2013届高考数学第一轮基础知识点复习教案9.docx

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1、第九编 解析几何9.1直线的倾斜角与斜率基础自测1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为+45，则的范围为 .答案 01352.（2008全国文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 .答案 453.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 .答案 14.已知直线l的倾斜角为，且0135，则直线l的斜率取值范围是 .答案 （-,-1）0，+）5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-的直线垂直，则实数a的值为 .答案 -例1 若，则直线2xcos+3y+1

2、=0的倾斜角的取值范围是 .答案 例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1l2时，求a的值.解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;2分当a1且a0时，两直线可化为l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 5分综上可知，a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行. 6分方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-12=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1

3、)-160, 2分l1l24分a=-1, 5分故当a=-1时，l1l2，否则l1与l2不平行.6分（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.8分当a1时，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),12分由=-1a=.14分方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.14分例3 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1x1).试求：的最大值与最小值.解 由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8

4、，故的最大值为8，最小值为.1.直线xcos+y+2=0的倾斜角的取值范围是 .答案 2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2:（1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l1与l2相交；当m-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为k1=-，k2=-，它们在y轴上的截距分别为b1=，b2=.（1）由k1k2,得-，m-7且m-1.当m-7且m-1时，l1与l2相交.（2）由,得，m=-7.当m=-7时，l1与l2平行.（3）由k1k2=-1,得-=-1，m=-.当m=-时，l1与l2垂直.3.若实数x,y满足

5、等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 .答案 一、填空题1.直线xcos+y-1=0 (R)的倾斜角的范围是 .答案 2.（2009姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为,且=+90,则m的值为 .答案 -23.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（mR）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 .答案 4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3l2，则l3的斜率为 .答案 -25.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 .答案 -6.

6、（2008浙江理，11）已知a0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a= .答案 1+7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 .答案 （-，-31，+）8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 .答案 二、解答题9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围. 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.kAP=-2，kAQ=，则-或-2，-m且m0.又m

7、=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，所求m的取值范围是-m.方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.10.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得：（1）l1与l2相交；（2）l1l2;(3)l1l2;(4)l1,l2重合.解 （1）由已知13m(m-2),即m2-2m-30,解得m-1且m3.故当m-1且m3时，l1与l2相交.（2）当1（m-2）+m3=0，即m=时，l1l2.(3)当=,即m=-1时，l1l2.（4）当=，即m=3时，l1与l2重合.

8、11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，kABkBC=0-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.若CD是直角梯形的直角边，则BCCD，ADCD，kBC=0，CD的斜率不存在，从而有x=3.又kAD=kBC，=0，即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为（3，3）.若AD是直角梯形的直角边，则ADAB，ADCD，kAD=，kCD=.由于ADAB，3=-1.又ABCD，=3.解上述两式可得此时AD与BC

9、不平行.故所求点D的坐标为,综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或.12.已知两点A（-1，2），B（m，3）.（1）求直线AB的方程；（2）已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围.解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,当m-1时，直线AB的方程为y-2=(x+1).（2）当m=-1时，=;当m-1时，m+1，k=（-，-，.综合知，直线AB的倾斜角.9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式基础自测1.下列四个命题中真命题的序号是 .经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,

10、y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示不经过原点的直线都可以用方程表示经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示答案 2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为 .答案 x+y-5=03.（2008全国文）原点到直线x+2y-5=0的距离为 .答案 4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 .答案 2x+y=05.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1

11、 求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a0，则设l的方程为，l过点（3，2），a=5，l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直线l的方程为：y-

12、2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2. tan=3,tan2=-.又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|PB|最小时l的方程.解 方法一 设直线的方程为 (a2,b1),由已知可得.（1）2=1，ab8.SAOB=ab4.当且仅当=,即a=4,b=2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.（2）由+=1

13、,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|PB|=.当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=（4+4）=4.当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.（2）|PA|PB|=4,当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3 （14分）已知直线l过点P

14、（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解 方法一 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，由,解得A.8分由,解得B, 由两点间的距离公式，得+=25，解得k=0,即所求直线方程为y=1.12分综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.14分方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1

15、+1=0,x2+y2+6=0,两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=56分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25联立可得或, 12分由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90，故所求的直线方程为x=3或y=1. 14分例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解 方法一 由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，直线l2的方程为x-2y=0.方法二 设所求直线上一

16、点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为124，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解 （1）当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方

17、程为y=-x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，OAB的面积为12，求直线l的方程.解 方法一 设直线l的方程为（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直线方程

18、为=1,即2x+3y-12=0.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:P是第一象限的点;P点到l1的距离是P点到l2的距离的;P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解 (1)l2

19、即为2x-y-=0,l1与l2的距离d=,=,=,a0,a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件,则P点在与l1、l2平行的直线l：2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P点满足条件，由点到直线的距离公式=，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，3x0+2=0不满足题意.联立方程，解得 (舍去).由解得假设成立，P即为同时满足三个条件的点.4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解 方法一 由得

20、反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P(x0,y0)，由PPl可知,kPP=-=.而PP的中点Q的坐标为,Q点在l上，3-2+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二 设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P(x,y),则,又PP的中点Q在l上，3-2+7=0,由可得P点的坐标为x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、填空题1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且aN*，bN*

21、，则可作出的l的条数为 .答案 22.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1l2，则直线l2的方程是 .答案 x+3y-15=03.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是 .答案 -4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 .答案 x+2y-3=05.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 .答案 2x+y-6=06.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0180)，那么= .答案

