中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析.pdf

《中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析.pdf（190页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学专题之【以三角形为基础】精品解析-中考数学中以三角形为框架的综合计算与证明专题训练与解析【100题精选】1.（北京）在AABC中，BA=BC,NBAC=a,M 是 A C的中点，P 是线段BM上的动点，将线段PA绕点P 顺时针旋转2a得到线段PQ.（1）若 a=60。且点P 与点M 重合（如图1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形，并写出NCDB的度数；（2）在图2 中，点P 不与点B,M 重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想NCDB的大小（用含a 的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的a,当点P 在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M重合）时，能使得线段

2、CQ的延长线与射线BM交于点D,且 PQ=Q D,请直接写出a 的 范 围.A AMB QQCC图 1 图2解：（1）补全图形，见图1；ZCDB=30A（2）猜想：ZCDB=90-a证明：如图2,连结AD,PCVBA=BC,M 是 AC 的中点，ABMIACB,点 D,P 在直线 BM 上，APA=PC,DA=DC 又 YDP 为公共边，/.AADPACDPC，NDAP=NDCP,ZADP=ZCDP又：PA=PQ,.PQ=PC 图 1，NDCP=NPQC,ZDAP=ZPQCZPQC+ZDQP=180,，ZDAP+ZDQP=180.在四边形 APQD 中，NADQ+NAPQ=180。A ZAPQ

3、=2a,/.ZADQ=1802a1 /.ZCDB=ADQ=90-a 2（3）45a60提示：由（2）知 NCDB=90oa,且 PQ=QD A ZPAD=ZPCQ=ZPQC=2ZCDB=180-2aC 点 P 不与点 B,M 重合，NMADNPADNBAD 图2.,.a180-2a2a,.,.45oa602.（北京模拟）已知，点P 是NMON的平分线OT上的一动点，射线PA交直线 OM于点A,将射线PA绕点P 逆时针旋转交射线ON于点B,且使NAPB+ZMON=180.（1）求证：PA=PB；1数学专题之【以三角形为基础】精品解析(2)若点C 是直线AB与直线OP的交点，当SaPOB=3SaP

4、CB时，求 PC的值；(3)若NMON=60。，O B=2,直线PA交射线ON于点D,且满足NPBD=Z A B O,求 OP的长.TTONONO备用图备用图(1)证明：当点A 在射线OM上时，如图1作 PELOM 于 E,作 PF_LON 于 FT 则 NEPF+NMON=180,/Z APB+Z MON=180,A ZEPF=ZAPB:ZEPA.=ZEPF-ZAPF,ZFPB=ZAPB-ZAPF:.ZEPA=ZFPBOFB N.,OP 平分 NMON,A PE=PF.,.EPAAFPB,APA=PB当点A 在 MO延长线上时，如图2 作 PE_LOM于 E,作 PFLON于F 则NEPF+

5、ZMON=180ZAPB+ZMON=180,/.ZEPF=ZAPBV ZEPA=Z E P F-Z APF,ZFPB=ZAPB-ZAPF.ZEPA=ZFPB.OP 平分NMON,/.PE=PF.EPA组FPB,：.PA=PB(2)解：VSAPOB=3SAPCB,.点 A 在射线 OM 上，如图 3TN图 1TF图2B N1VPA=PB,NPAB=NPBA=2180-Z APB)O图31Z APB+Z MON=180,ZPOB=2MON1:.Z POB=2180-ZAPB),.*.ZPBC=ZPOBT又NBPC=NOPB,/.APOB APBC PB APC=SA=3 SAPBCB N(3)解：

6、当点A 在射线OM 上时，如图4 VZAPB+ZMON=180,ZMON=60A Z APB=120,/.ZPAB=ZPBA=30,ZBPD=60 V ZPBD=ZABO,.,.ZPBD=ZABO=752OBDNT数学专题之【以三角形为基础】精品解析-作 BEOP 于 EVZMON=60,OP 平分/MON,./BOE=30。V O B=2,，BE=1,OE3,ZOBE=60/.ZEBP=ZEPB=45O,.*.PE=BE=1.,.OP=OE+PE3+1当点A 在 MO延长线上时，如图5 此时NAOB=NDPB=120。VZPBD=ZABO,Z PB A=30,，NPBD=NABO=15。作

