概率统计练习题及参考答案01281.docx

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1、习题一习题一（A A）1.1.写出下列随机试验的样本空间：写出下列随机试验的样本空间：（1 1）一枚硬币连抛三次）一枚硬币连抛三次；（2 2）两枚骰子的点数和）两枚骰子的点数和；（3 3）100100 粒种子的出苗数粒种子的出苗数；（4 4）一）一只灯泡的寿命。只灯泡的寿命。2.2.记三事件为记三事件为CBA,。试表示下列事件：。试表示下列事件：（1 1）CBA,都发生或都不发生都发生或都不发生；（2 2）CBA,中不多于一个发生中不多于一个发生；（3 3）CBA,中只中只有一个发生有一个发生；（4 4）CBA,中至少有一个发生；中至少有一个发生；（5 5）CBA,中不多于两个发生中不多于两个

2、发生；（6 6）CBA,中恰有两个发生中恰有两个发生；（7 7）CBA,中至少有两个发生。中至少有两个发生。3.3.指出下列事件指出下列事件A与与B之间的关系：之间的关系：（1 1）检查两件产品，事件）检查两件产品，事件 A=A=“至少有一件合格品至少有一件合格品”，B=B=“两件都是合格品两件都是合格品”；（2 2）设）设 T T 表示某电子管的寿命，事件表示某电子管的寿命，事件 A=T2000hA=T2000h，B=T2500hB=T2500h。4.4.请叙述下列事件的互逆事件：请叙述下列事件的互逆事件：（1 1）A=A=“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于抛掷一枚骰子两次，点数之和大于 7

3、7”；（2 2）B=B=“数学考试中全班至少有数学考试中全班至少有 3 3 名同学没通过名同学没通过”；（3 3）C=C=“射击三次，至少中一次射击三次，至少中一次”；（4 4）D=D=“加工四个零件，至少有两个合格品加工四个零件，至少有两个合格品”。5.5.从一批由从一批由 4747 件正品件正品,3,3 件次品组成的产品中件次品组成的产品中,任取一件产品任取一件产品,求取得正品的概率。求取得正品的概率。6.6.电话号码由电话号码由 7 7 个数字组成个数字组成,每个数字可以是每个数字可以是9,1,0中的任一个中的任一个,求求：（1 1）电话号码）电话号码由完全不相同的数字组成的概率由完全不

4、相同的数字组成的概率；（2 2）电话号码中不含数字）电话号码中不含数字 0 0 和和 2 2 的概率的概率；（3 3）电话号码）电话号码中中 4 4 至少出现两次的概率。至少出现两次的概率。7.7.从从 0,1,2,30,1,2,3 这四个数字中任取三个进行排列这四个数字中任取三个进行排列,求求“取得的三个数字排成的数是三位数取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数且是偶数”的概率。的概率。8.8.从一箱装有从一箱装有 4040 个合格品个合格品,10,10 个次品的苹果中任意抽取个次品的苹果中任意抽取 1010 个个,试求试求：（1 1）所抽取的）所抽取的 1 10 0个苹果中恰有个苹果中恰有

5、 2 2 个次品的概率个次品的概率；（2 2）所抽取的）所抽取的 1010 个苹果中没有次品的概率。个苹果中没有次品的概率。9.9.设设 A,BA,B 为任意二事件为任意二事件,且知且知4.0)()(BpAp,28.0)(BAp,求求)(BAp；)(ABp。10.10.已知已知41)(Ap，31)(ABp，21)(BAp，求，求)(BAp。11.11.一批产品共有一批产品共有 1010 个正品和个正品和 4 4 个次品个次品,每次抽取一个每次抽取一个,抽取后不放回抽取后不放回,任意抽取两次任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。求第二次抽出的是次品的概率。12.12.已知一批玉米种子的出苗率

