线性代数与解析几何试题(附解析)-中国科技大学(共2页).doc
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1、精选优质文档-倾情为你奉上中 国 科 学 技 术 大 学20052006学年第2学期考试试卷考试科目:线性代数得分:学生所在系:姓名:学号:一、 判断题(30分,每小题6分)。判断下列命题是否正确,并简要说明理由。1. 三维空间向量共面的充要条件是。2. 设为阶实正交方阵,为阶单位阵,则为可逆方阵。3. 设阶非零实矩阵和满足,则的行向量线性相关,并且的行向量也线性相关。4. 设是阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间,则满足的阶实方阵的全体构成的子空间。5. 设为方阵,且是实正定对称方阵,则也是实正定对称方阵。二、 计算题(62分)。1. (15分)为何值时,下列线性方程组有解?当有
2、解时,求出该方程组的通解。2. (15分)设阶实方阵,求和。3. (17分)设是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积后,成为一个欧氏空间。现定义上的变换。(1)证明:是一个线性变换;(2)求在基下的表示矩阵;(3)求的所有特征值与特征向量;(4)求的一组标准正交基,使得在此基下的表示矩阵为对角阵。4. (15分)通过正交变换化二次型为标准形;并判断三维欧氏空间中的曲面是哪一类曲面。三、 证明题(8分)。以下两小题任选一题。1. 设,是阶单位方阵。证明:(1)。(2)。2. 设实对称方阵满足,证明:正交相似于对角形。参考答案及评分标准一、 判断题(30分,每小题6分,判断命题是否正确2分
3、,说明理由4分。)1 正确。共面使得有非零解有非零解有非零解(把当作数组向量,扣2分)2 正确。3 正确。有非零列向量的行向量线性相关。有非零列向量的行向量线性相关。4 正确。集合关于加法、数乘封闭。5 正确。正定对称不全为零正定对称。二、 计算题(共62分)1 (15分)写出方程组的矩阵形式或增广矩阵(3分)对其作初等行变换(6分)当时,方程组有解。(3分)通解(3分)2 令,则有(4分)由,(2分)得(3分)由,或经初等变换,(3分)求得(3分)3 (17分)(1)保持向量的加法和数乘。(3分)(2)由基的象得的表示矩阵(4分)(3)所有特征值为2、2、2、0(3分)所有特征向量分别为“2阶非零对称实方阵”和“2阶非零反对称实方阵”(3分)(没有考虑特征值重数,扣2分;没有考虑特征向量非零,扣2分)(4)(4分)(基向量没有标准化,扣2分;基向量没有写成2阶方阵形式,扣1分)4 (15分)二次型的表示矩阵(3分)的特征值为3、3、0(3分)的特征向量(3分)令,得(3分)曲面为圆柱面(回答椭圆柱面,扣1分)(3分)三、 证明题(8分)。以下两小题任选一题。1 (1)(4分)(2)(4分)2 对称方阵正交相似于对角形(3分)的特征值(3分)适当排列,。(2分)专心-专注-专业
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