2021-2022学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题解析.pdf

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1、2021-20222021-2022 学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题一、单选题一、单选题1若数列的通项公式为an1A32，则该数列的第 5 项为（）n21C1B6113D126答案：C直接根据通项公式，求a5；解：a521，52113故选：C2数列 2，0，2，0，的通项公式可以为（）Aan11Can 2cos答案：D举特例排除 ABC，分n 2k,k Z和n 2k 1,k Z讨论确定 D.解：A.当n 1时，a1 0，不符；B.当n 1时，a1 0，不符；C.当n3时，a3 2，不符；D.当n 2k,k Z时，an 2cosnBan 221Dan

2、 2cosn1n12n122k 12 2 cosk 2 cos 0，22 2 cosk 2，符合.当n 2k 1,k Z时，an 2cos故选：D.2k 1123 以F11,0，F21,0为焦点，且经过点1,的椭圆的标准方程为（）2x2y21A323x2y21B43x2y21C34x2D y214答案：B根据焦点在x轴上，c=1，且过点1,，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据2椭圆定义求 2a可得.3223xy解：因为焦点在x轴上，所以 C 不正确；又因为c=1，故排除 D；将1,代入12321313得21，故 A 错误，所以选 B.3212故选：B4若方程mx2(2 m)y21表示焦点

3、在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）Am0答案：A根据双曲线定义，且焦点在y轴上，则可直接列出相关不等式.解：若方程mx2(2 m)y21表示焦点在y轴上的双曲线，则必有：2m 0，且m0解得：m0故选：A5南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，则第十层球的个数为（）Bm 2C0 m 2Dm 2且m 0A45答案：BB55C90D110根据题意，发现规律并将规律表达出来，第n层有123 n个球.解：根据规律，可以得知：第一层有1个球；第二层有12个球；第三层有123个球，则根据规律可

4、知：第n层有123 n个球设第n层的小球个数为an，则有：an1 23 n 故第十层球的个数为：a10 55故选：B6已知F1，F2为椭圆x2y21的左 右焦点，P为椭圆上一点，若PF1PF25，则P95nn 12点的横坐标为（）A2答案：BB3C4D9设Px,y，F1(2,0),F2(2,0)，根据向量的数量积得到x2 y2 9，与椭圆方程联立，即可得到答案；解：设Px,y，F1(2,0),F2(2,0)，PF1PF2(2 x,y)(2 x,y)4 x2 y2 5，x2y2x y 9与椭圆1联立，解得：x 3，9522故选：Bx2y27已如双曲线221（a 0，b 0）的左 右焦点分别为F1

5、，F2，过F2的直线交ab双曲线的右支于A，B两点，若AF1 AB，且4 AF13 AB，则该双曲线的离心率为（）A102B10C52D5答案：A先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到AF13a，AF2 a，利用勾股定理得到关于a,c的等量关系，求出离心率.解：连接F1B，设AF13x，则根据4 AF13 AB可知，AB 4x，因为AF1 AB，由勾股定理得：F1B 5x，由双曲线定义可知：AF1 AF2 2a，BF1BF2 2a，解得：AF23x2a，BF25x2a，从而3x2a5x2a 4x，解得：x a，所以AF13a，AF2 a，由勾股定理得：9a2a2 4c2，从而c10，即该双曲线

6、的离a2心率为10.2故选：A8记不超过x的最大整数为x，如0.5 1，3.已知数列an的通项公式anlog28，则使an 0的正整数n的最大值为（）nA5答案：CB6C15D16根据取整函数的定义，可求出a1,a2,解：,a15的值，即可得到答案；a1log283，a2log24 2，8a3log21,38,a7log21，78 a8log210，,a15log2 0，151 12a16log2，当n 17时，8188 log2 1 anlog2 0，n2nn使an 0的正整数n的最大值为15，故选：C二、多选题二、多选题9已知公差为d的等差数列an中，a2 7，a9 35，其前n项和为Sn

7、，则（）Aa519答案：ACD根据题意求出基本量首项和公差，再根据前n项和公式即可求解.Bd 3Can 4n12DSn 2n na1d 7a13a解：设等差数列的首项为1，由题意得，解得，a18d 35d 4所以an3n14 4n12所以a519，Sn 2n n故选：ACD.110已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y x，实轴长为 4，则2（）A该双曲线的虚轴长为2 2C该双曲线的离心率为5共点答案：BD由已知条件求出双曲线方程，然后逐个分析判断即可x2y2解：由题意设双曲线方程为221(a 0,b 0)，abB该双曲线的焦距为2 5D直线x y 2 0与该双曲线有两个公1因为双曲线的渐近