6、为已知一批玉米种子的出苗率为 0.9,0.9,现每穴种两粒现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？少？13.13.一批零件共一批零件共 100100 个个,次品率为次品率为 10%,10%,每次从中任取一个零件每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回取出的零件不再放回,求求第三次才取得正品的概率。第三次才取得正品的概率。14.14.1010 个考签中有个考签中有 4 4 个难签个难签,3,3 人参加抽签（不放回）人参加抽签（不放回）,甲先、乙次甲先、乙次,丙最后。求丙最后。求:(1)(1)甲抽到难签甲抽到难签；（2 2）甲、乙都抽到难签）甲、乙都抽到难签；

7、（3 3）甲没抽到难签而乙抽到难签）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4 4）甲、乙、）甲、乙、丙都抽到难签的概率。丙都抽到难签的概率。15.15.设设 A A，B B 为两事件，且为两事件，且7.0)(,6.0)(BpAp，问（，问（1 1）在什么条件下）在什么条件下)(ABp取取到最大值，最大值是多少？（到最大值，最大值是多少？（2 2）在什么条件下）在什么条件下)(ABp取到最小值，最小值是多少？取到最小值，最小值是多少？16.16.设事件设事件A与与B互不相容，且互不相容，且1)(0Bp，试证明，试证明)(1)()(BpApBAp。17.17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处假设某地区位于

8、甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时当任一河流泛滥时,该地区被淹没。设某时该地区被淹没。设某时期内甲河流泛滥的概率为期内甲河流泛滥的概率为 0.1,0.1,乙河流泛滥的概率为乙河流泛滥的概率为 0.2,0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为为0.3,0.3,求（求（1 1）该时期内这个地区被淹没的概率？（）该时期内这个地区被淹没的概率？（2 2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？少？18.18.1212 个乒乓球都是新球个乒乓球都是新球,每次比赛时取出每次比赛时取出 3 3 个用完后放回去个用完后放回去,求第三次比赛时取

9、到的求第三次比赛时取到的 3 3个球中有个球中有 2 2 个是新球的概率。个是新球的概率。19.19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的每个车间的产量分别占全厂的 25%25%，35%35%，40%40%，各车间产品的次品率分别为，各车间产品的次品率分别为 5%5%，4%4%，2%2%，求，求:（1 1）全厂的次品率）全厂的次品率；（2 2）如果抽）如果抽出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？20.20.设一仓库中有设一仓库中有 1212 箱同种规格的产品箱同种规

10、格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5 5 箱、箱、4 4箱、箱、3 3 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1,0.15,0.18,0.1,0.15,0.18,从这从这 1212 箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱,再从这箱中再从这箱中任取一件任取一件,求取得合格品的概率；若取得合格品求取得合格品的概率；若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大？问该产品为哪个厂生产的可能性大？21.21.设患乙肝的人经过检查设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为被查出患乙肝的人概率为 0.95,0.95,而未患乙肝的人经过检查而未患乙肝的人

11、经过检查,被误认为有乙肝的概率为被误认为有乙肝的概率为 0.0020.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为；又设全城居民中患有乙肝的概率为 0.0010.001。若从居民中随。若从居民中随机抽一人检查机抽一人检查,诊断为有乙肝诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。求这个人确实有乙肝的概率。22.22.据统计男性有据统计男性有 5%5%是患色盲的，女性有是患色盲的，女性有 0.25%0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？23.23.两

12、射手彼此独立地向一目标射击两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为设甲击中的概率为 0.8,0.8,乙击中的概率为乙击中的概率为 0.7,0.7,则目则目标被击中的概率是多少？标被击中的概率是多少？24.24.某射手的命中率为某射手的命中率为 0.95,0.95,他独立重复地向目标射击他独立重复地向目标射击 5 5 次次,求求:（1 1）恰好命中）恰好命中 4 4 次的次的概率概率；（2 2）至少命中）至少命中 3 3 次的概率。次的概率。25.25.事件事件CBA,相互独立，证明相互独立，证明CBA,也相互独立。也相互独立。26.26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立高射

