高中数学必修4全套学案.docx

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1、第一章 三角函数1.1随意角和弧度制1.1.1随意角课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI根底自学一、角的概念1角的概念(1)角可以看成是一条射线围着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形(2)角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边；终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边2角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角根据逆时针旋转而成的角负角根据顺时针旋转而成的角零角当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角二、象限角1象限角：假设角的顶点在原点，角的始边及x轴非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角2轴线角：假设

2、角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何象限三、终边一样的角设表示随意角，全部及角终边一样的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为|k360，kZ自我小测1推断(正确的打“，错误的打“)(1)讨论终边一样的角的前提条件是角的顶点在坐标原点()(2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不肯定是锐角()(3)象限角及终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的()提示：(1)(2)(3)2做一做(1)以下各组角中，终边不一样的是()A60及300 B230及950C1050及300 D1000及80答案C(2)将885化为k360(0360，kZ)的形式是_答案195(3)360课堂合作探究 KETANG

3、HEZUOTANJIU1终边一样的角之间有什么关系？提示：及终边一样的角，可表示为k360(kZ)，即两角相差360的整数倍2如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？提示：终边在x轴非负半轴上的角：k360(kZ)；终边在y轴上的角：90k180(kZ)；第二象限角：90k360180k360(kZ)题型一 正确理解角的概念例1以下结论：锐角都是第一象限角；第一象限角肯定不是负角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确的序号为_(把正确结论的序号都写上)解析锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以正确；330角是第一象限角，但它是负角，所以不正确；48

4、0角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确；0角小于180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确答案角的概念的理解正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外须要驾驭推断结论正确及否的技巧，推断结论正确须要证明，而推断结论不正确只需举一个反例即可【跟踪训练1】(1)经过2个小时，钟表上的时针旋转了()A60 B60C30 D30(2)如图_，_.答案(1)B(2)150210解析(1)钟表的时针旋转一周是360，其中每小时旋转30，所以经过2个小时应旋转60.题型二 终边一样的角的表示及象限角例21910.(1)把写成k360(kZ,0360)的

5、形式，指出它是第几象限的角；(2)求，使及的终边一样，且7200.解(1)19103606余250，19106360250.相应250，从而6360250是第三象限的角(2)令250k360(kZ)，取k1，2就得到合适7200的角：250360110，250720470.110或470.变式探究及1560角终边一样的角的集合中，最小正角是_，最大负角是_答案240120解析及1560角终边一样的角的集合为|k360240，kZ，所以最小正角为240，最大负角为120.怎样表示终边一样的角及象限角(1)终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0360范围内的角，然后再加k360(k Z)组成集合

6、即可(2)象限角的断定有两种方法：一是根据图形断定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角二是根据终边一样的角的概念把角转化到0360范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角【跟踪训练2】在0到360范围内，找出及以下各角终边一样的角，并断定它们是第几象限的角(1)120；(2)640；(3)95012.解(1)120360240，在0到360范围内，及120终边一样的角是240角，它是第三象限的角(2)640360280，在0到360范围内及640终边一样的角是280角，它是第四象限的角(3)95012336012948，在0到360范围内及95012终边一样

7、的角是12948，它是第二象限的角题型三 区域角的表示例3写出终边落在阴影部分的角的集合解设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ角的集合应当是集合及的并集：|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kZ|k18030k180105，kZ变式探究将例3改为以下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)解(1)|45k1

8、8090k180，kZ(2)|150k360150k360，kZ表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，写出全部及，终边一样的角(3)用不等式表示区域内的角，组成集合【跟踪训练3】写出终边在如以下图所示阴影部分内的角的取值范围解(1)及45角终边一样的角的集合为|45k360，kZ，及30180150角终边一样的角的集合为|150k360，kZ，因此终边在阴影部分内的角的取值范围为|150k36045k360，kZ(2)方法同(1)，可得终边在阴影部分内的角的取值范围为|45k360300k360，kZ规律小结(1)弄清

