二次曲线的方程化简、作图及分类教学与应用数学大学本科毕业论文.doc

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1、本科毕业论文题目： 二次曲线的方程化简、作图及分类 学院： 数学与计算机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级5班 姓名： 曹振佐 指导教师： 李秀兰 职 称： 教授 完成日期： 2011 年 5 月 18 日二次曲线的方程化简、作图及分类摘 要:本文给出二次曲线的几种化简方法,其中对合同变换法化简中心二次曲线作了一点探讨.从二次曲线的由不变量所表示的简化方程出发给出了二次曲线作图的一种新方法,从而弥补了通过计算不变量只知简化方程而无法在原坐标系下画出二次曲线图形的缺陷. 特别地我们利用了二次曲线的主直径为新坐标系作坐标变换来化简一般二次曲线的方程,从而使二次曲线的几何理论和代数理论自然地

2、联系在一起,使得一般二次曲线的方程化简、作图以及根据二次曲线标准方程的度量分类也就比较简捷地一起完成了. 关键词:坐标变换;不变量;主直径;主方向;合同交换 目 录1 引言12 预备知识13 二次曲线的方程的化简23.1 用坐标变换化简二次曲线23.1.1 化简缺少项的二次曲线23.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线23.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线33.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线33.1.3 一般二次曲线方程的化简43.1.3.1 中心曲线的化简43.1.3.2 非中心二次曲线的化简53.2 通过主直径, 主方向化简二次曲线53.2.1 中心曲线的化

3、简63.2.2 无心曲线的化简63.2.3 线心曲线的化简73.3 用不变量、半不变量化简二次曲线83.3.1 中心曲线的化简83.3.2 无心曲线的化简83.3.3 线心曲线的化简93.4 正交变换化简二次曲线93.5 合同变换法化简有心二次曲线104 二次曲线的方程的作图124.1 中心二次曲线的作图方法124.2 无心二次曲线的作图方法134.3 线心二次曲线的作图方法155 二次曲线的方程分类165.1二次曲线的分类16参考文献171 引言我们展开一般二次曲线的几何理论的研究,讨论一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径与主直径等重要概念与性质,也导出了二次曲线按不同角度的分类

4、和作图.平面上的二次曲线的理论与空间的二次曲线的理论有着十分相识的地方.而平面的情况毕竟要比空间的情况简单得多,因此我们先对一般二次曲线的理论有了比较深入的了解后,再进一步学习空间的一般二次曲线的而理论将不会感到费力而它只是一种自然的推广.有二次曲线方程的系数构成的不变量以及完全可以画出二次曲线的形状大小,因此研究二次曲线的不变量也就成为解析几何的一个十分重要的中心问题.在这样的意义下,不变量也就最深刻地反映方程与曲线的关系,它也把我们对数形结合的问题提高到一个新的认识.2 预备知识在平面直角坐标系上,由二元一次方程 所表示的曲线,叫做二次曲线.我们讨论二次曲线的几何性质以及二次曲线方程的化简

5、,最后对二次曲线进行分类和作图.为了方便起见,我们引进下面一些记号: , , , , ,这样我们容易验证,下面的恒等式成立 ,式也就可以写成 .我们把的系数所排成的矩阵叫做二次曲线的矩阵.的系数所排成的矩阵叫做的矩阵.显然二次曲线的矩阵的第一、第二与第三行（或列）的元素分别是的系数.下面我们引用加个符号 , , , .这里的是矩阵的主对角元素的和,是矩阵的行列式,是矩阵的行列式.3 二次曲线的方程的化简3.1 用坐标变换化简二次曲线3.1.1 化简缺少项的二次曲线3.1.1.1 利用坐标轴平移化简缺少项的二次曲线方法 将坐标原点移至二次曲线的中心,在新方程中可以消去一次项.中心的坐标由中心方程

6、组 给出. 这样将变换公式 代入原方程,即可化简原二次曲线.例1 化简二次曲线方程.解 二次曲线的系数矩阵 .因为 ,所以 此曲线是中心二次曲线.由中心方程组得 解 .可得 变换公式 代入原方程, 整理得 .(椭圆)3.1.1.2 利用配方通过移轴化简缺少项的二次曲线例2 化简二次曲线方程.解 将方程的左端配方,得: .令 可得 变换公式 于是方程化为.(椭圆)3.1.2 利用转轴化简含有项的二次曲线方法 转轴化简二次曲线方程,只要是旋转适当的角度,就可使方程中的乘积项消去,而由公式 给出.然后将变换公式 代入原方程.例3 化简二次曲线方程.解 这里.由得 ,所以 转轴公式为 代入原方程,整理

