空间几何体的表面积与体积-2022年（新高考）数学高频考点重点题型（含答案解析）.pdf

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1、专题33空间几何体的表面积与体积-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力会计算柱、锥、台、球的表面积和体积.二、教学建议1 .以结合几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.2 .与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用.3 .几何体的表面积与体积与多个几何体结合是主要命题形式.有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想.三、自主梳理1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面

2、展开图也一加一；冷 面；运浮侧面积公式S圆柱健=2/S圆锥侧=九7”S例台侧=乃（门+9）/2.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面枳=5侧+2 S底V=Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面枳=5侧+S底V=lsh台体（棱台和圆台）S表面积=5侧+S上+S下V=g (S 上+s 下 +、/S上S下）力球S=4 兀R2丫=*3【知识必备】1.设正方体的棱长为。，则它的内切球半径r=另 外接球半径H=李小2.设长方体的长、宽、高分别为m b,c,则它的外接球半径R=恒旺23.设正四面体的棱长为。，则它的高为 圾，内切球半径一=艰，外接球半径R=3 12返.44.直棱柱的

3、外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.四、高频考点+重点题型考点一空间几何体的的表面积例 1.（2020新课标I）1.已知A,氏C 为球。的球面上的三个点，。1为AABC的外接圆，若。的面积为4兀，A5=8C=AC=0 a，则球。的表面积为（）A.64兀 B.48K C.36兀 D.32兀【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边AABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出。a 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆。|半径为，球的半径为R,依题意，得力，=4万,.=2,；AABC为等边三角形

4、，由正弦定理可得A5=2rsin60o=2 G ,OQj=AB=273,根 据 球 的 截 面 性 质,平面ABC,OO,OiA,R=OA=g o：+O,A2=QOO：+r2=4,球。的表面积S=4汗=647 r.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.题组训练1.（2021全国高考真题）2.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36（X X）km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r 为64（X）km 的球，其上点A 的纬

5、度是指。4 与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2%/（i-c o s a）（单位：km2）.则 S 占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为：_ 64002+（1-cos a）=1-cosa=-6400+36000-042=42%,故选：C.题组训练2.（2020 江西赣州模拟）JT3.在梯形 ABC。中，Z A B C =,AD/BC

6、,BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABC。2绕 AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）A BA.4 万 B.（4+/）%C.6 D.（5+夜,【答案】D【解析】【分析】旋转一周后可得一个圆柱减去一个圆锥的组合体，利用圆柱的侧面积和一个底面面积，加上圆锥的侧面积即可得到几何体的表面积.【详解】由题意可知，将梯形ABCD绕所在直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为A B,高为的圆柱减去一个底面半径是A 3,高为1 台。的圆锥构成2的组合体,几何体表面积 S =T T X1 2 +2%x 2+；x2 万XTF=（5 +0）4故选。【点睛】本题考查旋转体表面积的求解问题，涉及

7、到圆柱和圆锥的表面积的求解，关键是能够明确旋转后得到的几何体的结构特征.题组训练3.（2021全国高考真题（文）4.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.【答案】39%【解析】【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】VV=-62-A=303/.h52考点二直接利用公式求体积例 2-1（2021天津高考真题）5.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为子32万，两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）A.3万 B.4%C.9万 D.12乃【答案】B【解析】【分析】作出图形，计

8、算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，设圆锥AO和 圆 锥 的 高 之 比 为 3:1,即4）=3 8 0,设球的半径为R,则 色 弦=必工，可得火=2,所以，3 3AB=AD+=43。=4,所以，BD=1,4)=3,.C D 1 A B,则 NC4O+ZACO=N5Cr)+ZACO=9(y，所以，NCAD=/B C D,又因为NADC=/B O C,所以，AACDACBD,uuz AD CD,-厂所以，,.e.CD=y/AD BD=V3,C/J DU因此，这两个圆锥的体积之和为