9、角的始边及终边(2)结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度(3)留意逆时针旋转及顺时针旋转的区分(1)前提条件：角的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合；(2)并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：终边所在的位置角的集合x轴非负半轴|k360，kZx轴非正半轴|k360180，kZy轴非负半轴|k36090，kZy轴非正半轴|k360270，kZ终边一样的角时应留意的问题(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)是随意角；(3)k360及之间是“号，如k36030应看成k360(30)(kZ)；(4)终边一样的角不肯定相等，但相等的角终边肯定一样

10、走出误区易错点分角所在象限及范围的确定的误区典例假设是第三象限的角，那么是()错解档案因为是第三象限的角，所以取210，得到70，是第一象限的角，应选A.误区警示第三象限的角有多数个，用210得到70而选择答案A，犯了以偏概全的错误标准解答因为是第三象限的角，所以k360180k360270(kZ)，那么k12060k12090(kZ)，取k0，得到可在第一象限；取k1，得到可在第三象限；取k2，得到可在第四象限应选D.矫正训练假设为第二象限的角，那么为第几象限角？解假设为第二象限角，那么有k36090k360180，kZ那么k18045k18090，kZ那么k2n(nZ)时，为第一象限角；k

11、2n1(nZ)，为第三象限角故为第一或第三象限角.随堂消化汲取 SUITANGXIAOHUAXISHOU12021吉林试验高一期中以下表达正确的选项是()A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B钝角是第二象限角C第二象限角比第一象限角大D不相等的角终边肯定不同答案B解析三角形的内角是第一象限角、第二象限角或在y轴非负半轴上的角，故A错误；钝角是第二象限角，B正确；象限角不能比较大小，故C错误；不相等的角终边也可能一样，如40和400，故D错误22021山东枣庄模拟假设是第四象限角，那么180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析因为及180的终边关于点(0,0)对

12、称，所以角180的终边在第二象限3假如将钟表拨快10分钟，那么时针所转成的角度是_度，分针所转成的角度是_度答案560解析将钟表拨快10分钟，那么时针按顺时针方向转了105，所转成的角度是5；分针按顺时针方向转了1060，所转成的角度是60.4假设为锐角，那么k360(kZ)在第_象限答案四解析由于090，所以900，所以是第四象限角，从而k360(kZ)在第四象限52021大连高一检测写出及以下各角终边一样的角的集合S，并把S中合适不等式360720的元素写出来：(1)60；(2)21.解第一步：利用终边一样的角的集合公式写出：(1)S|60k360，kZ；(2)S|21k360，kZ第二步

13、：在第一步的根底上，利用约束条件对其中的k值分别采纳赋值法求出元素；(1)300，60，420；(2)21，339，699.课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟总分值：60分一、选择题(每题5分，共25分)1130，那么的终边落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析130360230，而230是第三象限角，的终边落在第三象限2角的终边落在直线yx上，那么角的集合S()A|k36045，kZB|k9045，kZC|k360225，kZD|k18045，kZ答案D解析此题考察终边在特殊直线上的角以及分类讨论的数学思想由于角的终边落在直线yx上，故角

14、在0360内所对应的两个角分别为45及225，从而角的集合S|k36045或k360225，kZ|k18045，kZ，应选D.3假设是钝角，那么k180，kZ是()A第二象限角B第三象限角C第二象限角或第三象限角D第二象限角或第四象限角答案D解析当k为偶数时，k180，kZ是第二象限角，当k为奇数时，k180，kZ是第四象限角4角、的终边互为反向延长线，那么的终边在()Ax轴的非负半轴上 By轴的非负半轴上Cx轴的非正半轴上 Dy轴的非正半轴上答案C解析由题意知180应及终边一样，即180k360(kZ)，180k360.应选C.5角2的终边在x轴上方，那么是()A第一象限角 B第一或第二象限