7、得.(抛物线)3.1.3 一般二次曲线方程的化简3.1.3.1 中心曲线的化简方法 一般采用先移轴后转轴较为简便. 例4 化简二次曲线方程.解 因为 即此曲线为中心曲线.先移轴,由中心方程组得 解得 故移轴公式为 代入原方程,整理得. 对方程进行转轴 . , 即 .故转轴公式为 代入方程整理得最简方程为 .(双曲线)3.1.3.2 非中心二次曲线的化简方法 一般采用先转轴后移轴进行化简例5 化简二次曲线方程.解 因为 , 所以此曲线是非中心曲线. 先进行转轴 , 即 .故转轴公式为 代入原方程,得 . 对进行移轴( 实质配方),得:.令 则变换公式为 则原方程化简为 .(抛物线)3.2 通过主

8、直径,主方向化简二次曲线方法 一坐标轴与二次曲线主方向平行,则化简后二次曲线方程中不含项.3.2.1 中心曲线的化简方法 取它唯一一对相互垂直的主直径为坐标轴建立坐标系,即原点是曲线的中心.例6 化简二次曲线方程.解 因为 , , 所以 此曲线是中心曲线.其特征方程为,因此两特征根为, .由, 分别对应的两个主方向为 ,.由两主方向决定的主直径分别为和取二主直径为新坐标系轴, 得 解得代入原方程,化简得 .(双曲线)3.2.2 无心曲线的化简方法 取它的唯一的一个主直径为轴,过顶点垂直于主直径的直线为轴建立坐标系(顶点为坐标原点)例7 化简二次曲线方程.解 这里.因为 ,所以 此曲线是无心曲线

9、.因为 .其特征方程为,因此两特征根为 .对应于的非渐近主方向为.取主直径为 为新坐标系轴,主直径与曲线的交点即顶点为过顶点且以非渐近主方向为方向的直线方程为即. 则变换公式为 解得 代入原方程,整理得 .(抛物线)3.2.3 线心曲线的化简方法 取它的中心直线为轴,任取垂直它的直线为轴,建立坐标系.例8 化简二次曲线方程.解 因为 所以此曲线是线心曲线. 唯一的主直径为 .取主直径为新系的轴,取任一垂直它的直线如为轴,这时变换公式为 解得代入原方程,得.(两条平行直线)3.3 用不变量、半不变量化简二次曲线3.3.1 中心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简中心曲线,它的最简形式为例9 化

10、简二次曲线方程.解 特征方程为.因此两特征根为可知最简形式为 .即 .(椭圆)3.3.2 无心曲线的化简方法 用不变量,半不变量化简无心曲线,它的最简形式为.例10 化简二次曲线方程.解 因为 .它的最简形式为 .即 .(抛物线)3.3.3 线心曲线的化简方法 用不变量、半不变量化简线心曲线,它的最简形式为: 例11 化简二次曲线方程.解 这里 即此曲线是线心曲线.所以 它的最简形式为:.即 .(两条平行的直线)3.4 正交变换化简二次曲线方法 任意实二次型,都可以用正交变换化为平方和.这里是的全部特征根.例12 化简二次曲线方程.解 上式中所有二次项构成实二次型.它的系数矩阵.特征矩阵. 即

11、 的特征根为 .当时,的特征向量分别为单位化得. 以为列向量,作正交矩阵,正交变换为 代入原方程,得 .配方得 .令则坐标交换为得标准方程为.(双曲线)3.5 合同变换法化简有心二次曲线方法 对矩阵A作合同变换,即.所作变换为 这样式就化简成 例13 化简二次曲线方程.解 系数矩阵 . 因为 ,所以 此曲线为中心曲线.这样经变换使原方程化为 .(双曲线)检验 把变换代入原方程,并整理得 .经检验,此方法对中心曲线是成立的.4 二次曲线的方程的作图4.1 中心二次曲线的作图方法对中心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为. 其中是曲线的两特征根,且轴分别沿和对应的主方向.因此轴关于原坐标系中轴的倾