13、炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概，设每发炮弹击中敌机的概率均为率均为 0.30.3。又知若敌机中一弹，其坠落的概率为。又知若敌机中一弹，其坠落的概率为 0.20.2；若敌机中两弹，其坠落的概率；若敌机中两弹，其坠落的概率为为0.60.6；若敌机中三弹则必然坠落；若敌机中三弹则必然坠落。（1 1）求敌机被击落的概率）求敌机被击落的概率；（2 2）若敌机被击落，求它中两）若敌机被击落，求它中两弹的概率。弹的概率。27.27.袋中有袋中有 1010 个乒乓球，其中个乒乓球，其中 7 7 个黄的，个黄的，3 3 个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。个白的，不放回地

14、依次从袋中随机取一球。试求第一次和第二次都取到黄球的概率。试求第一次和第二次都取到黄球的概率。（B B）1.1.已知某家庭有已知某家庭有 3 3 个小孩个小孩,且至少有一个是女孩且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。求该家庭至少有一个男孩的概率。2.2.甲、乙、丙甲、乙、丙 3 3 部机床独立工作，由一个工人照管部机床独立工作，由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为概率分别为 0.9,0.80.9,0.8 和和 0.850.85。求。求:（1 1）在这段时间内有机床需要工人照管的概率）在这段时间内有机床需要工人照管的概率；（2 2）机

15、床）机床因无人照管而停工的概率因无人照管而停工的概率；（3 3）若）若 3 3 部机床不需要工人照管的概率均为部机床不需要工人照管的概率均为 0.80.8，这段时间内恰，这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。有一部机床需要人照管的概率。3.3.设设bBpaAp)(,)(，则，则bbaBAp1)(。4.4.若若)()(ApBAp，则，则)()(BpABp。5.5.已知三事件已知三事件321,AAA都满足都满足)3,2,1(iAAi，证明：，证明：2)()()()(321ApApApAp。6.6.酒店一楼有三部电梯，今有酒店一楼有三部电梯，今有 5 5 位客人要乘电梯位客人要乘电梯.假定选择哪部

16、电梯是随机的，求每部假定选择哪部电梯是随机的，求每部电梯内至少有一位旅客的概率。电梯内至少有一位旅客的概率。7.7.有有 6 6 匹赛马，编号为匹赛马，编号为 1,2,3,4,5,6.1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记 A=A=1 1号马跑在前三位，号马跑在前三位，B=2B=2 号马跑在第二位，求号马跑在第二位，求)(Ap，)(Bp和和)(ABp。8.8.设设CBA,是两两独立且不能同时发生的随机事件，且是两两独立且不能同时发生的随机事件，且xCpBpAp)()()(，求求x的最大值。的最大值。9.9.带活动门的小盒子中有采

17、自同一巢的带活动门的小盒子中有采自同一巢的 2020 只工蜂和只工蜂和 1010 只雄峰，现随机地放出只雄峰，现随机地放出 5 5 只做只做实验，求其中有实验，求其中有 3 3 只工蜂的概率。只工蜂的概率。习题二习题二（A A）1.1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。(1)(1)(,21)(22RxexFx；(2)(2)xxFsin)(；(3)(3)1,11,11)(2xxxxF；(4)(4)0,10,6.00,0)(xxxxF。2.2.设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布函数的分布函数1,110,7.00

18、1,2.01,0)(xxxxxF求求X的分布列。的分布列。3.3.设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为的分布列为求求：（1 1）X的分布函数的分布函数；（2 2）5.0Xp；（3 3）31Xp。4.4.设随机变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：nknakXp,1,0,，试确定常数，试确定常数a。5.5.设 随 机 变 量设 随 机 变 量X服 从 泊 松 分 布，且服 从 泊 松 分 布，且21XpXp，求，求4Xp和和1Xp。6.6.设事件设事件 A A 在每一次试验中发生的概率为在每一次试验中发生的概率为 0.30.3，当，当 A A 发生不少于发生不少于 3 3 次时，指