15、角C第一或第三象限角 D第一或第四象限角答案C解析由条件知k3602k360180，(kZ)，k180k18090(kZ)，当k为偶数时，在第一象限，当k为奇数时，在第三象限二、填空题(每题5分，共15分)62021广东佛山一中期中终边在x轴上的角的集合是_答案|180k，kZ解析此题考察终边一样的角的概念终边在x轴正半轴上的角的集合为|360k，kZ，终边在x轴负半轴上的角的集合为|180(2k1)，kZ，所以终边在x轴上的角的集合为|180k，kZ7时钟的时针走过了1小时20分钟，那么分针转过的角为_答案480解析时针走过了1小时20分钟，那么分针转了圈，又因顺时针旋转的角为负角，分针转过

16、的角为360480.8假设集合Mx|xk9045，kZ，Nx|xk4590，kZ，那么M_N(填“)答案解析Mx|xk9045，kZx|x45(2k1)，kZ，Nx|xk4590，kZx|x45(k2)，kZ，kZ，k2Z，且2k1为奇数，MN.三、解答题(每题10分，共20分)9如下图，试写出终边落在阴影区域内的角的集合S(包括边界)，并指出95012是否是该集合中的角解由题图可知，终边落在阴影区域内的角的集合S|120k360250k360，kZ95012336012948，且12012948250，95012是该集合中的角10为第二象限角，问2，分别是第几象限角？解是第二象限角，90k3

17、60180k360，kZ，1802k36023602k360，kZ.2是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角同理4536090360.当k为偶数时，不妨令k2n，nZ，那么45n36090n360，此时，为第一象限角；当k为奇数时，令k2n1，nZ，那么225n360270n360，此时，为第三象限角为第一或第三象限角1.1.2弧度制课前自主学习 KEQIANZIZHUXUEXI根底自学一、弧度的概念单位制内容角度制周角的为1度角，记作1；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，

18、1弧度记作1 rad弧度数角的弧度数的肯定值|(其中l是以角作为圆心角时所对的弧长，r是圆的半径)，一般地，正角、负角和零角对应的弧度数分别是正数、负数和零二、角度及弧度的换算角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 rad rad1 rad57.30一些特殊角的度数及弧度数的对应表度030456090120135150180弧度0三、扇形弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，为其圆心角，那么类别为角度制为弧度制扇形的弧长lrlr|扇形的面积Sr2Sr2|rl自我小测1推断(正确的打“，错误的打“)(1)“度及“弧度是一样的，都是用来度量角的单位(

19、)(2)终边落在x轴非正半轴上的角可表示为k360(kZ)()(3)1 rad的角和1的角大小一样()(4)用圆心角所对的弧长及半径的比来度量圆心角是合理的()提示：(1)(2)(3)(4)2做一做(1)半径为2，圆心角为的扇形的面积是()A. BC. D.答案C解析由扇形面积公式Sr2|可得S4，应选C.(2)角度及弧度互化：_；75_.答案210课堂合作探究 KETANGHEZUOTANJIU1角度制及弧度制如何换算？提示：3602 rad,180 rad,1 rad，1 rad57.30.2扇形的弧长及面积的计算公式是什么？提示：l|r，Slr|r2.题型一 弧度制的概念例1以下命题中，

20、假命题是()A“度及“弧度是度量角的两种不同的度量单位B一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D不管是用角度制还是用弧度制度量角，它们均及圆的半径长短有关解析根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小及圆的半径长短无关，而是及弧长及半径的比值有关，所以D是假命题选项A、B、C均为真命题答案D“度及“弧度的区分和联络(1)弧度制是以“弧度为单位来度量角的单位制，角度制是以“度为单位来度量角的单位制(2)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1的角是周角的.(3)无论是以“弧度还是以“度为单位，角的大