7、BE_LOP 于 E,则 NBOE=30。VOB=2,；.BE=1,OE3,Z OBE=60 A ZEBP=ZEPB=45,.*.PE=BE=1.,.OP=OE-PE3-1T图5N3.(北京模拟)已知aA B C 和ADEC都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连接AD、BE,F 为线段AD的中点，连接CF.(1)如图1,当点D 在 BC边上时，BE与 C F的数量关系是，位置关系是，请证明；(2)如图2,把aD EC 绕点C 顺时针旋转a 角(0 a ZACH=ZCBE.*.BE=CH=2CFZCBE+ZBCH=ZACH+ZBCH=90 即 BELCF(3)如图3,设 BE、CF相交

8、于点O,则NGOC=90。作 BC的垂直平分线，交 BG 于点 M,连接 CM 则 BM=CM,ZMBC=ZMCB,/.ZOMC=2ZMBCVAC1DE,ZCDE=45,A ZDCA=45 VZDCF=30,A ZACH=ZCBE=15/.ZOMC=30设 O G=x,则 CG=2x,OC3x,BM=CM=3x OM=3OC=3x,MG=3x-x=2x，BG=BM+MG=23x+2x,BO=BM+MO=23x+3x BG3x+2x；.CG=3+1 2xFE图2AFD图3CENBO23x+3x=3+2 0C3x过 E 作 BC的垂线，交 BC的延长线于NBNBO则 R dB N E sR tB

9、O C,，EN=OC3+2设 E N=t,则 CN=t,CE=2t,BN=(3+2)t,B C=(3+2)t-t=(3+l)t3+l)tBC6+2，C E=22tAC6+2VAB=BC,CD=CE,；.DC=24数学专题之【以三角形为基础】精品解析-4.(上海模拟)如图，ZACB=90,CD是NACB的平分线，点P 在 CD上，C P=2.将三角板的直角顶点放置在点P 处，绕着点P 旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G.(1)当点F 在射线CA上时 求证：PF=PE.设CF=x,EG=y,求 y 与 x 的函数解析式并写出函数的定义域.

10、(2)连接 E F,当aC E F与4EG P相似时，求 EG的长.ACEB备用图(1)证明：过点P 作 PM1AC,P N 1B C,垂足分别为M、N VCD是/ACB的平分线，.*.PM=PN由NPMC=NMCN=NCNP=90。，得NMPN=90。A Z l+ZFPN=90VZ2+ZFPN=90,.,.Z1=Z2/.PMFAPNE,/.PF=PE解：V C P 2,，CN=CM=1VCF=x,APMFAPNE,/.N E=M F=l-x，CE=2xCFCGxCGVCF/PN,，PN=GN,即 1=CG+1MGCNEBx/.C G=l-xx/.y=1 x+2x(0 xl)(2)当ACEF与

11、4EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时VZGPE=ZFCE=90,ZlZPEG A ZG=Z1,；.FG=FE,，CG=CE=C P在RtaEGP中，EG=2CP=22当点F在AC延长线上时V ZGPE=ZFCE=90,.Z 3=Z 2 VZ1=45+Z5,Zl=45+Z2,.*.Z5=Z2 易证N 3=N 4,可得N5=N4，CF=CP2,.,.FM2+1易证PMF丝4PNE,/.EN=FM2+1 CFCG21-GNVCF/7PN,，PN=GN,即 1=GNCEBAM1CGNB5数学专题之【以三角形为基础】精品解析-.GN=2-1；.EG=21+2+1=245.(上海模拟

12、)已知AABC中，AB=AC,BC=6,sinB=5.点P从点B出发沿射线BA移动，同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图，当点P为AB的中点时，求CD的长；(2)如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、C D 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由；(3)如图，当 PQ经过AABC的重心G 时，求 BP的长.B图BE 图QQQ解：(1)过 P 点作PFAC交 BC于F .点P 为 AB的中点，.F为BC的中点 1/.FC=2BC=3BFQVAB=AC,.Z B =ZACB：PFAC,/

13、.ZPFB=ZACB/.Z B =ZPFB,，BP=FP 由题意，BP=CQ,.*.FP=CQ VPFAC,AZDPF=ZDQC又NPDF=NQDC,.,.PFD丝QCD 13，CD=DF=2FC=2图（2）当点P、Q 在移动的过程中，线段DE的长度保持不变 分两种情况讨论:当点P 在线段AB上时过点 P 作 PFAC 交 BC 于 F,由（1）知 PB=PF T P E 1 B C,，BE=EF由（1）知4PFD之ZxQCD,CD=DF 1，DE=EF+DF=2BC=3BQ图得点P 在 BA的延长线上时，同理可得DE=3二当点P、Q 在移动的过程中，线段DE的长度保持不变（3）过点P 作 P