19、示灯发出次时，指示灯发出信号信号.（1 1）进行了）进行了 5 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2 2）进行了）进行了 7 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.7.7.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为（1 1）其它,021,)11(2)(2xxxf；（2 2）其它,021,210,)(xxxxxf，求求X的分布函数的分布函数)(xF.8.8.设随机变量设随机变量X的密度函数的密度函数其它,010,)(xbxaxf，且且8321Xp，试求出，试求出a，b。9.9.设随机变量设随机变量

20、X的密度函数为的密度函数为其它,01,)(2xcexfx，求求:（1 1）c c；（2 2）21 Xp；（3 3）X的分布函数。的分布函数。1 10.0.设设随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为X X-1-11 12 2p p0.20.20.50.50.30.3,0,0;0,)(xxAexfx，求求:（1 1）A；（2 2）40 Xp；（3 3）X的分布函数。的分布函数。11.11.在长度为在长度为t的时间间隔内到达某港口的轮船数的时间间隔内到达某港口的轮船数X服从参数为服从参数为3/t的泊松分布，而与的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计时间间隔的起点无关（时间以小时计）。某

21、天。某天 1212 至至 1515 时至少有一艘轮船到达该港口的概率时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少？为多少？12.12.若随机变量若随机变量X在在6,1 上服从均匀分布，试求方程上服从均匀分布，试求方程012 Xxx有实根的概率。有实根的概率。13.13.设随机变量设随机变量),2(2NX，且，且3.042 Xp，求概率，求概率0Xp。14.14.设设)25,4(NX，求，求80 Xp。15.15.由某机器生产的螺柱的长度（由某机器生产的螺柱的长度（cmcm）服从正态分布）服从正态分布)06.0,05.10(2N，规定长度在范，规定长度在范围围10.0510.050.120.12 内为

22、合格品，求一螺柱为合格品的概率。内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。16.16.某种型号器件的寿命某种型号器件的寿命X（以小时计）具有密度函数（以小时计）具有密度函数.,0,1000,1000)(2其它xxxf现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取，任取 5 5 只，问其中至少有只，问其中至少有 2 2 只寿命大只寿命大于于15001500 小时的概率是多少？小时的概率是多少？17.17.设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为1,110,0,0)(2xxaxxxF，求，求：（1 1）系数）系数a；（2 2）7.03.0

23、Xp；（3 3）密度函数）密度函数)(xf。18.18.设设),(YX的联合分布为下表的联合分布为下表（1 1）求求YX,的边缘分布的边缘分布；（2 2）判别）判别YX,是否独立。是否独立。19.19.设 二 维 随 机 变 量设 二 维 随 机 变 量),(YX只 能 取 数 组只 能 取 数 组 10,0,1,1,1,3EMBEDEMBEDX XY Y0 01 10 00.10.10.10.11 10.80.80 0Equation.DSMT4Equation.DSMT4,2,0的值，且取这些组值的概率依次为的值，且取这些组值的概率依次为1 1 1,6 3 12EMBEDEMBEDEqua

24、tion.DSMT4Equation.DSMT4512，写出，写出),(YX的联合分布列并求出的联合分布列并求出YX,的边缘分布。的边缘分布。20.20.已知随机变量已知随机变量YX,的的分布列分别为分布列分别为且且10XYp，求（，求（1 1）YX,的的联合分布列联合分布列；（2 2）YX,是否独立？为什么？是否独立？为什么？21.21.已知二维随机变量已知二维随机变量),(YX的联合的联合联合分布列为联合分布列为问当问当,为何值时，为何值时，YX,相互独立？相互独立？22.22.设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,00,0,),()(2yxceyxf