9、:万XC D 2-(A O+8 D)=；万x3x4=4.故选：B.例 2-2.6.在长方体ABCO-ABCQ中，AB=BC=2,AG与 平 面 所 成 的 角 为30。，则该长方体的体积为A.8 B.6忘 C.8 D.8 G【答案】C【解析】【分析】首先画出长方体4 8 8-A 8C Q，利用题中条件，得到NAG8=3(),根据AB=2,求得B g=2框,可以确定CG=2五，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详 解】在长方体ABC。-AMCQ中，连 接8C，根据线面角的定义可知NAG8=3（y,因 为AB=2,所 以8C 1=2/,从而求得C G=2A/5,所以该长方体的体积为V=2

10、 x 2 x 2 0 =8近，故 选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.对 点 训 练1.7.已知正方体A8CO-A4GQ的 棱 长 为1,除 面A8C。外，该正方体其余各面的中心 分 别 为 点E，F,G,H,（如图），则四棱锥M-EFG”的体积为.【答案】4【解 析】【分析】由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.【详 解】由题意可得，底 面 四 边 形 E F G

11、”为 边 长 为 也 的 正 方 形，其面积2品2国I，顶点M 到底面四边形EFGH的距离为=；,由四棱锥的体积公式可得：Vw.r c w=1 x 1 x 1 =1【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.对点训练2.(2 0 1 8全国高考真题(文)8.已知圆锥的顶点为S,母线S A,S 3 互相垂直，S A 与圆锥底面所成角为3 0。，若 S A B的面积为8,则 该 圆 锥 的 体 积 为.【答案】8兀【解析】【详解】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线S A,高SO,底面圆半径 AO 的长，代入公式计算即可.详解：如下图所示

12、，NS A O=3 0 .N4 S 8=901 1 7又 S B=-SA SB =-SA2川 2 2解得5 A =4,所以S O=：S A =2,A=JS A2 S O2 =2 6,2所以该圆锥的体积为V =g i-0 4 2.s o=8.点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形,利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.对点训练3.（2021全国高考真题）9.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（）A.20+12有 B.2872 C.-D.3 3【答案】D【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由

13、棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,所以该棱台的高 =22-（2A/2-V2）2=V 2，下底面面积S 1=1 6,上底面面积52=4,所 以 该 棱 台 的 体 积 =?（工+52+廊=3 啦 （16+4+亚）=/及.故选：D.考点三割补法求体积例 3.（2018天津高考）10.如图，已知正方体ABC/AAiBCQi的棱长为1,则 四 棱 锥 的 体 积 为【解 析】【分 析】由题意分别求得底面积和高，然后求解其体积即可.【详 解】如图所示，连 结4 G，交4 R于 点。，很 明 显AG_L平 面6。

14、百，则4。是四棱锥的高，且=+=*S四边形的=BDxDDi=y/2x=2,结合四棱锥体积公式可得其体积为V=-S/?=-xV 2 x =1,3 3 2 3故答案为.点睛：本题主要考查棱锥体积的计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.考点四等体积法求体积例4.1 1.如图所示，已知三棱柱A B C-4gG的所有棱长均为1,且底面A BC,则三棱锥4 -AB C的体积为（）AA.石 DD.V 3 Cr.娓 Un.84 1 2 1 2 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，三棱柱A BC-是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积V =B.再根据锥体的体积公式得三棱锥A-A 4 G

15、、三棱锥C-A5C的体积都等4于三棱柱ABC-A4G体积的g ,由此用三棱柱AB C-A 4 G体积减去两个三棱锥的体积，即 可 算 出 三 棱 锥 旦 的 体 积.【详解】解：三 棱柱AB C-AgG的所有棱长均为1，底面A A BC为正三角形，面积SWC=AB2=中又A A，底面 A BC,M=1 三棱柱A BC 48 G的体积eq=5枷,你=/.三棱锥A -A B G、三棱锥G -A B C与三棱柱A BC -4gG等底等高.V -V-V-VA-AiBiCt VCl-ABC Z VABC-BtCt TTT由此可得三棱锥用一 A 3G 的 体 积-匕 一 人 附-匕-ABC=故选：B.【点