12、角满足. 可见要从中心二次曲线的简化方程作出其图形,只需以过的中心且与原坐标系中轴的倾角为直线作为轴,建立直角坐标系,然后在该坐标系下作出所表示的曲线即可.例14 求二次曲线的简化方程,并作出其图形.解 因为 不变量. 所以解特征方程 .即得曲线的两特征根且由.得曲线的简化方程为 .即 (椭圆)另外通过解中心方程组 可得曲线的中心 .过作与轴的倾角的直线 ,并以此作为轴建立直角坐标系,且在该坐标系下作出方程(椭圆)所表示的曲线,如图1所示.图1 椭圆：4.2 无心二次曲线的作图方法对无心二次曲线,由于 同号,不妨设它们均非负.利用不变量可将其简化方程为其中号可任选, 这里不妨取-号, 即简化方

13、程为 不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴(主直径),原点是曲线的顶点(主直径与曲线的交点).对任意点,若设其在旧、新坐标系的坐标为和,则数与至多差一个正数倍,所以若主直径上某一点或的坐标使或则向量便指向轴的正向因轴正向上的点使为负, 否则,便指向轴的负向.可见要从简化方程画出无心二次曲线的图形,只需先求出曲线的主直径和顶点,并选取主直径上一点或若或,则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系;若或则以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系,并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可.例15 求二次曲线的简化方程,并作出其图形.解 对所给二次曲线由于.所以 曲线是无心的.因为

14、曲线的不变量,所以曲线的简化方程为 . 又曲线的主直径为,顶点为.取主直径上一点,由于,所以只需以作为原点,以向量的正向作为轴正向建立直角坐标系并在该坐标系下作出方程所表示的曲线即可,如图2所示.图2 抛物线：4.3 线心二次曲线的作图方法对线心二次曲线利用不变量可将其简化方程表为 . （9）不难验证新坐标系的轴是该二次曲线的对称轴主直径,所以若曲线的不变量,则要作出曲线的图形,只需作出主直径即可;若,只需作出与主直径平行的二直线 即可.例16 求二次曲线的简化方程,并作出其图形.解 对所给二次曲线由于.所以曲线是线心的.因为二次曲线的不变量,又曲线的主直径为,所以只需在原坐标系下作出直线,即

15、为要作的曲线的图形,如图3所示.图3 两平行直线：5 二次曲线的方程分类5.1 二次曲线的分类通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面九中标准方程的一种形式:1(椭圆)；2(虚椭圆)；3(双曲线)；4(点或称两相交于实点的共轭虚直线)；5(两相交直线)；6(抛物线)；7(两条平行直线)；8(两平行共轭虚直线)；9(两重合直线)； 参考文献:1吕林根,许子道.解析几何M.第4版.北京:高等教育出版社,2006.2甘浪舟.利用不变量化简二次曲线方程的作图问题J.安庆师范学院学报,2004,10(2):45-47.3吕林根.解析几何学习指导书M北京:高等教育出版社,2006.4廖民勋.二次

16、曲线方程的化简及作图J.广西师院学报(自然科学版),1997,14(2):76-81.5傅朝金.中心二次曲线化简的一种新方法及推广J.湖北师范学院学报(自然科学版),2001,21(2):72-74.6苏婷.二次曲线方程化简J.陕西师范大学继续教育学报,2006(23):247-249.7林梦雷.二次曲线方程的化简J.漳州师范学院学报,1999,12(1):22-26.8席高文,刘晓君.二次曲线方程分类与化简的新方法J.许昌师专学报,2001,20(20):6 -13.9Wen K T.Ways for the simplification of the Binary Curve Equati

17、onJ.Journal of Bijie Teachers College,1995,(2):66-71.10 Qu J,Xi F Y.The simplification of the Binary Curve Equation by Parameter FunctionsJ.High School Mathematics Teaching,1994,24-25. Second Curve Equation Reduction Mapping And ClassificationAbstract: In this paper, we give the conic simplified met

18、hods, including several for contract transformation method for simplified center a bit conic are discussed . From the conic by not variable simplified equation said conic mapping is given a new method . Offsetting the knows only through calculating invariant simplified equation and cant in the origi

