2023年河南省郑州市106中高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆E:=+=l（a b 0）的右焦点为尸（c,0）,若尸到直线2法一0=0 的a b距 离 为 也 C,则 E 的离心率为（）2A.B.1 C

2、.E D.也2 2 2 32.已知角a 的终边与单位圆/+2=1交于点则c o s2 a 等 于（）97923233.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a,b 分别为176,3 2 0,则输出的“为（）A.16 B.18 C.20 D.154.以下三个命题：在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；对分类变量x 与丫的随机变量女2的观测值攵来说，女越小，判断“x 与 y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A

3、.3 B.2 C.1 D.05.若 单 位 向 量 晟 夹 角 为60,a=Xe-e ,且|=6,则实数2=()A.-1 B.2 C.0 或一1 D.2 或一16.如图，四边形ABCO为正方形，延长CO至E，使得D E =C D,点尸在线段CO上运动.设衣=x +y南,则x+y的取值范围是()A.1,2 B.1,3 C.2,3 D.2,47.已知向量2=(1,2),B=(4 4,-l),且U，则;1=()11A.-B.-C.1 D.22 48.平行四边形A5CD中，已知A3=4,A D =3,点E、E分别满足片工=2涉，D F =F C 且 衣 8斤=一6,则向量A方在A百上的投影为()3 3

4、A.2 B.-2 C.-D.229.设过抛物线丁=2px(p0)上任意一点p(异于原点O)的直线与抛物线尸=8座(。0)交于A,8两点，直线0 P与 抛 物 线 产=8内(0)的另一个交点为。，则 之 理=()A.1 B.2 C.3 D.410.已知变量x,y间存在线性相关关系，其数据如下表，回归直线方程为9=2.1X +0.85,则表中数据机的值为()变量X0123变量ym35.57A.().9 B.0.85 C.0.75 D.0.511.在平面直角坐标系中，经过点P(2 J I-0),渐近线方程为y=J Ir的双曲线的标准方程为()12.已知函数/(X)=皿 收+1 一)+3-，_ 3,不

5、等式+4)+/(Y+勾”o对 R恒 成 立,则。的取值范 围 为()A.-2,+o o)B.(-o o,-2 1 C.-,+o o j D.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3 .函数f(x)=s i n 3 x+3 co s 2 x(x G -的值域为.1 4 .在平面直角坐标系x O y 中，直角三角形A3C的三个顶点都在椭圆号+丁 上，其中4 (0,1)为直角2 7顶点.若该三角形的面积的最大值为彳，则实数。的值为.O1 5 .已知正实数为，)满 足 孙=1,贝!1X(一+)V)(2+%)的 最 小 值 为.y%3x-2y+4Q,1 6 .设 x,丁满足约束条件

6、 0,则 z =f+y2的 最 大 值 为.x 2 K 0,三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)已知数列%满足6 =1,%=2%_ 1+2 一1(2 2),数 列 出 满足2=%+2 +3.(I )求证数列出 是等比数列；(I I)求数列%的前项和S“.1 8 .(1 2 分)已知数列 4 是各项均为正数的等比数列，数 列 也 为等差数列，且=4=1,%=%+1，佐=%-7.(1)求数列&与 也 的通项公式；(2)求数列。,色 的前项和4；(3)设 S ”为数列 硝 的前项和，若对于任意 e N*，有 S“+；=7-2 ,求实数f的值.1

7、 9.(1 2 分)已知曲线G：0 s i n e+义=迫 和 C：卜一 f c os(。为参数).以原点。为极点，x轴的正半轴I 6 J 2 -s i n 夕为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线G 的直角坐标方程和0 2 的方程化为极坐标方程；(2)设 a 与X,y轴交于M,N 两点，且 线 段 的 中 点 为 P.若射线OP与 G，交于尸，。两点，求尸，Q两点间的距离.20.（12 分）在底面为菱形的四棱柱 A3CL-AAGA 中，AB=AAt=2,AtB=A.D,ZBAD=60,ACpBD=O,A O Y面 A B。.(D证 明:4 c 平面4 5。；(2)

8、求二面角B-A AX-D的正弦值.21.(12分)如图，在直三棱柱A B C-A B C i中，A B =A C =五,B C =AA,=2,。为 B C 的中点，点”在线段 A A 上，且。0 平面（1）求证：A M =AM；(2)求平面MOq 与平面CBd所成二面角的正弦值.22.（10分）已知/（力=6sinx cosx-cos2,XG R.(1)求函数“X)的单调递增区间3(2)AA B C 的三个内角A、B、C 所对边分别为。、b、c,若/(A)=-且。=2,求AA B C 面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