14、ELBC于 E,连接AG并延长交BC于 H V A B=A C,点 G 为AABC的重心，AHBC,BH=CH=3 设 AH=x,则 AB=x+3=x+96数学专题之【以三角形为基础】精品解析4x4V sinB=5=5,解得 x=4x+914，GH=3x=3 34 设 B P=t,则 BE=5t,PE=5t Q 3VBH=DE=3,/.DH=BE=5t GHDH 由DGHS AD PE,得 PE=DE4335t533 即 4=3,解得 t=3BP=35t6.（上海模拟）如图，三角形纸片A BC中，ZC=90,AC=4,B C=3.将纸片折叠，使点B 落在AC边上的点D 处，折痕与BC、AB分别

15、交于点E、F.（1）设 BE=x,DC=y,求 y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）当4A D F是直角三角形时，求 BE的长；（3）当4A D F是等腰三角形时，求 BE的长（4）过 C、D、E 三点的圆能否与AB边相切？若能，求 BE的长；若不能，说 明 理 由.AADB CB CE解：（1）V B E=x,，DE=x,EC=3-x在 RtDEC 中，DC+EC=DE即 y+（3-x）=x,.y=6x9 222222当D 与C 重合时，x 最小3 即 y=6x9=0,x=2当E 与 C 重合时，x 最大，x=33.*.2x3 A(2)当NADF=90。时，则 FDB

16、C/.Z A F D=Z B,又.,NEDF=NB7DBEC数学专题之【以三角形为基础】精品解析，N A FD=N ED F,，DEAB/.A D EC A A B C,:.DEECABBCx3 x15，即BE的长为1553，解得x=88当NAFD=90。时，则/B FE=/D FE=45。作 EG1BF 于 G,则 RtABEGs R S A CBGEGBEBCACABVZC=90,AC=4,BC=3,/.AB=5/.BGEGx34345，BG=5x,EG=5x，FG=EG=43475x,DF=BF=5x+5x=5x由 RtAADFRtAABC,得ADDFAB=BC754-6x9x=53,即

17、 7x+36x9-12=02令 6x9=u,贝x=u+962.7(u+926)+3u-12=0,/.7u+18u-9=0解得uO(舍去)，u3l=-3 2=7(32/.x=7)+9=75，即BE的长为7564949综上，当aA D F是直角三角形时，BE的长为15758 或49(3)当 AF=DF 时，则/A=N FD A VZFDE=ZB,ZA+ZB=90 Z.ZFD A+ZFD E=90,即 NADE=90/.EDAC,；.D 与 C 重合/.x=1332BC=2,即BE的长为2当 AD=DF 时，则 BF=D F=A D=4-6x-9/.A F=5-(4-6x9)=1+6x-9作 DGL

18、AF 于 G,则 RtAADGsRtABCAG=ll2AF=2(1+6x-9)8ADBECABE(D)ADBEC数学专题之【以三角形为基础】精品解析-ADAB4-6x-95 AG=AC1=421+6x-9)27375375 得 6x9=1 3,解得 x=1 6 9,即 BE 的长为 169当 AD=AF 时，则 AF=AD=4 6x-9A D F=B F=5-4-6x-9)=l+6x-9 A作 FHAD 于 H,则 RtAAFHRtAABCAHFHAFAHFH4-6x-9/.AC=BC=AB,.*.4=3=5，AH=16-46x-912-36x-9,FH=55HD 16-46x-94+46x-

19、9/.H C=4-=554+46x946x9；.D H=6x9=55 BEC在 RtaDFH 中，DH+FH=DF2224-6x-9212-36x-922)+()=(l+6x-9)55令 6x9=t,代入上式并化简得15t+130t135=0 2解得 t=510-13 3.6 x-9=510-13250-6510250-6510,解得 x=,即 BE 的长为 3272733752506510综上，当4A D F是等腰三角形时，BE的长为2 或 169或 27(4)假设过C、D、E 三点的圆能与AB边相切DEC是直角三角形，DE是圆的直径A ZDFE=90,/.ZBFE=90，D 点在AB上，不

