弹塑性力学试题集锦很全有答案.docx

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1、1/92弹塑性力学弹塑性力学 2008 级试题级试题一 简述题（60 分）1）弹性与塑性弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。2）应力和应力状态应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。应力状态：某点处的 9 个应力分量组成的新的二阶张量。3）球张量和偏量球 张 量：球 形 应 力 张 量，即EMBEDEquation.DSMT4000000mmm，其中13mxyz偏量：偏斜应力张量，即2/92xmxyxzijyxymyzzxzyzmS，其中13mxyz5）转动张量：表示刚体位移部分，即1102211

2、02211022uvuwyxzxvuvwijxyzywuwvxzyzW6）应变张量：表示纯变形部分，即112211221122uuvuwxyxzxvuvvwijxyyzywuwvwxzyzz7）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性3/92和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关系，即应变协调条件。22222yxyxyxx y。8）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。9）屈服函数：在一般情况下，屈服条件与所考

3、虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是改点 6 个独立的应力分量的函数，即为0ijf，ijf即为屈服函数。10）不可压缩：对金属材料而言，在塑性状态，物体体积变形为零。11）稳定性假设：即德鲁克公社，包括：1.在加载过程中，应力增量所做的功DdW恒为正；2.在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功DdW恒为非负。12）弹塑性力学的基本方程：包括平衡方程、几何方程和本构方程。4/9213）边界条件：边界条件可能有三种情况：1.在边界上给定面力称为应力边界条件；2.在边界上给定位移称为位移边界条件；3.在边界上部分给定面力，部分给定位移称为混合边界条件。14）标量场的梯度：其大小等于场在法向上

4、的导数，其指向为场值增大的方向并垂直于场的恒值面的一个矢量。17）塑性铰：断面所受弯矩达到极限弯矩后，不增加弯矩，该断面转角仍不断增加，称此断面形成了塑性铰。塑性铰是单向铰，只能沿弯矩增大方向发生有限转动。二 求010100000的主值和主方向（10 分）解：解之得：1=02=13=-1，即主应力分别 为1=12=03=-1当1=1时，111213212223313333.0.001010000ijjjijjijjijijjnnnnn令那么 即：5/921111121213131112131011010.110.0000011 10nnnnnnnnn解之得：主方向1：同理可得：主方向 2：21

5、2223001nnn主方向 3：313233110nnn四 论述（15 分）1）本构方程遵从的一般原理2）弹塑性本构关系答：1）本构方程遵从的一般原理：1.决定性原理，与时间历程相关的；2.局部作用原理；3.坐标无关性；4.空间各向同性原理；5.时间平移的无关性。2）课本第四章。一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题 5分，共分，共 10 分。）分。）1、简述固体材料弹性变形的主要特点。2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。二、填空题：（每空二、填空题：（每空

6、2 分，共分，共 8 分）分）1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-个独立的应力分量，它们分别是-。（参照 oxyz 直角坐标系）。6/922、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫-方程，它的缩写式为-。三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题小题 4 分，共分，共 16 分。）分。）1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_。A、沿圆柱纵向（轴向）B、沿圆柱横向（环向）C、与纵向呈 45角D、与纵向呈 30角2、金属

7、薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力_倍。A、2B、3C、4D、53、若物体中某一点之位移 u、v、w 均为零（u、v、w 分别为物体内一点，沿 x、y、z 直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_。A、一定不为零B、一定为零C、可能为零D、不能确定4、以下_表示一个二阶张量。A、B、C、D、四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共 8 分）分）1、；（i，j=1，2，3）；7/922、；五、计算题（共计五、计算题（共计 64 分。）分。）1、试说明下列应变状态是否可能存在：；（）

8、上式中 c 为已知常数，且。2、已知一受力物体中某点的应力状态为：式中 a 为已知常数，且 a0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。3、一很长的（沿 z 轴方向）直角六面体，上表面受均布压q 作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取ay2 做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。8/92（提示：基础绝对刚性，则在 x0 处，u0；由于受力和变形的对称性，在 y0 处，v0。）题五、3 图4、已知一半径为 R50mm，厚度为 t3mm 的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始

