2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试题(解析版).docx

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1、2016届江苏省扬州中学高三12月月考数学试题一、填空题1已知集合，则 【答案】【解析】试题分析：因为，所以只能在，中取值，又根据集合中元素的互异性，所以，所以答案应填：【考点】集合的交集2如果复数为纯虚数，则= 【答案】【解析】试题分析：为纯虚数，所以，所以，所以答案应填：【考点】1、复数的概念；2、复数的运算3如图程序运行的结果是 【答案】【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，；运行第二次，；运行第三次，满足条件，停止运行，所以输出的，所以答案应填：【考点】程序框图4小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他把4枚硬币叠成一摞（如图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的

2、概率是 【答案】【解析】试题分析：四枚硬币的全部的摆法有种，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反反正正反反正，反正正反反正正反，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有种，所以概率是，所以答案应填：【考点】古典概型5甲乙两个样本数据的茎叶图（如图），则甲乙两样本方差中较小的一个方差是 【答案】【解析】试题分析：由茎叶图知，乙的稳定性较好，方差较小，由方差公式可得：，所以答案应填：【考点】1、茎叶图；2、方差6已知三个球的半径、满足，记它们的表面积分别为、，若，则 【答案】【解析】试题分析：由题意知，所以，即，又，所以，所以化简得：，即，所以答案应填：【考点】球的表面7经

3、过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点，记的面积为，则= 【答案】【解析】试题分析：设，切线斜率，所以切线方程，分别令得，所以，所以答案应填：【考点】1、导数的几何意义；2三角形面积8函数f（x）Asin（x）（A，是常数，A0，0）的图象如图所示，若，则= 【答案】2【解析】试题分析：根据题意，所以，又，所以当时，函数有最小值，因此最小正周期为，又，所以，所以答案应填：【考点】1、正弦型函数的图象；2、正弦型函数的性质9在ABC中，所对边的长分别为a，b，c已知ac2b，sinBsinC，则 【答案】【解析】试题分析：因为，由正弦定理得：，又，所以，由余弦定理得：，再根据二倍角

4、公式知，且，所以，所以答案应填：【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、余弦的二倍角公式10如图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：设，则, ，求得点，点，所以，因为，所以，所以，所以的取值范围是，所以答案应填：【考点】1、向量的数量积；2、两角和差的正弦公式；3、正余弦的二倍角公式11已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，所以答案应

5、填：【考点】1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程12已知函数，则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：因为，当时，解得：，当时，解，即，所以，综上的解是，因此只需且，解得且，所以答案应填：【考点】1、含绝对值函数；2分段函数；3、二次不等式；4、函数的性质【思路点晴】本题主要考查的是绝对值的性质，分段函数及不等式的解法，属于难题本题利用绝对值的性质去掉绝对值号，得分段函数，在定义域不同区域上解关于的不等式，得出的解是，然后用替换的思想，得且，即可，本题对整体思维和运算能力要求较高13集合，则集合中的元素个数为 【答案】【解析】试题分析： 由知，又因为，一奇一偶，所以是偶数时

6、，的取值为，共有种情形，交换顺序又得到种情形，所以集合共有个元素，所以答案应填：【考点】1、等差数列求和公式；2、整数奇偶性质；3集合概念14实数，满足，如果它们的平方组成公差的等差数列，当取最小值时，= 【答案】【解析】试题分析：由题意知，又是等差数列，所以，又因为，所以，即，当时，当时，因为取最小值，所以，又根据等差中项知，所以，即，所以答案应填：【考点】1、绝对值的性质；2、等差数列的通项公式；3、等差中项【思路点晴】本题主要考查的是绝对值的性质，等差数列的通项公式、等差中项及最值问题，属于难题本题利用绝对值性质得出有最小值时，求，然后利用等差数列得到，通过对的分析，得出的可能取值，再根

7、据有最小值，确定及取值，从而利用等差中项求解，对思维灵活性要求较高二、解答题15在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）（）若，为的内角，当时，求的大小；（）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合当时，求实数的最大值【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）利用向量数量积公式及两角和正弦公式得：，又，注意分析角的范围，然后写出角；（）由求得的值域，因为的解是的形式，又，所以只需，即可试题解析：（）由题意 3分当时， （）由得，的值域， 又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2【考点】1、数量积公式；2、两角和正弦公式；3、子集的概念；4、函数值域16如图，在

