高三一轮复习数学选讲部分知识总结练习.docx

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1、选考部分提示：选修部分请根据教学要求选用！选考部分选修系列4选修41几何证明选讲第1课时相像三角形的断定及有关性质1平行线等分线段定理：假如一组_在_直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点及另一边平行的直线必_第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且及底边平行的直线_另一腰2平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的_线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成_3相像三角形的断定断定定理1：两对应角_，两三角形相像断定定理2：两边对应_且夹角_，两三角形相像断定定理3：三边对应_，两三角形相像4直角三角形

2、相像的断定定理1：假如两个直角三角形有一个_角对应相等，那么它们相像定理2：假如两个直角三角形的两条_边对应_，那么它们相像定理3：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边及另一个三角形的_和一条_对应成比例，那么这两个直角三角形相像5相像三角形的性质定理(1)相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于_比；(2)相像三角形周长的比等于_比；(3)相像三角形面积的比等于相像比的_；(4)相像三角形外接圆的直径比、周长比等于_比，外接圆的面积比等于相像比的_6直角三角形的射影定理和逆定理(1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例_；两直角边分别是它们在斜边上_及_的

3、比例中项(2)逆定理：假如一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的_，那么这个三角形是直角三角形考点一平行线等分线段或分线段成比例问题例1如图AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，那么AFFD为()A21B31C41 D51【听课记录】针对训练1如图，M、N分别是ABCD的边AB、边CD的中点，CM交BD于点E，AN交BD于点F.请你讨论BE、EF、FD三条线段之间的关系，并给出证明考点二相像三角形的断定及应用例2(1)如图，BD、CE是ABC的高求证：ADEABC.(2)(2021苏北四市调研)如图，在ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于

4、F，求的值【听课记录】针对训练2ABC是一块锐角三角形材料，边BC12 cm，高AD8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个正方形的边长考点三直角三角形射影定理的应用例3如图，在正方形ABCD中，O为AB的中点，E为AD上一点，且AEAD，OKEC.求证：OK2KEKC.【听课记录】针对训练3如图AC为O的直径，BDAC于P，PC2，PA8，那么CD的长为_，cosACB_.1.如图，D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，DEBC，且2，那么ADE及四边形DBCE的面积比是()A.B.C. D.2.如图， 在ABC中，AEEDDC，FE

5、MDBC，FD的延长线交BC的延长线于点N，且EF1，那么BN()A2 B3C4 D63在RtABC中，C90，CDAB于D，AC4，AD2，那么BD的长是_4.(2021广东文)(几何证明选讲选做题)如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，那么梯形ABFE及梯形EFCD的面积比为_.检验实力的进步见证程度的攀升完成课时作业(一百零五)第2课时圆周角及圆的切线1圆周角定理根据圆心及圆周角 相对位置不同，圆心及圆周角的位置关系包括三种状况：(1)圆心在圆周角的一边上，如图；(2)圆心在圆周角的内部，如图；(3)圆心在圆周角的外部，如图.

6、无论哪一种状况，均满意ABCAOC.2圆心角定理(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它及圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，一样度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等(2)圆心角及它所对的弧的度数相等，不能写成AOB，正确写法是AOB的度数的度数3圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(1)假设将“同弧或等弧改为“同弦或等弦，那么结论不成立(2)相等的弦及一样度数的弧含义是不同的只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧肯定有一样的度数，而一样度数的弧不肯定是等弧(3)

7、“相等的圆周角所对的弧也相等的前提条件是“在同圆或等圆中，应用推论时要时刻记住这一点推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径把圆中直径及90的圆周角联络在一起，在解圆的有关问题时，可通过添加协助线，构成直径所对的圆周角是直角而证明两条直线相互垂直或解直角三角形4圆的切线的性质定理及推论(1)圆的切线的性质定理及其两个推论可以用一个定理表达出来，即：假如圆的一条直线满意以下三个条件中的随意两条，那么就肯定满意第三条，它们是垂直于切线；过切点；过圆心(2)圆的切线的性质定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直线及圆的切线垂直如图，假设直线l切O于点A，直线l

8、经过点O和点A，那么ll.5圆的切线的断定定理(1)圆的切线的断定定理题设为：一条直线l满意两个条件：经过半径OA的外端点A；垂直于这条半径OA，结论为：这条直线l是圆的切线即直线lOA于A，那么l为O的切线，如图(2)圆的切线的断定方法定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；数量关系：和圆心间隔 等于半径的直线是圆的切线；定理：过半径外端点且及这条半径垂直的直线是圆的切线其中和是由推出的，是用数量关系来断定，而是用位置关系加以断定的考点一及圆周角定理有关的计算问题例1，如图，ABC内接于O，点D是上随意一点，AD及BC交于点E，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长【听课记录