19、nal coordinate draw the second curve graphics defects. Specifically we use the quadratic curves for the new coordinate the Lord made diameter of coordinate transformation to the simplified general quadric curve equation. Thus the geometry of the conic theory and algebra theory naturally relates in t

20、ogether, generally makes the second curve equation according to the simplified, mapping and the metric standard equation conic classification also is briefly finish together.Key Words: Coordinate transformation; invarient; Lord diameter; Main directions;Contract exchange 本科毕业论文题目： 逼近法的相关研究 学院： 数学与计算

21、机科学学院 班级： 数学与应用数学2007级5班 姓名： 晁燕萍 指导教师： 许芝卉 职 称： 副教授 完成日期： 2011 年 5 月 20 日逼近法的相关研究摘 要：逼近法是在各个学科中应用极广泛的分析论证方法,本文就逼近法中最重要的几种方法加以论述,即二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法,主要结合实例,介绍其分析论证的思想与方法.逼近法的应用和用法是非常广泛而多样的,最简明直观的是二分逼近法,它和实数连续性的配合运用,是分析论证微积分学中许多重要定理和基础问题的有力工具. 逐次逼近法在各学科中也有广泛应用,本文就泛函分析中不动点的有关知识加以说明,此外,介绍了逐步逼近法在微分方程及其初等数

22、论中的重要应用.关键词：逼近; 二分逼近; 逐次逼近; 逐步逼近 目 录 引言1 二分逼近法1 二分逼近法的典型证明方式1 二分逼近法在数学分析中的应用2 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用3 逐步逼近法4 逐步逼近法在微分方程中的应用5 一次同余式组的逐步逼近解法8 用剩余定理求解的方法9 逐步逼近法10 两种解法计算量的比较12参考文献13 引言 逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法,它遵循着这样一个简朴实用的原则,以简御繁,以“已知”去研讨“未知”.作为一个分析论证方法,它是这个原则的具体化、数量化.譬如,任一个无理数,都可用有理数去无限逼近它,使误差可以到任意小.又如,数列以A为极限,其

23、意即为用去逐步逼近常数A.再如,从几何上看定积分,曲边梯形的面积是通过一系列阶梯形逼近计算而得到的.可见,数学的研讨分析中普遍地渗透着逼近法的思想.不只如此,在泛函分析、微分方程和初等数论中也有非常广泛的应用, .以下主要就二分逼近法、逐次逼近法和逐步逼近法在不同学科中的应用加以论述. 二分逼近法 二分逼近法的典型证明方式 二分逼近法在定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质的实数,则可以从一个具有相应性质的闭区间出发,逐次二等分,得到一个始终保持的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列,将具有性质的实数“夹逼”出来,而实数的连续性则确保了此数的存在,使这种逼近不

24、至于“逼”空.现将二分逼近法典型证明方式说明于下1）确定一个闭区间使其具有某一性质.(由性质决定)2）逐次二等分得到闭区间列,则所有的闭区间都具有性质,且 (亦可写成：)从而得到左右夹逼数列与满足： 3）由实数的连续性得到实数,属于所有的闭区间,使满足：具有性质.这是由于属于所有的闭区间,被与左右夹逼,不妨形 象的表示为： 因而, 的任意小的邻域内都包含（m足够大）,于是具有,故具有性质.是唯一的.事实上,若不唯一,设,且满足 ,则对任何m, ,得到,而,故,即唯一. 二分逼近法在数学分析中的应用例1 设在上连续的单调递增函数满足:,则存在,使.证明 令,将二等分,分点为,若,则命题结论成立.

25、若,则取, 若,则取.逐次二等分区间,一般的对于区间,若,则命题结论成立;否则,若,则取,若,则取.从而得到两个夹逼数列与满足： 且 于是可知存在实数,使,由于单增,所以,即: 令上述证明中,所求的数具有的性质:,而构造的闭区间具有性质,则确定为,从而得到夹逼数列将“逼出”.在不同问题的论证中性质与相应的是具体的,在不同的情况下,必须紧扣实际加以明确,这是正确应用二分逼近法成功论证的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具,是逼近法的最简明的形式之一,然而,逼近法的应用却更为广泛,在泛函分析,微分方程等数学分支中也都是一种有效的论证方法.下面通过介绍另一种逼近法来进一步体会这种方