21、小都是一个及半径大小无关的值【跟踪训练1】以下命题中，真命题是()A一弧度是一度的圆心角所对的弧B一弧度是长度为半径的弧C一弧度是一度的弧及一度的角之和D一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案D解析根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角比照各选项，可知D为真命题应选D.题型二 弧度和角度的换算例2将以下角度及弧度进展互化(1)20；(2)15；(3)；(4).解(1)2020.(2)1515.(3)105.(4)396.角度制及弧度制互化的考前须知(1)用“弧度为单位度量角时，“弧度二字或“rad可以省略不写(2)用“弧度为单位度量

22、角时，常常把弧度数写成多少的形式，如无特殊要求，不必把写成小数(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度【跟踪训练2】(1)450化成弧度是_(2)化成角度是_答案(1)(2)252解析(1)450450.(2)252.题型三 用弧度表示角例3(1)把以下角化为2k(02，kZ)的形式：；315.(2)用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)解(1)4.02，4.3153152.02，3152.(2)330360302，而60，它所表示的区域位于及之间且跨越x轴的正半轴所以.弧度制表示角的考前须知(1)用弧度表示区域角，本质是角度表示区域角在弧度制下的应用

23、，必要时，需进展角度及弧度的换算留意单位要统一可以先写(，)或(0,2)内的角，再加上2k，kZ.(2)终边在同始终线上的角可以合并为x|xk，kZ；终边在互相垂直的两直线上的角可以合并为.【跟踪训练3】(1)把1480写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)假设4，0，且及(1)中终边一样，求.解(1)148010，又00)(1)由，得解得或由|可得：或6.(2)扇形的面积SlR(82R)R(R2)24(0R4)，所以，当且仅当R2时，S获得最大值4.这时，l82R4，可求出：2.又020)，那么有解得或，由|得4或1.扇形周长及面积的最值(1)当扇形周长肯定时，扇形的面积有最大值其求法是把

24、面积S转化为关于r的二次函数，但要留意r的取值范围特殊留意一个扇形的弧长必需满意0l2r.(2)当扇形面积肯定时，扇形的周长有最小值其求法是把扇形周长L转化为关于r的函数，但要留意r的取值范围【跟踪训练4】扇形AOB的圆心角为120，半径长为6，求：(1) 的长；(2)弓形AOB的面积解(1)120，l64，的长为4.(2)S扇形OABlr4612，如下图又SOABABOD(D为AB中点)26cos306sin309.S弓形OABS扇形OABSOAB129.规律小结(1)区分单位不同弧度制以“弧度为度量单位，角度制以“度为度量单位；定义不同(2)联络不管以“弧度还是以“度为单位的角的大小都是一

25、个及圆的半径大小无关的定值(1)弧度制及角度制的互化是一种比例关系的变形，详细变更时，可牢记以下公式：，只要将数值填入相应的位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可；(2)如无特殊要求，不必把写成小数；(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度；(4)同一个式子中角度和弧度不能混用走出误区易错点角度制及弧度制的应用误区典例将1485化成2k(02，kZ)的形式为_错解档案因为14854360454360(360315)5360315，所以1485化为2k形式应为10315.误区警示只考虑了将1485写成了“2k的组合形式，而无视了对的要求，无视了角度和弧度的统一，这是初学者极易犯的一

26、个错误标准解答由14855360315，所以1485可以表示为10.矫正训练将化成k360(0360，kZ)的形式为_答案236045解析76572045236045，故236045.随堂消化汲取 SUITANGXIAOHUAXISHOU11920转化为弧度数为()A. B.C. D.答案D解析1弧度，19201920.2假设3，那么角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析3171.9，3表示的角的终边在第三象限32021南昌市高一月考扇形的半径为R，面积为R2，那么这个扇形中心角的弧度数是_答案2解析由l|R及SlR，得S|R2.|2.4用弧度制表示终边落在第二象