9、终保持，（采用柱坐标系，r 为径向，为环向，z 为圆管轴向。）材料的屈服极限为400MPa。试求此圆管材料屈服时（采用 Mises 屈服条件）的轴向载荷 P 和轴矩 Ms。（提示：Mises 屈服条件：；）填空题9/926平衡微分方程选择 ABBC1、解：已 知 该 点 为 平 面 应 变 状 态，且 知：k 为已知常量。则将应变分量函数代入相容方程得：2k+0=2k 成立，故知该应变状态可能存在。2、解：球应力张量作用下，单元体产生体变。体变仅为弹性变形。偏应力张量作用下单元体只产生畸变。塑性变形只有在畸变时才可能出现。关于岩土材料，上述观点不成立。3、解：，满足，是应力函数。相应的应力分量

10、为：，；应力边界条件：在 x=h 处，将式代入得：，故知：10/92，；由本构方程和几何方程得：积分得：在 x=0 处 u=0，则由式得，f1(y)=0；在 y=0 处 v=0，则由式得，f2(x)=0；因此，位移解为：4、解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知，则，且=0。代入 Mises 屈服条件得：即：解得：200 MPa；11/92轴 力：P=25010 3310 3200106=188.495kN扭 矩：M=250210 6310 3200106=9.425 kN m综合测试试题二综合测试试题二一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题一、问答题：（简要回答，

11、必要时可配合图件答题。每小题 5分，共分，共 10 分。）分。）1、试简述弹塑性力学理论中变形谐调方程（即：相容方程或变形连续方程）的物理意义。2、简述 Tresea 屈服条件的基本观点和表达式，并画出其在平面上的屈服轨迹。二、填空题：（每空二、填空题：（每空 2 分，共分，共 10 分）分）1、关于正交各向异性体、横观各向同性体和各向同性体，在它们各自的弹性本构方程中，独立的弹性参数分别只有-个、-个和-个。2、判别固体材料在复杂应力状态作用下，是否产生屈服的常用屈服条件（或称屈服准则）分别是-和-。三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每三、选择题（每小题有四个答案，请选择一

12、个正确的结果。每小题小题 4 分，共分，共 16 分。）分。）1、受力物体内一点处于空间应力状态（根据 OXYZ 坐标系），一般确定一点应力状态需_独立的应力分量。A、18 个B、9 个C、6 个D、2 个2、弹塑性力学中的几何方程一般是指联系_的关系式。12/92A、应力分量与应变分量B、面力分量与应力分量C、应变分量与位移分量D、位移分量和体力分量3、弹性力学中简化应力边界条件的一个重要原理是_。A、圣文南原理B、剪应力互等定理C、叠加原理D、能量原理4、一点应力状态一般有三个主应力。相应的三个主应力方向彼此_。A、平行B、斜交C、无关D、正交四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式

13、中四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式（式中 i、j=x、y、z）：（共）：（共 10 分）分）；五、计算题（共计五、计算题（共计 54 分。）分。）1、在平面应力问题中，若给出一组应力解为：，式中 a、b、c、d、e 和 f 均为待定常数。且已知该组应力解满足相容条件。试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。（15 分）13/922、在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。试求：（16 分）该点应力状态的主应力、和；主应力的主方向；主方向彼此正交；3、如图所示，楔形体 OA、OB 边界不受力。楔形体夹角为

14、2，集中力 P 与 y 轴夹角为。试列出楔形体的应力边界条件。（14 分）题五、3 图14/924、一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力 q，在柱体顶面作用均布压力 p。试选取：做应力函数。式中 A、B、C、D、E 为待定常数。试求：（16 分）（1）上述式是否能做应力函数；（2）若可作为应力函数，确定出系数 A、B、C、D、E。（3）写出应力分量表达式。（不计柱体的体力）题五、4 图5、已知受力物体内一点处应力状态为：15/92（Mpa）且已知该点的一个主应力的值为 2MPa。试求：（15 分）应力分量的大小。主应力、和。952Tresca 屈服条件Mises 屈服条