25、yx，试求，试求常数常数c，并，并判别判别YX,是否独立。是否独立。23.23.设设),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,00,0,),()(yxeyxfyx，（1 1）试求联合分布函数）试求联合分布函数),(yxF；（2 2）求概率）求概率),(Gyxp，其中区域，其中区域G由由x轴，轴，y轴轴以和直线以和直线1 yx所围成。所围成。24.24.设设),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,010,)1(),(xyxkyxf，求常数，求常数k和边缘概和边缘概率密度，并讨论随机变量率密度，并讨论随机变量X与与Y的相互独立性。的相互独立性。25.25.已知随机变量已知随机变量X的

26、分布列如下：的分布列如下：X X-1-10 01 1p p1/41/41/21/21/41/4Y Y0 01 1p p1/21/21/21/2X XY Y0 02 23 31 11/61/61/91/91/181/182 21/31/3X X-1-10 01 12 23 3p p0.20.20.30.30.20.20.20.20.10.1求求12XY，12 XZ的分布。的分布。26.26.设设),(YX的联合概率分布如下表所示，的联合概率分布如下表所示，X XY Y-1-10 02 20 00.10.10.20.20 01 10.30.30.050.050.10.12 20.150.150 0

27、0.10.1求求YXZ1，XYZ2的概率分布。的概率分布。27.27.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为0,00,)(xxexfx，求，求2XY 的概率密度。的概率密度。28.28.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为其它,010,2)(xxxf，求，求XY2；1XZ的的密度函数。密度函数。29.29.设二维随机变量设二维随机变量),(YX在矩形在矩形10,10),(yxyxG上服从均匀分布，试上服从均匀分布，试求边长分别为求边长分别为X和和Y的矩形面积的矩形面积Z的的分布函数与密度函数。分布函数与密度函数。30.30.设设X与与Y分别服从参数为分别服从参数为21与与31

28、的指数分布，并且二者相互独立，求的指数分布，并且二者相互独立，求YXZ的密度函数。的密度函数。31.31.设设),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,00,10,3),(xyxxyxf求求YXZ的分布函数与密度函数。的分布函数与密度函数。（B B）1.1.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且相互独立，且)(),(21pYpX，在已知，在已知nYX的条件的条件下，求下，求X的条件分布。的条件分布。2.2.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,01,421),(22yxyxyxf，求条件概率求条件概率)(xyf，并求，并求5.075.0

29、XYp。3.3.某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量某商场经统计发现顾客对某商品的日需求量40),(2NX，且日平均需求，且日平均需求量量40（件（件），销售在，销售在 30503050（件）之间的概率为（件）之间的概率为 0.5.0.5.若进货不足每件损失利润若进货不足每件损失利润 7070 元，元，进货过量每件损失进货过量每件损失 100100 元，求日最优进货量。元，求日最优进货量。4.4.设二维随机变量设二维随机变量),(YX服从服从20,10),(yxyxG上的均匀分布。求（上的均匀分布。求（1 1）3YXp；（2 2）,minYXZ 的密度函数。的密度函数。5.5.设随机变量设随

30、机变量X与与Y相互独立，试在以下情况下求相互独立，试在以下情况下求YXZ的密度函数：的密度函数：（1 1）)1,0(UX，)1,0(UY；（2 2）)1,0(UX，)1(eY.6.6.设随机变量设随机变量X与与Y独立同分布于标准正态分布，试求独立同分布于标准正态分布，试求22YXZ的分布。的分布。7.7.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立同分布，相互独立同分布，X的密度函数为的密度函数为)(xf，并且，并且,maxYXZ，,minYXW，求，求WZ,的密度函数。的密度函数。8.8.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 8 8 杯，如果从中挑杯，如果

31、从中挑 4 4 杯，能将甲种酒杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次全部挑出来，算是试验成功一次.（1 1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2 2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验 1010 次，成功次，成功 3 3 次，试推断他是猜对次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（假设各次试验是相互独立的）的，还是他确有区分的能力（假设各次试验是相互独立的）.9.9.一房间有一房间有 3 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的，有一只鸟从开着的窗户飞入了扇同样大小的窗子，