16、睛】本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥耳-A 8 G 体积.着重考查了正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题.对点训练1.（2021 河北模拟）1 2.如图，在正三棱柱A8C-A1BG中，已知A B=A 4i=3,点 P 在棱C G 上，则三棱锥P-ABAi的体积为.【解析】【分析】利用等体积法可得答案.【详解】在正三棱柱A8CA1B1G中，A B=3,所以S ARC=-x ABx?lCxsin Z.BAC=x9x =,“Be 2 2 2 4因为GC平面A&B A,所以三棱锥P-ABA的体积等于三棱锥C-AB4的体积，又三棱锥C-ABA1的体积等于三棱锥4-A 8 C

17、,即为gSAABCAAI=g x R lx 3=%.3 3 4 4故答案为：述.4考点五几何体的外接球例 5.（2021 上海）1 3.已知正三棱柱A B C-4 6IG的侧棱长为4,底面边长为灰,且它的六个顶点均在球。的球面上，则球。的体积为.【答案】8辰【解析】【分析】根据题意画出图形，由正弦定理求出AABC的外接圆半径，再根据勾股定理，求出球的半径，根据球的体积公式即可求解.【详解】解：如图所示，设AABC中心为G,连接。G,AG,OB,根据等边三角形性质知：AG是AABC外接圆半径,根据正弦定理得：2AG=1 ,得：AG=6,sin 60又.OG=g/L4t=2,在 RtOAG 中，3

18、=7（OG）2+（AG）2=,22+=指，故球0 的体积为：+兀 乂 W*=8展 兀.故答案为：8底 兀.对点训练1.（2019全国I 卷）1 4.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,ZUBC是边长为2 的正三角形，E,尸分别是出，4 8 的中点，NCEF=90,则球。的体积为A.8#）兀 B.牛 乐）兀 C.2乖）兀 D.瓜 兀【答案】D【解析】【分析】先 证 得 依 _L平面P 4 C,再求得PA=P 8=P C =0,从而得P 4 3 C 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:./%=总=PC,AABC为边长为2 的等边三

19、角形，二。一 ABC为正三棱锥，.P B 1 A C,又 E,b 分别为PA、AB中点，：.EFHPB,：.E F A C,又 E F t C E,CEpAC=C,.E/_L 平面 PAC,P8_L平面PAC,.NARB=9Oo,.PA=PB=PC=0,.P-A B C 为正方体一部分，2R=yj2+2+2=/6，即 R=,.V=nR=/rx=y/6Tt,故选2 3 3 8D.FBp解法二:设PA=P3=PC=2x,/分别为 PAAB 中点,：.E F H P B,且EF=；PB=x,A48c为边长为2的等边三角形，:.CF=6 又/CEF=90:.CE=43-V,AE=(PA=XAAEC中余

20、弦定理cosNE4c=*=+4一(3一厂)，作p/)_LAC于。，-.PA=PC,2x2xxAn iQ O为AC中点，cosZE4C=PA 2xx2+4-3+X2 _ 14x lxi J?2x2+1 =2 JC-x=,:.PA=PB=PC=6，又 AB=BC=AC-2，2 2PA,PB,PC 两两垂直，；.2R=j2 +2+2=6：.R=,2：.V-7t/?3=7t X =y/6lt,故选 D.3 3 8【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决.对点训练2.（2021 湖北宜昌模拟）15.已知圆柱

21、的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是A.兀 B.C.-D.6 兀4 2【答案】D【解析】【详 解】圆柱半径为J（M）2-（）2=6，所以圆柱的体积是兀，/7 =兀、3、2 =6兀，选D.考点六几何体的内切球例6.（2 0 2 0新课标I I I）1 6.已知圆锥的底面半径为1,母 线 长 为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为【答 案】叵 兀3【解 析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详 解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其 中B C =2,A B =A C =3,且 点M

22、为8C边上的中点,设内切圆的圆心为。，由于 A M-V 32-I2=2 V 2 ,故 A A B C =万 X 2 x 2 5/2 2 V 2 ,设内切圆半径为小贝！I：SAABC=AAOB+S&BOC+$XAOC=X x 厂 +5 x B C x r+x A C x r=g x(3 +3 +2)x r =2 后，解得：r-,其体积：V =nr3-n.2 3 3故答案为：71.3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外