9、】考点二利用圆周角定理求证等量关系例2如图，：ABC内接于O，D、E在BC边上，且BDCE，12，求证：ABAC.【听课记录】考点三直径所对的圆周角的应用例3如图，BC为半O的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AEBE.(1)求证：；(2)假如sinFBC，AB4，求AD的长【听课记录】针对训练1如图ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，CEAD，E为垂足，CE的延长线交AB于点F.求证：AC2AFAB.例4如图，C90，点O在AC上，CD为O的直径，O切AB于E，假设BC5，ACO的半径【听课记录】针对训练2如图，D是O的直径AB延长线上一点，PD是O的切线，P是切点，D30.求证：

10、PAPD.考点四圆的切线的断定例5如图，ABC内接于O，点D在OC的延长线上，sinB，D30.(1)求证：AD是O的切线(2)假设AC6，求AD的长【听课记录】针对训练3如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB.(1)求证：AC是BDE的外接圆的切线；(2)假设AD2，AE6，求EC的长1如图，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于D.AB6，BC8，那么BD等于()A4BC D62如图，CD切O于B，CO的延长线交O于A，假设C36，那么ABD的度数是()A72 B63C54 D363如图，O为ABC的内切圆，C90，AO的延长线交BC于点D，A

11、C4，CD1，那么O的半径等于()A. B.C. D.4，直线AB及圆O切于B点，割线AD及O交于C和D两点，160，60，那么A_.检验实力的进步见证程度的攀升完成课时作业(一百零六)第3课时圆的内接四边形及弦切角1圆内接四边形性质定理_互补外角等于它的_断定定理：假如一个四边形的_互补，那么这个四边形四个顶点共圆推论：假如四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形四个顶点共圆2及圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆的两条相交弦被交点分成的两条线段长的_相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的_相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切

12、线长是这点到割线及圆的交点的两条线段长的_(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点连线平分_3弦切角定理弦切角等于它所夹弧所对的_ 考点一圆内接四边形的断定及性质例1(1)如图，在ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且APBC于P，求证：E、D、P、F四点共圆(2)如图，圆的直径ABCD弦，在CD延长线上任取一点E，连接AE交圆于点F.连接CF.求证：ACEFDECF.【听课记录】针对训练1如图，O1及O2相交于A、B两点，P是O1上一点，PA、PB的延长线分别交O2于点D、C，O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PMCD.考点二利用弦切角

13、定理证明角相等例2如图，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间在弦CD上取一点Q，使DAQPBC.求证：DBQPAC.【听课记录】针对训练2如图，AD是ABC中BAC的平分线，经过点A的O及BC切于点D，及AB、AC分别相交于E、F.求证：EFBC.考点三利用弦切角定理证明比例式例3如图，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E.求证：BC2ABDE.【听课记录】针对训练3如图，梯形ABCD内接于O，DCAB，ABAC，过A点作O的切线及CD的延长线交于E.求证：AD2EDEC.考点四相交弦定理的应用例4如图，在O中，P

14、是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交O于C、D两点，垂足是点E.求证：PCPDAEAO.【听课记录】针对训练4如图，AB是O的直径，OMON，P是O上的点，PM、PN的延长线分别交O于Q、R.求证：PMMQPNNR.考点五切割线及割线定理的应用例5如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上的随意两点，过A，B分别作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AXAYBPBQ.【听课记录】针对训练5如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别及AB，AC相交于点D、E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.考点六切线长定理的应用例6证明：圆的外切四边形的两条对边和

15、相等如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相切于L、M、N、P.求证：ADBCABCD. 【听课记录】针对训练6PA、PB及O相切于点A、B，AC是O的直径，求证：(1)OPBC；(2)ABAC2PBBC.1圆内接四边形ABCD中，AB39，BC25，CD60，DA52，那么圆的直径为()A62B63C65 D662P在O外，PM切O于C，PAB交O于A、B，那么()AMCBB BPACPCPCAB DPACBCA3如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，PCB25，那么ADC为()A105 B115C120 D1254如图，O中，