26、法的思想. 逐次逼近法以及在泛函分析中的应用逐次逼近法,是从一个粗糙的近似解出发,使用某个固定公式逐次加工,使之逐步精确化以得到满足精度要求的近似解.例2 在完备度量空间中,压缩映射必有唯一不动点.证明 设是完备的度量空间,：XX是压缩映射,即对于任意,不等式 成立,其中是满足不等式的常数.先证映射有不动点.构造X中的序列.任取,并令 ,我们证明是中的基本点列,事实上, 一般地,可以证明 于是,对自然数n与,由广义三角不等式得 对任何给定的,只有n充分大,则因而是柯西序列.又因是完备的,柯西序列是收敛的,即存在,使,再由于是压缩映射,必为连续映射,于是.在中,令,得到即是不动点.再证唯一性.若

27、不唯一,设不动点,则,于是存在使则必有,故,则有唯一的不动点.上述证明中,为找出不动点,我们利用压缩映射在完备空间中构造了一个柯西序列去逼近极限点,并证明极限点即为不动点,从而完成了将不动点“逼出”的过程. 逐步逼近法逐步逼近法也是逼近法中较为重要的一种论证方法,在各学科中都有广泛的应用.诸如在论证常微分方程解的存在唯一性定理、二项分布的一种新的计算方法、以及在初等数论中关于一次同余式组的解法都起到非常重要的作用.此外,逐步逼近法在破解技术难题-袁隆平科技创新方面起到了举足轻重的作用. 逐步逼近法在微分方程中的应用在微分方程研究中,对于一阶或高阶的,显或隐的方程组的等各类方程,能求得精确解得并

28、不多,因而方程的近似解又十分重要的实际意义的,而解的存在和唯一则是求近似解的前提和理论基础,且论证方法还提供了如何求近似解的途径.我们不妨以一阶微分方程解的存在唯一性定理的证明再次体会逼近法的思想.由于定理证明过程较长,我们以突出逼近法思想为重点来简叙其过程.1） 现在先简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想.首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解,再证明积分方程的解的存在唯一性. 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数显然也是连续函数,如果=,那么就是积分方程的解,否则,我们又把代入积分方程右端的,得到如果=,那么就是积分方程的解,否则,我们继续这个步骤,

29、一般地,作函数 这样就得到连续函数序列如果,那么就是积分方程的解.如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即存在,因而对式取极限时,就得到 ,即,这就是说,是积分方程的解.这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法.2）一阶微分方程解的存在唯一性定理：设在上连续且满足利普希茨条件,则方程 存在唯一解,定义于区间上,连续且满足初始条件 这里证明 在区间上构造一个连续的函数序列以代入方程得 则 是的且满足条件的解再以代入方程得 则 是的且满足条件的解一般地,继续这一步骤得到 是方程 的且满足条件的解,从而得到函数序列,可以证明该序列存在极限函数,从而有： 是的且满足

30、条件的解. 虽然我们对定理证明只给给予一个简单的叙述,但还是可以体会出逼近法思想在证明中所发挥的关键作用,然而逼近法的作用不仅仅是证明,它还提供了求近似解的途径.以下通过几个实例来体会逼近法在近似计算中的应用.例3 用皮卡逼近法求微分方程过点的解.解 这里 代入 可得,把代入可得,故,由逐步逼近法是微分方程,过点的解.例4 用皮卡逼近法求微分方程过点的解解 这里 代入 可得由数学归纳法可得：显然 的n项部分和函数为,可得幂级数的和函数是在上 由逐步逼近法有 是微分方程,过点的解.例5 对于无法用初等积分法求通解的黎卡提方程,我们可用逼近法求出满足初始条件的近似解.解 随着求解次数的增加,近似解

31、与真正解将越来越接近,因此在允许误差范围内可求出令人满意的解. 上面我们结合不同数学分支中的实例,来体会逼近法的思想,尽管构造逼近序列的元素与方法各不相同,但其指导思想却是共同的,那就是用“已知的”、“简”的序列去逼近“未知的”“繁”的,从而达到我们的认识目的.正确领会逼近的思想,提高以逼近思想为指导的分析论证能力,将有助于我们深化对数学知识的认识,也将有助于我们提高数学分析运用能力和解决问题的能力. 一次同余式组的逐步逼近解法用剩余定理求解一次同余式组是一种传统的方法,其缺点是兼容性差,计算量大.笔者将工程实践中的逐步逼近法引入传统的代数理论中,从而使一次同余式组的求解过程的兼容性大大增强,

