解析几何知识点总结.docx

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1、解析几何知识点总结第一局部第一局部:直线直线一、一、直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率1.倾斜角(1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围：0,1802.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.k=tan1.倾斜角为 90的直线没有斜率。2.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在斜率的存在与不存在这两种情况，否那么会产生漏解。3设经过 Ax1,y1与 Bx2,y2两点的直线的斜率为K，那么当 X1X2 时，k=tan=Y1-Y2/X1-X2；

2、当 X1=X2 时，=90；斜率不存在；二、直线的方程1.点斜式：直线上一点 Px0,y0及直线的斜率k倾斜角求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0；2.斜截式：假设直线在 y 轴上的截距直线与 y 轴焦点的纵坐标为b，斜率为k，那么直线方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx注意：正确理解“截距截距这一概念，它具有方向性，有正负之方向性，有正负之分，与分，与“距离有区别距离有区别。3.两点式：假设直线经过x1,y1与x2,y2两点，且X1X2，y1y2那么直线的方程：121121xxxxyy

3、yy；注意：不能表示与 x 轴与 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式0)()(112112xxyyyyxx时，方程可以适应在于任何一条直线方程可以适应在于任何一条直线。4 截距式：假设直线在x轴，y轴上的截距分别是 a，ba0，b0那么直线方程：1byax；注意：1.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；A,B 不同时为零；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。三、两条直线的位置关系位置关系2

4、22111:bxkylbxkyl0:0:22221111CyBxAlCyBxAl平行21kk，且21bb 212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0)重合21kk，且21bb 212121CCBBAA相交21kk 2121BBAA垂直121kk02121BBAA设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk 或1221BABA时 它 们 相 交，交 点 坐 标 为 方 程 组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；五、五、点到直线的距离公式：点到直线的距离公式：1.点 P(X0，Y0)到 直

5、 线 L:Ax+By+C=0 的 距 离 为：2200|BACByAxd；L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0 的距离为：2221|BACCd；六、直线系：六、直线系：1设直线 L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，经过 L1,L2 的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA除去 L2；如：Y=kx+1y-1-kx=0，即也就是过 y-1=0 与 x=0 的交点(0,1)除去 x=0 的直线方程。直 线 L:m-1 x+2m-1 y=m-5 恒 过 一 个 定点。2 2与与 L:Ax+By+C=0 平行的直线为平行的直线为 Ax+By+

6、C1=03 3与与 L:Ax+By+C=0 垂直的直线为垂直的直线为 Bx-Ay+C1=0Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：1中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点 Aa.b关于 Cc,d的对称点2c-a,2d-b直线关于点的对称：、在直线上取两点，利用中点公式求出它们关于点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用 L1/L2 由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。如：求与直线0632:1 yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。2轴对称：点关于直线对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在直线上，点与

7、对称点连线斜率是直线、点与对称点的中点在直线上，点与对称点连线斜率是直线斜率的负倒数。斜率的负倒数。、求出过该点与直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直、求出过该点与直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。直线关于直线对称直线关于直线对称：设设ba,关于关于l对称对称、假设相交，那么、假设相交，那么 a a 到到 L L 的角等于的角等于 b 到到 L L 的角；假的角；假设设a aL L，那么，那么 b bL L，且与，且与 L L 的距离相等。的距离相等。、求出、求出

8、a a 上两个点上两个点BA,关于关于l的对称点，在由两点式求出的对称点，在由两点式求出直线的方程。直线的方程。、设、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，那么为所求直线直线上的任意一点，那么P关于关于l的对称点的对称点P的坐标适合的坐标适合a的方程。的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。第二局部：圆与方程第二局部：圆与方程圆的标准方程：圆的标准方程：222)()(rbyax圆心圆心),(baC，半径r特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.22.2 点与圆的位置关系：点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)

9、点在圆上d=r；(2)点在圆外dr；(3)点在圆内dr2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在 圆C内22020)()(rbyaxM在 圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax2.32.3 圆的一般方程：圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形称虚圆.注：1方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0 CA且0422AFED.圆的直径系方程：AB 是圆的直径2.42.4直

10、 线 与 圆 的 位 置 关 系：直 线 与 圆 的 位 置 关 系：直 线0CByAx与 圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad(1)0相离rd；(2)0相切rd；3 0相交rd。2.52.5 两圆的位置关系两圆的位置关系设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21。1条公切线外离421rrd；2条公切线外切321rrd；3条公切线相交22121rrdrr；4条公切线内切121rrd；5无公切线内含 210rrd；外离外切相交内切内含2.62.6 圆的切线方程圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径

11、 r；2圆心与切点的连线与直线垂直斜率互为负倒数过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上与点在圆外。假设点在圆上那么切线只有一条，利用性质2可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。假设点在圆外那么切线有两条，用性质1来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.72.7 圆的弦长问题：圆的弦长问题：半弦2L、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL第三局部第三局部:椭圆椭圆一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点 F1，F2距离的与等于常数212FFa 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆，即 点 集 M=P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=

12、2c；这里两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。cFFa2221时为线段21FF，cFFa2221无轨迹。2标准方程：222cab焦点在 x 轴上：12222byaxab0；焦点 Fc，0焦点在 y 轴上：12222bxayab0；焦点 F0,c注意：在两种标准方程中，总有 ab0，222cba并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：221xymn或者),0,0(122nmnmnymx二椭圆的简单几何性质：1椭圆12222byaxab0 横坐标-axa,纵坐标-bxb2椭圆12222bxayab0 横坐标-bxb,纵坐标-axa椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，

13、这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心1椭圆的顶点：A1-a，0，A2a，0，B10，-b，B20，b2线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于 2b，a 与 b 分别叫做椭圆的长半轴长与短半轴长。4离心率我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作 e10 e，22221()beaa ce 越接近于 0 e 越小，椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1 e 越大，椭圆越扁；5椭圆的的内外部1点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.2点00(,)P xy在椭圆2222

14、1(0)xyabab的外部2200221xyab.6.几何性质1通径过焦点且垂直于长轴的弦abAB222焦点三角形椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形：2tan221bSFMF其中21MFF7 直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：(2)弦中点问题:用点差法解决斜率为k的直线l 与椭圆),0,0(12222nmnmnymx交 于 两 点),(),(2211yxByxA、EMBEDEquation.KSEE3）（00,yxM是 AB 的中点，那么：0022yxmnkAB(3)弦长公式：4)(1)(2

15、12212221221xxxxkyyxxAB）（）（第四局部：双曲线第四局部：双曲线双曲线标准方程焦点在x轴)0,0(12222babyax标准方程焦点在y轴)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数小于12FF的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221EMBED Equation.3212FFa 范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐标1(,0)Fc2(,0)F c1(0,)Fc2(0,)Fc焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc

16、顶点坐标a,0(a,0)(0,a,)(0，a)xyP P1F2FxyxyP P1F2Fxy离心率eace(EMBED Equation.31)重要结论1通径过焦点且垂直于实轴的弦abAB222焦点三角形：2cot2tan2221bbSFMF渐近线方程xabyyabx共渐近线的双曲线系方程kbyax22220k kbxay22220k 补充知识点：补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：1半实轴长=半虚轴长；2其标准方程为Cyx22其中 C0；3离心率2e；4渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；第五局部：抛物线知识点总结第五局部：抛物线知识点总结图象)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyxxyOlFxyOlFxyOlFlFxyO定义平面内与一个定点F与一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。MFM=点 M 到直线l的距离范围0,xyR0,xyR,0 xR y,0 xR y对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1准线方程2px2px 2py2py 焦点到准线的距离