16、ABCD，延长BA，DC相交于P点，E为上一点，CE交BD于F.求证：(1)PAPC；(2)ABEFBEDF.5如图，：ADC中，D90，B是AD上一点，AB是O的直径，E是CD上一点，AE交O于G，AC交O于F，求证：C、F、G、E四点共圆检验实力的进步见证程度的攀升完成课时作业(一百零七)第4课时几何证明高考试题精选一、选择题1(2021北京)如图，AD，AE，BC分别及圆O切于点D，E，F，延长AF及圆O交于另一点G.给出以下三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAEAFBADG其中正确结论的序号是()ABC D二、填空题2.(2021天津)如图，圆中两条弦AB及CD相交于点F，E

17、是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBECE及圆相切，那么线段CE的长为_3(2021湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE及AD相交于点F，那么AF长为_4(2021陕西)如图，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，那么BE_.5(2021广东)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B.且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，那么AB_.三、解答题6(2021辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线及BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得E

18、FEG，证明：A，B，G，F四点共圆7(2021全国新课标)如图，D，E分别是AB，AC边上的点，且不及顶点重合，AEm，ACn，AD，AB为方程x214xmn0的两根，(1)证明C，B，D，E四点共圆；(2)假设A90，m4，n6，求C，B，D，E四点所在圆的半径8(2021江苏)如图，圆O1及圆O2内切于点A，其半径分别为r1及r2(r1r2)，圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)，求证：ABAC为定值9(2021宁夏)如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OMOPOA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，

19、且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM90.1(2021江苏)如图，设ABC的外接圆的切线AE及BC的延长线交于点E，BAC的平分线及BC交于点D.求证：ED2EBEC.2(2021衡中调研卷)如图，在RtABC中，C90，BE平分ABC交AC于点E，点D在AB上，DEEB.(1)求证：AC是BDE的外接圆的切线；(2)假设AD2，AE6，求EC的长3如图，AB是O的弦，C、F是O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点(1)求证：DE2DBDA.(2)假设BE1，DE2AE，求DF的长4如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O

20、于A点，ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点(1)求ADF的度数；(2)假设ABAC，求ACBC.检验实力的进步见证程度的攀升完成课时作业(一百零八)选修44坐标系及参数方程第1课时极坐标系1直角坐标系在给定坐标系下，随意一点都有确定的_及它对应；反之，根据一个点的_就能确定这个点的位置2极坐标系(1)根本概念在平面上取一个定点O，自点O引一射线OX，同时确定一个_和_的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，_称为极点，_称为极轴(2)极径及极角设M是平面上任一点，表示_，表示以_为始边，_为终边所成的角，那么，有序数对(，)称为点M的极坐标，其中，_称为点

21、M的极径，_称为点M的极角 考点一曲线方程的伸缩变换例1在同一平面直角坐标系中，伸缩变换1(1)求点A(，2)经过变换所得的点A的坐标；(2)点B经过变换得到点B(3，)，求点B的坐标；(3)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程；(4)求双曲线C：x21经过变换后所得曲线C的焦点坐标【听课记录】针对训练1(1)在平面直角坐标系中，求满意以下图形变换的伸缩变换曲线x2y21变成曲线1.(2)求满意以下图形变换的伸缩变换：由曲线4x29y236变成曲线x2y21. 考点二极坐标的概念例2关于极坐标系的以下表达：极轴是一条射线；极点的极坐标是(0,0)；点(0,0)表示极点；点M(4，)及点N

22、(4，)表示同一个点；动点M(5，)(R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆其中，全部正确的表达的序号是_【听课记录】针对训练2(1)点M(，)(0)的轨迹是()A点B射线C直线 D圆(2)点M(1，)(0，)的轨迹是()A射线 B直线C圆 D半圆 考点三由极坐标确定点的位置例3在极坐标系中，画出点A(1，)，B(2，)，C(3，)，D(4，)【听课记录】针对训练3如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标 考点四点的极坐标及直角坐标的互化例4把以下点的极坐标化成直角坐标：(1)A(4，)；(2)B(5，)【听课记录】1以下极坐标对应的点中，在直角坐标平面的第三象限的是()A(3,4)B(4

23、,3)C(3,5) D(5,6)2点P的直角坐标为(1，)，那么点P的极坐标为()A(2，) B(2，)C(2，) D(2，)3在极坐标系中，点(，)及点(，)的关系是()A关于极点对称B表示同一点C关于极轴成轴对称D关于过极点且垂直于极轴的直线成轴对称4极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，那么：(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是_(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_(3)点A关于极垂线对称的点的极坐标是_(规定：0，0,2)5直线l过点A(3，)、B(3，)，那么直线l及极轴的夹角等于_6以下说法正确的个数为()平面极坐标(，)及平面上的点一一对应极点的极坐标中极径为0，极角也为0在极坐