15、CCAD1、解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：则知，只要满足条件 af，ed，b 和 c 可取任意常数。若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。2、解：由式（219）知，各应力不变量为、，代入式（218）得：16/92也即（1）因式分解得：（2）则求得三个主应力分别为。设主应力与 xyz 三坐标轴夹角的方向余弦为、。将及已知条件代入式（213）得：（3）由式（3）前两式分别得：（4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得 0=0 的恒等式。再由式（215）

16、得：17/92则知；（5）同理可求得主应力的方向余弦、和主应力的方向余弦、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：主方向为：；（6）主方向为：；（7）主方向为：；（8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知：（9）18/92由此证得主方向与主方向彼此正交。同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。3、解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当时，0，0；以半径为 r 任意截取上半部研究知：4、解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：（a）将式（a）代入，可得：19/92(b)故有：；(c)则有：；(d

17、)略去中的一次项和常数项后得：(e)相应的应力分量为：20/92(f)边界条件：处，则；(g)处，则；(h)在 y=0 处，即由此得：，再代入式（h）得：；由此得：21/92（i）由于在 y=0 处，积分得：（j），积分得：（k）由方程(j)(k)可求得：，投知各应力分量为：(l)据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。5、解：首先将各应力分量点数代入平衡微分方程，则有：22/92得：显然，杆件左右边界边界条件自动满足，下端边界的边界条件为：，。即：或：三三一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题 5分，共分，共 10 分。）

18、分。）1、简述弹塑性力学的研究对象、分析问题解决题的根本思路和基本方法。23/922、简述固体材料塑性变形的主要特点。二、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每二、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题小题 4 分，共分，共 16 分。）分。）1、一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于_。A、主应力值B、极大值C、极小值D、零2、横观各向同性体独立的弹性常数有_个。A、2B、5C、9D、213、固体材料的波桑比（即横向变形系数）的取值范围是：_。A、B、C、D、4、空间轴对称问题独立的未知量是应力分量和应变分量，分别_个，再加上_个位移分量，一共_个。

19、A、3B、6C、8D、10三、试据下标记号法和求和约定，展开用张量符号表示的平衡三、试据下标记号法和求和约定，展开用张量符号表示的平衡微分方程：（微分方程：（10 分）分）（i，j=x，y，z）式中为体力分量。24/92四、计算题（共计四、计算题（共计 64 分。）分。）1、已知一弹性力学问题的位移解为：（13 分）；式中 a 为已知常数。试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。2、设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为。若采用纯三次多项式：作应力函数，式中 A、B、C、D 为待定常数。试求此悬臂梁的应力解。（15 分）题四、2 图3、试列出下列各题所示问题的

20、边界条件。（每题 10 分，共 20分。）25/92（1）试列出图示一变截面薄板梁左端面上的应力边界条件，如图所示。题四、3、（1）图题四、3、（2）图（2）试列出半空间体在边界上受法向集中 P 作用Boussinesq 问题的应力边界条件，如图所示。4、一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点处的轴向拉应力为，环向剪应力为，其余应力分量为零。若使用 Mises 屈服条件，试求：（16 分）1）材料屈服时的扭转剪应力应为多大？2）材料屈服时塑性应变增量之比，即：。已知 Mises 屈服条件为：26/92选择 DBCD三、三、1、解：将位移分量代入几何方程得：；由于应变分量是 x 的线性

21、函数，固知它们必然满足变形协调条件：27/922、解：将式代入知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知 Fx0，Fy=）边界条件：上边界：，代入上式得：A B 0，斜边界：，则：得：；于是应力解为：28/92题四、2 图3、解：（1）左端面的应力边界条件为：据圣文南原理题四、3、（1）图29/92（2）上边界：当时，；当时，；当时，；在此边界上已知：，；当设想时，截取一平面，取上半部研究，则由平衡条件知：，已知：，对称性4、解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：则 miss 条件知：30/92解得：；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。已知：则：由增量理论知：则：即：四四31/9

22、2一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题 5分，共分，共 10 分。）分。）1、弹性力学、弹塑性力学、材料力学这几门课程同属固体力学的范畴，它们分析研究问题的基本思路都是相同的。试简述这一基本思路。2、试画出理想弹塑性材料的应力应变曲线，即曲线，并列出相应的应力应变关系式。二、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每二、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题小题 4 分，共分，共 16 分。）分。）1、极端各向异性体、正交各向异性体、横观各向同性体和各向同性体独立的弹性常数分别为：。A、81、21、15

