高数竞赛试题集.docx

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1、高等数学竞赛高等数学竞赛一、一、填空题填空题 假设5)(cossinlim0bxaexxx，那么a=，b=设2(1)()lim1nnxf xnx,那么()f x的连续点为x 曲 线 上 及 直 线1 yx垂 直 的 切 线 方 程为xxxeef)(，且f(1)=0,那 么f(x)=设函数()y x由参数方程333131xttytt确定,那么曲线()yy x向上凸的x取值范围为 设1lnarctan22xxxeeey，那么1xdxdy假设0 x时，1)1(412 ax及xxsin是等价无穷小，那么.设21,12121,)(2xxxexfx，那么221)1(dxxf由定积分的定义知，和式极限nkn

2、knn122lim121dxx x二、二、单项选择题单项选择题11把 0 x时的无穷小量dttdttdttxxx03002sin,tan,cos2，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，那么正确的排列次序是【】(A),.(B),.(C),.(D),.12设函数 f(x)连续，且,0)0(f那么存在0，使得【】(A)f(x)在0，)内单调增加.Bf(x)在)0,(内单调减少.C对任意的),0(x有 f(x)f(0).(D)对任意的)0,(x有 f(x)f(0).13.设()(1)f xxx,那么【】A0 x 是()f x的极值点,但(0,0)不是曲线()yf x的拐点.B0 x 不是()f x的极值

3、点,但(0,0)是曲线()yf x的拐点.C0 x 是()f x的极值点,且(0,0)是曲线()yf x的拐点.D0 x 不是()f x的极值点,(0,0)也不是曲线()yf x的拐点.14.22212lim ln(1)(1)(1)nnnnnn等于【】A221ln xdx.B212ln xdx.C212ln(1)x dx.D221ln(1)x dx15.函 数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在 以 下 哪 个 区 间 内 有 界.【】(A)(1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).16.设f(x)在(,+)内有定义，且axfx)(lim，0,00,)1()

4、(xxxfxg，那么【】(A)x=0 必是g(x)的第一类连续点.(B)x=0必是g(x)的第二类连续点.(C)x=0 必是g(x)的连续点.(D)g(x)在点x=0 处的连续性及a的取值有关.17.设)(xf 在a,b上连续，且0)(,0)(bfaf，那么以下结论中错误的选项是【】(A)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xff(a).(B)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xff(b).(C)至少存在一点),(0bax，使得0)(0 xf.(D)至少存在一点),(0bax，使得)(0 xf=0.18.设0,10,00,1)(xxxxf，xdttfxF0)()(，那么【】(A)F(

5、x)在x=0 点不连续.(B)F(x)在(,+)内连续，但在x=0 点不可导.(C)F(x)在(,+)内可导，且满足)()(xfxF.(D)F(x)在(,+)内可导，但不一定满足)()(xfxF.三、解答题三、解答题19求极限3012coslim13xxxx.20设函数()f x在,上有定义,在区间0,2上,2()(4)f xx x,假设对任意的x都满足()(2)f xk f x,其中k为常数.()写出()f x在 2,0上的表达式;()问k为何值时,()f x在0 x 处可导.21设fx，gx均在a,b上连续，证明柯西不等式bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(22222设

6、2ebae,证明)(4lnln222abeab.23 曲线2xxeey及直线0,(0)xxt t及0y 围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体,其体积为()V t,侧面积为()S t,在xt处的底面积为()F t.()求()()S tV t的值;()()lim()tS tF t.24设f(x),g(x)在a,b上连续，且满足xaxadttgdttf)()(，xa,b)，babadttgdttf)()(.证明：babadxxxgdxxxf)()(.25 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000

7、的飞机，着陆时的水平速度为 700.经测试，减速伞翻开后，飞机所受的总阻力及飞机的速度成正比比例系数为).100.66k问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注注表示千克，表示千米/小时.高等数学竞赛试卷高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、假设2lim()01xxaxbx，那么A1,1abB1,1ab C1,1ab D1,1ab 2、设(),0()(0),0f xxF xxfx，其中()f x在0 x 处可导且(0)0f，(0)0f，那么0 x 是()F x的A 连续点 B 第一类连续点 C 第二类连续点 D以上都不是3、设常数0k，函数()lnxf xxke在(0,)内零点的个数为A 0B

8、1C2D34、假设在0,1上有(0)(0)0,(1)(1)0fgfga，且()0fx，()0gx，那么110()If x dx，120()Ig x dx，130Iax dx的大小关系为A123IIIB231IIIC321IIID213III5、由平面图形0,0()axbyf x绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 A 2()baVxf x dx B 2()baVf x dx C 2()baVfx dxD()baVf x dx6、(1,3,4)P关于平面320 xyz的对称点是A(5,1,0)B(5,1,0)C(5,1,0)D(5,1,0)7、设D为222xyR，1D是D位于第一象限的局部，()f x

9、连续，那么22()Df xydEMBED Equation.DSMT4 A 128()Df xd B 0 C 22()RRRRdxf xydyD1224()Df xyd8、a为常数，那么级数21sin()1nnannA 绝对收敛B发散 C 条件收敛D 收敛性及a的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1xxxxxe。2、具有n个不相等实根的n次多项式，其一阶导数的不相等实根至少有个。3、对数螺线e在点2(,)(,)2e 处的切线的直角坐标方程为。4、设()f x是x的二次多项式，且(1)()2()0 x fxf x，(0)1f，那么()f x。5、设2sinyx，那么dy 3()d

10、 x。6、7432222842311xxxxxdxx。7、假设级数1(1)nnan收敛，那么常数a。8、三重积分2222222221ln(1)1xyzzxyzdxdydzxyz。8*、曲线323yxa xb及x轴相切，那么2b可以通过a表示为2b。9、设为上半椭球面2221,(0)94xyzz，的面积为 S，那么曲面积分222(4936)xyzdS。9*、级数2113nnnx的收敛区间为。10、三元函数2zuzexy在点(1,1,1)处沿该点的向径方向的方向导数为。10*、设1()1xfxx，且()f x可微，那么()fx。11、设0sinxyt dt(0)x，那 么 曲 线()yy x的 长

11、 度为。11*、假设()xf x dxxeC，那么()f x。12、设,a b c 都 是 单 位 向 量，且 满 足0abc，那 么a bb cc a 。12*、函数3yx的拐点为。三、按要求做以下各题。1、求极限32lim(221)xxxxx。2、函数()yf x对一切x满足2()3()1xxfxx fxe 且在点00 x 处取得极值，问0()f x是极大值还是极小值，并证明你的结论。四、计算下面积分。1、1 lnxxxdxxx2、dxxx342sin五、(,)f x y为22:,0D xyy x上 的 连 续 函 数，228(,)1(,)Df x yxyf u v dudv,求(,)f x y六、周长为2l的等腰三角形绕其底边旋转，问此等腰三角形的腰和底边之长各为多少时，才可使旋转体的体积为最大？七、()f xEMBEDEquation.DSMT4,a b连 续(,)a b可 导，()()0f af b，()()02abf af。证明：在(,)a b内存在，使得()()ff。八、设函数()yy x由方程组222sin2xtttyay