23、接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.对点训练1.（2 0 1 9天津卷）1 7.已知四棱锥的底面是边长为正的正方形，侧 棱 长 均 为 若 圆 柱 的 一 个 底 面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【答案】【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.【详解】由题意四棱锥的底面是边长为血的正方形，侧棱长均为有，借助勾股定理，可知四棱锥的高为6=1=2,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为3,一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1,故圆柱的体积为万X

24、x l =.4【点睛】本题主要考查了圆柱与四棱锥的组合，考查了空间想象力，属于基础题.对点训练2.（2 02 1 湖南模拟）18.如图，在圆柱0,f t内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相V.切.记 圆 柱0,02的体积为V,，球。的体积为V，,则 凸 的 值 是3【答 案】5【解 析】V,_ nr2 x2r _ 3 3【详解】设 球 半 径 为 小 则 用=4 s =5.故答案为7.2 兀 厂 23点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割

25、法、补形法等方法进行求解.对 点 训 练 3.19.已知正三棱锥的高为1,底面边长为2百，内有一个球与四个面都相切，则棱锥 的 内 切 球 的 半 径 为.【答案】V 2-1【解 析】【分 析】作 P G _ L 平 面 A B C,G 为 等 边 A A B C 的中心；根据正三棱锥的表面积和体3V积的求解方法求得表面积和体积，利用体积桥可构造关于内切球半径的方程尺=7,从而解得结果.【详 解】作尸G J _ 平 面 A B C,垂足为G,由正三棱锥定义知，G 为等边A A B C 的中心.为 的 中 点，又 PB=PC:.PD B C=-BCP=-x 2 x Jl2+I-AD=6 x-72

26、=瓜22.三 棱锥表面积S=3SS”3 辰2辰43晶3石设三棱锥内切球球心为。，半径为A;三棱锥体积 V=gsMBc.PO=g x；x 2 6 x 2 6 x x l =6又 V=O-ABC+O-PBC+O-PAC+Vff-PAB=%S ,R =6+6)R“屈+叫R=6解得：R=C 1故答案为：V2-1【点睛】本题考查正棱锥的内切球半径的求解问题，关键是明确内切球半径的求解常采用体积桥的方式，根据棱锥体积等于各个小棱锥的体积之和，得到R=g3V.考点七、表面积、体积的最值例 7-1.2 0.单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为)1 I 1A.-B.C.-D.6 4 3

27、 2【答案】C【解析】【分析】四面体的四个顶点应该在正方体的表面上的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O,由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球。的内接四面体的体积的最大值，球。的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，由此能求出结果.【详解】要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O,由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球。的内接四面体的体积的最大值，球。的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1 时

28、，内接正四面体的体积为:.故选：C.【点睛】本题考查四面体体积的最大值的求法，考查正方体的内接四面体，外接球、球的内接四面体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.例 7-2.2 1.已知正方形A8CO的边长为4,将AABC沿对角线AC折起，使平面ABC _L平面 A C O,得 到 三 棱 锥 A C O.若。为 A C的中点，点M,N分别为DC,BO上的动点（不包括端点），且BN=C M,则当点N 到平面AC。的距离为时，三棱锥N-A M C 的体积取得最大值，且最大值是.4【答案】.夜 m【解析】【分析】首先证明5O_L平面A C D,则 NO即为三棱锥的高，设BN=CM=x（0%2 a

29、），将三棱锥的体积表示为关于x 的二次函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】ABD因为四边形ABC。是正方形，所以AABC和AADC都是等腰直角三角形，因为。为AC的中点，所以BOJ.AC,又因为平面ABC_L平面A C D,平面ABCfl平面ACD=AC,B O u平面ABC,所以30 J_平面A C O,因为AB=BC=CD=4,所以80=2近，T1BN=CM=x（0 x/2）,可得 N0=2 夜-x，S.ACM=|xC M A D =|x x x 4 =2x,所以三棱锥N AMC的体积为g-S皿.NO=gx2x2血 _,=_ （/_ 2五）所以当x=-三 亚=血 时，三棱锥N-AM