23、、9；B、21、15、9、6；C、21、9、5、2；D、36、21、9、2；2、主应力空间平面上各点的 为零。A、球应力状态；B、偏斜应力状态；C、应力状态；D、球应力状态不一定；3、若一矩形无限大弹性薄平板，只在左右两边受均布拉力 q作用，板中有一穿透型圆孔。圆孔孔边危险点应力集中，此点最大的应力（环向正应力）是无孔板单向拉应力的。A、1 倍B、2 倍C、3 倍D、4 倍4、固体材料的弹性模 E 和波桑比（即横向变形系数）的取值区间分别是：A、E 0，0；B、E 0，1 1；32/92C、E 0，；D、E 0，0；三、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（变程取三、试根据下标记号法和求和

24、约定展开下列各式：（变程取 i，j=1、2、3 或或 x、y、z。）（共。）（共 10 分。）分。）1、2、四、计算题（共计四、计算题（共计 64 分。）分。）1、如图所示一半圆环，在外壁只受的法向面力作用，内壁不受力作用。A 端为固定端，B 端自由。试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。（15 分）题四、1 图2、已知一点的应变状态为：33/92，。试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。（15 分）3、已知受力物体内一点处应力状态为：（Mpa）且已知该点的一个主应力的值为 2MPa。试求：（18 分）应力分量的大小；主应力、和。4、一厚壁圆筒，内半径为 a，外半径为 b，仅承受均匀内

25、压 q 作用（视为平面应变问题）。圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为。试用 Tresca 屈服条件，分析计算该圆筒开始进入塑性状态时所能承受的内压力 q 的值。已知圆筒处于弹性状态时的 应力解为：；34/92；上式中：arb。（16 分）选择CACD三1、2、计算题1、解：逐点应力边界条件：当 ra 时，0，0；当 rb 时，qsi，0；当=时，0，0；A 端位移边界条件：35/92当0，时，ur0，u0，且过 A 点处径向微线素不转动，即0；或环向微线素不转动，即=0。2、解：；3、解（1）：；36/92即：，将：代入上式解得：；故知：由：又解（2）：代入教材、公式：代入由：，37/92且由上

26、式知：2 式知，由 3 式，故，则知：；（由 1 式）再由：展开得：；则知：；由：即：；再由：，知：4、解：由题目所给条件知：则由 Tresca 条件：知：38/92则知：考试科目考试科目：弹塑性力学试题班 号班 号研班姓 名成绩一、概念题（1）最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。（2）最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。（3）弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以

27、 应力为基本未知量。二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为：0,)11(2)11(10,2,2222uCrrAEuCrACrArrr利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆bp39/92筒承受内压 p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。解：边界条件为：ar 时：pr；0r。br 时：0ru；0u。将上述边界条件代入公式得：0)11(2)11(1222bCbAEupCaAbrr解上述方程组得：21 221212222222abpaCabbpaA则该问题的应力和位移分量的解分别为：011)21(11)21()21(10211212121121212222222222

28、22222222222222ubaprabarbpaEuabparabbpaabparabbparrr三、已知弹性半平面的o点受集中力p时，在直角坐标下半PO40/92平面体内的应力分量为：222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx利用上述解答求在弹性半平面上作用着 n 个集中力ip构成的力系，这些力到所设原点的距离分别为iy,试求应力xyyx,的一般表达式。解：由题设条件知，第i个力ip在点（x，y）处产生的应力将为：222222222223222iiixyiiiyiixyyaxyyaxPyyaxyyaxPyyaxaxP故由叠加原理，n 个集中力构成的力系

29、在点（x，y）处产生的应力为：P1OxP2PiPny1y2yiyna41/92 niiiniixyxyniiiniiyyniiniixxyyaxyyaxPyyaxyyaxPyyaxaxP122221122221122231222四、一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，弹簧系数为k,承受分布荷载)(xq作用。试用最小势能原理导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。解：第一步：全梁总应变能为：dxdxwdEIwdvUlv20222142/92外力做功为：llxkwqwdxT02|21总势能为：lxllkwqwdxdxdxwdEITU|2121202022第二步

