北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷.docx

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1、2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）AB1C2D32在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A1BCD3如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A6B7C8D94已知向量，满足，（）=2，则=（）ABC2D25已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）Ay=By=Cy=2xDy=2x+6设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A1BC5D97在手绘涂色本的某页上画有排成一

2、列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A14B16C18D208如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A0，1B，C1，2D，2二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知复数z满足（1+i）z=2，则z=106的展开式中常数项是（用数字作答）11若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为12已知圆C：x22x+y2

3、=0，则圆心坐标为；若直线l过点（1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为13已知函数y=2sin（x+）（0，|）若f（0）=1，则=；若xR，使f（x+2）f（x）=4成立，则的最小值是14已知函数f（x）=e|x|+cosx，给出下列命题：f（x）的最大值为2；f（x）在（10，10）内的零点之和为0；f（x）的任何一个极大值都大于1其中，所有正确命题的序号是三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）在ABC中，c=2a，B=120，且ABC面积为（1）求b的值；（2）求tanA的值16（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，

4、并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周 第二周第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85%92% 95%96% （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次

5、主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由17（14分）如图1，在梯形ABCD中，ABDC，ABC=90，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得A，OB=120，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OGA1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值18（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线

6、l的方程19（14分）已知函数f（x）=lnx（1）若曲线y=f（x）存在斜率为1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值20（13分）对于无穷数列an，bn，若bi=maxa1，a2，aimina1，a2，ak（k=1，2，3，），则称bn是an的“收缩数列”，其中maxa1，a2，ak，mina1，a2，ak分别表示a1，a2，ak中的最大数和最小数已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“收缩数列”（1）若an=2n+1，求bn的前n项和；（2）证明：bn的“收缩数列”仍是bn；（3）

7、若S1+S2+Sn=（n=1，2，3，），求所有满足该条件的an2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）AB1C2D3【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1故选：B【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题2在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A1BCD【考点】极坐标刻画点的位置【分析】极坐标化为直角坐标，即可得出结论【解答】解：点（1，）与点（1，）的距离，即点（

8、，）与点（，）的距离为，故选B【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，比较基础3如图程序框图所示的算法来自于九章算术，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A6B7C8D9【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件ab，输出a的值为8，即可得解【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件ab，不满足条件ab，b=2416=8，满足条件ab，满足条件ab，a=168=8，不满足条件ab，输出a的值为8故选：C【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基

9、础题4已知向量，满足，（）=2，则=（）ABC2D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出的值【解答】解：向量，满足+2=，即+=，+=，又（）=2，=2，=2故选：C【点评】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算的问题，是基础题5已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）Ay=By=Cy=2xDy=2x+【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦点坐标，然后求解即可【解答】解：直线l经过双曲线的焦点（，0），渐近线方程为：y=，选项C、D错误；焦点坐标代入选项A正确，选项B错误故选：A【

10、点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力6设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A1BC5D9【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y2=0的距离最小，此时距离d=，则距离的平方d2=（）2=，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键7在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼

11、不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A14B16C18D20【考点】排列、组合的实际应用【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论【解答】解：红色用1次，有6种方法，红色用2次，有2+3+4=9种方法，红色用3次，有3种方法，共18种，故选C【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础8如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A0，1B，C1，2D，2【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD

12、1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意故选C【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9已知复数z满足（1+i）z=2，则z=1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1+i）z=2，得，故答案为：1i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题10（x2+）6的展

13、开式中常数项是15（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】本题可通过通项公式Tr+1=Cnranrbr来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6rx123r，因为是常数项，所以123r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型难度系数0.9一般的通项公式的主要应用是求常数项，求有理项或者求某一项的系数，二项式系数等所以在今后遇到这样的试题时首先都可以尝试用通项来加以解决11若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所

14、示，则该几何体的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，正方体的体积为：222=8，四棱锥的体积为：222=，故组合体的体积V=8=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档12已知圆C：x22x+y2=0，则圆心坐标为（1，0）；若直线l过点（1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为y=（x+1）【考点】