30、C的体积最大为24x2夜.（2血 血）=.4故答案为：0 ；.例 7-3.2 2.已知三棱锥尸-ABC的四个顶点都在半径为3的球面上，A8_LAC,则该三棱锥体积的最大值是32【答案】y【解析】【分析】结合球体，画出具体的几何体图像，设AB=m,AC=，则收=，外接圆的半径为,+表示出三棱锥的高为J 9-止 4+3,表示出三2 V 4棱锥的体积公式，结合基本不等式，换元法，导数即可求得答案如图所示，设 A 8 =/n,A C =,则4AB e =:m，A A B C 外接圆的半径为业匚2 2则三棱锥的高为,9-日 产 +3，三棱锥P-ABC的体积公式为二 万 59 一-1+3)宁 俨下-+3)

31、，设/=+，则/(f)=+3),f (t)=J J9T-.-+3 ,4 3 3 1 2 yJ 9-t；令r)=o,解得/=8,/在(0,8)单增，8,9 单减，3 2“a)ma x=A 8)=不，3 2所 以 三 棱 锥 ABC体积最大值为了【点睛】本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，结合了基本不等式、换元法、导数求导方法，对思维转化能力，运算能力要求较高对点训练1.(2 0 1 8全国高考真题)2 3.设A，B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且其面积为96,则 三 棱 锥 ABC体积的最大值为A.1 2 百 B.1 873 C.2 4 73【答案】

32、B【解析】D.5 4 6【详解】分析：作图，D 为 M 0 与球的交点，点 M 为三角形ABC的中心，判断出当DM J_平面ABC时，三棱锥D-A B C 体积最大，然后进行计算可得.详解：如图所示，D点 M 为三角形ABC的中心，E 为 AC中点，当DM J_平面ABC时，三棱锥D-A B C 体积最大此时，OD=OB=R=4/S AHC=AB2=973/.AB=6,点M 为三角形ABC的中心:.RsOMB 中,有 OM=1O B2-BM2=2DM=OD+OM=4+2=6 (%.A B c)=-X9V3X6=18V3 u a n c /m ax Q故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考

33、查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DMJ_平面ABC时，三棱锥D-A B C 体积最大很关键，由M 为三角形ABC的重心，计算得到BM=g 8 E =2百，再由勾股定理得到O M,进而得到结果，属于较难题型.对点训练2.2 4.如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形/比的中心为 O.D,E,夕为圆。上的点，X DBC,X E CA,46分别是以比；C A,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以8C,CA,45为折痕折起比；/X E CA,F AB,使得。,E,夕 重合，得到三棱 锥.当/回的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm)的 最 大 值

34、 为.【答案】4厉【解析】【详解】如下图，连接0 0 交 加 于 点 G,设。,E,6 重合于S 点，正三角形的边长为 x(x 0),则0 6 与=旦.3F G =SG =56SO=/i=VSG2-G O2=J 5-x-=5-，1 三棱锥的体积 Y$,./?=%曰-x朴一刊=容,5的 冬5 .设(x)=5/一曰/,x 0,贝!J/(力=2013 一 /，令(x)=0,gp 4x3-j=0,得工=4 6,易知(x)在x=4A处取得最大值.Kux=x48xV 54=4V 15.点睛:对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变

35、量最高次是2 次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.对点训练3.（2021浙江期末）2 5.在四面体 ABC。中，A B 1 B C,CD BC,A B L C D,B C =2,若四面体ABCD的外接球半径为逐,则四面体A8CD的 体 积 的 最 大 值 为.Q【答案w【解析】【分析】根据题意可以将此四面体放入一个长方体中，则易求四面体高与底面长的关系，再根据体积公式写出其体积表达式，最后利用基本不等式即可.【详解】如图所示，不妨将四面体A 3C 0放入下图中的长方体中，则长方体的宽为2,设 长 方 体 的 长 为 高 为 从因为四面体ABCO的外接球

36、半径为逐，所以此长方体外接球半径为出，则-+/+=逐,解 得/+小=，所以四面体”8 的体积丫=9/乂5=42=1,当且仅当Qa =2 夜时等号成立，所以四面体A B C。的体积最大值为2.Q故答案为:考点八、截面面积例 8.（2 0 2 1 安徽马鞍山高三）2 6.已知正方体A 8 C O-4 4 C Q 的棱长为0,直线A G J 平面，平面a截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A.截面形状可能为四边形 B.截面形状可能为五边形C.截面面积最大值为D.截面面积最大值为地2【答案】D【解析】【分析】利用图形，该截面与平面ABO平行，利用排除法可把A,B 排除，当截面为正六边形时有面积最大，

