函数与方程思想方法.docx

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1、函数与方程思想方法函数及方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程及不等式的混合组）,然后通过解方程(组）或不等式（组)来使问题获解。有时，还实现函数及方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式,哪里就有方程；哪里有公式,哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也及方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数yf(x），就可

2、以看作关于x、y的二元方程f（x）y0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是：f（x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性.在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键

3、。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为及其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量,构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式

4、、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。、再现性题组:1.方程lgxx3的解所在的区间为_.A。 （0，1) B. （1，2) C。 (2,3) D。 （3，+）2.如果函数f（x)xbxc对于任意实数t，都有f（2t）f（2t)，那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f（1）f(2)f（4） C。 f（2）f（4)0，a1） k ( |1 ）, 设csc， (,0)（0， ），则 kf（）csc|ctg当（，0）时，f（）cscctgctg1，故k1；当（0, ）时，f(）cscctgtg(0，1）,故0k1；综上所述，k的取值范围是：k1或0ka或aak

5、0时曲线C及C有交点,即方程有实解。所以k的取值范围是：k1或0k1.还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为后，解得：,所以ak,即k0，通分得0，解得k1或0k1.所以k的取值范围是：km（x1)对满足|m2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论.然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x1)m(2x1）0在-2，2上恒成立的问题。对此的研究，设f(m）(x1)m（2x1），则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m)的值在2，2内恒为负值时参数x应该满足的条件。【

6、解】问题可变成关于m的一次不等式：（x1）m(2x1)m（x1)在-2,2上恒成立时求m的范围。一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数,而参数作为函数，更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题。例3。 设等差数列a的前n项的和为S,已知a12,S0，S0，S13a78d13（122d)78d15652d0。 解得:d3。 Snan（n11)dn(122d）n(n1）dn（5)（5)因为d0，故n（5)最小时，S最大。由d3得6(5）6。5,故正整数n6时n（5)最小，所以S最大。【注】 数列的通项公

7、式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。也可以利用方程的思想,设出未知的量,建立等式关系即方程，将问题进行算式化,从而简洁明快。由次可见，利用函数及方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性。本题的另一种思路是寻求a0、a0 ，即：由da,由S13a0得a0得a0。所以，在S、S、S中,S的值最大。例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点，设BAC，PAAB=2r，求异面直线PB和AC的距离.【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距

8、离的最小值,从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一点M，作MDAC于D，MHAB于H，设MHx，则MH平面ABC，ACHD 。MDx（2rx)sin（sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即当x时，MD取最小值为两异面直线的距离。【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地,对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典

9、型的例子。例5。 已知ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgAtgC2,又知顶点C的对边c上的高等于4,求ABC的三边a、b、c及三内角.【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解.【解】 由A、B、C成等差数列,可得B60;由ABC中tgAtgBtgCtgAtgBtgC,得tgAtgCtgB(tgAtgC1） （1）设tgA、tgC是方程x(3)x20的两根，解得x1，x2设A0在x（，1上恒成立的不等式问题。【解】 由题设可知,不等式124a0在x(-，1上恒成立，即:()（）a0在x（，1上恒成立。设t（）, 则t， 又设g(t）tta，其对称轴为t

10、 tta0在，+）上无实根, 即 g（）(）a0，得a所以a的取值范围是a。【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想.一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。在解决不等式（)（）a0在x（-,1上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t（）, t，则有att（,，所以a的取值范围是a。其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想.、巩固性题组：1. 方程sin2xsinx在区间(0，2

11、)内解的个数是_。A。 1 B。 2 C. 3 D. 42. 已知函数f(x)21|，abf(b）,则_。A. a0，b0，c0 C。 22 D. 2223. 已知函数f（x)log(x4x8）， x0,2的最大值为2，则a_.A. B。 C。 2 D. 44。已知a是等比数列，且aaa18，aaa9，Saaa，那么S等于_。 A。 8 B. 16 C。 32 D。 485.等差数列a中，a84，前n项和为S,已知S0，S0)及椭圆（x2）y1有四个交点。(88年全国高考）13。已知关于x的实系数二次方程xaxb0有两个实数根、。证明：. 如果2，2,那么2|a|4b且b4;. 如果2|a|4b且b|4，那么|2，|2 . （93年全国理）14。设f(x)是定义在区间(-，+）上以2为周期的函数，对kZ，用I表示区间（2k1,2k+1，已知当xI时，f(x)x. 。求f（x)在I上的解析表达式; 。对自然数k，求集合Ma|使方程f（x)ax在I上有两个不相等的实根. (89年全国理)8 / 8