20、可能.过C、D、E 三点的圆不能与AB边相切(。0 与AB边相离)7.(上海模拟)如图，在 RtZiABC 中，ZBAC=90,AB=6,AC=8,ADBC于 D,点E、F 分别是AB边和AC边上的动点，且NEDF=90。，连接EF.DE(1)求 DF的值；(2)设 AE的长为x,ADEF的面积为S,求 S 关于x 的函数关系式；(3)设直线DF与直线AB相交于点G,ZEFG能否成为等腰三角形？若能,求 AE的长；若不能，请说明理由.AAAB DCB D备用图C B D 备用图C数学专题之【以三角形为基础】精品解析解：V ZBAC=90,.,.Z1+Z2=9OVADBC,/.Z C+Z 2=9

21、0o.Z1=ZCVZEDF=90,.,.Z 3+Z 5=90 VADBC,A Z4+Z5=902 A Z 3=Z 4F AAADEACDFDEADAB63，DF=CD=tan N C=AC=8=4BD C AEDE3(2)V AADEACDF,/.CF=DF=4444/.CF=3AE=3x,；.AF=8 3x422526422 AEF=x+(83x)=9x3x+64DEAB DF=AC,ZEDF=NBAC=90.,.DEFAABCE F，=SAABCBCS21222VSAABC=2X6X8=24,BC=6+8=100242526422128384 AS=100(9x-3x+64)=3x25x+

22、2522128384 即 S=3x-25x+250 x6)(3)假设AEFG能成为等腰三角形当点G 在 AB延长线上时，由于NGEFN90。，所以只能EF=EGZ.ZG=Z6VADEFAABC,/.Z 6=Z CVZ1=ZC,/.Z G=Z 1A DA=DG=D F,，EF=AB,AEF=AB2526442，9x3x+6 4=3 6,解得 x=6(舍去)或 x=25 22FC GD42此时AE的长为25当点G 在 BA延长线上时，由于NEFGN90。，所以只能FE=FG.*.ZG=ZAEF 10 F数学专题之【以三角形为基础】精品解析DEDE1 而 tan/G=D G=D F+FG=4=35E

23、F+EF35EFAFtanZ AEF=AE=483x x=244x3xA 24-4x124=,解得 x=3x3524此时AE的长为54224综上所述，4E FG 能成为等腰三角形，此时AE的长为25或 58.（上海模拟）如图，在 RtABC 中，ZC=90,AC=4,BC=5,D 是 BC边上一点，CD=3,P 是 AC边上一动点（不与A、C 重合），过点P 作PEBC交 AD于点E.（1）设AP=x,D E=y,求 y 关于x 的函数关系式；(2)以PE为半径的。E 与以DB为半径的。D 能否相切？若能，求 tanNDPE的值；若不能，请说明理由；(3)将4ABD沿直线AD翻折，得到A B

24、D,连接EC、B C,当NACE=NBCB时,求 AP的长.APC B C B D D 备用图解：(1)在 RtZSACD 中，AC=4,CD=3,AD=5 A5-yAPAEx：PEBC,；.AC=A D,即 4=5P5；.y=4x+5(0 x4)35(2)对于(DE,rE=EP=4x；对于。D,rD=DB=2；圆心距 E D=-4x+5CDB35 当两圆外切时，rE+rD=ED,；.4x+2=4x+535 解得 x=2,/.PC=2.PE/BC,/.ZDPE=ZPDCA11PCD数学专题之【以三角形为基础】精品解析PC5/.tanZDPE=tanZPDC=CD=635当两圆备用图(1)证明：

25、:C P 经过B1.,.CP=2AB=AP,/.ZA=ZA C P又./ACP+NDCB=90,ZCBD+ZDCB=90/.Z C B D=Z A,又NBDC=ZACB=90.,.BCDAABC(2)解：VBC=2,cotA=2,/.AC=4过点 P 作 PE I AC 于 E,则 AP=5t,PE=t,AE=2t EC=4-2t,PCt+(4-2t)由 ZPCE=Z C B D,得 RtACPERtABCDDPB12A数学专题之【以三角形为基础】精品解析-SABC2S4Z.=(PC),即 1 =SACPEt+(4-2t)2(4-2t)t8 t-4 t.S=0 t5)(2)过点B 作 BHLP

