的磁导率

39、，磁场限制在磁路内。铁芯内磁场限制在磁路内。铁芯内 ，故由安培环路定律得故由安培环路定律得3-17 对于如图所示厚度为对于如图所示厚度为 (垂直纸面方向垂直纸面方向)的磁路，求：的磁路，求：线圈的自感；线圈的自感；可动部分所受的力。可动部分所受的力。利用媒质分界面上的衔接条件，可知铁芯内的磁感应强度与气隙中的磁感应强度利用媒质分界面上的衔接条件，可知铁芯内的磁感应强度与气隙中的磁感应强度相同相同 穿过气隙的磁通为穿过气隙的磁通为由此可知电流线圈所交链的磁通链为由此可知电流线圈所交链的磁通链为由于可得到线圈的自感为由于可得到线圈的自感为 系统存储的磁场能量为系统存储的磁场能量为可动部分所受的作用

40、力为可动部分所受的作用力为故作用力的方向将使广义坐标故作用力的方向将使广义坐标 减小，为吸引力。减小，为吸引力。3-18 试证明在两种媒质分界面上，不论磁场方向如何，磁场力总是垂至于分界试证明在两种媒质分界面上，不论磁场方向如何，磁场力总是垂至于分界面，且总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。面，且总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。证明；设两种媒质的磁导率分别为证明；设两种媒质的磁导率分别为 、，为分界面的法向方向，且由媒质为分界面的法向方向，且由媒质1指向媒质指向媒质2。在两种媒质分界面上的场量分别为。在两种媒质分界面上的场量分别为 、，将他们的法线，将他们的法线分量视为一个力管，切

41、线分量视为一个力管。法线分量力管在分界面处受的是纵分量视为一个力管，切线分量视为一个力管。法线分量力管在分界面处受的是纵张力，则单位面积所受的力为张力，则单位面积所受的力为切线分量力管受到的是侧压力，单位面积的受力为切线分量力管受到的是侧压力，单位面积的受力为媒质分界面上单位面积受到的磁场力是它们的叠加媒质分界面上单位面积受到的磁场力是它们的叠加利用分界面上的衔接条件利用分界面上的衔接条件 带入带入 中可得中可得当时当时 ，说明力沿，说明力沿 的正方向，由媒质的正方向，由媒质1指向媒质指向媒质2。当。当 时，说明力沿时，说明力沿()方向，即从媒质方向，即从媒质2指向媒质指向媒质1。由此可知，磁场力总是由磁导。由此可知，磁场力总是由磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。率大的媒质指向磁导率小的媒质。