30、：由最小势能原理可知：0等价于平衡微分方程和静力边界条件。lxllkwwdxqdxdxwdEI|2121202022lxllwkwwdxqdxdxwddxwdEI|022022（*）其中dxdxwddxwdEIl22022EMBEDEquation.3dxdxdwdxddxwdEIl022dxdxdwdxwdEIdxddxwddxwdEIll022022|wdxdxddxwdEIdxddxdwdxwdEIll220022|将其代入（*）式并整理可得：wdxqdxwdEIdxddxdwdxwdEIll02222022|0|0022llwkwwdxwdEIdxd43/92由于当0 x时，0dxdw

31、，022dxwd；所 以 平 衡 微 分 方 程 为：0)(2222xqdxwdEIdxd（0 xl）静力边界条件为：002222lxlxdxwddxwdEIdxdkw五、已知空间球对称问题的一般解为：BREAEBREAERBRAuTRR332)1(21)1(221其中R是坐标变量，Ru是径向位移，TR,分别是径向与切向应力。首先求出空心球受均匀内外压baqq,时的解答，然后在此基础上导出无限大体中有球形孔洞，半径为a，内abqa44/92壁受有均匀压力q时的解答。解：（1）相应空心球受均匀内外压baqq,时的边界条件为：aR：aRqbR：bRq将上述边界条件代入得：baqBbEAEqBaEA

32、E33)1(221)1(221可解得：EbabaqqBEbaaqbqAabab333333332121故空心球受均匀内外压baqq,时的解为：33333333333333333323333333312112121RbabaqqbaaqbqRbabaqqbaaqbqREbabaqqREbaaqbquababTababRababR（2）当无限大体中有球形孔洞，半径为a，内壁受有均匀压力q时，即在上式中令qqa、0bq、b，则可得：45/92333323221RqaRqaERqauTRR六、已知ijijijijjiijijijeuuF2)(210,推导以位移分量表示的平衡微分方程。解：由)(21,i

33、jjiijuu得kkkkkkkkuuue,)(21将上述两式代入ijijije2，得到ijjiijkkjiijuuu,代入0,ijijF得0,iijjjjiijkjkFuuu而jijkikijkjkuuu,，ijjjijuu,故平衡方程可写成0,ijijjjiFuu由因为iiijjjijxeeuu,)()(；46/92iijjijjiuuzyxuu2222222,)()(所以以位移分量表示的平衡微分方程的最终形式为：0)(2iiiFxeu。七、证明弹性力学功的互等定理（用张量标记）。证明：（1）先证可能功原理考虑同一物体的两种状态，这两种状态与物体所受的实际荷载和边界约束没有必然的联系。第一状

34、态全用力学量（siF、siP、sij）来描述，它在域内满足平衡方程 0,sisjijF并在全部边界条件上满足力的边界条件：sijsijP第二状态全用几何量（kikiju,）来描述。它在域内满足几何方程 )(21,kijkjikijuu且要求全部边界位移等于域内所选位移场在边界处的值。从而利用力的边界条件和高斯积分定理，可得 *,dVudVudVudSudSuPVkjisijVkisjijjVkisijjSkisijSkisi利用平衡方程，式（*）右端第一项可化为 VkisiVkisjijdVuFdVu,第二项利用张量的对称性和几何方程可改写成47/92 dVdVuudVuudVuVkijsij

35、VkijkjisijVkjikjisijVkjisij)(21)(21,即式（*）成为 *dVdSuPdVuFdVdVuFdSuPVkijsijSkisiVkisiVkijsijVkisiSkisi式（*）即为可能功原理。（2）考虑同一物体的两种不同真实状态，设第一状态的体力和 面 力 为 1iF和 1iP，相 应 的 应 力、应 变 状 态 为 111,iijiju；第 二 状 态 则 为 2iF、2iP和 222,iijiju。由于都是真实状态，所以两个状态都同时是静力可能状态和变形可能状态，且都满足广义虎克定律klijklijC根据可能功原理（令 s=1、k=2）有 bdVdSuPdVu