32、即一次同余式组增加几个条件时只需增加少量计算,而不必像对待一个新问题那样从头算起.设为两两互质的正整数,为整数.即求一次同余式组 的通解.它的最小正整数解,定义为一次同余式组的解. 用剩余定理求解的方法令由于两两互质,故与也互质,故存在2个正整数和,满足 故从而有 于是 对于任意整数l有 此为式的通解.若 为通解中的最小正整数解则为式的解,若同余式组增加了第个式子,则上述计算过程都需要重复计算,计算量较大. 逐步逼近法 逐步逼近解法的构思设想一次同余式组 为k个条件,称 为第个条件.显然,对于任意整数, 满足第1个条件 逐步逼近法的构思是,选择适当的整数,使式在满足第1个条件的同时满足第2个条

33、件.如果存在一个整数使式同时满足第1,第2个条件,则进一步假设 对于任意整数,显然式同时满足第1,第2个条件,只要适当选择整数,使之再满足第3个条件,如此一步一步逼近,直至选择适当,使 满足所有k个条件,则通解为 式中为任意整数.是如果为最小整数解,则为解. 逐步逼近解法的理论证明定理 对于同余式组,一定存在k-1个整数,使 能同时满足k个条件 证 用数学归纳法证明.对于任意整数, 显然能满足第1个条件.现在来证明只要适当选择,式就能满足第个条件.由于互质,则存在2个整数,使,于是 取 （因为 ,所以可以选）.显然为整数,则 能同时满足第1,第2个条件.先假设已存在k-2个,使同时满足第1,2

34、,k-1个条件.因为与互质,则存在2个整数和,满足 故 只要选择,显然为整数,则 显然式满足第k个条件,故存在一个整数使式在满足第1,2,k-1,个条件的同时,满足第k个条件,从而定理得证.由上证明,存在着k-1个整数,使,满足同余式组,即是同余式组（1）的通解,式中为任意实数;若 是的最小正整数解,则为解. 两种解法计算量的比较 用剩余定理求解的计算量1） 计算有k次乘法运算,计算又有k次运算;2） 需用辗转相除法确定k个;3） 计算的计算量比较大,然后再求出 方能得到解. 用逐步逼近法求解的计算量1） 计算有k-2次乘法运算;2） 需用辗转相除法确定k-1个;3） 的计算量不大,往往此时x

35、即为所求的解. 参考文献：1东北师范大学数学系,常微分方程M.北京：高等教育出版社,1998.2刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社,1996.3孟世才.常微分方程中解的存在唯一性定理教学初探J.重庆教育学院学报,2001,14(3):37-38.4周晓农.逼近法的涵义及应用J.金筑大学学报综合版,2000(2): 116-120.5杨恩浩.关于微分方程解的唯一性的注记J.数学进展,1965, 8(2):184-186.6朱顺荣.完备度量空间与紧度量空间上的不动点定理J.南京理工大学学报,1998, 23(4):366-369.7余宁旺,滕学锋.一次同余式组的逐步逼近解法J.北

36、京农业工程大学学报,1992,4(12):28-32.8王迪吉,张维娟.关于一次同余式的解法J.新疆师范大学学报（自然科学版）,2007,26(4):42-45.9刘晓卫,王书琴.剩余定理及一次同余式组J.哈尔滨师范大学自然科学学报,2002,18(2):26-30.10Fisher B.Related fixed points on two metric spaces.Math Sem Notes,Kobe University2002,10:17-26.11Fisher B.A fixed point theorem for conpact meteic spaces.Publ Math

37、Debrecen,1978,25:193-194.12 Kamke E.,Differentialgleichungen reeler Funktionen,Springer-verlag.Leipzig,1930. Approximation method of related researchAbstract: Approximation method is extensively applied in all disciplines. The thesis discusses three most important methods of the approximation method

38、s ,that is, half approximation method、successive approximation and gradual approximation. This paper based on examples, introduces relative methods of analytic demonstration. The application of approximation method is very broad and diverse. The half approximation method is the most concise and intuitive. Used together with real continuity, half approximation method can become a powerful tool of analyzing many important theorems and basic proble