37、计算即可.【详解】如图F在正方体中4上平面A B。，所以平面a与平面4 8。平行平面a与正方体的截面可以是三角形、六边形但不会是五边形和四边形当截面为正六边形E F N M G H时，截面面积有最大，61由题可知：NM=2 =，则SE F N M G H=6 x j x l x l x s i n6 0 =丁s i n4 55故选：D【点睛】本题考查空间几何体的截面，考查空间想象能力，属基础题.对点训练1.（2 0 2 0江苏苏州期末）2 7.已知在球。的内接长方体4B8-A8CQ中，A B =M=2,A D =3,则球。的表面积为,若 尸 为 线 段 的 中 点，则过点P的平面截球。所得截面

38、面积 的 最 小 值 为.9【答案】.1 7兀 .7i t4【解析】【分析】长方体外接球的直径为长方体的对角线，可求出球半径，解得球的表面积，当过球内一点P的截面与OP垂直时，截面面积最小可求截面圆半径，即可求出过点P的平面截球。的截面面积的最小值.【详解】如图，因为球。的内接长方体A B C。-AgCQ中，A 5 =A 4,=2,A D =3,所以 2 R=D B 1 =X/22+22+32=V 17，所以球的表面积S=4乃 穴2 =17万，当O P J球的截面，即。为截面圆圆心时，球心到截面圆的距离d=O P时最大,此时截面圆的半径r =VF万最小，此时截面圆的面积最小,而 o p=o o

39、：+o F=，7+i 2=立所以截面圆面积s =%/=497 r故答案为：17K；4【点睛】本题主要考查了长方体外接球的性质，长方体的性质，球的截面圆的性质，考查了运算能力，属于中档题.对点训练2.（20 20 山东省泰安市三模）28.已知球。是正三棱锥P-ABC的外接球，AB=3,PA=2W，点 E是线段4 8的中点，过点E作球。的截面，则 截 面 面 积 的 最 小 值 是.【答案】哼9乃4【解析】【分析】本题首先可以根据题意绘出图像，然后设出三棱锥的外接球半径为R以及正三角形ABC的外接圆圆心为D,再然后根据正三角形的性质和PA=27 3得出DA=H =2 以及Q D =1,最后根据当截

40、面与OE垂直时截面圆的面积有最小值并通过计算即可得出结果.如图，设三棱锥的外接球半径为R,正三角形A8C的外接圆圆心为。，因为A B =3,三角形A B C 是正三角形，。为正三角形A B C 的外接圆圆心,所以DA=6,因为P A =2 6,所以尸0=3,G?+（3/?y=R 2,解得火=2,。=1,因为过作球。的截面，当截面与0E垂直时，截面圆的半径最小,所以当截面与0E垂直时，截面圆的面积有最小值，在R/A E D O 中，y-=与，故“仓 一。炉=,截面面积5 =7 产=当，2 4故答案为：下【点睛】本题考查空间几何体的外接球，考查正三角形的相关性质以及勾股定理的应用，考查空间想象能力

41、，考查推理能力，是难题.考点九、非球几何体的切接例 9.（20 18 江苏高考真题）29.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为【解析】【详解】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1,底面正方形的边长等于上,所以该多面体的体积为2x；x lx（正）2=:点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.对 点 训 练1.30

42、.学生到工厂劳动实践，利 用3。打 印 技 术 制 作 模 型.如 图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直径为10&cm，高 为1 0。九打印所用部料密度为0.9 g/c m3.不考虑打印损耗.制作该模型所需原料的质量为 g.（取7=3.1 4,精 确 到0.1）【解 析】【分 析】求出该模型的体积，即用圆锥体积减去正方体的体积.【详 解】V 2如图，是该几何体的轴截面，设正方体的棱长为，则上=1 2s解得57 2 1 0。=5,.该模型的体积为v =-x(5五)2X 1 0-5,=迎 史-1 25 39 8.33(c

43、m3)，3 3.所需原料的质量为39 8.33x 0.9之358.5（g ）故 答 案 为358.5.【点睛】本题考查空间几何体的体积，解题关键是掌握简单几何体的几何公式.掌握柱、锥、台体的体积公式及球的体积公式等.考点十、几何体的展开例 1 0.（20 21 湖南期末）31 .已知圆柱。及其展开图如图所示，则其体积为（）A.万 B.2 C.3兀 D.4%【答案】D【解析】【分析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果./?=4 f 力=4【详解】设底面半径为，高为人，根据展开图得.，则，所以圆2兀r=2万 r =l柱的体积为7rrh=%x F x 4=4万，故选：D.