36、FadVdSuPdVuFVijijSiiViiVijijSiiVii121212212121对于线弹性体，有弹性张量的对称性得 1212122121ijijklklklijklijijklijklijijCC即积分后（a）（b）两式的右端相等，相应地左端也应相等，故得到 SiiViiSiiViidSuPdVuFdSuPdVuF1212212148/92八、证明受均匀内压的厚壁球壳，当处于塑性状态时，用Mises 屈服条件或 Tresca 屈服条件计算将得到相同的结果。证明：1、厚壁球壳的弹性应力分布（采用球坐标系）平衡方程：02rdrdrr几何方程：drdur，ru物理方程：rrrEE)21)

37、(1(21)21)(1(022udtdudtdu，特征方程为：022kk22rBArBeAeutt解得：331211221rBEAErBEAEr引 入 边 界 条 件：1|parr，0|brrEMBEDEquation.3可得：332333333333333333212122barraabEpupabrbrapabrbrar49/92最大周向拉应力为：pabba3333max22)(2、塑性分析Mises屈服准则：22132322212sTresca 屈服准则：sss133221在球坐标下，球对称厚壁球壳内部无剪应力，故r、即为三个主应力，有对称性可知=，代入两屈服准则便可得到相同的形式：sr

38、，故原结论得证。中南大学考试试卷2009-2010 学年2 学期时间100 分钟弹塑性力学课程40 学时 2.5学分 考试形式：闭 卷专业年级：城地 0801-0803总分100 分，占总评成绩 70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、判断题（本题 18 分，每小题 3 分）1、弹 性 体 的 应 力 就 是 一 种 面 力。（）2、弹 性 体 中 任 意 一 点 都 有xyr（）3、物体是弹性的就是说应力和应变之间的关系是直线。50/92（）4、极坐标系下的弹性力学方程只能用来描述具有轴对称性的受力物体。（）5、下 图 为 线 性 硬 化 弹 塑 性 材 料。（）图 16、平面应力

39、与平面应变问题的平衡方程、几何方程、物理方程完全相同。（）二、概念解释（本题 16 分，每小题 2 分）1、塑性；2、屈服准则；3、外力（即外荷载）；4、均匀性，各向同性；5、主应力和主方向；6、翻译：主应力，剪应变，平面应变问题三、简答题（本题 17 分）1、简述半逆解法的适用条件及其实施的主要过程。（6分）主要使用条件是常体力平面问题，这时候可以使用基于应力函数的解法。51/92半逆解法的主要实施过程（a）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分或者全部应力分量的某种函数形式；（b）根据应力分量与应力函数的关系以及用应力函数给出的变形协调关系，确定应力函数的形式；（c）再

40、次利用应力分量与应力函数的关系求出应力分量，并让其满足边界条件，对于多联通域，还要满足位移单值条件。2、简述圣维南原理及其作用（6 分）圣维南原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。可以推广为：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计3、在 主 轴 坐 标 系 下，线 弹 性 体 应 变 能 密 度 是1 1223312U ，请将其写成约定求和的指标记法。（5 分）解答：1 1223311 i=1,2,322iiU 四

41、、证明题（本题 12 分）平面问题中，物体中任意两条微小线元 PB 和 PC，线段长度如图 2 所示，变形以后，变到了 PB和PC.已知 P 点的为,u v，请证明变形几何方程（给出52/92推导过程）：,xyxyuvuvxyyx图 2答案要点：,ABABuuuudx uudyxyvvvvdx vvdyxy53/9212AxAyABxyuudxuuuuxdxdxxvvdxvvvvxdydyxuvudyvdxvvvuuvuyxdxdydxdyxy五、计算题（本题 37 分）1、图 3 为某矩形截面墙体，其上面受到向下的堆载q作用，右侧受到来自土的作用，且底端压力为，下端固定，请写出该挡土墙的全部