9、项是符合题目要求的。1.A【解析】由已知可得到直线2版-a y =()的倾斜角为451有 一 =1,再利用t?=十。2即可解决.a【详解】由尸到直线2区 一 砂=0的距离为也c,得直线2板-欧=0的倾斜角为4 5 ,所 以 皿=1，2a即4(/-c2)=4 2,解得e=等.故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于。，仇C的方程或不等式，本题是一道容易题.2.B【解析】先由三角函数的定义求出s i n e,再由二倍角公式可求co s 2 a.【详解】解：角a的终边与单位圆/+2=1交 于 点 吗,%)1cos a=一，3 0 2 -fl Y.7co s

10、 2 a=2 co s a-1 =2 x -1 =,9故选：B【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.3.A【解析】根据题意可知最后计算的结果为a,/7的最大公约数.【详解】输入的a,6分别为1 7 6,3 2 0,根据流程图可知最后计算的结果为a,8的最大公约数，按流程图计算3 2 0-1 7 6=1 4 4,1 7 6-1 4 4=3 2,1 4 4-3 2=1 1 2,1 1 2-3 2=8 0,8 0-3 2=4 8,4 8-3 2=1 6,3 2-1 6=1 6,易得 1 7 6 和 3 2 0 的最大公约数 为1 6,故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的

11、最大公约数，难度较易.4.C【解析】根据抽样方式的特征，可判断；根据相关系数的性质，可判断；根据独立性检验的方法和步骤，可判断.【详解】根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故应是系统抽样，即为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0;故为真命题；对分类变量x与y的随机变量K2的观测值女来说，z越小，“x与y有关系”的把握程度越小，故为假命题.故选：c.【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题.5.D【解析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数X的值.

12、【详解】由于=所以a=3，即（力6一e?）=3,-e2+e2-A2 2A-cos60+1=3 即X-X 2=0,解得/I=2或4=一1.故选：D【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.6.C【解析】以A为坐标原点，以A6,AO分别为x轴，y轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCQ的边长为1,则8(1,0),设P Q)(0 4 r l),则Q,l)=x(l,0)+y(l,l),所以，=一 ,且y =l,故x +y =f+2 e2,3.故选：C.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值

13、范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系,是一道基础题.7.A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得4的值.【详解】由于向量2 =(1,2),8 =(4 4 1),S.a h,所以l x 4 X+2 x(-l)=0解得丸=彳.故选：A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8.C【解析】_,_A D A B将 用 向 量 印 方 和4月表示，代入4尸.3 2 =-6可求出A方 分=6，再 利 用 投 影 公 式|福|可 得 答 案.【详解】解：A F BE=(2,故y =-单调递减,故lx2+4+,=:，【v ，尤-+4人工2当/=2,即x =0时

14、取最大值，所以。一*.2故选：C.【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。一 6-3 61 3.-,3O【解析】利用换元法，得到g(t)=t 3-3 t 2+3,t e-/，利用导数求得函数g(t)的单调性和最值，即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意，可得f(x)=s ir Px +3 co s 2 x =s in3x-3 s in2x +3,x G 71 713?，2 t =s in x,t G-,1 ,即 g(t)=t*3 t +3 ,t G ,1贝 I j g(t)=3 t 2-6 t=3 t

15、(t-2),当 一 日 t o,当0 t 0,J3即y =g(t)在 一 芋0为增函数，在 0 为减函数,(6 3月 小、c/八,又g 一 力=-g，g =3,g(l)=l,故函数的值域为：一,3 .【点 睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数g（。，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题.1 4.3【解 析】1-2a2k la2k2设 直 线A 5的 方 程 为y=x+L则 直 线A C的方程可设为y=-：x+l,（原0）,联 立 方 程 得 到6 （,丁，）,k1 +以2 1 +八2

16、2/k+-,k故$=7 Fl+a4+a2 /I k21 2/令 片人4得广宜卫总 利用均值不等式得到答案【详 解】设 直 线AB的 方 程 为7=履+1,则 直 线AC的方程可设为y=-1 x+l,（时0）ky=A x+l由 v元2 o 消 去 ，得（1+。2）x2+2 a2A x=0,所 以 工=0或%=+r=1l-2 ik1 +/%2-2a2 k-2a2 k,I的 坐 标（0,1）,的 坐 标 为（a,k 也:+1）,即8 （+a2k2 +a2k2-2crk-crk2因此二ms而需静同理可得：AC=/2/aI2,SA ABC I (a2 l)2 二。(4 -1)k2J-x a2t当 且 仅

17、 当 幺 二=a”,即,=史1时，ABC的面积S有 最 大 值 为，；-,、=yjt a a(a-l)8解之得。=3或a=3+J .16 3 +逝皿时,，=Z 1 0,由约束条件，x+4 y +62 0,作出可行域如图:x-2 0,3x-2 y +4 =0,联立 /2 s in 6 296利用公式可得其极坐标方程为夕2 =/高高(2)由(1)可 得G的直角坐标方程为X +百y =6.故 容 易 得M(8,0),N(),l),.O尸的极坐标方程为6=彳，把6=看 代 入p s in 6+高=V得月=1,?(吟)把代入八币煞得2=2,.|PQ|=|2-阂=1，即P,。两 点 间 的 距 离 为1.