32、其中只有一扇是打开的，有一只鸟从开着的窗户飞入了房间，它只能从开着的窗户飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间，假定鸟是没有房间，它只能从开着的窗户飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间，假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的记忆的，它飞向各扇窗子是随机的.（1 1）以）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律的分布律.（2 2）户主声称他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一扇窗子的尝试不多于一次，以）户主声称他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一扇窗子的尝试不多于一次，以Y表示表示这只聪明的鸟儿为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求这只聪明的鸟

33、儿为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律的分布律.（3 3）求是非次数）求是非次数X小于小于Y的概率和试飞次数的概率和试飞次数Y小于小于X的概率的概率.10.10.设设X与与Y独立同分布于标准正态分布独立同分布于标准正态分布)1,0(N，试证明，试证明YXZ/服从柯西分布。服从柯西分布。习题三习题三（A A）1.1.设设随机变量随机变量 X X 的分布列为的分布列为求求EX，)1(XE，2EX。2.2.设随机变量设随机变量X的分布为下表所示，的分布为下表所示，求（求（1 1）a；（2 2）5.11 Xp；（3 3）DXEX,和和)32(2XE。3.3.已知已知116)4(,

34、10)4(2XEXE，求，求2,EXEX。4.4.已知随机变量已知随机变量 X X 服从参数服从参数2的泊松分布，的泊松分布，23 XY，求，求DYEY,。5.5.设设 X X 的分布列为下表所示的分布列为下表所示求求)12(,2 XEEXEX。6.6.已知随机变量已知随机变量X的分布函数为的分布函数为4140400)(xxxxxF求求DXEX,。7.7.设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为.,010,22)(其它xxxf，求求2EX。8.8.设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为11,1)(xxxf，求，求EX。X X-1-10 00.50.51 12 2P

35、 P1/31/31/61/61/61/61/121/121/41/4X X0 01 12 2p pa1/61/61/21/2X X-1-10 02 23 3p p1/81/81/41/43/83/81/41/49.9.设随机变量设随机变量 X X 的密度函数为的密度函数为2)(Axexf，x，求求 A A 和和DXEX,。10.10.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且相互独立，且2,4DYDX，则，则YXZ23的方差是多的方差是多少？少？11.11.设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为 2 2 的指数分布，试求的指数分布，试求：（1 1）)3(XE与与)3(XD；（2 2）)(3X

36、eE与与)(3XeD。12.12.设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为-1,0,1-1,0,1，且，且89.0,1.0DXEX，试求，试求X的的概率分布。概率分布。1 13.3.设随机变量设随机变量X服从服从分布，其概率密度为分布，其概率密度为,0,0;0,)()(1xxexxfx其中其中0,0是常数，求是常数，求EX和和DX。14.14.若随机变量若随机变量X服从均值为服从均值为 2 2，方差为，方差为2的正态分布，且的正态分布，且3.042 Xp，求，求0Xp。15.15.现有现有 1010 张奖券，其中贰元的张奖券，其中贰元的 8 8 张，伍元的张，伍元的 2 2

37、张。今某人从中随机地无放回地抽取张。今某人从中随机地无放回地抽取了了 3 3 张，求此人得奖金额的数学期望。张，求此人得奖金额的数学期望。16.16.设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为0,00,)(2222xxexxfx其中其中0是常数，求是常数，求EX，DX。1717.设随机变量设随机变量),(YX的联合分布列为下表所示，的联合分布列为下表所示，求求)(),1(,2XYEXEEY。Y YX X0 01 12 20 00.060.060.120.120.040.041 10.160.160.140.140.200.202 20.080.080.100.100.100.1018.18

38、.18.18.设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合分布列为右表所示，的联合分布列为右表所示，（1 1）求）求EX，EY；（2 2）设）设XYZ/，求，求EZ；（3 3）设）设2)(YXZ，求，求EZ。1919.设随机变量设随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为.,0;20,20,coscos),(其它yxyxyxf，试求试求EX,DY,)(2XXYE。2020.设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,00,10,),(xyxkyxf求求)(XYE。2121.设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,010