8、三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为A1C1，BB1的中点，B1CAB，侧面BCC1B1为菱形求证：ABCDA1B1C1E（）DE平面ABC1；（）B1CDE【答案】（）证明见解析；（）证明见解析【解析】试题分析：（）取AA1的中点F，连DF，FE，根据中点易证线线平行，从而平面DEF平面ABC1，又因为DE平面DEF，所以B1CDE；（）在菱形中B1CBC1，又B1CAB，易证B1C平面ABC1，再根据面面平行的性质，得：B1C平面DEF，从而证明B1CDE 试题解析：（）如图，取AA1的中点F，连DF，FE又因为D，E分别为A1C1，BB1的中点，所以DFAC1，EFAB因为DF平面

9、ABC1，AC1平面ABC1，故DF平面ABC1 同理，EF平面ABC1因为DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，所以平面DEF平面ABC1 因为DE平面DEF，所以DE平面ABC1 （）因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1CBC1 9分又B1CAB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，所以B1C平面ABC1 而平面DEF平面ABC1，所以B1C平面DEF，因为DE平面DEF，所以B1CDE ABCDA1B1C1EF【考点】1、线面平行；2、面面平行；3、线面垂直；4、三角形中位线【方法点晴】本题主要考查的是线面平行、线线平行、线线垂直和线面垂直，属于中档

10、题解题时一定要注意得线线平行的常用证明方法，构造中位线和平行四边形是最常用方法证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线17某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨（）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库

11、的容量，试确定的取值范围【答案】（），（）；（）【解析】试题分析：（）由区域外前4个月的需求总量为20万吨知，第个月共进原油，区域内调出，区域外调出，原来库存吨，所以，（）；（）要求剩余油量不超过油库容量，所以恒成立，转化为恒成立求参数取值问题，再利用换元法求函数最值即可求解试题解析：（）由条件得，所以 2分，（） （）因为，所以恒成立， 恒成立， 设，则：，恒成立，由恒成立得（时取等号），恒成立得（时取等号）答：的取值范围是【考点】1、函数的实际应用；2、含参不等式恒成立；3、换元法；4、二次函数的最值【方法点晴】本题主要考查的是函数的实际应用问题及利用换元法研究函数的最值、解决恒成立问题，

12、属于难题解决函数应用题，要仔细审题，找出各部分量之间的关系，写出函数关系，注意实际问题的实际意义，写好定义域，实际问题的最值一般要用均值不等式或二次函数知识求最值，本题通过换元法转化为二次函数，研究最值，从而求得参数的取值范围18如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为（）求椭圆的标准方程；（）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由【答案】（）；（）（1）定值，；（2）定值，【解析】试题分析：（）由椭圆

13、的离心率，知，又右焦点F到左准线l的距离为，所以，解得椭圆的方程为；（）（1）设两条切线方程分别为，利用圆心到切线的距离等于半径得：，化简，同理也适合，知是方程的两个不相等的实数根，所以由根与系数的关系得：，又点在椭圆上，消元得：，因为是定值，所以，所以，解得；（2）设，根据（1），所以，又点在椭圆上，所以，消去，得：，从而，所以试题解析：（）依题意，解得则，所以椭圆的方程为（）（1）依题意，两条切线方程分别为，由,化简得，同理所以是方程的两个不相等的实数根，因为，所以，所以据,为定值得：（2）由（1）得，设,则,所以，因为，所以，所以，所以， 所以【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲

14、线的位置关系；3、直线与圆锥曲线定值问题19设函数（）若，函数在的值域为，求函数的零点；（）若，（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值；（2）令,若存在使得,求实数的取值范围【答案】（）；（）（1）；（2）【解析】试题分析：（）当时，要研究函数零点需先根据函数值域求，对分类讨论，研究函数单调性及极值，写出函数值域，再根据值域是求；（）（1）由，得：，所以恒成立，特殊化，时，验证时，对任意的成立，所以问题解决（2） 化简问题得又，从而，利用求解试题解析：（）当时， 若，则恒成立，函数单调递减，又函数在的值域为，此方程无解2分 若，则（i）若，即时，此方程组无解；（ii），即时，所以c=3；（i