27、限的角的集合为_答案解析假设角的终边落在第二象限，那么2k2k，kZ.5将以下各角转化成2k(kZ)，且02的形式，并指出它们是第几象限角：(1)1725；(2).解(1)172553607510，1725角及角的终边一样又是第一象限角，1725是第一象限角(2)20，角及角的终边一样又是第三象限角，是第三象限角,课后课时精练 KEHOUKESHIJINGLIAN时间：25分钟总分值：60分一、选择题(每题5分，共25分)1300化为弧度是()A BC D答案B解析1 rad，300 rad.2.弧度化为角度是()A278 B280C288 D318答案C解析1 rad，288.32021清华

28、附中月考假设角，的终边关于y轴对称，那么，的关系肯定是()ABC(2k1)(kZ)D(2k1)(kZ)答案D解析此题考察关于y轴对称的两个角之间的关系角，的终边关于y轴对称，那么画图可知(2k1)(kZ)，D选项正确；也可以用特殊值方法，例如取，或，结合选项可知D正确应选D.42021兰州一中高一期末扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，那么扇形的面积为()A2 B4C8 D16答案B解析由SlR及|，得S4.52021浙江永嘉高一月考集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2m，mZ时，2m2m，mZ；当k2m1，mZ时，2m2m，mZ，所以选C.二、填空题(每题5分，共1

29、5分)6角度制及弧度制间的互化：(1)1095_rad；(2)_.答案(1)(2)405解析(1)10951095.(2)405.7假设圆的半径为6 cm，那么15的圆心角所对的弧长为_，扇形面积为_(用表示)答案 cm cm2解析1515，l|r6 cm，Slr6 cm2.8圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，那么该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的_答案解析此题考察弧长公式的应用设原来圆的半径为r，弧长为l，圆心角为，那么lr，设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为1，那么1，故.三、解答题(每题10分，共20分)9800.(1)把改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限角；(2

30、)求角，使及角的终边一样，且.解(1)8003360280，280，800(3)2.角及终边一样，角是第四象限角(2)及角终边一样的角可写为2k，kZ的形式，而及终边一样，2k，kZ.又，2k0)，r，那么随意角的三角函数的定义：三角函数定义表示式定义域sinsinRcoscosRtantan二、三角函数值的符号记忆口诀：“一全正、二正弦、三正切、四余弦三、诱导公式(一)名称符号语言文字语言诱导公式(一)sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)终边一样的角的同名三角函数值相等自我小测1判一判(正确的打“，错误的打“)(1)sin，cos，tan中可以

31、将“及“sin“cos“tan分开()(2)同一个三角函数值能找到多数个角及之对应()(3)sinsinsin.()提示：(1)(2)(3)2做一做(1)假设sin0，且tan0，那么角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案D解析假设sin0，那么为第三或第四象限角假设tan0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦2诱导公式一的作用是什么？提示：公式一的作用：把求随意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值题型一 求随意角的三角函数值例12021 黑龙江五校联考角的终边上有一点P(，

32、m)，且sinm，求cos及tan 的值解由有m，得m0，或m.(1)当m0时，cos1，tan0；(2)当m时，cos，tan；(3)当m时，cos，tan.变式探究将例1中的P点坐标改为(，m)再去求解解m，m0或m，当m0时，cos1，tan0；当m时，cos，tan；当m时，cos，tan.利用三角函数的定义求值的策略(1)求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的间隔 (2)假设终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种状况处理(3)假设角，那么需确定出角的终边及单位圆的交点坐标【跟踪训练1】角的顶点及原点重合，始边及x轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，那么2cos21()A BC. D.答案B解析设P(t,2t)(t0)为角终边上随意一点，那么cos.当t0时，cos；当t0时，cos.2cos211.题型二 三角函数值的符号例2(1)是第四象限角，推断sintan的符号；(2)假设0，试推断所在象限解(1)是第四象限角，sin0，tan0.(2)由条件知，sin及cos异号是第二象限角或第四象限角变式探究将例2(1)中改为第三象限角，那么s