15、圆的一般方程【分析】圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标；圆心到直线的距离d=1，可得直线方程【解答】解：圆C：x22x+y2=0，可化为（x1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y0=k（x+1），即kxy+k=0，圆心到直线的距离d=1，k=，直线l的方程为y=（x+1），故答案为（1，0），y=（x+1）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题13已知函数y=2sin（x+）（0，|）若f（0）=1，则=；若xR，使f（x+2）f（x）=4成立，则的最小值是【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义【分析】由已知可得sin=，利用

16、正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围|，即可得解的值化简已知等式可得sin（x+2+）sin（x+）=2，由正弦函数的性质可求=（k1k2），k1，k2Z，结合范围0，即可得解的最小值【解答】解：由已知可得2sin=1，可得：sin=，可得：=2k+，或=2k+，kZ，|，当k=0时，=xR，使2sin（x+2）+2sin（x+）=4成立，即：sin（x+2+）sin（x+）=2，xR，使x+2+=2k1+，x+=2k2+，kZ，解得：=k1k2，k1，k2Z，又0，|的最小值是故答案为：，【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，特殊角的三角函数值的综合应用，考查了数形结合思想的应

17、用，属于中档题14已知函数f（x）=e|x|+cosx，给出下列命题：f（x）的最大值为2；f（x）在（10，10）内的零点之和为0；f（x）的任何一个极大值都大于1其中，所有正确命题的序号是【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据已知中函数f（x）=e|x|+cosx，分析函数的最值，对称性，极值，进而可得答案【解答】解：由0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故正确；函数f（x）=e|x|+cosx，满足f（x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（10，10）内的零点之和为0，故正确；当cosx取极大值1时，函数f（x）=e|x|+cosx取极大值，但均大于1，

18、故正确；故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档三、解答题（共6小题，满分80分）15（13分）（2016秋海淀区期末）在ABC中，c=2a，B=120，且ABC面积为（1）求b的值；（2）求tanA的值【考点】正弦定理【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值（2）由余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA=的值【解答】（本题满分为13分）解：（1）c=2a，B=120，ABC面积为=acsinB=解得：a=1，c=2，由余弦定理可得：b=（2

19、）a=1，c=2，b=，cosA=，tanA=【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16（13分）（2016秋海淀区期末）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周 第二周第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85%92% 95%96% （1）计算表中十二周“水站

20、诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望（3）两次活动

21、效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由88%94%和80%到85%看出，后继一周都有提升【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=91%（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 0 1 2 3 PEX=2（3）两次活动效果均好理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%和80%到85%看出，后继一周都有提升【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考题型之一17（14分）（2016秋海淀区期末）如图1，在梯形ABCD

22、中，ABDC，ABC=90，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得A，OB=120，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OGA1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算【分析】（1）利用线面平行的性质判断并证明直线DC与直线m的位置关系；（2）A1D在平面A1OB中的射影为A1O，OGA1O，即可求出A1G的长；（3）求出O到平面A1DB的距离，即可求直线A1O与平面A1BD所成

23、角的正弦值【解答】解：（1）DCOB，DC平面A1OB，OB平面A1OBDC平面A1OB，m为平面A1DC与平面A1OB的交线，DCm；（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O，OGA1O，A1G=2A1O=4；（3）A1OB中，A1B=2，A1D=DB=2， =，设O到平面A1DB的距离为h，则，h=，A1O=2，直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（13分）（2016秋海淀区期末）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线

24、l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程【解答】解：（1）椭圆G过A（0，2），B（3，1），解得，则=，椭圆G的离心率e=；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代

25、入椭圆G的方程得，C（3，1），不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x3）+1，由得，（3k2+1）x26k（3k1）x+27k218k3=0，3+x1=，3x1=，则x1=，以BC为直径圆经过点A，ABAC，则，即（3，1）（x1，y12）=0，3x1y1+2=0，即3x1k（x13）+1=0，（3k）x1+3k+1=0，（3k）+3k+1=0，化简得，18k27k1=0，解得k= 或k=，直线BC的方程为y=（x3）+1或y=（x3）+1，即直线BC的方程是x+2y5=0或x9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y5=0或x9y+6=