42、边界条件。（本题 8 分）qx54/92y图 3答案要点：左边：全部应力分量为 0；下边：全部位移为 0；002222.00.0yxyyybbxxyxxbbxxyxxqyl 2、已知一点处在某直角坐标系下的应力分量为：366620 xxyxyy，求：（1）主应力1、2；（2）主方向；（3）应力第一不变量；（4）1322nij截面上的正应力和剪应力；（5）求该点的最大剪应力。（本题 15）lb55/92答案要点：（1）1838362203622036222122221xyyxyx（2）yxyxyx111tan或yxyxyx222tan或（3）56211I（4）310333182321206636

43、nt3324152369310333182321ntn343)3324()3103()3318(222n或者332462321220433641222xyyxnlmml56/9233433464341)16(4322nxyxynmllm（5）12max38 181022 3、试考察应力函数3ay 在图 4 所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题，不计体力。（本题6分57/92）图 4答案要点：（1）首先检查该应力函数能否满足相容性方程，以应力函数表示的常体力情形下的相容方程为，无论 a 取何值，显然都满足。（2）利用应力同应力函数的关系a的值分大于或者小于0讨论，能解决偏心拉、压问题。4、如下图

44、 5 所示，矩单位宽度形截面梁不计自重，在均布 荷 载 q 作 用 下 由 材 料 力 学 得 到 的 应 力 分 量 为：,xxyMyQSII，试检查一下这表达式是否满足平衡方程和边界条件，并求出y的表达式。其中，坐标原点位于中心点。（本题 8 分）答案要点：应力x和xy可以写成：22232223/8/2/12/1282xxyMqlqxyAyBx yIhQSqxhyCxBxyIh(a)其中，233363,22qlqqABChhhOllhxy40 222226,0,0 xyxyayyxx y 2ql2l2l2ql图 5qxyOh58/92本题的平衡方程为：00yxxxyyxyxy（b）将式(a

45、)代入式(b)，第一式得到满足，由第二式得：33xyyydyCyBDx 利 用 边 界 条 件20,2hyyqD，由 此 得：333222yqqqyyhh(c)上式亦满足边界条件：2hyyq 另外，由式(a)的第二式可知，它满足上下两个表面上20hxyy的条件。在左侧及右侧表面上，利用圣维南原理其边界条件也满足。这就是说，只有y由式(c)确定时，材料力学中的解答才能满足平衡方程和边界条件，即是满足弹性力学基本方程的解。59/9260/9261/9262/9263/9264/9265/9266/9267/9268/9269/9270/9271/9272/9273/9274/9275/9276/9

46、277/9278/9279/9280/9281/9282/9283/9284/9285/9286/9287/9288/9289/9290/92弹塑性力学习题第二章应力理论应变理论21试用材料力学公式计算：直径为 1cm 的圆杆，在轴向拉力 P=10KN 的作用下杆横截面上的正应力及与横截面夹角 30的斜截面上的总应力P、正应力和剪应力，并按弹塑性力学应力符号规则说明其不同点。22试用材料力学公式计算：题 22 图所示单元体主应力和主平面方位（应力单位 MPa），并表示在图上。说明按弹塑性力学应力符号规则有何不同。题 22 图题 23 图23求题 23 图所示单元体斜截面上的正应力和剪应力（应力

47、单位为 MPa），并说明使用材料力学求斜截面应力的公式应用于弹塑性力学计算时，该式应作如何修正。24已知平面问题单元体的主应力如题 24 图(a)、(b)、(c)所示，应力单位为 MPa。试求最大剪应力，并分别画出最大剪应力作用面（每组可画一个面）及面上的应力。91/92题 24 图27*试按材料力学方法推证各向同性材料三个弹性常数：弹性模量 E、剪切弹性模量 G、泊松比 v 之间的关系：题 25 图题 26 图28用材料力学方法试求出如题 28 图所示受均布载荷作用简支梁内一点的应力状态，并校核所得结果是否满足平衡微分方程。题 28 图29已知一点的应力张量为：210已知物体的应力张量为：试确定外法线的三个方向余弦相等时的微斜面上的总应力P，正应力和剪应力。211试求以主应力表示与三个应力主轴成等倾斜面（八面体截面）上的应力分量，并证明当坐标变换时它们是不变量。212试写出下列情况的应力边界条件。92/92题 212 图213设题 213 图中之短柱体，处于平面受力状态，试证明在尖端 C 处于零应力状态。题 213 图题 214 图