39、,12),(2xyyyxf求求EX，EY，)(XYE，)(22YXE。22.22.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，且相互独立，且4,2,1DYDXEYEX，求，求2)(YXE，并求出并求出X与与Y的的相关系数。相关系数。23.23.设设 A A 和和 B B 是试验是试验 E E 的两个事件，且的两个事件，且0)(,0)(BpAp，并定义随机变量，并定义随机变量X与与Y如下：如下：不发生若发生若A,0A,1X，不发生若发生若B,0B,1Y证明：若证明：若0，则，则X与与Y必定相互独立。必定相互独立。24.24.设随机变量设随机变量X与与Y相互独立，证明：相互独立，证明：DYDXXYD)(

40、。（B B）1.1.设汽车起点站分别于每小时的设汽车起点站分别于每小时的 1010 分、分、3030 分和分和 5555 分发车，若乘客不知发车的时间，分发车，若乘客不知发车的时间，在每一小时内的任一时刻在每一小时内的任一时刻X随机到达车站，求乘客等待的时间的数学期望（精确到秒随机到达车站，求乘客等待的时间的数学期望（精确到秒）。2.2.一一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为 0.1,0.2,0.30.1,0.2,0.3，假设它们的，假设它们的状态相互独立，以状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求表示同时需调整的部件数，求

41、DXEX,。3 3.设随机变量设随机变量),(YX的联合分布列为下表所示，的联合分布列为下表所示，试求（试求（1 1）),cov(YX，；（2 2）X与与Y的协方差矩阵。的协方差矩阵。4.4.m个人在大楼的个人在大楼的 1 1 楼进入电梯，大楼共有楼进入电梯，大楼共有1n层，电梯在每一层都可以停，若每层，电梯在每一层都可以停，若每人在任何一层楼走出电梯的概率相同，且若某层没有人走出电梯时，电梯可以不停，试求人在任何一层楼走出电梯的概率相同，且若某层没有人走出电梯时，电梯可以不停，试求直到电梯中的乘客都走空时，电梯需停次数的数学期望。直到电梯中的乘客都走空时，电梯需停次数的数学期望。5.5.设设

42、袋中有袋中有 2 2 只红球和只红球和 3 3 只白球，只白球，n个人轮流摸球，每人摸出个人轮流摸球，每人摸出 2 2 球，然后将球放回袋球，然后将球放回袋中由下一人摸，求中由下一人摸，求n个人总共摸到的红球数的数学期望和方差。个人总共摸到的红球数的数学期望和方差。6 6.某人有某人有n把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，把钥匙，其中只有一把能打开门，从中任取一把试开，试过的不再重复，直至把门打开，求试开次数的数学期望和方差。直至把门打开，求试开次数的数学期望和方差。7.7.设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,020,20),

43、(81),(yxyxyxf求求EX，EY，),cov(YX，)(YXD。8.8.设设随机变量随机变量X与与Y独立同分布于正态分布独立同分布于正态分布),(2N，试求，试求YXZ1和和YXZ2的相关系数（其中的相关系数（其中,是不为零的常数是不为零的常数）。9.9.设设二维随机变量二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联合密度函数为其它,020,20),(81),(yxyxyxf求求EX，EY，),(YXCov。Y YX X0 01 12 20 00.10.10.20.20.20.21 10.30.30.10.10.10.110.10.设二维随机变量设二维随机变量),(YX的联合密度函数为的联

44、合密度函数为其它,00,20,163),(2xyxxyyxf求求：（1 1）X与与Y的数学期望和方差的数学期望和方差；（2 2）X与与Y的协方差和相关系数。的协方差和相关系数。11.11.设设区域区域 G G 为为122 yx，二维随机变量，二维随机变量),(YX服从服从 G G 上的均匀分布，判断上的均匀分布，判断X与与Y的相关性、独立性。的相关性、独立性。习题四习题四（A A）1.1.设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望EX，方差，方差2DX，利用切贝谢夫不等式，估计概，利用切贝谢夫不等式，估计概率率3Xp。2.2.已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是已知正常男性成人血液中，