22、 30或1507.设l1的倾斜角为，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为 .答案 2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 .答案 (1,+)二、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=6，解得k1=-或k2=-.直线l的

23、方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6bb|=6，b=1.直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.（1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从P到Q的长度.解 （1）设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点，kl=-1，kQQ=1.QQ所在直线方程为y-1=1（x-1）即x-y=0.由解得l与QQ的交点M的坐标为.又M为QQ的中点，由此得.解之得Q（-2，-2）.设入射线与

24、l交点N，且P，N，Q共线.则P（2，3），Q（-2，-2），得入射线方程为，即5x-4y+2=0.(2)l是QQ的垂直平分线，因而|NQ|=|NQ|.|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|=,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.解 设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P（-1，0），由点P到两直线l,l1的距离相等，则,得c=7或c=-5（舍去）.l1：x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与l垂直

25、，设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.正方形中心到四条边的距离相等，=，得a=9或a=-3,另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.解 方法一 设点A（x，y）在l1上，由题意知，点B（6-x，-y），解方程组，得，k=.所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二 设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.P(3,0)是

26、线段AB的中点，yA+yB=0，即+=0，k2-8k=0，解得k=0或k=8.又当k=0时，xA=1,xB=-3,此时,k=0舍去，所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.9.3 圆的方程基础自测1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是 .答案 -2a2.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0（a、bR）对称，则ab的取值范围是 .答案 3.过点A（1，-1），B（-1，1），且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 .答案 （x-1）2+(y-1)2=44.以点（2，-1）为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程

27、为 .答案 (x-2)2+(y+1)2=95.直线y=ax+b通过第一、三、四象限，则圆（x+a）2+(y+b)2=r2 (r0)的圆心位于第 象限.答案 二例1 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为 .答案 x2+y2-4x=0例2 （14分）已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心 坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.4分设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=

28、4,y1y2=.6分OPOQ,x1x2+y1y2=0.8分而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为，半径r=.14分方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，=2.O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组.解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.6分OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在RtO1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.+（3-2）2+5=.m=3.半径为,圆心为.14分方法三 设过P、Q的圆

29、系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OPOQ知，点O（0，0）在圆上.m-3=0，即m=3.3分圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.6分圆心M，7分又圆在PQ上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.12分圆心为，半径为.14分例3 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+，最小值

30、为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.1.（2008 山东文，11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 .答案 (x-2)2+(y-1)2=12.已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mR).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的

31、直线方程.（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=2=4.此时，kl=-,从而kl=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.3.已知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距

32、离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k,kmax=，kmin=.一、填空题1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为 .答案 2.两条直线y=x+2a,y=2x+a的

33、交点P在圆（x-1）2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是 .答案 -a13.已知A（-2，0），B（0，2），C是圆x2+y2-2x=0上任意一点，则ABC面积的最大值是 .答案 3+4.圆心在抛物线y2=2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .答案 x2+y2-x2y+=05.若直线2ax-by+2=0 (a0,b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 .答案 46.从原点O向圆：x2+y2-6x+=0作两条切线，切点分别为P、Q，则圆C上两切点P、Q间的劣弧长为 .答案 7.（2008四川理，14）已知直线l：x-y+4=0与圆C：（x-1

34、）2+（y-1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为 .答案 8.以直线3x-4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 .答案 （x+2)2+=二、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P（1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P（4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程.解 （1）显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：=，即x+y-1=0.解方程组,得圆心C的坐标为（4，-3）.又圆的半径r=|OC|=5,所以所求圆的方程为（x-4）2+(y+3)2=25.（2）设圆的方程为x2+y

35、2+Dx+Ey+F=0将P、Q点的坐标分别代入得： 令x=0，由得y2+Ey+F=0由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程的两根，所以（y1-y2）2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48解、组成的方程组得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.10.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.解 将圆方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,其圆心为C（1，1），半径r=1,

36、如图，由于四边形PACB的面积等于RtPAC面积的2倍，所以SPACB=2|PA|r=.要使四边形PACB面积最小,只需|PC|最小.当点P恰为圆心C在直线3x+4y+8=0上的正射影时,|PC|最小,由点到直线的距离公式,得|PC|min=3,故四边形PACB面积的最小值为2.11.已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).P点在圆x2+y2=4上,(2x-2)2+(2y)2=4.故线

37、段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连结ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.12.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.(1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程;(2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.解 (1)依题意,可设动圆C的方程为(x-a

38、)2+(y-b)2=25,其中圆心(a,b)满足a-b+10=0.又动圆过点(-5,0),(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组,可得或,故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=5.当r满足r+5d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；当r满足r+5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.9.4 直线、圆的位置关系基础自测1.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，

39、则P（a，b）与圆的位置关系为 .答案 在圆外2.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是 .答案 -6a43.两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为 .答案 24.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则k的取值范围是 .答案 5.(2008重庆理，15)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为 .答案 x-y+1=0例1 已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（mR

40、）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x-3m）2+y -(m-1)2=25，设圆心为（x，y），则，消去m得l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.（2）解 设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=.圆的半径为r=5，当dr，即-5-3b5-3时，直线与圆相交；当d=r,即b=5-3时，直线与圆相切；当dr，即b-5-3或b5-3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2且r和d均为常量.任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，则kAB=,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=.反射光线所在直线的方程为y=(x-b),即3x-(