26、C于H.PB 平分NCPQ,B Q 1 P Q,，BH=BQ=y 324424VBH=5BC=5,；.5x4=5x=11(3)VZBQF=ZACB=90,ZQBF=ZA.BFQAABC当aB E F和a a B F 相似时，则4B EF和AABC也相似 有两种情况：当/B E F=N A 时5在 RtEBF 中，ZEBF=90,BE=5,BF=3yPFC544；.3(5x-4)=3 5,解得 x=10当NBEF=NABC时5在 RtEBF 中，ZEBF=90,BE=5,BF=3yPFB543125；.3(5x4)=4 5,解得 x=16125.当4B EF和4Q B F相似时，求x 的值为10

27、或 16c1 1.（上海模拟）如图1,在 RtZAOC中，AO_LOC,点B 在 0 C 边上，0B=6,BC=12,ZA B O+ZC=90,动点M 和 N 分别在线段AB和AC边 上.（1）求证：A O B s cO A,并求cosC的值；（2）当AM=4时，AAMN与aA B C 相似，求aA M N 与AABC的面积之比;（3）如图2,当 MNBC时，以MN所在直线为对称轴将AAMN作轴对称变换得A EM N.设 MN=x,AEMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求 y关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.NEOCOCB B图 1 图2解：（1）.AOLOC,.NABO

28、+NBAO=90 V ZABO+ZC=90,/.ZBAO=Z C14数学专题之【以三角形为基础】精品解析-VZAOB=ZCOA,.AOBACOA A OB:OA=OA:OCVOB=6,BC=12,：.6:OA=OA:18AOA=6 3，AC=OC+OA=18+(63)=3cosC=OC183AC=32(2)VcosC=32,A ZC=30VtanZABO=OA63OB63,ABO=60，NBAC=30。，AB=BC=12 当NAMN=NABC 时(如图 1),AAMN ABC.AM=4,AS2222AMN:SAABC=AM:AB=412=1:9 当N A M N=/C 时(如图 2),AAMN

29、AACBVAM=4,AS2222 AMN:SAABC=AM:AC=4：(3)=1：27(3)易得SUABC2BC2OA=2x12x63=3VMN/7BC,AAAMNAABC.S2222AMN:SAABC=MN:BC,ASAAMN:3=x12AS32AMN4x当EN与线段AB相交时，设 EN与AB交于点F(如图3)：MN/BC,.,.ZANM=ZC=30 ZANM=ZBAC,；.AM=MN=x,/以 MN所在直线为对称轴将aA M N 作轴对称变换得aEMN/.ZENM=ZANM=30,.,.NAFN=90.MF=1112MN=2AM=2x/.SAFMN:SAAMN=MF:AM.,.y32=1:

30、4x2 x:x=l:2Ay=328x(0 x8)当EN与线段AB不相交时，设 EN与 BC交于点G(如图4);M N/BC,ACN:AC=BM:ABACN:123=(12-x):12,/.C N=123-3xVACNGACBA,AS:SACNG AABC=CN:BCAS(3-3x)22CNG:363=:12AS32CNG4(123-3x).S3232阴影=SaABCSAAMNSACNG=3-4 x 4(123 3x)15AOBC图 1AMOBC图2EOBC图3OCE图4数学专题之【以三角形为基础】精品解析2即 y=-3x+183x 3(8VxV12)1 2.(上海模拟)把两块边长为4 的等边三

31、角板ABC和DEF如图1放置，使三角板DEF的顶点D 与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B,射线DE与射线AB相交于点M.把三角板ABC固定不动，将三角板DEF绕点D 按逆时针方向旋转，设旋转角为a,其中(TVa 9 0 ,射线DF与线段BC相交于点Q(如图2).(1)当0。(160。时，求AM2CN的值；(2)当0。0160。时，设 A M=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求 y 与x 的函数关系式并确定自变量x 的取值范围；(3)当BM=2时，求两块三角板重叠部分的面积.EDDEC N C B C F图2 图 1 备用图F解：(1)：aABC 和4DEF 是等边三角形，/.Z