45、每毫升白细胞数平均是 73007300，标准差是，标准差是 700.700.利用利用切贝谢切贝谢夫不等式估计夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在每毫升血液中的白细胞数在 52005200 至至 94009400 之间的概率。之间的概率。3.3.在每次试验中，事件在每次试验中，事件 A A 发生的概率等于发生的概率等于 0.50.5，利用切贝谢夫不等式估计，在，利用切贝谢夫不等式估计，在 10001000 次次独立试验中，事件独立试验中，事件 A A 发生的次数在发生的次数在 400400 至至 600600 次之间的概率。次之间的概率。4.4.设随机变量设随机变量X和和Y的数学期望分别为的数学

46、期望分别为-2-2 和和 2 2，方差分别为，方差分别为 1 1 和和 4 4，相关系数为，相关系数为-0.5-0.5，根据根据切贝谢夫不等式可估计切贝谢夫不等式可估计6YXp。5.5.保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保者中每个人保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保者中每个人死亡的概率等于死亡的概率等于 0.0050.005，现有这类投保者，现有这类投保者 1 1 万人，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人万人，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过数不超过 7070 人的概率。人的概率。6.6.旅客买一份旅行保险交保险费旅客买一份旅

47、行保险交保险费 2020 元，如果在旅行中遇事故身亡，保险公司向家属赔元，如果在旅行中遇事故身亡，保险公司向家属赔付付 2020 万元。设这一类伤亡事故的发生率为万元。设这一类伤亡事故的发生率为 0.0000810.000081，假定这一年卖出，假定这一年卖出 100100 万份保险，若不万份保险，若不计保险公司的运营成本，求（计保险公司的运营成本，求（1 1）保险公司亏本的概率）保险公司亏本的概率；（2 2）保险公司赚到）保险公司赚到 500500 万元的概率。万元的概率。7.7.若每次射击命中目标的概率为若每次射击命中目标的概率为 0.10.1，不断地进行射击，求在，不断地进行射击，求在

48、500500 次射击中，击中目标次射击中，击中目标的次数在（的次数在（49,5549,55）内的概率。）内的概率。8.8.某工厂每月生产某工厂每月生产 1000010000 台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为为80%80%，为了以，为了以 99.7%99.7%的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片。试问该液晶的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片。试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？片车间每月至少应该生产多少片液晶片？9.9.某产品的合格品率为某产品的合格品率为 99%99%，问包装箱中应该装多少个此

49、种产品，才能有，问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有 95%95%的可能的可能性使每箱中至少有性使每箱中至少有 100100 个合格产品。个合格产品。10.10.计算机在做加法运算时，对每个加数取整（取最接近它的整数计算机在做加法运算时，对每个加数取整（取最接近它的整数），设所有取整数误，设所有取整数误差是相互独立的，且它们都在差是相互独立的，且它们都在-0.5,0.5-0.5,0.5上服从均匀分布。将上服从均匀分布。将 15001500 个数相加，求误差总和的个数相加，求误差总和的绝对值超过绝对值超过 1515 的概率。的概率。11.11.某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概

50、率为某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为 0.90.9，利用中心极限，利用中心极限定理计算（定理计算（1 1）同时用电户数在）同时用电户数在 90309030 户以上的概率户以上的概率；（2 2）若每户用电）若每户用电 200200 瓦，问电站至少瓦，问电站至少应具备多大的发电能力，才能以应具备多大的发电能力，才能以 95%95%的概率保证供电。的概率保证供电。12.12.设随机变量设随机变量(1,2,100)iX i 相互独立同分布于泊松分布相互独立同分布于泊松分布)100,2,1(!22iekkXpki随机变量随机变量10021XXXY，求，求210190Yp。13.13