26、0【点评】本题考查了待定系数法求椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，向量数量积的坐标运算，以及“设而不求”的解题思想方法，考查转化思想，化简、变形、计算能力19（14分）（2016秋海淀区期末）已知函数f（x）=lnx（1）若曲线y=f（x）存在斜率为1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a=0存在大于0的实数根，根据y=x2+x+a在x0时递增，求出a的范

27、围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）=0，得到存在x0（1，e）满足g（x0）=0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可【解答】解：（1）由f（x）=lnx1得：f（x）=，（x0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为1的切线，f（x）=1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，y=x2+x+a在x0时递增，a的范围是（，0）；（2）由f（x）=，（x0），得：a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增；a0时，若x（a，+）时，f（x）0，若x（0，a）

28、，则f（x）0，故f（x）在（a，+）递增，在（0，a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g（x）=，由1a0，得：0a1，由（2）得：f（x）在（a，+）递增，f（1）=a10，取x=e，显然e1，f（e）=0，存在x0（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0（1，e）满足g（x0）=0，令g（x）0，解得：xx0，令g（x）0，解得：1xx0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+）递增，1a0时，g（x）在（1，+）存在极小值【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题20（13分）（2016秋海淀区期末）对于无穷数列an，bn，若bi=ma

29、xa1，a2，aimina1，a2，ak（k=1，2，3，），则称bn是an的“收缩数列”，其中maxa1，a2，ak，mina1，a2，ak分别表示a1，a2，ak中的最大数和最小数已知an为无穷数列，其前n项和为Sn，数列bn是an的“收缩数列”（1）若an=2n+1，求bn的前n项和；（2）证明：bn的“收缩数列”仍是bn；（3）若S1+S2+Sn=（n=1，2，3，），求所有满足该条件的an【考点】数列的求和【分析】（1）由新定义可得bn=2n2，即可求出前n项和，（2）根据“收缩数列”的定义证明即可，（3）猜想：满足S1+S2+Sn=n（n+1）a1+n（n1）b1的数列 an是，a

30、n=，a2a1，并证明即可【解答】解：（1）由an=2n+1可得 an为递增数列，所以bn=max a1，a2，anmin a1，a2，an=ana1=2n+13=2n2，故 bn的前n项和为（2n2）n=n（n1）（2）因为max a1，a2，anmax a1，a2，an+1，因为min a1，a2，anmin a1，a2，an+1，所以max a1，a2，an+1min a1，a2，an+1max a1，a2，anmin a1，a2，an，所以bn+1bn，又因为bn=a1a1=0，所以max b1，b2，bnmin b1，b2，bn=bnb1=bn，所以 bn的“收缩数列”仍是 bn，（

31、3）由S1+S2+Sn=n（n+1）a1+n（n1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2a1）+（a3a1），（*），若a1a3a2，则b3=a2a1，所以由（*）可得a3=a2与a3a2矛盾，若a3a1a2，则b3=a2a3，所以由（*）可得a3a2=3（a1a3），所以a3a2与a1a3同号，这与a3a1a2矛盾；若a3a2，则b3=a3a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S1+S2+Sn=n（n+1）a1+n（n1）b1的数列 an是，an=，a2a1，经验证：左式=S1+S2+Sn=na1+1+2+（n1）=na1+n（

32、n1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n1）b1=n（n+1）a1+n（n1）（a2na1）=na1+n（n1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n3的情况可知，n3，an=，a2a1是成立的，假设ak=是首次不符合an=，a2a1的项，则a1a2=a3=ak1ak由题设条件可得（k2k2）a2+ak=k（k1）a1+k（k1）bk（*），若a1aka2，则由（*）可得ak=a2与aka2矛盾，若aka1a2，则bk=a2ak，所以由（*）可得aka2=k（k1）（a1ak），所以aka2与a1ak同号，这与aka1a2矛盾；所以aka2，则bk=aka1，所以由（*）化简可得ak=a2，这与假设aka2相矛盾，所以不存在数列不满足an=，a2a1的an符合题设条件【点评】本题考查了新定义和应用，考查了数列的求和和分类讨论的思想，以及反证法，属于难题- 22 -