24、标系下，(3，)，(3，)，(3，2)，(3，6)都表示一样的点假如规定0,02，那么平面内的点及(，)一一对应A0 B1C2 D37点M(6，)到极轴所在直线的间隔 为_8点A(2，)，B(，)，O(0,0)求证：AOB是等腰直角三角形检验实力的进步见证程度的攀升完成课时作业(一百零九)第2课时极坐标方程1圆的极坐标方程的常见形式圆的极坐标方程的常见形式对应极坐标系中圆的位置(1)以极点为圆心，半径等于r的圆的极坐标方程为r(2)以点(a,0)为圆心，半径等于a的圆的极坐标方程为2acos(3)以点为圆心，半径等于a的圆的极坐标方程为2asin(4)以点(a，)为圆心，半径等于a的圆的极坐标

25、方程为2acos(5)以点为圆心，半径等于a的圆的极坐标方程为2asin(6)以点(0，0)为圆心，半径等于r的圆的极坐标方程为220cos(0)r20注：过极点的圆的极坐标方程的一般形式为2acos()2直线的极坐标方程的常见形式直线的极坐标方程的常见形式经过极点，及极轴所成的角为0的直线的极坐标方程为0(R)在极点右方，垂直于极轴，及极点间隔 为a的直线的极坐标方程为cosa.在极点左方，垂直于极轴，及极点间隔 为a的直线的极坐标方程为cosa.在极点上方，平行于极轴，及极点间隔 为a的直线的极坐标方程为sina.在极点下方，平行于极轴，及极点间隔 为a的直线的极坐标方程为sina.过点P

26、(1，1)，及极轴所成的角为的直线的极坐标方程为sin()1sin(1)注：直线的极坐标方程的一般形式为3柱坐标系(1)概念：一般地，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间随意一点它在Oxy平面上的射影为Q，用(，)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组_表示这样，我们建立了空间的点及有序数组(，z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，_叫做点P的柱坐标，其中0,02，z.(2)空间直角坐标及柱坐标的互化空间点P的直角坐标(x，y，z)及柱坐标(，z)之间的变换关系为_4球坐标系(1)概念：一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空

27、间随意一点，连接OP，记|OP|r，OP及Oz轴正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用_表示这样，空间的点及有序数组(r，)之间建立了一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，_叫做点P的球坐标，其中r0,0，00时，的方向向上；当t0)的参数方程(1)设x2pt2，t为参数(2)设ykx，k为参数【听课记录】 考点六利用参数方程求轨迹方程例7如图，三定点A(2,1)，B(0，1)，C(2,1)；三动点D，E，M满意t，t，t，t0,1(1)求动直线DE斜率的改变范围；(2)求动点M的轨

28、迹方程【听课记录】针对训练4(2021江苏)曲线C的参数方程为，(t为参数，t0)求曲线C的一般方程1曲线(t为参数)及坐标轴的交点是()A(0，)，(，0)B(0，)，(，0)C(0，4)，(8,0) D(0，)，(8,0)2曲线C的参数方程是(0b0)的左、右焦点(1)假设椭圆C上的点A(1，)到F1、F2间隔 之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程 考点二双曲线的参数方程的应用例3如图，设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|PF2|OP|2.【听课记录】针对训练2双曲线1(a0，b0)的动

29、弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点，求直线MB，CN的交点P的轨迹方程 考点三抛物线的参数方程的应用例4抛物线y22px，过顶点两弦OAOB，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程【听课记录】针对训练3设点M为抛物线y2px上的动点，给肯定点M0(1,0)，点P为线段M0M的中点，如下图，求点P的轨迹方程1椭圆(为参数)的焦点坐标为()A(0,0)，(0，8)B(0,0)，(8,0)C(0,0)，(0,8) D(0,0)，(8,0)2点P(1,0)到曲线(参数tR)上的点的最短间隔 为()A0 B1C. D23曲线(为参数，0)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，那么P点的坐标是()A(3,4)B(，2)C(3，4) D(，)4参数方程(t是参数)表示的曲线是()A直线(不含点(1,1)B以(1,1)为圆心的圆C以(1,1)为顶点的抛物线D不含顶点(1,1)的抛物线5双曲线(为参数)的渐近线的方程为_6二次曲线(是参数)的左焦点的坐标是_7