15、ii），即时，此方程无解由、可得，c=3的零点为： （） 由，得：，又，对任意的,恒成立当时，又时，对任意的,，即时，实数的最小值是1，即（） 法1：由题意可知，在上恒成立，在上恒成立； 由（）得：在上恒成立， 又因为当时,，即， 法2：，设，则，由下图得：，【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、不等式的恒成立；4、函数的零点；5、参数的分类讨论20已知数列为等差数列，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立（）求数列、的通项公式；（）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整

16、数k，使成等比数列，若数列的公差为d，求d的所有可能取值之和【答案】（）；（）存在满足条件；（）【解析】试题分析：（）因为对任意的恒成立，所以取，又知为等差数列，为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（）由，得，设，则不等式等价于，问题转化为求的最小值，因，利用知单调递增，求的最小值，再根据求解；（）特殊情况时，成立，当d0时，由等比中项知，化简得，整理得：，由，所以，根据，故，从而，所以公差d的所有可能取值之和为试题解析：（）法1：设数列的公差为，数列的公比为因为令分别得，又所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去所以 法2：因为 对任意的恒成立则（） 得，又，也符合上式，所以

17、由于为等差数列，令，则，因为为等比数列，则（为常数），即对于恒成立，所以又，所以，故（）由，得，设，则不等式等价于，且，数列单调递增假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则当为奇数时，得； 当为偶数时，得，即综上，由是非零整数，可知存在满足条件（）易知d=0，成立 当d0时， ，又，所以公差d的所有可能取值之和为16分【考点】1、等差数列通项；2、等比数列通项；3、等比中项；4、数列的单调性；5、恒成立问题【方法点晴】本题主要考查的是等差等比数列的通项公式求法，及运用等差等比数列的通项，等比中项，数列的单调性求恒成立问题、公差取值问题，属于难题解题时一定要注意方法的优化，第一问采取特殊化

18、的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差的要求，进而得到的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高21已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2求矩阵A，并写出A的逆矩阵【答案】A， A的逆矩阵是 【解析】试题分析：由矩阵特征值的特征向量定义知 6， ，解得关于方程组，联立即可试题解析：由矩阵A属于特征值6的

19、一个特征向量为1可得， 6，即cd6； 由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为2，可得 ，即3c2d2解得即A， A的逆矩阵是 【考点】矩阵的运算22在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标【答案】【解析】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：，化曲线的参数方程为普通方程，联立解方程组即可试题解析：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为， 联立解方程组得或根据的范围应舍去,故点的直角坐标为【考点】1、极坐标；2、参数方程；3

20、、曲线的交点23抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x，y记表示的整数部分，如：，设为随机变量，（）求概率；（）求的分布列，并求其数学期望【答案】（）；（）分布列见解析，期望【解析】试题分析：（）根据题意实数对（x，y）共有16种，且每种情况出现的机会均等，所以是古典概型问题，的实数对（x，y）有6种，所以；（）类比的概率求法，求出的所有取值为0，1，2，3，4时的概率，列出分布列，求其期望试题解析：（）依题意，实数对（x，y）共有16种，使的实数对（x，y）有以下6种：，所以； （）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4有以

21、下6种：，所以； 有以下2种：，所以； 有以下1种：，所以； 有以下1种：，所以； 所以的分布列为：01234， 答：的数学期望为 【考点】1、古典概型；2、离散型概率的分布列；3、期望24数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，（）若，成等差数列，且，公差，求证：；（）若，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题分析：（）因为等差数列的通项公式为，所以，由公式，可得：，又，所以问题得证；（）由赋值法，令，则，令，则，化简，利用组合数性质，代入不等式，分离参数，注意对的奇偶性讨论试题解析：（）由已知得，等差数列的通项公式为， 则因为，所以，所以= （）令，则，令，则，所以，根据已知条件可知， ，所以， 将、代入不等式得，当为偶数时，所以；当为奇数时，所以；综上所述，所以实数的取值范围是 【考点】1、等比数列前项和；2、组合数的性质；3、二项式定理