8、线方程为y x，实轴长为 4，2b1x2a 2,b 1所以a2，解得，双曲线方程为 y21，42a 4所以c a2b25，对于 A，该双曲线的虚轴长为 2，所以 A 错误，对于 B，该双曲线的焦距为2c 2 5，所以 B 正确，对于 C，该双曲线的离心率为e c5，所以 C 错误，a2x2 y21对于 D，由 4，得3x216x 20 0，因为 1624320 16 0，所以方x y2 0程3x216x 20 0有两个不相等的实根，所以直线x y 2 0与该双曲线有两个公共点，所以 D 正确，故选：BD11已知各项均为正数的等比数列an满足a1 3，a2a4144，其前n项和为Sn.数列bn的

9、通项公式bnS（）an1，设bn的前n项和为Tn，则下列说法正确的是nSn1n1A数列an的通项公式为an 32nBSn 32 1CTn随n的增大而增大答案：ACDD21Tn93先根据等比中项求出a312及公比，进而求出通项公式和求和公式，判断AB 选项，裂项相消求出bn的前n项和为Tn，判断其单调性及取值范围，判断CD 选项.22解：又题意得：a2a4 a3144，因为各项均为正数，所以a312，q n1所以数列an的通项公式为an 32，A 正确；a3 4，qa12，Sn312n1232n3，B 错误；an132n11bnSnSn132n332n1332n332n13Tn b1b2bn11

10、1122332332 332 332 3，所以1132n332n131111，Tn随n的增大而增大，C 正确；n1n13233233323211112TTnT T T，且由于随n的增大而增大，所以，故，Dnn1n332n133993正确.故选：ACDy21，则下列说法正确的是（）12已知双曲线C:x 32A双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2B若F为C的左焦点，点P在C上，则满足FM 2MP的点M的轨迹方程为(3x 2)23y2 4C若A，B在C上，线段AB的中点为2,2，则线段AB的方程为3x y 4 0D若P为双曲线上任意一点，点P到点2,0和到直线x 答案：BCD根据点到直线距离公式求顶点

11、到其渐近线的距离，判断A，根据曲线轨迹方程的求法求出点M的轨迹方程，判断 B，由点差法判断 C，根据两点距离公式和点到直线的距离公式计算点P到点2,0和到直线x 21的距离之比恒为 221的距离由此判断 D.2y21的顶点为(1,0)，(1,0)，渐近线方程为3x y 0，解：双曲线C:x 3顶点(1,0)到渐近线3x y 0的距离d 3313，2顶点(1,0)到渐近线3x y 0的距离d 2 3313，A 错，2y21的左焦点F的坐标为(2,0)，设M(x,y)，P(x,y)，双曲线C:x 3FM 2MP，(x 2,y)2(x x,y y)，x 3y3x2，y，又P(x,y)在双曲线C上，2

12、223y 23x+2，2132(3x 2)23y2 4，B 对，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为2,2，x1 x2 4,y1 y2 4，2y12x 113(x1 x2)(x1-x2)-(y1 y2)(y1-y2)=0，由已知可得，所以32x2y2123y1-y2=3，直线AB的斜率为 3，x1-x2线段AB的方程为y 2 3(x 2)，即3x y 4 0，联立3x y 4 0与双曲线C的方程可得3x2(3x-2)2 3，化简得6x212x 7 0，方程6x212x 7 0有两解，所以直线3x y 4 0与双曲线相交，满足要求，C 对，222设P(x0,y0)，点P到点2,

13、0的距离d(x02)2 y0 x04x043x03，2d14x04x01=|2x01|，又点P到到直线x 11的距离d2|x0|，221的距离之比恒为 2，D 对，2点P到点2,0和到直线x 故选：BCD.三、填空题三、填空题13在数列an中，a11，an1 2答案：1，则a4_.an1732.77由递推关系取n 1可求a2，再取n 2求a3，取n3求a4.解：由an1 21111a 2a 2a 2分别取n 1，2，3 可得2，3，4，a1a2a3an又a11，a2 3，a3故答案为：717，a4，3717.714过抛物线x2 2y焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为 4，