32、E D F=Z C=Z:ZADM+ZEDF=ZDNC+ZC,:.ZADM=ZDNCAMADA AAMDACDN,；.CD=CN.,.AM2CN=AD2CDVAD=CD=2,/.AM2CN=4（2）过点 D 作 DPLAB 于 P,DQLBC 于 Q（如图 1）可得 DP=DQ=3 4VAM=x,/.CN=x32114.*.y=SAABC-SAAMD-SACDN=424-2x3-2x23323.*.y=432xxl x 4）图2（3）当M 在边AB上 时（如图1）VBM=2,/.A M=2,即x=2，y=2 3,即两块三角板重叠部分的面积为3 当M 在 AB延长线上时（如图2）设 DE与BC交于

33、点R,过点D 作 DGB C,交 AB于点G 则 BG=BM=DG=2,，AM=6,BR=1 27，CN=3,ARN=3173/.y=SADRN=233=616数学专题之【以三角形为基础】精品解析73综上所述，两块三角板重叠部分的面积为23和 61 3.(上海模拟)如图，在4ABC 中，ZACB=90,ZA=60,AC=2,CD A B,垂足为点D,点E、F 分别在边AC、BC上，且NEDF=60。.设 AE=x,BF=y.(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当4B D F是等腰三角形时，求 x 的值；(3)以DF为直径的圆能否与AC相切？如果能，求 tan/A

34、 ED 的值；如果不能，请说明理由.AECB F解：(1)如图，作 DG_LAC 于 G,FHLAB 于 H,FKLCD 于 K在 RtaABC 中，ZA=60,AC=2,，AB=4,BC=2313ACD=3,AD=1,AG=2,DG=213FH=2y,BH=2y AGDH=KF=CF2cos30。=(BC-BF)cos3033=(23-y)x2=3-2y ECFBVZADG=30,NEDF=60,A ZEDG+ZFDH=90又NEDG+NDEG=90,.*.ZDEG=ZFDH3122yDGFH/.RtADEGAFDH,/.E G=D H,即 l=3x-23-2y33.*.y=x+l.当点E

35、与点G 重合时，点F 与点C 重合1,自变量x 的取值范围是2xZDCBZB,ADF/DB3当 BF=BD 时，x+l=3,，x=31当 DF=BF 时，则 DH=BH,2BH=BD17数学专题之【以三角形为基础】精品解析-3即 2x2y=3,：.y33，x+l=3,.*.x=2(3)作 DG1AC于G,DH1BC于H,设以DF为直径的。O 与 AC相切于I,连接0 1 则01是梯形CFDG的中位线113531.,.OI=2CF+DG)=2(23-y+2)=4-2y113在 RtADFH 中，DH=2BD=24-1)=23FH=|CH-CF|=|DGCF|=|2一(23 一 y)|33=ly-

36、2|9332由勾股定理得DF=DH+FH=4+(y-2)222由题意知 D F=2 0 L，DF=401 93325312 得 4+(y2)=4(42y)2239133整理得23y=4,即y=83133111H9.*.x+l=8,/.x=13,/.GE=13-2=2632DG133.,.tanZAED=GE=9=9261 4.(上海模拟)如图，P 是线段AB上任意一点(不与点A、B 重合)，分别以AP、BP为边，在 AB的同侧作等边aA PD 和等边B PC,连接BD与 PC交于点E,连接CD.(1)当BC_LCD时，试求NDBC的正切值；AP(2)若线段CD是线段DE和 DB的比例中项，试求

37、此时PB的值；(3)记四边形ABCD的面积为S,当 P 在线段AB上运动时，S 与 B D 是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，请说明理由.B P P 备用图解：(1).等边4A PD 和等边4BPC182B数学专题之【以三角形为基础】精品解析.,.PC=BC,ZCPD=60,PDBC 当 BCCD 时，tanZDBC=CDCDBCPC/.PD1CDCD3PC=sinZCPD=sin60=2AZDBC的正切值为32(2)由已知，CD2,即DECD=DE*2DB CD=DB 又NCDE=NBDC,.CDEABDC:.DECDCECDDBBC又 CP=BCCECEBCCPVPD

38、/7BC,CEBECPBDCDCEBEDBCPBD,.*.CD=BEDEBEBEBD,即点E 是线段BD的黄金分割点DEBE5-1BEBD2又 PCADAPDE5-1PBBE2(3)设 AP=a,P B=b,则 S3232APD=4a,SABPC=4bVAD/7PC,PDBC:.SAADSAPDSPCPDC,SABPCBCSASAS,AS3PDCSAAPD2SABPC=PDC SABPC4abAS=3224(a+ab+b)作 D H LA B,则 DH=312 a,BH=2a+b/.BD22BH2321222=DH+=4a+(2 a+b)=a+ab+bS3BD4AS 与 BD23 成正比例，比