44、对点训练1.（20 21 河北正定中学模拟）32.已知一个圆柱的底面积为S,其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为（）A.4S B.2 乃 S C.TIS D.3&乃 S3【答案】A【解析】【分析】根据侧面展开图是正方形，根据圆柱侧面积公式，即可容易求得结果.【详解】不妨设圆柱的底面半径为小由底面积为S ,故可得S =兀丫？因为侧面展开图是正方形，故可得圆柱的高人=21厂,故可得力2=44s故圆柱的侧面积为2=4不 s.故选：A.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，属简单题.考点11、数学文化题例 11.（2019 全国高考真题（理）3 3.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信

45、的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为.图 2【答案】.共 26个面.棱长为0-1.【解析】【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决.【详解】由图可知第一层与第三层各有9 个面，计 18个面，第二层共有8 个面，所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图，设该半正多面体的棱长为

46、x,则=延 长 与 FE交于点G,延长8 c 交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，ABGE为等腰直角三角形，BG=GE=CH=x,：.GH=2x x+x=(y/2+l)x=l，2 2”=念7=0-1 即该半正多面体棱长为血-L【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形.对点训练I.（2021.河北巨鹿中学）34.蹴 鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今

47、日的足球.2006年 5 月 2 0 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠（近似看作球体）的表面上有四个点S、A、B、C,满 足 为 正 三 棱 锥，M 是 S C 的中点，且A M _L SB,侧棱SA=1,则该蹴鞠的表面积为（）A.3兀 B.6兀 C.12/D.16万【答案】A【解析】【分析】若=N 为BC中 点 易 得 再 应 用 余 弦 定 理、勾股定TT理求得9=,即S-ABC为直三棱锥，即可求外接球半径，进而求表面积.2【详解】如下图，若 N 为8 c 中点，则M N/S B,又 4W _LS8,二AW J_ M N,又S-A B C

48、 为正三棱锥且侧棱1s4=1,:.M N =L,AN=A B ,若 ZAS3=（9,则 A M 2=*-COS。，A 8?=2-2cos6，2 2 43 3在心中，A M2+M N2=A N2,即5-c o s6 =w（2-2 co se）,可得cos6=（）,O 0 7T,：.e=-,即S ABC为直三棱锥，易得外接球半径/?=走，2 2.该蹴鞠的表面积为4=3 4.故选：A对点训练2.（2021上海期末）3 5.五月五是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四

49、面体粽子的棱长为8 c m,则现有I 立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子 个.【答案】16572【解析】【分析】根据题意，利用棱锥的体积公式求得正四面体粽子的体积，进而求得答案.【详解】如图所示，正四面体ABC。的棱长为8c7”，设底面正三角形BCD的中心为。，连接A。，则平面BCD,连接B。，则B0=2 x庐丁=迪，所以AO=82（还）2=辿3 3 V 3 3所以一个粽子的体积为：V=X x 8 x 8 x X=128V2 3,3 2 2 3 316572.8E fe Im3=1000000cm3,又由 128艰3所 以1立方米体积的食材，最多可以包成这种粽子16572个.故答案为：16

50、572.36.我国古代数学名著 九章算术中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体.在图1所示羡除中，AB/CD/EF,AB=10,8=8,EF=6,等腰梯形ABC。和等腰梯形A M E的高分别为7和3,且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直.按如图2的分割方式进行体积计算,得 该“羡除”的体积为（）【解析】【分析】由图可知，中间部分为棱柱，两侧为两个全等的四棱锥，再由柱体和锥体的体积公式可求得结果.【详解】按照图2 中的分割方式，中间为直三棱柱，直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为7