14、则线段AB的长度为_.答案：9由焦点弦公式和中点坐标公式可得.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则故答案为：915将连续的正整数1,2,.,n2填入n行n列的方阵中，使得每行每列每条对角线上的数之和相等，可得到n阶幻方.记n阶幻方每条对角线上的数之和为Nn，如图：N315，那么N4的值为_.y1 y2 4，即y1 y2 8，AB y1 y2 p 819.2答案：34根据每行数字之和相等，四行数字之和刚好等于1 到 16 之和可得.解：4 阶幻方中，4 行数字之和4N4123.16 得N4 34.故答案为：34四、双空题四、双空题16(116)136，2316已知直线l是抛物线C:y2

15、2px（p 0）的准线，半径为的圆过抛物线的顶点4O和焦点F，且与l相切，则抛物线C的方程为_；若A为C上一点，l与C的对称轴交于点B，在ABF中，sinAFB 2sinABF，则AB的值为_.答案：y2 2x2（1）由题意得：圆的圆心横坐标为13p，半径为，列方程，即可得到答案；44（2）由正弦定理得|AB|2|AF|，从而求得直线AB的方程，求出点A的坐标，即可得到答案；解：由题意得：圆的圆心横坐标为13p，半径为，4433p p 1，44抛物线C的方程为y2 2x；设A到准线的距离为d，sinAFB 2sinABF，|AB|2|AF|，d2 cosABF，ABF 45，|AB|211代入

16、y2 2x，解得：xA,yA1，22P1 d，2lAB:y x|AF|xA|AB|2，故答案为：y2 2x；2五、解答题五、解答题17已知等差数列an的前n项和为Sn，a2 4，S5 30，若Sn 8n对任意的正整数n成立，求实数的取值范围.答案：,12a1d 4设等差数列的公差为d，根据题意得，解方程得a1 2，d 2，进而得a 2d 61Snn22n nn1，故 n27n恒成立，再结合二次函数的性质得当n3或 42时，f(n)取得最小值12，进而得答案.解：解：设等差数列的公差为d，由已知a2 a1d 4，S55a154d 5a110d 30.2a1d 4联立方程组，解得a1 2，d 2.

17、a 2d 61所以an 2n，Snn22n nn1，22由题意Sn n n 8n，即 n27n.令f(x)x27x，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x 所以当n3或 4 时，f(n)取得最小值12，所以实数的取值范围是,12.7，2x2y218双曲线C:221（a 0，b 0）的离心率e 5，且过点M 2,2 3.ab(1)求a，b的值；(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P答案：(1)a 1，b 23,2 5的双曲线的标准方程.y2x2(2)182（1）根据已知条件建立关于a、b、c的方程组可解；x2y2（2）巧设与已知双曲线同渐近线的双曲线方程为22可得.ab(1)ca2b2b2因为离

18、心率e 125，所以b2 4a2.aaa又因为点M 2,2 3在双曲线C上，所以4121.a2b2联立上述方程，解得a21，b2 4，即a 1，b 2.(2)y2 0，设所求双曲线的方程为x 42由双曲线经过点P3,2 5，得3220，即 2.4y2y2x2 2，其标准方程为1.所以双曲线的方程为x 48219已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且满足Sn n an11.(1)求证：数列an1是等比数列；(2)设bn anlog2(an1)，求数列bn的前n项和Tn.答案：(1)证明见解析(2)Tn 2n1n2n22（1）当n 2时，由Sn n an11，得Sn1 n1 an1，两式相减

19、化简可得an1 2an1，再对等式两边同时减去1，化简可证得结论，n（2）由（1）得bn 2 n1，然后利用分组求和可求出Tn(1)由已知得，Sn n an11.当n 2时，Sn1 n1 an1.两式相减得，an1 2an1.于是an11 2(an1)，即an112，an1又a2 3，a21 4，a11 2 0，所以所以(2)nn由（1）得an 2 1，bn 2 n1，a21 2满足上式，a11an112对nN都成立，故数列an1是等比数列.an1Tn22 2 232 123nn1 2n1n2n2.220已知点F为抛物线：y2 2px（p 0）的焦点，点P(1,t)在抛物线上且在x轴上方，PF

20、 2.(1)求抛物线的方程；(2)已知直线l:x my 1与曲线交于A，B两点（点A，B与点P不重合），直线PA与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线PB与x轴y轴分别交于M、N两点，当四边形CDMN的面枳最小时，求直线l的方程.答案：(1)y2 4x；(2)y x 1或y x1.(1)根据给定条件结合抛物线定义求出p即可作答.(2)联立直线l与抛物线的方程，用点A，B坐标表示出点C，D，M，N的坐标，列出四边形CDMN面枳的函数关系，借助均值不等式计算得解.(1)抛物线的准线：x pp，由抛物线定义得PF 1 2，解得p 2，22所以抛物线的方程为y2 4x.(2)因为点P(1,t)在:y24