39、例系数为41 5.（上海模拟）如图，在aA B C 中，AB=AC=5,BC=6,D 是AC边的中点，E 是BC边上一动点（不与端点重合），19PBDECH数学专题之【以三角形为基础】精品解析-EFBD交AC于 F,交AB延长线于G,H 是BC延长线上的点,且 CH=B E,连接 F H.设 BE=x,CF=y.(1)求 y 关于x 的函数关系式；(2)连接A E,当以GE为半径的。G 和以FH为半径的。F 相切时，求 tanNBAE的值；(3)当4BEG 与FCH相似时，求 BE的长.DDB CC备用图备用图CFCE 解：(1).EFBD,；.CD=CBy6x55 即 5=6,/.y=2 1

40、2x2(2)VCH=BE,BC=BE+EC,EH=EC+CHZ.EH=BC=6当以GE为半径的。G 和以FH为半径的。F 相切时，GE+FH=GF又 G E+FE=G F,，FE=FH133x 作 FMLEH 于 M,则 EM=2EH=3,MC=5y=2-4A3xVEM+MC=EC,；.3+24=6-x,解得 x=2DCH 3648 作 EN I AB 于 N,则 BN=5BE=5,EN=5BE=5EPM619.AN=AB-BN=5-5 =5EN8/.tanZBAE=AN=19(3)作 FPAG 交 BC 于 P,则NFPC=NABCVAB=AC,.，.ZACB=ZABC553xx；.NFPC

41、=NACB,/.FP=FC=2-12x,E P=6-x-2(2-4)=3-2：FPAG,/.APEFABEG若BGES F C H,则PEFSFCH 20数学专题之【以三角形为基础】精品解析-PECF于是P F=C H,即55212xx3-255-212x=x150解得x=6（舍去）或 x=97PECHx 或 P F=C F,即 5=555212x212xx3-2解得x=2150综上所述，当4BEG 与aFC H 相似时，BE的长为97或 21 6.（上海模拟）如图，ABC 中，ZABC=90,AB=B C=4,点 O 为 AB边的中点，点 M 是 BC边上一动点（不与点B、C 重合），A D

42、 1A B,垂足为点A.连接M O,将aBO M 沿直线MO翻折，点B 落在点B1处，直线MB1与 AC、AD分别交于点F、N.（1）当NCMF=120。时，求 BM的长；（2）设 BM=x,y=CMF的周长,求 y 关于x 的函数关系式。并写出自变量x 的取值范ANF的周长围；(3)连接N O,与AC边交于点E,当FM CsaA EO 时，求 BM的长.DN解：(1)VZCMF=120,/.ZBMN=60.,.ZBMO=30.RtAMOB 中，BM=OB2cot30=23(2)连接 ON,VOA=OB=OB1,ON=ONA RtAANORtABlNO,NAON=NB1ON,AN=B1N 又.

43、/MOB1=/MOB,A Z MON=90VZOB1M=ZB=90,/.MBIOAOBIN,2.*.OB1=B1M2B1N又 BlM=BM=x,OB1=OB=2442.*.2=x2BlN,/.BlN=x,/.AN=xVADAB,A Z DAB=90又 NB=90。，；.ADBC,AACMFAANFCMBAOBCDBNMAOBCDNB(FM21AOB数学专题之【以三角形为基础】精品解析CMF 的周长 CM4-X12*.y=AN=4=4x+xANF的周长x12即 y=-4 x +x(0 x4)(3)由题意知：ZEAO=ZC=45若 FMCS/XA E O,则有两种情况：NFMC=NAEO或NFMC

44、=NAOE当NFMC=NAEO 时，有NCFM=NAOE D C 由(2)知NAOE=NB1OE=NOMFN.,.ZC FM=ZO M F,，OMAC/.ZOMB=ZC=45 ARtAMOB 中，BM=OB2cot450=21当/FM C=NAOE 时，V ZAOE=ZOMFM/.ZFMC=ZOMF=ZOMB=603.MOB 中，BM=OB2cot60=3AOB23综上所述，当FMCs/xAEO时，求 BM的长为2 或 331 7.（上海模拟）如图，在4A B C 中，AB=AC=10,cosB=5,点 D 在射线AB 上，DEBC1交射线AC于点E,点F 在 AE的延长线上，且 E F=4A

