2013届高考数学第一轮基础知识点复习教案10.docx
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1、第十编 计数原理10.1 两个基本计数原理基础自测1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有 种.答案 122.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会,则不同的选法有 种.答案 53.一个乒乓球队里有男队员5人,女队员4人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有 种不同的选法.答案 204.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有 种.答案 365.有一项活动需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加,(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法?
2、(3)若只需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法?解 (1)“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可,共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人,老师、学生各1人,分两步进行:选老师有3种方法,选学生有8+5=13种方法,共有313=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人,老师、男同学、女同学各一人,可分三步进行,选老师有3种方法,选男同学有8种方法,选女同学有5种方法,共有385=120种方法.例1 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?解 方法一 按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位
3、数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类计数原理知,符合题意的两位数的个数共有:8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).方法二 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个,所以按分类计数原理共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).例2 已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问:(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?解 (1)确定平面上的点P(a,b)
4、可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种确定方法;第二步确定b的值,也有6种确定方法.根据分步计数原理,得到平面上的点数是66=36.(2)确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a0,所以有3种确定方法;第二步确定b,由于b0,所以有2种确定方法.由分步计数原理,得到第二象限点的个数是32=6.(3)点P(a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线y=x上的点有6个.由(1)得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3 (16分)现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课
5、外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?解 (1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).4分(2)分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=78910=5 040(种).8分(3)分六类,每类又分两步,从一、二班学生中各选1人,有78种不同
6、的选法;从一、三班学生中各选1人,有79种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有710种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有89种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有810种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有910种不同的选法,14分所以共有不同的选法N=78+79+710+89+810+910=431(种).16分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解 当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.当一个加数是10时,
7、另一个加数可以是11,12,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,20,9种取法.当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类计数原理可得共有1+2+3+10+9+8+1=100种取法.2.某体育彩票规定:从01到36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想先选定吉利号18,然后从01至17中选3个连续的号,从19至29中选2个连续的号,从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱?解 先分三步选号,再计算总钱数.按号段选号,分成三步.第一步从01至17中选3个连续号,有15种选法;第二步从19至29中选2个连续号
8、,有10种选法;第三步从30至36中选1个号,有7种选法.由分步计数原理可知,满足要求的号共有15107=1 050(注),故至少要花1 0502=2 100(元).3.某校高中部,高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班,学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.(1)任选1个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?(3)选2个班的学生参加社会实践,要求这2个班不同年级,有多少种不同的选法?解 (1)分三类:第一类从高一年级选1个班,有6种不同方法;第二类从高二年级选一个班,有7种不同方法;第三类从高三年级选1个班,有8种
9、不同方法.由分类计数原理,共有6+7+8=21种不同的选法.(2)每种选法分三步:第一步从高一年级选一个班,有6种不同方法;第二步从高二年级选1个班,有7种不同方法;第三步从高三年级选1个班,有8种不同方法.由分步计数原理,共有678=336种不同的选法.(3)分三类,每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班,有67种不同方法;第二类从高一、高三两个年级各选1个班,有68种不同方法;第三类从高二、高三年级各选一个班,有78种不同的方法,故共有67+68+78=146种不同选法.一、填空题1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有 种.答案
10、322.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“0000”到“9999”共10 000个号码,公司规定:凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡,则这组号码中“优惠卡”共有 个.答案 5 9043.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有 个.答案 84.如图所示,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有 种.答案 1805.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有 种.答案 486.(2008全国文)
11、将1,2,3填入33的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,则不同的填写方法共有 种.答案 127.在2008年奥运选手选拔赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有 种.答案 2 8808.若一个m,n均为非负整数的有序数对(m,n),在做m+n的加法时各位均不会进位,则称(m,n)为“简单的”有序数对,m+n称为有序数对(m,n)的值,那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案 300二、解答题9.(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多
12、少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?解 (1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,四个都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有:3333=81种报名方法.(2)完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人,有4种可能的情况,于是共有:444=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻
13、(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法? 解 完成该件事可分步进行.涂区域1,有5种颜色可选.涂区域2,有4种颜色可选.涂区域3,可先分类:若区域3的颜色与2相同,则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,此时区域4有3种颜色可选.所以共有54(14+33)=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足ab,且a,b都是集合1,2,3,4,5,6的元素,又点P到原点的距离|OP|5.求这样的点P的个数.解 按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=
14、3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;共有2+2+3+3+5+5=20(个)点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种? 解 设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物,不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理,如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法,由分步计数原理共有12222=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田
15、中时的种法数有16-2=14(种).同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3(2222-2)=3(16-2)=42(种).10.2 排列与组合基础自测1.从1,2,3,4,5,6六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有 个.答案 542.(2008福建理)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案共有 种.答案 143.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后,恰有3个空车位连在一起的排法有 种.(用式子表示)答案 A4.在100
16、件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法种数是 (用式子表示).答案 -5.(2007天津理)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答).答案 390例1 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.解 (1)方法一 要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有A种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法
17、,根据分步计数原理,共有站法:AA=480(种).方法二 由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有A种站法,然后中间4人有A种站法,根据分步计数原理,共有站法:AA=480(种).方法三 若对甲没有限制条件共有A种站法,甲在两端共有2A种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:A-2A=480(种).(2)方法一 先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余4人进行全排列有A种站法,再把甲、乙进行全排列,有A种站法,根据分步计数原理,共有AA=240(种)站法.方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列,有A种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有A种方法,最后
18、让甲、乙全排列,有A种方法,共有AAA=240(种).(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有A种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有A种站法,故共有站法为AA=480(种).也可用“间接法”,6个人全排列有A种站法,由(2)知甲、乙相邻有AA=240种站法,所以不相邻的站法有A-AA=720-240=480(种).(4)方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列,有A种,然后将甲、乙按条件插入站队,有3A种,故共有A(3A)=144(种)站法.方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有A种,然后把
19、甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法,最后对甲、乙进行排列,有A种方法,故共有AAA=144(种)站法.(5)方法一 首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有A种,再让其他4人在中间位置作全排列,有A种,根据分步计数原理,共有AA=48(种)站法.方法二 首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有A种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有A种站法,由分步计数原理共有AA=48(种)站法.(6)方法一 甲在左端的站法有A种,乙在右端的站法有A种,且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有A-2A+A=504(种)站法.方法二 以元素甲分类可分为两类:甲站右端有A种站法,甲
20、在中间4个位置之一,而乙不在右端有AAA 种,故共有A+AAA=504(种)站法.例2 (16分)男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.解 (1)第一步:选3名男运动员,有C种选法.第二步:选2名女运动员,有C种选法.共有CC=120种选法. 4分(2)方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类计数原理可得总选法数为CC+CC+CC+CC=246种.8分方法二 “至少1
21、名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.从10人中任选5人有C种选法,其中全是男运动员的选法有C种.所以“至少有1名女运动员”的选法为C-C=246种.8分(3)方法一 可分类求解:“只有男队长”的选法为C;“只有女队长”的选法为C;“男、女队长都入选”的选法为C;所以共有2C+C=196种选法.12分方法二 间接法:从10人中任选5人有C种选法.其中不选队长的方法有C种.所以“至少1名队长”的选法为C-C=196种.12分(4)当有女队长时,其他人任意选,共有C种选法.不选女队长时,必选男队长,共有C种选法.其中不含女运动员的选法有C种,所以不选女队长时的选法共有C-C种选法.所
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