21、x上，且t 0，则t2，即P(1,2)，依题意，m0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，y24x由消去x并整理得y24my40，则有y1y24m，y1y24，xmy1y12y12442y2x 1，直线PA的斜率是x11y1y12，方程为y12142y12y1yy)，令y0，则x1，令x0，则y，即点C(1,0)，点D(0,y2y222112y2y)，同理点M(2,0)，点N(0,y222kPA则CM4(y1y2)y1y2，DN，四边形CDMN的面积S有：y2y2212224(y1y2)11yyy1y2y1y24y1y2SCMDN12222y12y22y12y22y1y22 y1y24216

22、m2162m2222 m4，当且仅当2 m，即m1时取“=”，m8mmm所以当m1时四边形CDMN的面积最小值为 4，直线l的方程为yx 1或yx 1.21已知等比数列an的公比q1，且a1a2a314，a21是a1,a3的等差中项.数列bn的前n项和为Sn，满足Sn(1)求an和bn的通项公式；121nn，nN.22bna,n为奇数n(2)设cn2，求cn的前 2n项和T2n.2bn4 bn2,n为偶数an答案：(1)an2n，bnn（nN*）1018n26n5(2)T2n918 4n 1（1）等差数列和等比数列的基本量的计算，根据条件列出方程，并解方程即可；（2）数列cn根据n的奇偶分段表

23、示，奇数项通过乘公比错位相减法克求得前n项和，偶数项则是通过裂项求和.(1)a1a2a314由得，a2 4.2 a 1 a a132又a1解得q44，a3 4q，所以44q 14，即2q25q2 0，qq2或q 1（舍去）.所以an 2n（nN*），当n 1时，b1 S11，212 1211当n 2时，bn SnSn1n nn1n1 n，2222经检验，n 1时，b11适合上式，故bn n（nN*）.综上可得：an 2n，bn n(2)na,n为奇数n由（1）可知，cn22n 4 n2,n为偶数an当n为奇数时，cnn，2n22n2n当n为偶数时，cnnn2，22由题意，有T奇 c1c3c5

24、c2n11352n135 2n1222211352n32n1T奇3572n12n1422222113122222n1144n2n12n1-得：T奇3372n12n1422222221124542n156n5，634n24n664n106n5.9184n12n22n22 2202 4222 6242c2n204264 2n2n222222222则有：T奇T偶 c2c4c62n22n2024n2n2.0nn1244106n5n21018n26n5故T2n.9184n14n19184n122xy222设F1，F2分别是椭圆E:221（a b 0）的左 右焦点，E的离心率为.ab2短轴长为 2.(1)

25、求椭圆E的方程：(2)过点F1的直线l交椭圆E于A，B两点，是否存在实数t，使得AB t AF1 BF1恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.x2答案：(1)y212(2)存在，t 2 2(1)由条件列出a，b，c的方程，解方程求出a，b，c，由此可得椭圆E的方程：(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y k(x1)，联立直线l的方程与椭圆方程化简可得12kx224k2x2k22 0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得x1 x2，x1x2，由此证明AB 2 2 AF1BF1，再证明当直线l的斜率不存在时AB 2 2 AF1BF1也成立，由此确定存在实数t，使得AB t

26、AF1 BF1恒成立(1)由已知得b 1，xb22离心率e 12，所以a2 2b2 2，故椭圆E的方程为 y21.2a22(2)当直线l的斜率存在时，设l:y k(x1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，x22 y 12222联立方程组 2得，12kx 4k x2k 2 0，y kx12k2 24k2所以x1 x2，x1x2.1 2k21 2k2AB 1k2x1 x21k22x1 x224x1x21k224k28k288k282 21k2.1k 222212k12k12k12kAF1x112 y12x112x 211x121，22BF1x2122 y2x21212x221x2，22所以AF1BF1x12x22x1x22x1 x242222k228k24221k2.所以AB 2 2 AF1BF1.12k12k212k2当直线l的斜率不存在时，l:x 1，x222 y211,B 1,联立方程组 2，得A，.22x 1AB 2，AF1BF1221，所以AB 2 2 AF1BF1.222综上，存在实数t 2 2使得AB t AF1BF1恒成立.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0 或不存在等特殊情形