45、 E,以DE、EF为邻边作C1DEFG,连接BG.（1）当EF=FC时，求4A D E的面积；（2）设 AD=x,DDEFG与aA B C 重叠部分的面积为y,求 y 与 x 的函数关系式；（3）当点F 在线段AC上时，若ADBG是等腰三角形，求 AD的长.EFB CB备用图解：（1）作AHLBC于 HBH3在 RtABH 中，cosB=AB=5,AB=10C，BH=6,A AH=8VAB=AC,.BC=2BH=12 1A SAABC=2x 12x8=481AE42VEF=4AE,EF=FC,.*.AC=6=322HEFCB数学专题之【以三角形为基础】精品解析SAADEAE24V D E/B

46、C,，ADEs ABC=(AC)=9SAABC4464Z.SAADE=9SAABC=948=3(2)设 AH 交 DE、GF 于点 M、N AEAMDE.DEBC,/.AC=AH=BC46V A D=x,，AM=5x,DE=5x11VMN=4AM=5x当点F 在线段AC上时6162/.y=SaDEFG=5X25X=25X(0X8)(0 x8)262(3)V BO A C,/.ZA ZA BC.DGAC,ZBDG=ZAZABCZDBG.*.BGDG作 FP_LBC 于 P,GQLBC 于 Q543在 RtFPC 中，FC=10-4x,sinC=sinZABC=5cosC=cosZABC=5363

47、9，FP=8-x,PC=6-4x,.,.B Q=12-5x-(6-4x)=6-20 xZ.BG=922(8x)+(620 x)A1在ADBG 中，DB=10-x,DG=4x1若 DB=D G,则 1 0-x=4 x,解得 x=8EFPC若 DB=B G,则 10 x=922(8-x)+(6-20 x)BQ560解得xl=0(舍去)，x2=81560综上所述，若ADBG是等腰三角形，AD的长为8 或 8123数学专题之【以三角形为基础】精品解析118.（上海模拟）如图，在 RtABC 中，ZACB=90,cosZBAC=3,点 0在 AB上，且 CA=C 0=6.将 4A B C 绕点A 顺时针

48、旋转得到ABC，且C落在CO 的延长线上，连接BB,交CO的延长线于点D,(1)求证：ACOAABOD(2)求 BD 的长.B CA(1)证明：VZBAC=ZB,AC.,.ZC A C=ZB,AB,1 VAC=AC,，ZACC=ZAC,C=2180-ZCAC,)1VAB=AB,NABB，=NABB=2180。一 NBAB。，ZACC,=ZABB,又NCOA=NBOD,/.ACOAABOD(2)解：VCA=CO,A C O A A B O D,，BD=BO1VCOSZBAC=3,CA=CO=6,/.BA=18 B 1 过 C 作 CELAB 于 E,则EA=3CA=2,OA=2EA=4C.,.B

49、D=BO=BA-O A=18-4=14A1 9.(安徽)如图1,在AABC中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边AB上，ABDG与四边形ACDG的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c.(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分NEDF；(3)连接C G,如图2,若4BDG与4D FG 相似，求证：BG1CG.AA EEBCD图 1(1)解：.BDG与四边形ACDG的周长相等，且 BD=D C B C D 图2 24数学专题之【以三角形为基础】精品解析11，BG=AG+AC=2(AB+AC)=2b+c)11(2)证明：.点 D、F 分别是 BC、AB 的中点，.DF=2AC=2b11

50、1又,；FG=BG-BF=2(b+c)-2c=2b，DF=FG,.，.ZFDG=ZFGD.点 D、E 分别是 BC、AC 的中点，；.DEAB/.ZEDG=ZFGD,/.ZFDG=ZEDG 即 DG 平分NEDF(3)证明：.BDG 与4DFG 相似，ZDFGZB,NBGD=NDGF(公共角)ZB=ZFDG由(2)知NFGD=NFDG,/.ZFG D=ZB,DG=BDVBD=D C,，DG=BD=DC,；.B、G、C 三点在以BG为直径的圆周上ZBGC=90,EP BGCG32 0.(浙江金华、丽水)在aA B C 中，ZABC=45,tanZA C B=5.如图，把ABC的一边10BC放置在