18、【点 睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.2 0.(1)证明见解析；(2)迪7【解 析】(1)由已知可证与。4。，即可证明结论;(2)根 据 已 知 可 证A。J-平 面A B C D,建立空间直角坐标系，求 出A,AB,D坐 标,进 而 求 出 平 面A,A B和 平 面A,A D的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.【详 解】方法一：依 题 意，/A B A B Z/C D,：.A,B,/CD,二四边形4片。是平行四边形，二B。/4。，4 C(Z 平面 A B。，AQu 平面BO,用。平面A

19、B。.(2),.4 0，平面4 8。，二4。，4。，.4 8 =4。且。为3。的中点，.4。_1 3。，V AO.B Ou平面 A B C。且 A O fl 8 O =O,A A。，平面 A B C。，以。为原点，分别以丽，南，西 为X轴、轴、Z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-A y z ,则 A(GO,O),8(0,1,0),D(0,-l,0),A(0,0,1)，/,丽=(-7 5,0,l),A B=卜石,1,0),而=(-,-1,0),设平面A.AB的法向量为n=(x,y,z),n _L AA /3x+z=0-/r-r-则 ，.,取x=l,贝ij=1,J 3,，3.n V AB

20、 氐+y =o 设平面4 14。的法向量为?=(%,加4),则马，J*+z =。，取 片 ,则 而=(1,一 五 到n lA D -V 3x-y =0 1 7-m n 1 1 co s =i 一 =7=(=,邮q币*币7，设二面角B 4 4 1一。的平面角为a,则s in a=二二面角B-A A,-D的 正 弦 值 为 迪.7方法二：(1)证明：连接A4交A啰 于 点Q,因为四边形44BA为平行四边形，所以。为A 4中点，又因为四边形ABC。为菱形，所以。为AC中点，.在 VAgC 中，OQ/BtC,S.OQ=BC,.,OQu 平面 A/。，4 c z 平面 AB。，.gc 平面 4 8。(2

21、)略，同方法一.【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养,属于中档题.2 1.见解析【解析】(1)如图，连接BG，交C4于点N,连接A|N,ON,则N为C4的中点，因为。为8 c的中点，所以ON/BB、,又 M%/BB,所以ON MA，从而0,N,4，M四点共面.因为 OM 平面 C 4A，QWu 平面 平面 0241M fl 平面 CMA=M,所以又 O N M%,所以四边形OM4,M为平行四边形，所以M4,=QN=；84=：AA,所以(2)因为A3=4 C,。为8C的中点，所以AO_L6C,又三棱柱ABC-4与G是直三棱

22、柱，O N BB、,所以。4,O B,ON互相垂直，分 别 以 砺，0 N，砺 的 方 向 为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一盯z,因为A5=4C=0，3C=朋=2,所以。(0,0,0),B,(1,2,0),M(0,l,l),C(-1,0,0),所 以 两=两=(0,1,1),西=(1,2,0),西-=(2,2,0).设平面MOg的法向量为m=(x,y,z),贝!,O M =0_,即OB】m=0y+z=0 x+2y=0 令z=l,可得y=-l,X=2,所以平面MO片的一个法向量为机=(2,T,1).设平面。用4的法向量为=3,A c),则b+c=02 +2b=0令c=

23、l,可得匕=一1,a=l,所以平面C 4A的一个法向量为 =(1，T，1)，所以 cosm,2xl-lx(-l)+lxl7 22+(-I)2+I2-7i2+(-I)2+I24 272所以平面MOB,与平面CB,A所成二面角的正弦值为1.(兀 式 22.(1)I k7 i k e Z)(2)【解析】(1)利用三角恒等变换思想化简函数 =/(x)的 解 析 式 为 了(上 而m一 向-1,然后解不等式-+2k7 r 2 x-+2k7 r(k&Z),可求得函数y=的单调递增区间；2 6 23 27r(2)由/(4)=-,求得A=,利用余弦定理结合基本不等式求出机的取值范围，再结合三角形的面积公式可求

24、得AABC面积的取值范围.【详解】(1)./(%)=sin 2x _ 1 +os2%_J.=且sin2x-】cos2x =sin l x-1v 7 2 2 2 2 2解不等式一工+2br2x 工 X+2Qr(ZeZ),解得一色+br x 色+br(攵 e Z).2 6 2 6 3(jr jr A因此，函数y=/(x)的单调递增区间为一%+左环+左 万 仕e Z)；(2)由题意A)=sin(2 A.1 1=|,则sin(2 A-?卜 一g,TC _.TC 1 TC.7 T 77r._.2*0A/r9 -2 A-c0.0bc,3当且仅当b=c时取等号，所以，ziABC的面积 S=OcsinA=且。ce 0,.24 1 3【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用,考查计算能力，属于中等题.